2.6 正多边形与圆-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

60 2.6　正多边形与圆 第1课时 正多边形与圆的关系 ▶ “答案与解析”见P35 1. (2024·呼和浩特)如图,正四边形ABCD 和 正五边形CEFGH 内接于☉O,AD 和EF 相 交于点M,则∠AMF 的度数为 ( ) A. 26° B. 27° C. 28° D. 30° (第1题) (第2题) (第3题) 2. (2024· 南 京 玄 武 期 末)如 图,五 边 形 ABCDE 是正五边形,经过C、D 两点的☉O 与AB、AE 分别相切于点M、N,连接CM、 CN,则∠MCN 的度数为 . 3. 如图,在正六边形ABCDEF 中,AC=23, 则它的外接圆的半径是 . 4. 如图,M、N 分别是正八边形ABCDEFGH 的边BC、CD 上的点,且BM=CN,AM 交 BN 于点P. (1) 求证:△ABM≌△BCN. (2) 求∠APN 的度数. (第4题) 5. 新情境·日常生活 (2024·青岛)为筹备运动 会,小松制作了如图所示的宣传牌,在正五边 形ABCDE 和正方形CDFG 中,CF、DG 的 延长 线 分 别 交 AE、AB 于 点 M、N,则 ∠FME 的度数是 ( ) A. 90° B. 99° C. 108° D. 135° (第5题) (第6题) 6. 如图,在正六边形ABCDEF 中,M、N 是对 角线BE 上的两点.有下列条件:① BM= EN;② ∠FAN=∠CDM;③ AM=DN; ④ ∠AMB=∠DNE.其 中,能 使 四 边 形 AMDN 为平行四边形的是 ( ) A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①④ 7. (2023·南京鼓楼二模)如图,四边形ABCD 是☉O 的内接矩形,点E、F 分别在射线AB、 AD 上,OE=OF,且点C、E、F 在一条直线 上,EF 与☉O 相切于点C. (1) 求证:矩形ABCD 是正方形. (2) 若OF=10,则正方形ABCD 的面积是 . (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 61 第2课时 正多边形的对称性 ▶ “答案与解析”见P35 1. (2023·临沂)将一个正六边形绕其中心旋转 后仍与原图形重合,旋转角的度数不可能是 ( ) A. 60° B. 90° C. 180° D. 360° 2. (2024·甘孜)如图,正六边形ABCDEF 内 接于☉O,OA=1,则AB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 1 2 (第2题) (第3题) 3. (2023·衡阳)用若干个全等的正五边形排成 圆环状,如图所示为其中3个正五边形的位 置.要完成这一圆环排列,共需要的正五边形 的个数是 . 4. 如图所示为☉O 和☉O 上的一点A. (1) 作☉O 的内接正六边形ABCDEF(保留 作图痕迹,无需说明作法). (2) 连接BF、CE.请判断四边形BCEF 的形 状,并加以证明. (第4题) 5. 如图,☉O 与正六边形OABCDE 的 边OA、OE 分别交于点F、G,M 为 FG ︵ 的 中 点,连 接 FM、MG.若 FM=22,则☉O 的半径为 ( ) A. 2 B. 6 C. 22 D. 26 (第5题) (第6题) 6. (2024·南京玄武期末)如图,在正五边形 ABCDE 中,连接CE,以点E 为圆心、EA 长 为半径画弧,与CE 交于点F,连接AF,则 ∠AFE 的度数是 °. (第7题) 7. 如图,正方形ABCD 内接于 ☉O,E 为BC ︵ 上一点,连接 BE、CE.若 ∠CBE =15°, BE=5,则正方形ABCD 的 边长为 . 8. 新考法·探究题 (2024·蚌埠模拟)如图所示 分别为正方形、正五边形、正六边形. (第8题) (1) 观察图中各正多边形相邻两对角线相交 所形 成 的 较 大 的 角α4、α5、α6,则 α4= °,α5= °,α6= °. (2) 按此规律,记正n边形相邻两对角线相 交所形成的较大的角为αn,请用含n的式子表 示αn= (其中n为不小于4的整数). (3) 若αn=150°,求相应的正多边形的边 数n. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 ∴ 易得PO=2AO. ∵ 在Rt△APO中,AO2+PA2=PO2, ∴ AO2+3=(2AO)2. 又∵ AO>0, ∴ AO=1. ∴ ☉O 的半径为1. (第7题) 8. (1) 如图,延长CD 交☉O 于点M. ∵ AB⊥CD, ∴ AC︵=AM︵,CD=MD. ∵ AC︵=CE︵, ∴ AC︵=CE︵=AM︵. ∴ AM︵+AC︵=AC︵+CE︵,即 MC︵= AE︵. ∴ MC=AE. ∵ MC=MD+CD, ∴ MC=2CD. ∴ AE=2CD. (2) ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACG=90°. ∴ ∠ACF+∠FCG=90°,∠CAF+ ∠FGC=90°. ∵ CE︵=AM︵, ∴ ∠CAF=∠ACF. ∴ AF=CF,∠FCG=∠FGC. ∴ AF=CF=FG. ∴ 点F 是△ACG 的外心. (第8题) 2.6　正多边形与圆 第1课时 正多边形与圆的关系 1. B 2. 36° 3. 2 4. (1) ∵ 八边形ABCDEFGH 是正 八边形, ∴ AB=BC,∠ABM=∠C. 在△ABM 和△BCN 中, AB=BC, ∠ABM=∠C, BM=CN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌△BCN. (2) ∵ △ABM≌△BCN, ∴ ∠BAM=∠CBN. ∵ ∠APN=∠BAM+∠ABP, ∴ ∠APN = ∠CBN + ∠ABP = ∠ABC. ∵ 易得∠ABC=135°, ∴ ∠APN=135°. 5. B 6. A 解析:如图,连接AD,交BE 于点O.∵ 在正六边形ABCDEF 中, 易得∠BAO=∠ABO=∠OED= ∠ODE=60°,∴ △AOB 和△DOE 是等边三角形.∴ OA=OD,OB= OE.① ∵ BM=EN,∴ OM=ON. ∴ 四边形AMDN 为平行四边形,故 ① 符 合 题 意.② ∵ ∠FAN = ∠CDM, ∠CDA = ∠DAF, ∴ ∠OAN=∠ODM.∴ AN∥DM. 又∵ ∠AON=∠DOM,OA=OD, ∴ △AON≌△DOM.∴ AN=DM. ∴ 四边形AMDN 为平行四边形,故 ②符合题意.③ ∵ AM=DN,AB= DE,∠ABM =∠DEN,∴ △ABM 和△DEN 不一定全等,不能得出四 边形AMDN 为平行四边形,故③不 符合题意.④ ∵ ∠AMB=∠DNE, ∠ABM = ∠DEN,AB = DE, ∴ △ABM≌△DEN.∴ AM=DN. ∵ ∠AMB + ∠AMN = 180°, ∠DNM + ∠DNE = 180°, ∴ ∠AMN=∠DNM.∴ AM∥DN. ∴ 四边形AMDN 为平行四边形,故 ④符合题意.综上所述,符合题意的是 ①②④. (第6题) 7. (1) 如图,连接AC. ∵ 四边形ABCD 是☉O的内接矩形, ∴ AC是☉O 的直径. ∵ EF 与☉O 相切于点C, ∴ AC⊥EF. ∵ OE=OF, ∴ CF=CE,∠FOC=∠EOC. ∴ ∠AOF=∠AOE. ∵ OA=OA, ∴ △AOF≌△AOE. ∴ AF=AE. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠FAE=90°. ∴ AC=12EF=CF=CE. ∴ ∠CAE=45°. ∵ ∠ABC=90°, ∴ ∠ACB=45°. ∴ AB=CB. ∴ 矩形ABCD 是正方形. (2) 40. 解析:∵ OC=12AC ,AC= CF,∴ CF=2OC.∵ OF=10,在 Rt△COF 中,OF2 =OC2 +CF2, ∴ 102=OC2+4OC2.∴ OC=25. ∴ 易得AB=2 10.∴ AB2=40. ∴ 正方形ABCD 的面积是40. (第7题) 第2课时 正多边形的对称性 1. B 2. C 3. 10 4. (1) 如图,正六边形ABCDEF 即 为所求作. (2) 四边形BCEF 是矩形. 如图,连接OE. ∵ 六边形ABCDEF 是正六边形, ∴ AB=AF=DE=DC=FE=BC. ∴ AB︵=AF︵=DE︵=DC︵. ∴ BF︵=CE︵. ∴ BF=CE. 又∵ FE=BC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 ∴ 四边形BCEF 是平行四边形. ∴ ∠CEF=∠FBC. ∵ 四边形BCEF 内接于☉O, ∴ ∠CEF+∠FBC=180°. ∴ ∠CEF=∠FBC=90°. ∴ 四边形BCEF 是矩形. (第4题) 5. C 解析:如图,连接OM.∵ 在正 六边形OABCDE 中,∠FOG=120°, M 为FG︵ 的中点,∴ ∠FOM=60°. ∵ OM=OF,∴ △OFM 是等边三角 形.∴ OM=OF=FM=22.∴ ☉O 的半径为22. (第5题) 6. 54 解析:在正五边形ABCDE 中, ∠AED=∠CDE= (5-2)×180° 5 = 108°.∵ DE =CD,∴ ∠DCE = ∠CED=12× (180°-108°)=36°. ∴ ∠AEF =108°- 36°= 72°. ∵ AE=EF,∴ ∠EAF=∠AFE= 1 2× (180°-72°)=54°. 7. 52 解析:如图,连接AO、BO、 EO.∵ 正方形ABCD 内接于☉O, ∴ OA =OB =OE.∵ ∠AOB = 360° 4 =90° ,AB=BC,∠ABC=90°, ∴ ∠OAB=∠OBA= 12 (180°- ∠AOB)=45°.∴ ∠OBC=∠ABC- ∠OBA =45°.∵ ∠CBE =15°, ∴ ∠OBE=∠OBC+∠CBE=60°. ∴ △OBE 是等边三角形.∴ OB= BE=5.∴ OA=OB=5.∴ AB= OA2+OB2 =52.∴ 正 方 形 ABCD 的边长为52. (第7题) 8. (1) 90;108;120. (2) (n-2)·180° n . (3) ∵ αn= (n-2)·180° n , ∴ αn=150°= (n-2)·180° n ,解得 n=12. 2.7　弧长及扇形的面积 1. A 2. B 3. π 4. 4π 5. (1) ∵ ∠A=90°,CE⊥BD, ∴ ∠A=∠BEC=90°. ∵ BC∥AD, ∴ ∠D=∠EBC. ∵ 将斜边BD 绕点B 按顺时针方向 旋转至BC的位置, ∴ BD=CB. 在△ABD 和△ECB 中, ∠A=∠BEC, ∠D=∠EBC, BD=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ECB. (2) ∵ △ABD≌△ECB, ∴ DA=BE=3. ∵ ∠A=90°,∠ABD=30°, ∴ 易得BD=2AD=6. ∵ BC∥AD, ∴ ∠A+∠ABC=180°. ∴ ∠ABC=90°. ∴ ∠DBC=60°. ∴ 旋转过程中点D 经过的路径长为 60π×6 180 =2π. 6. C 解析:连接OD、OE.∵ AB= AC,∴ ∠ABC=∠C=70°.∵ OE= OB,∴ ∠OEB = ∠ABC =70°. ∴ ∠OEB=∠C=70°.∴ OE∥AC. 在△ABC 中,∠A+∠ABC+∠C= 180°,∴ ∠A =180°- ∠ABC - ∠C=180°-70°-70°=40°,OA= OD=12AB=5.∵ OE∥AC,OA= OD,∴ ∠A = ∠ADO =40°= ∠DOE.∴ DE︵ 的长度为40π×5180 = 10π 9 . 7. B 解析:连接OO',则OO'=OA. 由 折 叠 的 性 质,得 OA =O'A. ∴ OA=O'A=OO'=6.∴ △AOO' 是等 边 三 角 形.∴ ∠AOO'=60°. ∵ ∠AOB=90°,∴ ∠BOO'=30°. ∴ O'B︵ 的长是30π×6180 =π. 8. C 解析:如图,连接O1A、O2A、 O1B、O3B、O2C、O3C、O1O2、 O1O3、O2O3,则 易 得 △O1AO2、 △O1BO3、△O2CO3、△O1O2O3 都 是边长为1的正三角形.∴ 易得 S涂色部分=3S扇形O1O2A=3× 60π×12 360 = π 2 (cm2). (第8题) 9. π 解析:∵ 四边形ABCD 是正方 形,∴ AO=CO,DO=BO,AD= CB,∠DBE =45°.∴ △AOD ≌ △COB.∵ 正方形ABCD 的边长为 2,∴ BD= 22+22=22.∴ 涂色 部分的面积为扇形BED 的面积,即 S涂色部分=45π× (22)2 360 =π. 10. 9 4π 解 析:易 得 S涂色部分 = S扇形ADB + S△ABE' - (S△ADE + S扇形AEE')=S扇形ADB -S扇形AEE' = 90π×52 360 - 90π×42 360 = 9 4π. 11. (1) ☉O 扫过的部分如图①涂色 部分所示,涂色部分的面积为π× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63