2.4 圆周角-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

9. 5x+2y≠9 解析:设直线AB 对 应的函数表达式为y=kx+b.把 A(1,2)、B (3,-3)代 入,得 k+b=2, 3k+b=-3, 解得 k=-52 , b=92. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直 线AB 对应的函数表达式为y= -52x+ 9 2.∵ A(1,2)、B(3,-3)、 C(x,y)三点可以确定一个圆,∴ 点 C不在直线AB 上.∴ y≠- 5 2x+ 9 2 ,即5x+2y≠9. 10. (1) ∵ D 是 △ABC 的 边 BC 的中点, ∴ BD=CD. ∵ BC∥EF,AD⊥EF, ∴ AD⊥BC. ∴ AB=AC. (2) 连接BO. ∵ D 是△ABC的边BC的中点, ∴ BD=CD. ∵ AD⊥BC, ∴ BO=CO. ∵ AO=CO, ∴ AO=BO=CO. ∴ 点O 是△ABC的外接圆的圆心. 11. 设点O 为等腰三角形ABC 外接 圆的圆心,连接AO 并延长,交BC 于 点D,连接OB、OC. ∵ AB=AC,OB=OC, ∴ 点A、O 都在线段BC 的垂直平分 线上. ∴ AD⊥BC,BD=CD=12BC= 5cm. 设等腰三角形ABC 外接圆的半径为 Rcm,则OA=OB=OC=Rcm. 在 Rt△ABD 中,由 勾 股 定 理,得 AD= AB2-BD2=12cm. ∴ OD=AD-OA=(12-R)cm. 在 Rt△OBD 中,由 勾 股 定 理,得 OB2=OD2+BD2,即 R2=(12- R)2+52,解得R=16924. ∴ 等腰三角形ABC外接圆的半径为 169 24cm. 求三角形外接圆半径的 一般方法 直角三角形外接圆的圆心为 斜边的中点,其外接圆的半径为斜 边的一半.对于求解等腰三角形的 外接圆的半径问题,往往先确定其 外接圆圆心的位置,其外接圆圆心 必在底边的垂直平分线上,再根据 外接圆圆心到各顶点的距离相等, 构造以等腰三角形底边的一半和 圆的半径为边的直角三角形,运用 勾股定理解决问题. 12. D 解析:∵ ∠BAC=90°,AD⊥ BC,∴ R=12BC ,R1= 1 2AB ,R2= 1 2AC.∵ BC2=AB2+AC2,∴ R2= R21+R22. 13. (1) ∵ AB=AC,∠BAC=50°, ∴ ∠ABC= 12 (180°-∠BAC)= 65°. ∵ AE∥BC, ∴ ∠BAE=180°-∠ABC=115°. ∴ ∠DAC = ∠BAE - ∠BAC - ∠DAE=15°. (2) 四边形ADCE 为菱形. 理由:∵ 点D 为△ABC的外心, ∴ AD=BD=CD. ∵ ∠BAC=∠DAE, ∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中, BA=CA, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△CAE. ∴ BD=CE. 又∵ AD=AE, ∴ AD=AE=CD=CE. ∴ 四边形ADCE 为菱形. 2.4　圆 周 角 第1课时 圆周角的概念与性质 1. B 2. D 3. 50 4. 100° 5. (1) ∵ 点A、B、C、D 都在☉O 上, OC⊥AB, ∴ AC︵=BC︵. ∴ ∠AOC=∠BOC. ∵ ∠ADC=30°, ∴ ∠AOC=2∠ADC=60°. ∴ ∠BOC=60°. (2) 由(1),知∠AOC=∠BOC=60°. ∵ OB=OC=OA, ∴ △BOC 和 △AOC 都 是 等 边 三 角形. ∴ BC=OB=OC=OA=AC. ∴ 四边形AOBC是菱形. 6. B 7. C 解 析:∵ ∠BFC =18°, ∴ ∠BAC=2∠BFC=36°.∵ AB= AC,∴ ∠ABC = ∠ACB = 12 × (180°-36°)=72°.又∵ EF 是线段 AB 的垂直平分线,∴ AD=BD. ∴ ∠BAC = ∠ABD = 36°. ∴ ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 72°-36°=36°. 8. 60 解析:设AC 与OB 相交于点 D.∵ ∠O+∠A+∠ADO=180°, ∠B + ∠C + ∠BDC = 180°, ∠ADO=∠BDC,∴ ∠O+∠A= ∠B+∠C.∴ ∠O-∠C=∠B- ∠A = 30°.∵ ∠C = 12 ∠O , ∴ ∠O-12∠O=30°.∴ ∠O=60°. 9. 240 解析:如图,连接OC、OE. ∵ ∠CAE = 60°,∴ ∠COE = 2∠CAE=2×60°=120°.∴ ∠B+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 ∠F 的度数= 12 (AEC︵ 的度数+ ABE︵ 的 度 数)= 12 (周 角 + ∠COE)=12× (360°+120°)=240°. (第9题) 10. 75° 解析:如图,连接OA、OB、 OC、OD.∵ OA=OB=OC=OD=1, AB= 2,CD=1,∴ OA2+OB2= AB2,OC=OD=CD.∴ △AOB 是等 腰直角三角形,△COD 是等边三角 形.∴ ∠OAB = ∠OBA = 45°, ∠ODC=∠OCD=60°.∵ ∠CDB= ∠CAB,∠ODB= ∠OBD,∴ α= 180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD= 180° - ∠OBA - (∠CDB + ∠ODB)=180°-45°-60°=75°. (第10题) 11. ∵ AD⊥BC, ∴ ∠AGB=∠DGC=90°. ∴ ∠A+∠B=90°. ∵ AC︵=AC︵, ∴ ∠B=∠D. ∴ ∠A+∠D=90°. ∵ E 为AB 的中点, ∴ EA=EG. ∴ ∠A=∠AGE. 又∵ ∠AGE=∠DGF, ∴ ∠A=∠DGF. ∴ ∠DGF+∠D=90°. ∴ ∠DFG=90°. ∴ EF⊥CD. 12. (1) 如图,连接OA、OC,过点O 作OH⊥AC于点H. ∵ ∠ABC=120°,BM 平分∠ABC, ∴ ∠MBA=∠MBC=12∠ABC= 60°. ∵ AM︵=AM︵,CM︵=CM︵, ∴ ∠ACM=∠ABM=60°,∠MAC= ∠MBC=60°. ∴ ∠AMC=60°. ∴ △AMC 是等边三角形,∠AOC= 2∠AMC=120°. ∵ AO=CO, ∴ ∠OAC=∠OCA=30°. ∵ OH⊥AC,AC=23, ∴ AH=CH=12AC=3. ∵ 在Rt△AOH 中,∠OAH=30°, ∴ 易得OA=2OH. ∴ 易得OH=1,OA=2. ∴ ☉O 的半径为2. (2) AB+BC=BM. 如图,在 BM 上截取BE=BC,连 接CE. ∵ ∠MBC=60°, ∴ △EBC是等边三角形. ∴ BC=EC,∠BCE=60°. ∴ ∠BCA+∠DCE=60°. ∵ ∠ACM=60°, ∴ ∠ECM+∠DCE=60°. ∴ ∠BCA=∠ECM. ∵ △AMC是等边三角形, ∴ AC=MC. 在△ACB 和△MCE 中, BC=EC, ∠BCA=∠ECM, AC=MC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌△MCE. ∴ AB=ME. ∵ ME+BE=BM, ∴ AB+BC=BM. (第12题) 证明两条线段之和等于 第三条线段的一般方法 解决这类问题时,往往采用两 种思路:① 在第三条线段上截取一 条线段等于两条线段中的一条线 段,再构造图形中的两个三角形全 等,证得第三条线段中剩下的线段 等于另一条线段;② 在两条线段中 的一条线段的延长线上,截取一条 线段等于另一条线段,再构造图形 中的两个三角形全等,证得这两条 线段之和等于第三条线段. 13. (2,0) 解析:连接PB、PA,过点 B 作BE⊥x 轴于点E,过点 A 作 AF⊥x轴于点F.由点A、B 的坐标, 可得OE=1,AF=3.∵ ∠ACB= 45°,∴ ∠APB=90°.∴ ∠BPE+ ∠FPA=90°.∵ ∠BPE+∠EBP= 90°,∴ ∠EBP=∠FPA.∵ ∠BEP= ∠PFA=90°,BP=PA,∴ △BPE≌ △PAF.∴ PE=AF=3.设P(a,0), ∴ a+1=3.∴ a=2.∴ P(2,0). 14. (1) ∵ AB 为☉O 的直径,CD⊥ AB 于点E, ∴ BC︵=BD︵. ∵ CF︵=CB︵, ∴ CF︵=BC︵=BD︵. ∴ BD︵+BC︵=BC︵+CF︵,即CD︵=BF︵. ∴ CD=BF. (2) 如图①,连接BC. 由(1),得CF︵=BD︵,CD=BF=4, ∴ ∠FBC=∠BCD. ∴ BG=CG. ∵ AB 为☉O 的直径,CD⊥AB 于 点E, ∴ DE=CE=12CD=2. 设EG=x,则BG=CG=2-x. 在△BEG 中,EG2+BE2=BG2,即 x2+12=(2-x)2,解得x=34. ∴ GE 的长为34. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 (3) 如图②,连接OC交BF 于点I. ∵ AF︵=AF︵, ∴ 1 2∠AOF=∠OBF. 在△OCG 和△OBG 中, OC=OB, OG=OG, CG=BG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OCG≌△OBG. ∴ ∠COG=∠BOG. ∴ ∠IOB=2∠EOG. ∵ OF=OB,CF︵=BC︵, ∴ 易得OC⊥BF. ∴ ∠OIB=90°. ∵ ∠IOB+∠IBO=90°, ∴ 2∠EOG+12∠AOF=90°. (第14题) 第2课时 圆周角与直径的关系 1. A 2. B 3. 75 4. 34 5. (1) 连接CD. ∵ BC为直径, ∴ ∠BDC=90°. ∴ CD⊥AB. ∵ CA=CB, ∴ AD=BD,即D 为AB 的中点. (2) 连接BE. ∵ BC为半圆O 的直径, ∴ ∠BEC=90°,即∠BEA=90°. ∵ AD=BD, ∴ DE=AD=12AB ,即AD=DE. 6. C 7. B 8. 35° 解析:如图,连接BC.∵ AB 是☉O 的 直 径,∴ ∠ACB =90°. ∴ ∠CAB + ∠ABC = 90°. ∵ ∠CAB = ∠CAD + ∠BAD, ∠ABC=∠BCD+∠E,∠BAD= ∠BCD,∴ ∠CAB + ∠ABC = ∠CAD+∠BAD+∠BAD+∠E= 45°+ 2 ∠BAD + 25°= 70°+ 2∠BAD=90°,解得∠BAD=10°. ∴ ∠CDA=∠BAD+∠E=10°+ 25°=35°. (第8题) 9. 13-2 解析:如图,取AC 的中 点O',连接BO'、BC、O'E.∵ CE⊥ AD,∴ ∠AEC=90°.∴ 在点D 运动 的过程中,点E 在以AC 为直径的圆 上运动.∵ AB 是半圆O 的直径, ∴ ∠ACB=90°.在 Rt△ABC 中, ∵ AC =4,AB =5,∴ BC = AB2-AC2 = 52-42 =3.在 Rt△BCO'中,BO'= BC2+CO'2= 32+22= 13,∵ O'E+BE≥ O'B,∴ 当O'、E、B 三点共线时,BE 的长最小,最小值为O'B-O'E= 13-2. (第9题) 10. (1) ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵ C是AB︵ 的中点, ∴ AC=BC. ∴ △ABC是等腰直角三角形. ∴ ∠CAB=∠CBA=45°. ∵ CD︵=CD︵,BD︵=BD︵, ∴ ∠DAC = ∠CBK,∠DAB = ∠BCD. 设∠DAC=∠CBK=α,则∠DAB= ∠BCD=45°-α,∠AKB=90°-α. ∴ ∠AKB-∠BCD=(90°-α)- (45°-α)=45°. (2) 如图,过点C 作CH ⊥AD 于 点H. ∴ ∠CHD=90°=∠ADB. ∵ ∠CDH=∠CBA=45°, ∴ 易得△CHD 是等腰直角三角形. ∴ 易得CD=2CH. ∵ CD=2BD, ∴ CH=BD. 在△ECH 和△EBD 中, ∠CEH=∠BED, ∠CHE=∠BDE, CH=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ECH≌△EBD. ∴ CE=BE. ∴ CE=12BC. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACE=90°. ∴ ∠BCK=90°. ∴ ∠ACE=∠BCK. 在△ACE 和△BCK 中, ∠CAE=∠CBK, AC=BC, ∠ACE=∠BCK, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△BCK. ∴ CE=CK. ∴ CK=CE=12BC. ∴ BC=2CK. (第10题) 11. (1) △BDE 为等腰直角三角形. ∵ AE 平分∠BAC,BE 平分∠ABC, ∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD, ∠ABE=∠EBC. ∵ ∠BED = ∠BAE + ∠ABE, ∠DBE=∠DBC+∠CBE, ∴ ∠BED=∠DBE. ∴ BD=ED. ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠ADB=90°. ∴ △BDE 是等腰直角三角形. (2) 如图,连接OC、CD、OD,OD 交 BC于点F. ∵ ∠DBC = ∠CAD = ∠BAD = ∠BCD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 ∴ BD=DC. ∵ OB=OC, ∴ OD 垂直平分BC. ∴ BC=2BF. ∵ △BDE 是等腰直角三角形,BE= 2 10, ∴ 易得BD=25. ∵ AB=10, ∴ OB=OD=5. 设OF=t,则DF=5-t. 在Rt△BOF 和Rt△BDF 中,BF2= OB2-OF2,BF2=BD2-DF2, ∴ 52-t2=(25)2-(5-t)2,解得 t=3. ∴ BF= OB2-OF2=4. ∴ BC=8. (第11题) 12. (1) 如图①,过点M 作MT⊥BC 于点T,连接BM. ∵ BC 是☉M 的一条弦,MT⊥BC, BC=33+3=43, ∴ BT=TC=12BC=23. ∴ BM= BT2+MT2= 12+4= 4,即☉M 的半径为4. (2) 如图②,连接 AE,则∠AEC= ∠ABC. ∵ CE⊥AB, ∴ ∠AHE=∠AHF=90°. ∴ ∠HBC+∠BCH=90°. 在 △COF 中,∵ 易 得 ∠OFC + ∠OCF=90°, ∴ ∠AEH = ∠HBC = ∠OFC = ∠AFH. 在△AEH 和△AFH 中, ∠AEH=∠AFH, ∠AHE=∠AHF, AH=AH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEH≌△AFH. ∴ EH=FH. (3) 如图③,作直径BG,连接 AC、 CG、CM,过点 M 作MT⊥BC 于点 T,由(1),易知∠BMT=∠BAC= 60°,则∠BGC=∠BAC=60°. ∵ MC=MG, ∴ △MCG 是等边三角形. ∴ CG=CM=4. 连接AG,∵ ∠BCG=90°, ∴ CG⊥x轴. ∴ CG∥AF. ∵ ∠BAG=90°, ∴ AG⊥AB. ∵ CE⊥AB, ∴ AG∥CE. ∴ 四边形AFCG 为平行四边形. ∴ AF=CG=4. (第12题) 第3课时 圆的内接四边形 1. B 2. A 3. 40 4. 150 5. 如图,延长DB 至点E,使得BE= CD,连接AE. ∵ 四 边 形 ABDC 是 圆 的 内 接 四 边形, ∴ ∠ABD+∠C=180°. 又∵ ∠ABE+∠ABD=180°, ∴ ∠ABE=∠C. 在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, ∠ABE=∠C, BE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD. ∴ ∠BAE=∠CAD,AE=AD. ∴ ∠BAE + ∠BAD = ∠CAD + ∠BAD,即∠EAD=∠BAC. ∵ ∠BAC=60°, ∴ ∠EAD=60°. ∴ △ADE 是等边三角形. ∴ AD=DE=BD+BE. ∴ AD=BD+CD. (第5题) 6. C 7. A 8. 44° 解析:如图,连接BC.∵ AB 是直径,∴ ∠ACB=90°.∵ ∠BAC= 23°,∴ ∠ABC=90°-∠BAC=90°- 23°=67°.由翻折的性质,得AC︵ 所对 的圆周角为∠B,ABC︵ 所对的圆周角 为 ∠ADC,∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°.∵ ∠ADC + ∠CDB =180°, ∴ ∠ABC = ∠CDB = 67°. ∴ ∠DCA = ∠CDB - ∠BAC = 67°-23°=44°. (第8题) 9. 70° 解析:设∠B=x°.∵ 四边形 ABCD 是 菱 形,∴ ∠ACE = 1 2∠DCB= 1 2 (180°-∠B)=90°- 1 2x° ,∠D=∠B=x°.∵ 四边形 AECD 是 圆 内 接 四 边 形,∴ 易 得 ∠AEB= ∠D =x°.∴ ∠EAC= ∠AEB- ∠ACE =x°- 90°- 1 2x° =15°,解得x=70. 10. (1) ∵ 四边形ADBC内接于☉O, ∴ ∠CBD+∠CAD=180°. ∵ ∠CBE+∠CBD=180°, ∴ ∠CBE=∠CAD. ∵ AC︵=CD︵, ∴ ∠CBH=∠CAD. ∴ ∠CBH=∠CBE. ∴ BC平分∠ABE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 (2) 连接CD. ∵ CH⊥AB,CE⊥DB, ∴ ∠AHC=∠E=90°. ∵ AC︵=CD︵, ∴ AC=CD. 在△ACH 和△DCE 中, ∠AHC=∠E, ∠CAH=∠CDE, AC=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACH≌△DCE. ∴ AH=DE. 11. (1) ∵ CD 为圆的直径, ∴ ∠CAD=90°. ∵ ∠AFE=∠ADC=60°, ∴ ∠ACD=90°-60°=30°. ∴ ∠ABD=∠ACD=30°. (2) ① 如图,延长AB 至点M. ∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴ 易得∠CBM=∠ADC. 又∵ ∠AFE=∠ADC, ∴ ∠AFE=∠CBM. ∴ EF∥BC. ② 如图,过点D 作DG∥BC 交圆于 点G,连接AG、CG. ∵ DG∥BC, ∴ 易得BD︵=CG︵. ∴ BD=CG. ∵ 四边形ACGD 是圆内接四边形, ∴ 易得∠GDE=∠ACG. ∵ 易得EF∥DG, ∴ ∠DEF=∠GDE. ∴ ∠DEF=∠ACG. ∵ ∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, ∴ ∠AFE=∠AGC. ∵ AE=AC, ∴ △AEF≌△ACG. ∴ EF=CG. ∴ EF=BD. (第11题) 12. (1) ∵ 四 边 形 ABDE 内 接 于☉O, ∴ ∠B+∠AED=180°. 又∵ ∠DEC+∠AED=180°, ∴ ∠B=∠DEC. ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C. ∴ ∠DEC=∠C. ∴ DE=DC. (2) ∵ 四边形ABDE 内接于☉O, ∴ ∠A+∠BDE=180°. 又∵ ∠EDC+∠BDE=180°, ∴ ∠A=∠EDC. ∵ OA=OE, ∴ ∠A=∠OEA. 又∵ ∠OEA=∠CEF, ∴ ∠A=∠CEF. ∴ ∠EDC=∠CEF. ∵ ∠EDC + ∠DEC + ∠DCE = 180°, ∴ ∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°, 即∠DEF+∠DCE=180°. 又∵ ∠DCG+∠DCE=180°, ∴ ∠DEF=∠DCG. ∵ ∠EDC绕点D 按逆时针方向旋转 得到∠FDG, ∴ ∠EDC=∠FDG. ∴ ∠EDC - ∠FDC = ∠FDG - ∠FDC,即∠EDF=∠CDG. 在△EDF 和△CDG 中, ∠EDF=∠CDG, DE=DC, ∠DEF=∠DCG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EDF≌△CDG. ∴ DF=DG. 2.5　直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的 三种位置关系 1. A 2. D 3. 相交 4. 2 5. 直线BC与☉A的位置关系是相切. 如图,过点A 作AD⊥BC,垂足为D. ∵ AB=AC,∠BAC=120°, ∴ ∠B=∠C=30°. ∵ BC=43, ∴ BD=12BC=23. ∴ 易得AD=2. 又∵ ☉A 的半径为2, ∴ 直线BC与☉A的位置关系是相切. (第5题) 6. D 7. A 8. 相交 解析:∵ 直线y=kx+2 (k≠0)与y 轴的交点是B(0,2), ∴ AB=1.∴ 圆心A 到直线的距离 一定小于1.∵ ☉A 的半径为3,∴ 直 线和☉A 一定相交. 9. 2<r<6 解析:如图,到x轴的距 离等于2的点在直线y=2或直线 y=-2上.当☉P 与直线y=2相切 时,设切点为A,则r=AP=4-2= 2,此时☉P 上只有一个点到x 轴的 距离等于2.当☉P 与直线y=-2相 切时,设切点为B,则r=PB=4- (-2)=6,此时☉P 上有三个点到 x轴的距离等于2.由此可知,当☉P 上有且仅有两个点到x轴的距离等于 2时,直线y=-2与☉P 相离,直线 y=2与☉P 相交.∴ ☉P 的半径r 的取值范围是2<r<6. (第9题) 10. 4<t<8 解析:如图①,当点P 在射线OA 上,且☉P 与CD 相切时, 过点P 作PE⊥CD 于点E,∴ PE= 1cm.∵ ∠AOC=30°,∴ 易得OP= 2PE=2cm.∴ ☉P 的圆心在直线 AB 上向右运动了6-2=4(cm)后与 CD 相切.∴ ☉P 运动所用的时间= 4 1=4 (s).如图②,当点P 在射线OB 上,且☉P 与CD 相切时,过点P 作 PF⊥CD 于 点F,∴ PF=1cm. ∵ ∠AOC=∠DOB=30°,∴ 易得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 38 2.4　圆 周 角 第1课时 圆周角的概念与性质 ▶ “答案与解析”见P18 1. (2024·重庆B卷)如图,AB 是☉O 的弦, OC⊥AB 交☉O 于点C,D 是☉O 上一点, 连接BD、CD.若∠D=28°,则∠OAB 的度 数为 ( ) A. 28° B. 34° C. 56° D. 62° (第1题) (第2题) (第3题) 2. (2023·杭州)如图,在☉O 中,半径OA、OB 互相垂直,点C 在AB ︵ 上.若∠ABC=19°,则 ∠BAC 的度数为 ( ) A. 23° B. 24° C. 25° D. 26° 3. 如图,AB 是☉O 的直径,点C、D 在☉O 上, CD∥AB,∠ADC=25°,则∠DCO 的度数为 (第4题) °. 4. 如图,在☉O 中,∠ABC=20°, ∠DCA=30°,则∠DOC 的度数 为 . 5. 如图,点A、B、C、D 都在☉O 上,OC⊥AB, ∠ADC=30°,连接BC、OB、OA、AC. (1) 求∠BOC 的度数. (2) 求证:四边形AOBC 是菱形. (第5题) 6. (2024·海南)如图,AD 是半圆O 的直径,点 B、C 在半圆上,且AB ︵ =BC ︵ =CD ︵,点P 在 CD ︵ 上.若∠PCB=130°,则∠PBA 的度数为 ( ) A. 105° B. 100° C. 90° D. 70° (第6题) (第7题) 7. 如图,B、C是☉A上的两点,AB的垂直平分线 与☉A 交于E、F两点,与线段AC交于点D. 若∠BFC=18°,则∠DBC 的度数为 ( ) A. 30° B. 32° C. 36° D. 40° 8. 如图,点A、B、C依次在☉O 上,∠B-∠A= 30°,则∠O 的度数为 °. (第8题) (第9题) 9. 如图,六边形 ABCDEF 内 接 于☉O,其 中∠CAE=60°,则∠B+∠F 的度数是 °. 10. 如图,☉O 的半径为1,弦AB、CD 的长度分 别为2、1,则弦AC、BD 所夹的锐角α= . (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 39 11. 如图,在☉O 中,弦AD 与弦BC 垂 直,垂足为G,E为AB的中点,延长 EG交CD于点F.求证:EF⊥CD. (第11题) 12. ★如图,在☉O 中,B 是☉O 上一 点,∠ABC=120°,AC=2 3,弦 BM 平分∠ABC,交AC 于点D, 连接AM、MC. (1) 求☉O 的半径. (2) 试探究线段AB、BC、BM 之间的等量 关系,并给予证明. (第12题) 13. 如图,在平面直角坐标系中,☉P 经过点 A(m,-3)和点B(-1,n),且圆心在x 轴 上,C 是第一象限圆上的任意一点,且 ∠ACB=45°,则点P 的坐标是 . (第13题) 14. 如图①,AB 为☉O 的直径,CD⊥ AB 于点E,CF ︵ =CB ︵,BF 与CD 交于点G. (1) 求证:CD=BF. (2) 若BE=1,BF=4,求GE 的长. (3) 如图②,连接GO、OF,求证:2∠EOG+ 1 2∠AOF=90°. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 40 第2课时 圆周角与直径的关系 ▶ “答案与解析”见P20 1. (2024·泰安)如图,AB 是☉O 的直径,C、D 是☉O 上两点,BA 平分∠CBD.若∠AOD= 50°,则∠A 的度数为 ( ) A. 65° B. 55° C. 50° D. 75° (第1题) (第2题) (第3题) 2. 如图,AB 是☉O 的直径,点C、D、E 在☉O 上,连接BC、CD、AE、DE.若∠AED=20°, 则∠BCD 的度数为 ( ) A. 100° B. 110° C. 115° D. 120° 3. 如图,在☉O 中,AB 是直径,∠C=15°,则 ∠BAD= °. (第4题) 4. 如图,点A、B、C 在☉O 上,BC∥ OA,连接BO 并延长,交☉O 于 点D,连接 AC、DC.若∠A= 28°,则∠D 的度数为 °. 5. 如图,在△ABC 中,CA=CB,以BC 为直径 的半圆O 与AB 交于点D,与AC 交于点E, 连接DE.求证: (1) D 为AB 的中点. (2) AD=DE. (第5题) 6. 如图,AB 是☉O 的直径,C、D 是AB ︵ 上的两 点,连接AC、BD 相交于点E.若∠BEC= 58°,则∠DOC 的度数为 ( ) (第6题) A. 33° B. 66° C. 64° D. 57° 7. 如图,AB 是☉O 的直径,AC ︵ =BC ︵,弦CD、 AB 的延长线交于点E,AD、BC 交于点F. 若CD=DE,则∠AFC 的度数为 ( ) (第7题) A. 52.5° B. 60° C. 67.5° D. 75° 8. 如 图,AB 是☉O 的 直 径.若∠E=25°, ∠CAD=45°,则∠CDA 的度数为 . (第8题) 9. 转换法 如图,AB 是半圆O 的直径, 点C 在半圆上,AB=5,AC=4,D 是BC ︵ 上的一个动点,连接AD.过 点C 作CE⊥AD 于点E,连接BE,则BE 长 的最小值是 . (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 41 10. 如图,AB 是☉O 的直径,C 是AB ︵ 的中点,点D 在BC ︵ 上,BD、AC 的延长线交于点K,连接AD、BC 交于点E,连接CD. (1) 求证:∠AKB-∠BCD=45°. (2) 若CD=2BD,求证:BC=2CK. (第10题) 11. 如图,以AB 为直径的☉O 经过△ABC 的 顶 点 C,AE、BE 分 别 平 分 ∠BAC 和 ∠ABC,AE 的延长线交☉O 于点D,连 接BD. (1) 试判断△BDE 的形状,并证明你的 结论. (2) 若AB=10,BE=210,求BC 的长. (第11题) 12. 如图①,☉M 交x轴于B、C 两点, 交y 轴的正半轴于点A,点 M 的 纵坐标为2,点B、C 的坐标分别为 (-33,0)、(3,0). (1) 求☉M 的半径. (2) 如图②,若CE⊥AB 于点H,交y轴于 点F,求证:EH=FH. (3) 在(2)的条件下,求AF 的长. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 42 第3课时 圆的内接四边形 ▶ “答案与解析”见P21 1. 如图,在☉O中,AB 是☉O 的直径,∠DAC= 20°,CD=CB,则∠ADC 的度数为 ( ) A. 100° B. 110° C. 120° D. 150° (第1题) (第2题) (第3题) 2. (2023·赤峰)如图,在☉O 的内接四边形 ABCD 中,∠BCD=105°,连接 OB、OC、 OD、BD,∠BOC=2∠COD,则∠CBD 的度 数是 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 3. 如图,四边形ABCD 内接于☉O,∠BCD= 100°,AC 平分∠BAD,则∠BDC 的度数为 °. 4. 若四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,且 ∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶4,则∠D 的度数 为 °. 5. 如图,在圆内接四边形ABDC 中,∠BAC= 60°,AB=AC.求证:AD=BD+CD. (第5题) 6. (2024·济宁)如图,分别延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边,延长线相交于点E、F. 若∠E=54°41',∠F=43°19',则∠A 的度 数为 ( ) A. 42° B. 41°20' C. 41° D. 40°20' (第6题) (第7题) 7. 如图,AB 为☉O 的直径,C 为ADB ︵ 上一点, AD∥OC,AD 交☉O 于点D,连接AC、CD. 设∠BOC=x°,∠ACD=y°,则下列结论中, 成立的是 ( ) A. x+y=90 B. 2x+y=90 C. 2x+y=180 D. x=y 8. 如图,AB 为☉O 的直径,C 为☉O 上一点,将 AC ︵ 沿弦AC 翻折,交 AB 于点D,连接CD.若点D 与圆 心O 不重合,∠BAC=23°,则∠DCA 的度数 为 . (第8题) 9. 如图,四边形ABCD 是菱形,☉O 经过点A、 C、D,与BC 相交于点E,连接AC、AE.若 ∠EAC=15°,则∠B 的度数为 . (第9题) 10. 如图,四边形ADBC 内接于☉O,AB 是☉O 的直径,AC ︵ =CD ︵,CE⊥DB 交DB 的延长 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 43 线于点E. (1) 求证:BC 平分∠ABE. (2) 若CH⊥AB 于点H,求证:AH=DE. (第10题) 11. (2024·浙江)如图,在圆内接四边 形ABCD 中,AD<AC,∠ADC< ∠BAD,延 长 AD 至 点 E,使 AE=AC,延长BA 至点F,连接EF,使 ∠AFE=∠ADC. (1) 若∠AFE=60°,CD 为该圆的直径,求 ∠ABD 的度数. (2) 求证: ① EF∥BC. ② EF=BD. (第11题) 12. 如图①,在△ABC 中,AB=AC,以 边AB 为直径的☉O 交BC 于点 D,交AC 于点E,连接DE. (1) 求证:DE=DC. (2) 如图②,连接OE,将∠EDC 绕点D 按 逆时针方向旋转,使∠EDC 的两边分别交 OE、AC 的延长线于点F、G.试探究线段 DF、DG 之间的数量关系. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆