2.3 确定圆的条件-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

∴ BE=BD-DE=10. ∵ OE⊥BC, ∴ BE=CE=10. ∴ BC=BE+CE=20. 12. (1) ∵ AB⊥CD,BF⊥AC, ∴ ∠CFG=∠GEB=90°. ∵ ∠CGF=∠BGE, ∴ 易得∠C=∠GBE. ∵ ∠C=∠DBE, ∴ ∠GBE=∠DBE. ∵ AB⊥CD, ∴ ∠GEB=∠DEB=90°. 在△BGE 和△BDE 中, ∠GEB=∠DEB, BE=BE, ∠GBE=∠DBE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BGE≌△BDE. ∴ EG=ED. (2) 如图,连接OA. 设OA=r,则DG=r+1. 由(1),可知EG=ED. ∴ EG=r+12 . ∵ OG=1, ∴ OE=EG-OG=r-12 . ∵ AB⊥CD 于点E,AB=8, ∴ AE=BE=4. 在 Rt△OAE 中,由 勾 股 定 理,得 OE2+AE2=OA2,即 r-12 2 +42= r2,解得r1= 13 3 ,r2=-5(不合题意, 舍去). ∴ OA=133 ,即☉O 的半径为133. (第12题) 13. 43 解析:对于直线y=kx- 2k+3=k(x-2)+3(k≠0),当x=2 时,y=3.∴ 直线y=kx-2k+3(k≠ 0)恒经过点(2,3),记为点D.如图,连 接OD、OB,过点D 作DH⊥x 轴于 点H,则OH=2,DH=3.∴ OD= OH2+DH2= 13.∵ 点A 的坐 标为(5,0),∴ OA=5.∴ OB=OA= 5.∵ 过☉O 内定点D 的所有弦中,与 OD 垂直的弦最短,即当 BC⊥OD 时,弦BC 的长有最小值,∴ 易得弦 BC 长 的 最 小 值 = 2BD = 2 OB2-OD2=43. (第13题) 14. (1) 如图,连接OA,设CD 与AB 交于点G,与MN 交于点H. ∵ CD=18m,AE=10m,AB= 24m,易得HD=17m, ∴ 由题意,可知CG=CD-DG= 18-10=8(m),AG=12AB= 1 2× 24=12(m),CH=CD-DH=18- 17=1(m). 设圆弧形拱顶的半径为rm. 在Rt△AOG 中,OA2=OG2+AG2, ∴ r2=(r-8)2+122,解得r=13. ∴ 圆弧形拱顶的半径为13m. (2) 如图,连接OM. 由(1),知CH=1m. ∵ OC=13m, ∴ OH=13-1=12(m). 设MH=am. 在 Rt△MOH 中,OM2 =OH2 + MH2, ∴ 132=122+a2. ∴ a=5(负值舍去). ∴ MH=5m. ∴ 由题意,可得MN=2MH=10m. (第14题) 2.3　确定圆的条件 1. B 2. A 3. 5 4. (1,-2) 5. (1) 如图所示. (2) 如图,过点O 作OE⊥AB 于点 D,交AB︵ 于点E,连接OB. ∵ OE⊥AB, ∴ BD=12AB= 1 2×16=8 (cm). 由题意,可知ED=4cm. 设这个圆形截面的半径为xcm,则 OB=xcm,OD=(x-4)cm. 在Rt△BOD 中,由 勾 股 定 理,得 OD2+BD2=OB2 ,即(x-4)2+82= x2,解得x=10. ∴ 这个圆形截面的半径为10cm. (第5题) 6. D 7. D 8. 5或4 解析:① 如图①,当AD 在 △ABC 内部时,∵ AB=6,AC=8, 高 AD=4.8,∴ 由勾 股 定 理,得 BD=3.6,CD=6.4.∴ BC=10. ∵ 62+82=102,∴ △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形.∴ 完全覆盖 △ABC的圆的最小半径为10×12= 5.② 如图②,当AD 在△ABC 外部, 即△ABC是钝角三角形时,∵ 以AC 为直径的圆是能完全覆盖△ABC 的 最小圆,∴ 能完全覆盖△ABC 的圆 的半径r的最小值为8×12=4. 综上 所述,r的最小值为5或4. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 9. 5x+2y≠9 解析:设直线AB 对 应的函数表达式为y=kx+b.把 A(1,2)、B (3,-3)代 入,得 k+b=2, 3k+b=-3, 解得 k=-52 , b=92. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直 线AB 对应的函数表达式为y= -52x+ 9 2.∵ A(1,2)、B(3,-3)、 C(x,y)三点可以确定一个圆,∴ 点 C不在直线AB 上.∴ y≠- 5 2x+ 9 2 ,即5x+2y≠9. 10. (1) ∵ D 是 △ABC 的 边 BC 的中点, ∴ BD=CD. ∵ BC∥EF,AD⊥EF, ∴ AD⊥BC. ∴ AB=AC. (2) 连接BO. ∵ D 是△ABC的边BC的中点, ∴ BD=CD. ∵ AD⊥BC, ∴ BO=CO. ∵ AO=CO, ∴ AO=BO=CO. ∴ 点O 是△ABC的外接圆的圆心. 11. 设点O 为等腰三角形ABC 外接 圆的圆心,连接AO 并延长,交BC 于 点D,连接OB、OC. ∵ AB=AC,OB=OC, ∴ 点A、O 都在线段BC 的垂直平分 线上. ∴ AD⊥BC,BD=CD=12BC= 5cm. 设等腰三角形ABC 外接圆的半径为 Rcm,则OA=OB=OC=Rcm. 在 Rt△ABD 中,由 勾 股 定 理,得 AD= AB2-BD2=12cm. ∴ OD=AD-OA=(12-R)cm. 在 Rt△OBD 中,由 勾 股 定 理,得 OB2=OD2+BD2,即 R2=(12- R)2+52,解得R=16924. ∴ 等腰三角形ABC外接圆的半径为 169 24cm. 求三角形外接圆半径的 一般方法 直角三角形外接圆的圆心为 斜边的中点,其外接圆的半径为斜 边的一半.对于求解等腰三角形的 外接圆的半径问题,往往先确定其 外接圆圆心的位置,其外接圆圆心 必在底边的垂直平分线上,再根据 外接圆圆心到各顶点的距离相等, 构造以等腰三角形底边的一半和 圆的半径为边的直角三角形,运用 勾股定理解决问题. 12. D 解析:∵ ∠BAC=90°,AD⊥ BC,∴ R=12BC ,R1= 1 2AB ,R2= 1 2AC.∵ BC2=AB2+AC2,∴ R2= R21+R22. 13. (1) ∵ AB=AC,∠BAC=50°, ∴ ∠ABC= 12 (180°-∠BAC)= 65°. ∵ AE∥BC, ∴ ∠BAE=180°-∠ABC=115°. ∴ ∠DAC = ∠BAE - ∠BAC - ∠DAE=15°. (2) 四边形ADCE 为菱形. 理由:∵ 点D 为△ABC的外心, ∴ AD=BD=CD. ∵ ∠BAC=∠DAE, ∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中, BA=CA, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△CAE. ∴ BD=CE. 又∵ AD=AE, ∴ AD=AE=CD=CE. ∴ 四边形ADCE 为菱形. 2.4　圆 周 角 第1课时 圆周角的概念与性质 1. B 2. D 3. 50 4. 100° 5. (1) ∵ 点A、B、C、D 都在☉O 上, OC⊥AB, ∴ AC︵=BC︵. ∴ ∠AOC=∠BOC. ∵ ∠ADC=30°, ∴ ∠AOC=2∠ADC=60°. ∴ ∠BOC=60°. (2) 由(1),知∠AOC=∠BOC=60°. ∵ OB=OC=OA, ∴ △BOC 和 △AOC 都 是 等 边 三 角形. ∴ BC=OB=OC=OA=AC. ∴ 四边形AOBC是菱形. 6. B 7. C 解 析:∵ ∠BFC =18°, ∴ ∠BAC=2∠BFC=36°.∵ AB= AC,∴ ∠ABC = ∠ACB = 12 × (180°-36°)=72°.又∵ EF 是线段 AB 的垂直平分线,∴ AD=BD. ∴ ∠BAC = ∠ABD = 36°. ∴ ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 72°-36°=36°. 8. 60 解析:设AC 与OB 相交于点 D.∵ ∠O+∠A+∠ADO=180°, ∠B + ∠C + ∠BDC = 180°, ∠ADO=∠BDC,∴ ∠O+∠A= ∠B+∠C.∴ ∠O-∠C=∠B- ∠A = 30°.∵ ∠C = 12 ∠O , ∴ ∠O-12∠O=30°.∴ ∠O=60°. 9. 240 解析:如图,连接OC、OE. ∵ ∠CAE = 60°,∴ ∠COE = 2∠CAE=2×60°=120°.∴ ∠B+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 36 2.3　确定圆的条件 ▶ “答案与解析”见P17 1. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四 块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的 圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片 应该是 ( ) (第1题) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. 如图,A、O 在网格中小正方形的顶点处,每 个小正方形的边长为1,在此网格中找两个 格点(即小正方形的顶点)B、C,使点O 为 △ABC 的外心,则BC 的长度是 ( ) (第2题) A. 32 B. 25 C. 4 D. 17 3. 在△ABC 中,∠C=90°,AB=10,在同一平 面内,点O 到点A、B、C 的距离均等于a(a 为常数),则常数a的值为 . 4. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 三个顶 点的坐标分别是点A(-3,0)、B(-1,2)、 C(3,2),则△ABC的外心的坐标为 . (第4题) 5. 某根圆柱形输水管道破裂,为更换管道,需确 定管道圆形截面的半径,如图所示为水平放 置的破裂输水管道中有水部分的截面. (1) 用无刻度的直尺和圆规补全这根输水管 道的圆形截面(不写作法,保留作图痕迹). (2) 若这根输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm,水面最深处的高度为4cm,求 这个圆形截面的半径. (第5题) 6. 如图,在4×4的网格中,A、B、C 是三个格 点,其中每个小正方形的边长均为1,△ABC 的外心可能是 ( ) A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q (第6题) (第7题) 7. 如图,点O 为锐角三角形ABC 的外心,四边 形OCDE 为正方形,其中点E 在△ABC 的 外部.下列叙述中,不正确的是 ( ) A. 点O 是△AEB 的外心 B. 点O 是△BEC 的外心 C. 点O 是△AEC 的外心 D. 点O 是△ADB 的外心 8. 在△ABC 中,AB=6,AC=8,高AD=4.8, 设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为r,则r 的最小值为 . 9. 如果A(1,2)、B(3,-3)、C(x,y)三 点可以确定一个圆,那么x、y 需要 满足的条件是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 37 10. 如图,D 是△ABC 的边BC 的中点,过AD 的延长线上的点E 作AD 的垂线EF,E 为 垂足,EF 与AB 的延长线相交于点F,点O 在AD 上,AO=CO,BC∥EF.求证: (1) AB=AC. (2) 点O 是△ABC 的外接圆的圆心. (第10题) 11. ★如图,在等腰三角形 ABC 中, AB=AC=13cm,BC=10cm,求 等腰三角形ABC 外接圆的半径. (第11题) 12. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°, AD⊥BC于点D,△ABC、△ABD、 △ACD 的外接圆半径分别为R、 R1、R2,则有 ( ) (第12题) A. R=R1+R2 B. R= R1+R2 2 C. R2=R1R2 D. R2=R21+R22 13. 在△ABC 和△ADE 中,AB=AC,AD= AE,∠BAC=∠DAE=50°,连接BD 和 CE,将△ADE 绕点A 旋转(△ADE 始终在 AB 所在直线的右侧). (1) 如图①,在△ADE 绕点A 旋转的过程 中,当AE∥BC 时,求∠DAC 的度数. (2) 如图②,当点D 恰好是△ABC 的外心 时,连接DC,试判断四边形ADCE 的形状, 并说明理由. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆