2.5 直线与圆的位置关系-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

(2) 连接CD. ∵ CH⊥AB,CE⊥DB, ∴ ∠AHC=∠E=90°. ∵ AC︵=CD︵, ∴ AC=CD. 在△ACH 和△DCE 中, ∠AHC=∠E, ∠CAH=∠CDE, AC=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACH≌△DCE. ∴ AH=DE. 11. (1) ∵ CD 为圆的直径, ∴ ∠CAD=90°. ∵ ∠AFE=∠ADC=60°, ∴ ∠ACD=90°-60°=30°. ∴ ∠ABD=∠ACD=30°. (2) ① 如图,延长AB 至点M. ∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴ 易得∠CBM=∠ADC. 又∵ ∠AFE=∠ADC, ∴ ∠AFE=∠CBM. ∴ EF∥BC. ② 如图,过点D 作DG∥BC 交圆于 点G,连接AG、CG. ∵ DG∥BC, ∴ 易得BD︵=CG︵. ∴ BD=CG. ∵ 四边形ACGD 是圆内接四边形, ∴ 易得∠GDE=∠ACG. ∵ 易得EF∥DG, ∴ ∠DEF=∠GDE. ∴ ∠DEF=∠ACG. ∵ ∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, ∴ ∠AFE=∠AGC. ∵ AE=AC, ∴ △AEF≌△ACG. ∴ EF=CG. ∴ EF=BD. (第11题) 12. (1) ∵ 四 边 形 ABDE 内 接 于☉O, ∴ ∠B+∠AED=180°. 又∵ ∠DEC+∠AED=180°, ∴ ∠B=∠DEC. ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C. ∴ ∠DEC=∠C. ∴ DE=DC. (2) ∵ 四边形ABDE 内接于☉O, ∴ ∠A+∠BDE=180°. 又∵ ∠EDC+∠BDE=180°, ∴ ∠A=∠EDC. ∵ OA=OE, ∴ ∠A=∠OEA. 又∵ ∠OEA=∠CEF, ∴ ∠A=∠CEF. ∴ ∠EDC=∠CEF. ∵ ∠EDC + ∠DEC + ∠DCE = 180°, ∴ ∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°, 即∠DEF+∠DCE=180°. 又∵ ∠DCG+∠DCE=180°, ∴ ∠DEF=∠DCG. ∵ ∠EDC绕点D 按逆时针方向旋转 得到∠FDG, ∴ ∠EDC=∠FDG. ∴ ∠EDC - ∠FDC = ∠FDG - ∠FDC,即∠EDF=∠CDG. 在△EDF 和△CDG 中, ∠EDF=∠CDG, DE=DC, ∠DEF=∠DCG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EDF≌△CDG. ∴ DF=DG. 2.5　直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的 三种位置关系 1. A 2. D 3. 相交 4. 2 5. 直线BC与☉A的位置关系是相切. 如图,过点A 作AD⊥BC,垂足为D. ∵ AB=AC,∠BAC=120°, ∴ ∠B=∠C=30°. ∵ BC=43, ∴ BD=12BC=23. ∴ 易得AD=2. 又∵ ☉A 的半径为2, ∴ 直线BC与☉A的位置关系是相切. (第5题) 6. D 7. A 8. 相交 解析:∵ 直线y=kx+2 (k≠0)与y 轴的交点是B(0,2), ∴ AB=1.∴ 圆心A 到直线的距离 一定小于1.∵ ☉A 的半径为3,∴ 直 线和☉A 一定相交. 9. 2<r<6 解析:如图,到x轴的距 离等于2的点在直线y=2或直线 y=-2上.当☉P 与直线y=2相切 时,设切点为A,则r=AP=4-2= 2,此时☉P 上只有一个点到x 轴的 距离等于2.当☉P 与直线y=-2相 切时,设切点为B,则r=PB=4- (-2)=6,此时☉P 上有三个点到 x轴的距离等于2.由此可知,当☉P 上有且仅有两个点到x轴的距离等于 2时,直线y=-2与☉P 相离,直线 y=2与☉P 相交.∴ ☉P 的半径r 的取值范围是2<r<6. (第9题) 10. 4<t<8 解析:如图①,当点P 在射线OA 上,且☉P 与CD 相切时, 过点P 作PE⊥CD 于点E,∴ PE= 1cm.∵ ∠AOC=30°,∴ 易得OP= 2PE=2cm.∴ ☉P 的圆心在直线 AB 上向右运动了6-2=4(cm)后与 CD 相切.∴ ☉P 运动所用的时间= 4 1=4 (s).如图②,当点P 在射线OB 上,且☉P 与CD 相切时,过点P 作 PF⊥CD 于 点F,∴ PF=1cm. ∵ ∠AOC=∠DOB=30°,∴ 易得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 OP=2PF=2cm.∴ ☉P 的圆心在 直线AB 上向右运动了6+2=8(cm) 后与CD 相切.∴ ☉P 运动所用的时 间=81=8 (s).综上所述,当☉P 的 运动时间t(s)满足条件4<t<8时, ☉P 与直线CD 相交. ① ② (第10题) 11. (1) 如图①,过点C 作CD⊥AB 于点D. ∵ ∠ACB=90°,AC=4,BC=3, ∴ AB= 32+42=5. ∵ S△ABC= 1 2AC ·BC= 12AB · CD, ∴ CD=AC ·BC AB = 4×3 5 =2.4. 又∵ AB 与☉C相切, ∴ r=CD=2.4. (2) ① 由(1),知当AB 与☉C 相切 时,只有1个交点,此时r=2.4. ② 如图②,当AB 与☉C 相交且只有 1个交点时,易得3<r≤4. 综上所述,r=2.4或3<r≤4. (3) ① 如图③,当0<r<2.4时,AB 与☉C有0个交点. ② 如图①,当r=2.4时,AB 与☉C 有1个交点. ③ 如图④,当2.4<r≤3时,AB 与 ☉C有2个交点. ④ 如图②,当3<r≤4时,AB 与☉C 有1个交点. ⑤ 如图⑤,当r>4时,AB 与☉C 有 0个交点. 综上所述,当0<r<2.4或r>4时, AB 与☉C有0个交点;当r=2.4或 3<r≤4时,AB 与☉C 有1个交点; 当2.4<r≤3时,AB 与☉C 有2个 交点. (第11题) 12. 4cm或2cm 解析:设☉O 的半 径为rcm.由题意,易知需要分两种 情况进行讨论:① 如图①,当直线l1、 l2在圆心O 同侧时,易得r-1=3,解 得r=4.② 如图②,当直线l1、l2 在 圆心O 异侧时,易得r+1=3,解得 r=2.综上所述,☉O 的半径为4cm 或2cm. (第12题) 13. (1) 1. (2) 2. 解析:如图,设☉P 与直线l 交于点F、E.当点D、F 或点B、E 重 合时,正方形ABCD 与☉P 只有一个 公共点,此时OP=1+1=2. (3) 当正方形ABCD 与☉P 的公共 点个数为0时,OP>2; 当正方形ABCD 与☉P 的公共点个 数为1时,OP=2; 当正方形ABCD 与☉P 的公共点个 数为2时,2-1<OP<2; 当正方形ABCD 与☉P 的公共点个 数为4时,OP=0或OP=2-1; 当正方形ABCD 与☉P 的公共点个 数为6时,0<OP<2-1. (第13题) 第2课时 圆的切线的判定 1. D 2. C 3. 答案不唯一,如 ∠TAC=∠B 4. 相切 5. (1) 连接OA. ∵ ∠C=60°, ∴ ∠BOD=120°. 又∵ AB=AD, ∴ ∠AOB=∠AOD=60°. 又∵ OA=OD, ∴ △AOD 为等边三角形. ∴ AD=OD. ∵ AB=AD,OB=OD, ∴ AB=AD=OB=OD. ∴ 四边形ABOD 为菱形. (2) AM 与☉O 相切. 理由:∵ △AOD 为等边三角形, ∴ ∠ADO=∠OAD=60°. ∴ ∠ADM=120°. 又∵ OD=DM,OD=AD, ∴ DM=AD. ∴ ∠DAM=30°. ∴ ∠OAM=90°. 又∵ OA 为☉O 的半径, ∴ AM 与☉O 相切. 6. C 解析:如图,连接DG、AG、EF, 过点G 作GH⊥AD 于点 H,连接 OD.∵ G 是BC 的中点,∴ 易得 AG=DG.∴ GH 垂 直 平 分 AD. ∴ 点 O 在 HG 上.∵ AD∥BC, ∴ HG⊥BC.∵ OG 是☉O 的半径, ∴ BC 与☉O 相切.∵ OG=OD, ∴ O 不是HG 的中点.∴ 圆心O 不 是AC 与BD 的交点.∵ ∠ADF= ∠DAE=90°,∴ ∠AEF=90°.∴ 四 边形 AEFD 为 ☉O 的 内 接 矩 形. ∴ AF 与DE 的交点是☉O 的圆心. ∴ ①错误,②③正确. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 7. B 解析:如图,∵ 过格点A、B、C 作一圆弧,∴ 易得三点所在的圆的圆 心为O'(2,0).只有O'B⊥EF 时,BF 与圆相切,此时E(1,3),F(5,1). ∴ 选项所给的格点中,与点B 的连线 能够与该圆弧相切的是点(1,3). (第7题) 8. ②③④ 解析:如图,连接 OB. ∵ OA=OB,∴ ∠BAC=∠ABO. ∵ ∠ACB = 90°,∠ABC = 60°, ∴ ∠BAC=30°.∴ ∠ABO=30°. ∴ ∠OBC =30°.∴ 易 得 BC = 3 2OB ,即BC= 32OA.∴ ①错误. ∵ ∠OBC=30°,∠ACB=90°,∴ 易 得OC= 12OB= 1 2OA ,即 OA= 2OC.∴ ②正 确.如 图,连 接 AD. ∵ ∠ACB=90°,∴ AC⊥BD.∴ 易 得 AD = AB.∵ ∠ABC =60°, ∴ △ABD 为等边三角形.∴ AD= AB=BD.∴ AD︵=AB︵=BD︵.∴ A、 B、D 是☉O 的三等分点.∴ ③正确. ∵ ∠ABO=∠OBC=30°,∴ 点O 在 ∠ABC的平分线上.∴ 点O 到直线 AB 的距离等于OC 的长,即以点O 为圆心、OC 长为半径的圆与AB 相 切.∴ ④正确.综上所述,正确的是② ③④. (第8题) 9. (1) 直线CE 与☉O 相切. 理由:连接OD、BD. ∵ CO 平分∠BCD, ∴ ∠DCO=∠BCO. ∵ OD=OC=OB, ∴ ∠ODC = ∠OCD = ∠OCB = ∠OBC. ∴ △OCD≌△OCB. ∴ CD=CB. ∴ CD︵=CB︵. ∴ 易得OC⊥BD. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ BD⊥AE. ∵ AE⊥CE, ∴ BD∥CE. ∴ OC⊥CE. ∵ OC是☉O 的半径, ∴ 直线CE 与☉O 相切. (2) 设OC、BD 交于点F. ∵ ∠DFC=∠FCE=∠E=90°, ∴ 四边形CEDF 是矩形. ∴ DF=CE=3. ∴ BD=2DF=6. ∵ AD=2, ∴ AB= AD2+BD2= 22+62= 2 10. 10. (1) ∵ 四 边 形 ABCD 内 接 于☉O, ∴ ∠ABC+∠ADC=180°. ∵ ∠ADE+∠ADC=180°, ∴ ∠ABC=∠ADE. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB. ∵ ∠ACB=∠ADB, ∴ ∠ADB=∠ADE. ∴ DA 平分∠BDE. (2) 连接OB、OC、OA. ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAD=∠ADE. 由(1),知∠ADB=∠ADE, ∴ ∠BAD=∠ADB. ∴ AB=BD. ∵ CE=BD, ∴ AB=CE. ∴ 四边形ABCE 是平行四边形. ∴ BC∥AE. ∵ OB=OC, ∴ 点O 在线段BC的垂直平分线上. ∵ AB=AC, ∴ 点A 在线段BC的垂直平分线上. ∴ OA 垂直平分BC. ∴ OA⊥AE. ∵ OA 为☉O 的半径, ∴ AE 是☉O 的切线. 判定切线的常见方法 要说明直线与圆相切,关键就 是说明这条直线与圆的半径垂直, 往往有两种思路:① 如果直线过圆 上一个已知点,那么连接圆心与这 个已知点,证明这条半径与直线垂 直;② 如果直线没有过圆上的已知 点,那么过圆心作这条直线的垂 线,证明圆心到这条直线的距离等 于圆的半径. 11. (1) 直线AF 与☉O 相切. 理由:∵ ∠FAE=2∠ABD,∠FOA= 2∠ABD, ∴ ∠FAE=∠FOA. ∵ AE⊥BD, ∴ ∠AEO=90°. ∴ ∠FOA+∠EAO=90°. ∴ ∠FAE + ∠EAO = 90°,即 ∠FAO=90°. ∴ OA⊥FA. ∵ OA 为☉O 的半径, ∴ 直线AF 与☉O 相切. (2) 如图,延长AE 交☉O 于点H,连 接BH. ∵ BD 为☉O 的直径,AE⊥BD, ∴ BD 为AH 的垂直平分线. ∴ BA=BH. ∵ AB=AC, ∴ BH=AC. ∴ BH︵=AC︵. ∴ 易得AH︵=BC︵. ∴ AH=BC=4. ∴ AE=12AH=2. 设☉O 的半径为r,则OE=OD- DE=r-1, 在Rt△OAE 中,AE2+OE2=OA2, ∴ 22+(r-1)2=r2,解得r=2.5. ∴ ☉O 的半径为2.5. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 第3课时 直线与圆相切的性质 1. A 2. C 3. 23 4. 2 5. (1) 如图,连接CE、OA. ∵ BC是☉O 的直径, ∴ ∠BEC=∠BAC=90°. ∵ ∠AEB=110°, ∴ ∠AEC=110°-90°=20°. ∴ ∠AOD=2∠AEC=40°. ∵ AD 与☉O 相切于点A, ∴ OA⊥AD. ∴ ∠OAD=90°. ∴ ∠D=90°-∠AOD=50°. (2) 由(1),知∠BAC=∠OAD=90°, ∴ ∠BAO + ∠OAC = ∠CAD + ∠OAC=90°. ∴ ∠CAD=∠BAO. ∵ OA=OB, ∴ ∠BAO=∠ABC. ∴ ∠CAD=∠ABC. (第5题) 6. B 7. B 解析:∵ BD 与☉O 相切, ∴ OB⊥BD.∴ ∠OBC+∠CBD= 90°.∵ OA ⊥OD,∴ ∠OAC + ∠ACO = 90°.∵ OA = OB, ∴ ∠OAC= ∠OBC.∴ ∠CBD = ∠ACO. ∵ ∠BCD = ∠ACO, ∴ ∠BCD=∠CBD.∴ BD=CD. ∴ OD =OC +CD =1+BD. ∵ 在 Rt△OBD 中,OD2 =OB2 + BD2,OB=OA=3,∴ (1+BD)2= 32+BD2.∴ BD=4. 8. 8 5 解析:如图,连接EO 并延长, 交AB 于点H,连接AO.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=AD,AB∥ CD,∠D=∠DAH=90°.∵ 边CD 与☉O 相切于点E,∴ HE⊥CD. ∴ ∠DEH = 90°,HE ⊥ AB. ∴ ∠AHO =90°,AH = 12 AB. ∵ ∠DAH=∠D=∠DEH =90°, ∴ 四边形AHED 是矩形.∴ HE= AD.设OH=x,则AD=AB=HE= x + 1.∴ AH = x+12 .∵ 在 Rt△AHO 中,由勾股定理,得AO2= AH2+OH2,∴ 12= x+12 2 +x2, 解得x1= 3 5 ,x2=-1(不合题意,舍 去).∴ AD=85.∴ 正方形ABCD 的边长为8 5. (第8题) 9. 4 解析:如图,连接EO 并延长, 交CD'于点G,连接DF.由题意,易 得B'C=BC=4,CD=AB=5, ∠B'=∠B=90°.∵ A'B'与☉O 相 切于点E,∴ GE⊥A'B'.又∵ 易知 A'B'∥CD',∴ GE⊥CD'.∴ CG= GF=12CF.∵ 易得四边形B'CGE 为矩形,∴ EG=B'C=4.∵ OE= OC=12CD=2.5 ,∴ OG=EG- OE=4-2.5=1.5.∴ 在Rt△OCG 中, CG = OC2-OG2 = 2.52-1.52=2.∴ CF=2CG=4. (第9题) 10. (1) ∵ PA、PB 是☉O 的切线, OA、OB 是☉O 的半径, ∴ OA⊥PA,OB⊥PB. ∵ OC∥PA,CD⊥AP, ∴ CD⊥OC. ∴ ∠OAD=∠CDA=∠OCD=90°. ∴ 四边形OADC是矩形. ∴ OC=AD. (2) 设OC=AD=x. ∵ 四边形OADC 是矩形,☉O 的半 径是3,PA=9, ∴ OA=OB=CD=3,PD=PA- AD=9-x. ∵ OC∥PA, ∴ ∠OCB=∠P. ∵ OB⊥PB,CD⊥AP, ∴ ∠OBC=∠CDP=90°. 在△OCB 和△CPD 中, ∠OCB=∠P, ∠OBC=∠CDP, OB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OCB≌△CPD. ∴ BC=DP=9-x. 在 Rt△OCB 中,由 勾 股 定 理,得 OC2=OB2+BC2, ∴ x2=32+(9-x)2,解得x=5. ∴ OC=5. 11. A 解析:如图,设AC 与☉O 相 切于点D,AB 与☉O 相切于点E,连 接OD、OE、OA.设☉O 的半径为r. ∵ ∠C =90°,AC =8,AB =10, ∴ BC = AB2-AC2 = 6. ∵ S△APB=S△APO+S△AOB,∴ 1 2AP · BC=12AP ·OD+12AB ·OE,即 1 2×2×6= 1 2×2r+ 1 2×10r ,解得 r=1.∴ ☉O 的半径为1. (第11题) 12. (1) ∵ OA=OB, ∴ ∠A=∠ABO. ∵ ∠A+∠ABO+∠AOB=180°, ∠ABO=30°, ∴ ∠AOB=180°-2∠ABO=120°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 ∵ 直线MN 与☉O 相切于点C,CE 为☉O 的直径, ∴ ∠ECM=90°. ∵ AB∥MN, ∴ ∠CDB=∠ECM=90°. ∴ ∠BOE=90°-∠ABO=60°. ∵ ∠BCE=12∠BOE , ∴ ∠BCE=30°. (2) 如图,连接OC. 易得∠COB=90°. ∵ CG⊥AB, ∴ ∠FGB=90°. ∵ ∠ABO=30°, ∴ ∠BFG=90°-∠ABO=60°. ∴ ∠CFO=∠BFG=60°. 在Rt△COF 中,OC=OA=3, ∴ 易得OF=3. (第12题) 第4课时 三角形的内切圆 1. B 2. C 3. 12 4. 129° 5. (1) 如图,连接OA、OB、OC、AI. ∵ AB=AC,OB=OC,OA=OA, ∴ △AOB≌△AOC. ∴ ∠BAO=∠CAO. ∴ AO 平分∠BAC. ∵ 点I是△ABC的内心, ∴ AI平分∠BAC. ∴ AO 与AI在同一条直线上. ∴ OA 所在的直线经过点I. (2) 如图,连接OD,则OD=OA. ∴ ∠OAD=∠ODA. ∴ 2∠OAD+∠AOD=180°. ∴ ∠OAD+12∠AOD=90°. ∵ ∠ABD=12∠AOD , ∴ ∠OAD+∠ABD=90°. ∵ 点I是△ABC的内心, ∴ ∠ABD=∠CBD. ∴ ∠ABD = ∠CBD = ∠CAD = ∠EAD. ∴ ∠IAE=∠OAD+∠EAD=90°. ∵ ∠DIA = ∠ABD + ∠BAO = ∠CAD+∠CAO=∠DAI, ∴ ID=AD. ∵ ∠DIA + ∠E =90°,∠DAI+ ∠DAE=90°, ∴ ∠E=∠DAE. ∴ ED=AD. ∴ ID=ED. ∴ D 是IE 的中点. (第5题) 6. D 7. C 解析:如图①,当∠A 是锐角 时,∵ 点 O 为 △ABC 的 外 心, ∠BOC=120°,∴ 易得∠A=60°. ∴ ∠ABC+∠ACB=120°.∵ 点I 为 △ABC 的 内 心,∴ ∠IBC + ∠ICB=60°.∴ ∠BIC=120°.如图 ②,当∠A 是钝角时,∵ ∠BOC= 120°, ∴ 易 得 ∠A = 120°. ∴ ∠ABC+∠ACB=60°.∵ 点I为 △ABC的内心,∴ ∠IBC+∠ICB= 30°.∴ ∠BIC=150°.综 上 所 述, ∠BIC的度数为120°或150°. (第7题) 8. 4 解析:如图,延长ID 至点M, 使 DM =ID,连 接 CM,则IM = 2ID=10.∵ 点I为△ABC 的内心, ∴ ∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB. ∵ BD︵=BD︵,∴ ∠BAD=∠BCD,即 ∠IAB = ∠BCD.∴ ∠IAC = ∠IAB = ∠BCD.∵ ∠DIC = ∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+ ∠ICB,∴ ∠DIC=∠DCI.∴ ID= CD.∵ DM =ID,∴ ID=CD= DM =5.∴ 易 得 ∠ICM =90°. ∴ CM= IM2-IC2= 102-62= 8.∵ AI=2CD,∴ AI=10.∴ AI= IM.又∵ E 为AC 的中点,∴ IE 为 △ACM 的 中 位 线. ∴ IE = 1 2CM=4. (第8题) 9. 22 解析:如图,过点I作ID⊥ AB 于点D,IE⊥BC 于点E,IF⊥ AC 于 点 F,连 接 IA、IB、IC. ∵ ∠ACB=90°,AC=5,BC=12, AM =1,∴ AB= AC2+BC2 = 52+122 = 13.∵ ∠IEC = ∠IFC=∠ACB=90°,∴ 四 边 形 IECF 是矩形.∵ 点I为△ABC的内 心,∴ ID =IE=IF.∴ 四 边 形 IECF 是正方形.设CF=IF=ID= IE=r.∵ S△AIB+S△BIC+S△AIC= S△ABC,∴ 1 2×13r+ 1 2×12r+ 1 2× 5r=12×12×5 ,解得r=2.∴ CF= IF=2.∵ ∠AFI=90°,MF=AC- CF-AM=5-2-1=2,∴ IM= IF2+MF2= 22+22=22. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 10. (2,3) 解析:如图,点I(2,3)即 为△ABC的内心. (第10题) 11. (1) 如图①,点P 即为所求作. (2) 如图②,点Q 即为所求作. (第11题) 12. (1) 如 图,连 接 AE、CE、IE、 GE、EF. ∵ ☉E 是△ACD 的内切圆, ∴ ∠ICE = ∠GCE,∠CIE = ∠CGE=90°. 又∵ CE=CE, ∴ △CIE≌△CGE. ∴ CI=CG. 同理,可得AI=AF. ∵ AC=BC,CI=CG, ∴ AC-CI=BC-CG,即AI=BG. ∴ AF=BG. (2) EH=12AB. 理由:如图,连接BE. 在△ACE 和△BCE 中, AC=BC, ∠ACE=∠BCE, CE=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△BCE. ∴ ∠AEC=∠BEC,AE=BE. ∵ ☉E 是△ACD 的内切圆, ∴ ∠ACE=∠DCE= 12 ∠ACD , ∠CAE=∠FAE=12∠CAD. ∴ ∠AEC = 180°- (∠ACE + ∠CAE)=180°- 12 (∠ACD + ∠CAD). ∵ ∠ACD + ∠CAD = 180°- ∠ADC,∠ADC=90°, ∴ ∠AEC=180°- 12 × (180°- 90°)=135°. ∴ ∠BEC=135°. ∴ ∠AEB = 360° - ∠AEC - ∠BEC=90°. 又∵ AE=BE, ∴ △ABE 为等腰直角三角形. ∵ EH⊥AB, ∴ AH=BH,即H 为AB 的中点. ∴ EH=12AB. (第12题) 解决含60°、90°、120°角的 三角形的内切圆的相关 问题的一般方法 解决含60°、90°、120°角的三角 形的内切圆的相关问题时,常常利 用内切圆的性质求得这个特殊角 的内心角(即特殊角对边的两个顶 点分别与内心连接而成的角)的度 数,再结合图形的相关性质求出相 关的边长或角的度数. 13. (1) ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠ABC=60°. ∵ BF 为等边三角形ABC 的角平 分线, ∴ ∠PBE = 12∠ABC = 30° , BF⊥AC. 又∵ PE⊥BC,即∠PEB=90°, ∴ 易得PE=12BP. ∵ PF=12BP , ∴ PE=PF. ∵ 点P 为△ABC的“准内心”,PD⊥ AB,PE⊥BC, ∴ PD=PE. ∴ PE=PD=PF. ∴ 点P 是△ABC的内心. (2) ∵ △ABC 的“准内心”P 在AC 上,PD⊥AB,∠C=90°, ∴ PD=PC. 又∵ PC=12AP , ∴ PD=12AP. ∴ 易得∠A=30°. 第5课时 切线长定理 1. A 2. D 3. 219 4. 29 5. (1) AD∥OE. 理由:∵ CE、BE 是☉O 的切线, ∴ ∠ODE=∠OBE=90°. 在Rt△DOE 和Rt△BOE 中, OD=OB, OE=OE, ∴ Rt△DOE≌Rt△BOE. ∴ ∠DOE=∠BOE. ∵ OA=OD, ∴ ∠ODA=∠OAD. ∵ ∠DOB = ∠DOE + ∠BOE = ∠ODA+∠OAD, ∵ ∠DOE=∠ODA, ∴ AD∥OE. (2) ∵ CE、BE 是☉O 的切线, ∴ DE=BE=6. ∴ CE=DE+CD=6+4=10. ∴ BC= CE2-BE2=8. 设OB=OD=r,则OC=8-r. ∵ CD2+OD2=OC2, ∴ 42+r2=(8-r)2,解得r=3,即 ☉O 的半径为3. 6. A 解析:∵ ☉O 与BC、AC、AB 分别切于点E、F、D,∴ AD=AF, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 BE=BD,CE=CF.∵ BE+CE= BC=6,∴ BD+CF=6.∵ △ABC 的周长为16,∴ AB+AC+BC=16. ∴ AB+AC=10,即 AD+BD+ AF+CF=10.∴ AD+AF=4. ∵ AD =AF,∴ AD =AF =2. ∵ ∠A=60°,∴ △ADF 是等边三角 形.∴ DF=AF=AD=2. 7. C 解析:设AE 的长为x.∵ CE 与半圆O 相切于点F,∴ AE=EF, BC=CF.∵ EF+FC+CD+ED= 12,∴ AE+ED+CD+BC=12,即 AD+CD+BC=12.∵ AD=CD= BC=AB,∴ 正方形ABCD 的边长为 4.在 Rt△CDE 中,ED2+CD2= CE2,即(4-x)2+42=(4+x)2,解得 x=1.∴ AE+EF+FC+BC+ AB=14.∴ 直角梯形ABCE 的周长 为14. 8. 43 解析:当射线BC 与☉A 相 切时(点C不与原点重合),BD 最长. 如图,过点B 作☉A 的切线BC'交 x轴于点D',连接AC'、AB.∵ 点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(0, 23),∴ OA=2,OB=23.∴ AB= OA2+OB2=4.∴ 易得∠ABO= 30°,∠OAB=60°.∵ BC'是☉A 的切 线,∴ OB=BC'=2 3.∴ 易 得 ∠ABO=∠ABC'=30°.∴ ∠OBD'= 60°.∵ ∠AOB=90°,∴ ∠AD'C'= 30°.∴ ∠ABC'=∠AD'C'.∴ AB= AD'.∵ AC'⊥BD',∴ BC'=C'D'. ∴ BD'=2BC'=43,即BD 长的最 大值为43. (第8题) 9. 13 解析:如图,过点O 分别作 OF⊥AB 于点F,OG⊥BC 于点G, OH⊥AC 于点H.∵ ☉O 是△ABC 的内切圆,∴ AF=AH,BF=BG, CG=CH.∵ DE 与☉O 相切,设切 点为 M,∴ ME=HE,MD=GD. ∵ △CDE 的 周 长 是 4,∴ CG+ CH=4.∴ CG=CH=2.设BG= BF=x,AF=AH=y,则AB=x+ y,BC =x +2,AC =y +2. ∵ ∠ACB=90°,∴ AB2=BC2+ AC2.∴ (x+y)2=(x+2)2+(y+ 2)2.化简,得xy=2(x+y)+4①. ∵ △ABC 的面积是30,∴ 1 2BC · AC=30.∴ (x+2)(y+2)=60. ∴ xy=56-2(x+y)②.由①②,得 x+y=13.∴ AB=13. (第9题) 10. (1) 如图,连接BO,延长AO 交 ☉O 于点D. ∵ PA、PB 是☉O 的切线,A、B 为 切点, ∴ ∠OBP=∠OAP=90°. ∴ ∠P+∠AOB=180°. ∵ ∠AOB+∠BOD=180°, ∴ ∠BOD=∠P. ∵ ∠AOC=∠P, ∴ ∠AOC=∠BOD. ∴ ∠COB+2∠AOC=180°. ∵ OC=OB, ∴ ∠BCO=∠CBO. ∴ ∠COB+2∠BCO=180°. ∴ ∠AOC=∠BCO. ∴ BC∥AO. (2) 如图,延长BC 交PA 于点E,过 点O 作OF⊥BC于点F. ∴ BF=CF=12BC= 1 2×10=5. ∵ CO=AO=13, ∴ 在Rt△COF 中,FO= CO2-CF2=12. 由(1),知∠OAP=90°,BC∥AO, ∴ ∠AEF=180°-∠OAP=90°. 又∵ FO⊥BC,即∠OFE=90°, ∴ 四边形AOFE 是矩形. ∴ AE=FO=12,EF=AO=13. ∵ PA、PB 是☉O 的切线,A、B 为 切点, ∴ PA=PB. 设PA=PB=x,则PE=x-12. ∵ ∠AEF=90°, ∴ ∠PEB=90°. ∵ BE=BF+EF=5+13=18,在 Rt△BPE 中,由勾股定理,得PB2= PE2+BE2, ∴ x2=(x-12)2+182,解得x=392. ∴ PA=392. (第10题) 11. (1) 如图,连接OP. ∵ PA、PC 分别与☉O 相切于点 A、C, ∴ PA=PC,OA⊥PA,OC⊥PC. ∵ OA=OC,OP=OP, ∴ △OPA≌△OPC. ∴ ∠AOP=∠COP. ∵ PQ⊥PA, ∴ PQ∥AB. ∴ ∠QPO=∠AOP. ∴ ∠COP=∠QPO. ∴ OQ=PQ. (2) 设 OA =r,则 PA =PC = AB=2r. ∵ OB=OC, ∴ ∠OBC=∠OCB. 由(1),得PQ∥AB, ∴ ∠QDC=∠OBC. ∵ ∠OCB=∠QCD, ∴ ∠QCD=∠QDC. ∴ CQ=QD=6. ∵ OQ=PQ, ∴ OQ-QC=PQ-QD,即 OC= PD=r. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 ∴ PQ=QD+PD=6+r. ∵ PC是☉O 的切线, ∴ OC⊥PC. ∴ ∠OCP=∠PCQ=90°. 在 Rt△PCQ 中,由 勾 股 定 理,得 PQ2=PC2+CQ2,即(6+r)2= (2r)2+62,解得r=4或r=0(不合题 意,舍去). ∴ OA=4,AP=8. ∴ 在Rt△AOP 中,OP= OA2+AP2=45. ∵ OC=PD,OB=OC, ∴ OB=PD. 又∵ PQ∥AB,即OB∥PD, ∴ 四边形OBDP 是平行四边形. ∴ BD=OP=45. (第11题) 12. (1) △PEF 的周长=2PA. ∵ PA、PB 分别切☉O 于点A、B, ∴ PA=PB. ∵ PA、EF 分别切☉O 于点A、C, ∴ EA=EC. 同理,可得FC=FB. ∴ △PEF 的 周 长 =PE+EF+ PF=PE+EC+FC+PF=PE+ EA+FB+PF=PA+PB=2PA. (2) 6. (3) 如图①②,☉O 即为所求作. (4) 如图①,设☉O 分别与射线PM、 射线PN、边EF 相切于点A、B、C, 连接OA、OB、OC. ∴ AE=CE,∠OBF=90°,∠OCF= 90°. ∵ EF⊥PN, ∴ ∠CFB=90°. ∴ 四边形OCFB 为矩形. 又∵ OC=OB, ∴ 四边形OCFB 为正方形. ∴ CF=BF=OC. 设☉O 的半径为r,则CF=BF=r. ∵ 在Rt△PEF 中,EF=3,PF=4, ∴ PE= PF2+EF2 =5,AE= CE=3-r. ∵ PA=PB, ∴ PE+AE=PF+BF,即5+3- r=4+r,解得r=2. ∴ ☉O 的半径为2. 如图②,设☉O 的半径为R. ∵ EF⊥PN, ∴ ∠EFP=90°. ∵ 在Rt△PEF 中,EF=3,PF=4, ∴ PE= PF2+EF2=5. ∵ 易得S△PEF= 1 2 (EF+PF+PE)· R=12EF ·PF, ∴ 1 2× (3+4+5)R=12×3×4 ,解 得R=1. ∴ ☉O 的半径为1. 综上所述,☉O 的半径为2或1. (第12题) 求与多边形各边(或延长线) 相切的圆的半径的一般方法 解决与多边形各边(或延长 线)相切的圆的半径问题时,常常 将这个多边形分割(或补充)成以 圆心到各边的距离为高的几个三 角形的和(或差),运用整体的数学 思想建立方程求得这个圆的半径. 当然,有时也需要根据问题隐含的 条件考虑所有可能出现的情形,分 类讨论进行解答. 专题特训四　直线与圆的 位置关系中的分类讨论 1. r=4或r>8 解析:如图,过点P 作PQ⊥OA 于点Q,则∠OQP=90°. ∵ ∠AOB=30°,∴ 易得PQ=12OP= 4.∴ 当r=4时,☉P 与射线OA 相 切,此时只有一个交点.当r=OP=8 时,☉P 与射线OA 有 两 个 交 点. ∴ 当r>8时,☉P 与射线OA 只有 一个交点.综上所述,r的取值范围是 r=4或r>8. (第1题) 2. 22<r≤4 解析:根据等腰直角 三角形的性质,求得圆心O 到直线 AB 的距离是22.若☉O 与直线AB 相切,则此时圆的半径是2 2,即 ∠BAC 的边AB 与☉O 有一个公共 点.∴ 若∠BAC的边AB 与☉O 有两 个公共点,则r的取值范围是22< r≤4. 3. D 解析:∵ 直线a⊥b,∴ ☉O 与 直线a 相切时,切点为 H.∴ OH= 1cm.如图①,当点O 在点H 的左侧, ☉O 与直线a 相切时,OP=PH- OH=4-1=3(cm).∴ t=32. 如图 ②,当点O 在点H 的右侧,☉O 与直 线a 相切时,OP=PH+OH=4+ 1=5(cm).∴ t=52.∴ 当☉O 与直 线a相切时,t的值为32 或5 2. (第3题) 4. 1<d<5 解析:当☉P 位于y轴 的左侧且与y轴相切时,平移的距离 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 44 2.5　直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的三种位置关系 ▶ “答案与解析”见P22 1. (2024·武汉期末)在平面直角坐标系中,以 点(-3,4)为圆心、3为半径的圆 ( ) A. 与x轴相离,与y轴相切 B. 与x轴相离,与y轴相交 C. 与x轴相切,与y轴相交 D. 与x轴相切,与y轴相离 2. 已知☉O 的半径是一元二次方程x2-7x+ 12=0的一个根,圆心O 到直线l的距离d= 3,则直线l与☉O 的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离或相切 D. 相交或相切 (第3题) 3. 如图,在矩形ABCD 中,BC= 5,AB=2,☉O 是以BC 为直径 的圆,则直线AD 与☉O 的位 置关系是 . 4. 在▱ABCD 中,BC=5,S▱ABCD=20.如果以 顶点C 为圆心、BC 为半径作☉C,那么☉C 与边 AD 所 在 直 线 的 公 共 点 的 个 数 是 . 5. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=43,以 点A 为圆心、2为半径作☉A,当∠BAC= 120°时,直线BC 与☉A 的位置关系如何? 证明你的结论. (第5题) 6. 已知☉O 的半径为2,点P 在直线l上.若 OP=2,则直线l与☉O的位置关系是( ) A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 7. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC≠BC, M 是边AC 上的动点.过点M 作MN∥AB 交BC 于点N,现将△MNC 沿MN 折叠,得 到△MNP.若点P 在AB 上,则以MN 为直 径的圆与直线AB 的位置关系是 ( ) (第7题) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 8. 在平面直角坐标系中,以点A(0,3)为圆心、3 为半径作☉A,则直线y=kx+2(k≠0)与 ☉A 的位置关系是 (填“相切”“相 交”或“相离”). 9. 在平面直角坐标系中,以点P(3,4)为圆心画 ☉P.若该圆上有且仅有两个点到x 轴的距 离等于2,则☉P 的半径r 的取值范围是 . 10. 如图,直线AB,CD 相交于点O,∠AOC= 30°,半径为1cm的☉P 的圆心在直线AB 上,开始时,PO=6cm.如果☉P 以1cm/s 的速度向右运动,那么当☉P 的运动时间 t(s)满足条件 时,☉P 与直线CD 相交. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 45 11. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC= 4,BC=3,以点C 为圆心、r为半径 画圆. (1) 当AB 与☉C 相切时,求r的值. (2) 当AB 与☉C 只有1个交点时,求r满 足的条件. (3) 随着r的变化,AB 与☉C 的交点个数 有哪些变化? 写出相应的r 的值或取值 范围. (第11题) 12. 已知直线l1∥l2,直线l1、l2之间的 距离是3cm,圆心O到直线l1的距 离是1cm.如果☉O与直线l1、l2共 有三个公共点,那么☉O的半径为 . 13. 新考法·结论开放型 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,☉P 的半径 为1,正方形ABCD 的中心O 和 ☉P 的圆心P 都在直线l上,线段OP 的 长叫做它们的中心距,☉P 随着点P 在直 线l上的运动而运动. (1) OD 的长为 . (2) 当正方形ABCD 与☉P 只有一个公共 点时,中心距OP 的长为 . (3) 随着点P 在直线l上的运动,正方形 ABCD 与☉P 的公共点的个数还有哪些变 化? 请写出相应OP 的值或取值范围(不必 写出计算过程). (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 46 第2课时 圆的切线的判定 ▶ “答案与解析”见P23 1. 如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上一点,D 是☉O 外一点,过点A 作AE⊥CD,垂足为 E,连接AC、OC.若要使CD 切☉O 于点C, 下列条件中,添加后不正确的是 ( ) A. OC∥AE B. ∠OAC=∠CAE C. ∠OCA=∠CAE D. OA=AC (第1题) (第2题) 2. 如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆O 上 (不与点A、B 重合),DE⊥AB 于点D,交 BC 于点F,连接CE.下列条件中,能判定 CE 是切线的为 ( ) A. ∠E=∠CFE B. ∠E=∠ECF C. ∠ECF=∠EFC D. ∠ECF=60° 3. 如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,要 使得直线AT 是☉O 的切线,需要添加的一 个条件是 (写出一个即可). (第3题) (第4题) 4. 如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为边BC 的 中点,过点D 作DE⊥AC,垂足为E,☉O 经 过A、B、D 三点,则DE 与☉O 的位置关系是 . 5. 如图,☉O 的半径为2,四边形ABCD 内接于 ☉O,∠C=60°,AB=AD,连接OB、OD,延 长OD 至点M,使得DM=OD,连接AM. (1) 求证:四边形ABOD 为菱形. (2) 试判断AM 与☉O 的位置关系,并说明 理由. (第5题) 6. 如图,在矩形ABCD 中,G 是BC 的 中点,过A、D、G 三点的☉O 与边 AB、CD 分别交于点E、F.有下列说 法:① AC 与BD 的交点是☉O 的圆心; ② AF 与DE 的交点是☉O 的圆心;③ BC 与☉O 相切.其中,说法正确的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (第6题) (第7题) (第8题) 7. 如图,在平面直角坐标系中,过格点A、B、C 作一圆弧,下列格点中,与点B 的连线能够 与该圆弧相切的是 ( ) A. 点(0,3) B. 点(1,3) C. 点(6,0) D. 点(6,1) 8. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°,在边AC 上取点O 画 圆,使☉O 经过A、B 两点,延长BC 交☉O 于点D.有下列结论:① OA=BC; ② OA=2OC;③ A、B、D 是☉O 的三等分 点;④ 以点O 为圆心、OC 长为半径的圆与 AB相切.其中,正确的是 (填序号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 47 9. 如图,四边形ABCD 内接于☉O,AB 是☉O 的直径,CO 平分∠BCD,CE⊥AD,交AD 的延长线于点E. (1) 试判断直线CE 与☉O 的位置关系,并 说明理由. (2) 若CE=3,AD=2,求直径AB. (第9题) 10. ★如图,四边形ABCD 内接于☉O,AB= AC,延长 CD 至点E,使 CE=BD,连 接AE. (1) 求证:DA 平分∠BDE. (2) 若AB∥CD,求证:AE 是☉O 的切线. (第10题) 11. 如图,☉O 是△ABC 的外接圆,且 AB=AC,连接BO 并延长交☉O 于点D,过点A 作AE⊥BD,垂足 为E,点F 在BD 的延长线上,连接AF,使 ∠FAE=2∠ABD,连接OA、OC. (1) 试判断直线AF 与☉O 的位置关系,并 说明理由. (2) 若DE=1,BC=4,求☉O 的半径. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 48 第3课时 直线与圆相切的性质 ▶ “答案与解析”见P25 1. (2024· 福 建)如图,点 A、B 在☉O 上, ∠AOB=72°,直线MN 与☉O 相切,切点为 C,且C为AB ︵ 的中点,则∠ACM 等于( ) A. 18° B. 30° C. 36° D. 72° (第1题) (第2题) 2. (2023·眉山)如图,AB 切☉O 于点B,连接 OA 交☉O 于点C,过点B 作BD∥OA 交 ☉O 于点D,连接CD.若∠OCD=25°,则 ∠A 的度数为 ( ) A. 25° B. 35° C. 40° D. 45° 3. 如图,BC 是☉O 的切线,B 是切点,连接CO 交☉O 于点D,延长CO 交☉O 于点A,连接 AB.若∠C=30°,OD=2,则 AB 的长为 . (第3题) 4. (2023·北京)如图,OA 是☉O 的半径,BC 是☉O 的弦,OA⊥BC 于点D,AE 是☉O 的 切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC= 45°,BC=2,则AE 的长为 . (第4题) 5. 如图,BC 是☉O 的直径,点A 在☉O 上,AD 与☉O 相切于点A,交BC 的延长线于点D, E 是AB ︵ 上一点,连接AB、AC、AE、BE. (1) 若∠AEB=110°,求∠D 的度数. (2) 求证:∠CAD=∠ABC. (第5题) 6. 如图,BC 为☉O 的直径,弦AD⊥BC 于点 E,连接AB,直线l与☉O 相切于点C,连接 OD 并延长交直线l 于点F.若 AE=2, ∠ABC=22.5°,则CF 的长为 ( ) (第6题) A. 2 B. 22 C. 23 D. 4 7. 如图,AB 是☉O 的弦,OA⊥OD,BD 与☉O 相切,AB、OD 相交于点C.若OA=3,OC= 1,则线段BD 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (第7题) (第8题) 8. 如图,正方形ABCD 的顶点A、B 都在☉O上, 且边CD 与☉O 相切于点E.如果☉O 的半径 为1,那么正方形ABCD 的边长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 49 9. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=5, BC=4,以CD 为直径作☉O,将矩 形ABCD 绕点C 旋转,使所得矩形 A'B'CD'的边A'B'与☉O 相切,切点为E, 边CD'与☉O 相交于点F,则CF 的长为 . (第9题) 10. (2024·西宁)如图,PA、PB 是☉O 的切 线,A、B 为切点,连接OA、OB,过点O 作 OC∥PA 交PB 于点C,过点C 作CD⊥ AP,垂足为D. (1) 求证:OC=AD. (2) 若☉O 的 半 径 是3,PA=9,求 OC 的长. (第10题) 11. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC= 8,AB=10,点P 在AC 上,AP= 2.若☉O 的圆心在线段BP 上,且 ☉O 与AB、AC 都相切,则☉O 的半径为 ( ) (第11题) A. 1 B. 5 4 C. 12 7 D. 9 4 12. (2024·天津)已知在△AOB 中, ∠ABO=30°,AB 为☉O 的弦,直 线MN 与☉O 相切于点C. (1) 如图①,若AB∥MN,直径CE 与AB 相交于点D,求∠AOB 和∠BCE 的度数. (2) 如图②,若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为 G,CG 与OB 相交于点F,OA=3,求线段 OF 的长. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 50 第4课时 三角形的内切圆 ▶ “答案与解析”见P26 1. 如图,点O 是△ABC 的内心,也是△DBC 的 外心.若∠A=84°,则∠D 的度数为 ( ) A. 42° B. 66° C. 76° D. 82° (第1题) (第2题) (第3题) 2. (2023·聊城)如图,点O 是△ABC 外接圆的 圆心,点I是△ABC 的内心,连接OB、IA. 若∠CAI=35°,则∠OBC 的度数为 ( ) A. 15° B. 17.5° C. 20° D. 25° 3. (2024·苏州期末)如图,△ABC 的周长是 18cm,☉O 是△ABC 的内切圆,过点O 作 EF∥AB,与AC、BC 分别交于点E、F.已知 AB=6cm,则△CEF 的周长为 cm. (第4题) 4. 如图,四边形ABCD 内接于 ☉O,点I 是△ABC 的内心, 点 E 在 AD 的 延 长 线 上, ∠CDE=78°,则∠AIC 的度 数为 . 5. (2024·镇江一模)如图,等腰三角形ABC 内 接于☉O,AB=AC,点I是△ABC 的内心, 连接BI并延长,交☉O 于点D,点E 在BD 的延长线上,满足∠EAD=∠CAD.求证: (1) OA 所在的直线经过点I. (2) D 是IE 的中点. (第5题) 6. 新考向·数学文化 (2024·滨州)刘徽(今山东 滨州人)是魏晋时期伟大的数学家,我国古典 数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数 学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视 一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股 容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多 种表达形式.如图,在Rt△ABC 中,∠C= 90°,AB、BC、CA 的长分别为c、a、b,则可以 用含c、a、b的式子表示出△ABC 的内切圆 直径d,下列表达式中,错误的是 ( ) (第6题) A. d=a+b-c B. d= 2aba+b+c C. d= 2(c-a)(c-b) D. d=|(a-b)(c-b)| 7. 已知△ABC 的外心为点O,内心为点I, ∠BOC=120°,则∠BIC 的度数为 ( ) A. 120° B. 130° C. 120°或150° D. 130°或150° 8. 如图,点I为△ABC 的内心,连接AI并延 长,交△ABC 的外接圆于点D,AI=2CD,E 为AC的中点,连接EI、IC.若IC=6,ID=5, 则IE 的长为 . (第8题) (第9题) 9. (2024·无锡梁溪期末)如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,AM=1,点I 为△ABC 的内心,连接IM,则IM 的长为 . 10. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的 小正方形组成,点A、B、C 在平面直角坐标 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 51 系中的坐标分别为(3,6)、(-3,3)、(7, -2),则△ABC 内心的坐标为 . (第10题) 11. 如图①②,在6×6的正方形网格中,有部分 网格线被擦去,点A、B、C 在格点(正方形 网格的交点)上. (1) 请 用 无 刻 度 的 直 尺 在 图①中 找 到 △ABC 的外心P. (2) 请 用 无 刻 度 的 直 尺 在 图②中 找 到 △ABC 的内心Q. (第11题) 12. ★如图,在等腰三角形 ABC 中, AC=BC,AD 是边BC 上的高, ☉E 是△ACD 的内切圆,分别与 边AD、CD、AC 相切于点F、G、I. (1) 求证:AF=BG. (2) 过点E 作EH⊥AB 于点H,试探究 EH 与AB 之间的数量关系,并说明理由. (第12题) 13. 到三角形的两边距离相等的点,叫 做此三角形的“准内心”.如图①, PD⊥AB,PE⊥BC.若PD=PE, 则点P为△ABC的“准内心”. (1) 如图②,BF 为等边三角形ABC 的角平 分线,△ABC 的“准内心”P 在BF 上, PD⊥AB,PE⊥BC,且PF=12BP. 求证: 点P 是△ABC 的内心. (2) 如图③,△ABC 为直角三角形,∠C= 90°,△ABC 的“准内心”P 在AC 上,PD⊥ AB.若PC=12AP ,求∠A 的度数. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 52 第5课时 切线长定理 ▶ “答案与解析”见P27 1. 如图,☉O 是△ABC 的内切圆,D、E 分别为 边AB、AC 上的点,且DE 为☉O 的切线.若 △ABC的周长为25,BC 的长是9,则△ADE 的周长是 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 16 (第1题) (第2题) 2. 如图,AB 是☉O 的直径,C 为☉O 外一点, CA、CD 是☉O 的切线,A、D 为切点,连接 BD、AD.如果∠C=48°,那么∠DBA 的度 数是 ( ) A. 32° B. 48° C. 60° D. 66° 3. 如图,PA、PB 是☉O 的切线,A、B 为切点, 点C、D在☉O上,连接AD、CD、BC.若∠P= 102°,则∠A+∠C= °. (第3题) (第4题) 4. 如图,在△ABC 中,∠ACB=58°,△ABC 的 内切圆☉O 与AB、AC 分别相切于点D、E, 连接 DE,BO 的延长线交DE 于点F,则 ∠BFD= °. 5. 如图,AB 为☉O 的直径,过圆外一点E 作 ☉O 的两条切线EC、EB,切点分别为D、B, EC 交BA 的延长线于点C,连接OE、AD、 OD. (1) AD 与OE 有怎样的位置关系? 请说明 理由. (2) 若EB=6,CD=4,求☉O 的半径. (第5题) 6. 如图,在△ABC 中,∠A=60°,BC=6,周长 为16.若☉O 与BC、AC、AB 分别切于点E、 F、D,连接DF,则DF 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 (第6题) (第7题) (第8题) 7. 如图,以正方形ABCD 的边AB 为直径作半 圆O,过点C 作直线切半圆于点F,交边AD 于点E.若△CDE 的周长为12,则直角梯形 ABCE 的周长为 ( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 8. 如图,点A 的坐标为(2,0),点B 的 坐标为(0,23),☉A 与y 轴相切, C是☉A 上的动点(点C不与原点重 合),射线BC 与x轴交于点D,则BD 长的 最大值为 . (第9题) 9. (2024·南京秦淮期末)如图,在 △ABC 中,∠ACB=90°,点D、E 分别在BC、AC 上,DE 与△ABC 的内切圆☉O 相切.若△ABC 的 面积是30,△CDE 的周长是4,则 AB 的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 53 10. 如图,PA、PB 是☉O 的切线,A、B 为 切 点,C 为 AB ︵ 上 的 一 点, ∠AOC=∠P. (1) 求证:BC∥AO. (2) 若BC=10,AO=13,求PA 的长. (第10题) 11. 如图,AB 为☉O 的直径,PA、PC 分别与 ☉O 相切于点A、C,PQ⊥PA,PQ 交OC 的延长线于点Q. (1) 求证:OQ=PQ. (2) 连接BC 并延长,交PQ 于点D,PA= AB,且CQ=6,求BD 的长. (第11题) 12. ★ 新考法·探究题 【探究问题】 (1) 如图①,PM、PN、EF 分别切 ☉O 于点A、B、C,猜想△PEF 的 周长与切线长PA 之间的数量关系并证明. 【变式迁移】 (2) 如果(1)中的条件不变,且点P 到点O 的距离为10cm,△PEF 的周长为16cm, 那么☉O 的半径为 cm. 【拓展提高】 如图②,E 是∠MPN 的边PM 上一点, EF⊥PN 于点F,☉O 与边EF 及射线 PM、射线PN 都相切. (3) 画出符合条件的☉O. (4) 若EF=3,PF=4,求☉O 的半径. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆