2.1 圆-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

第2章　对称图形——圆 2.1　圆 第1课时 圆的概念、点 和圆的位置关系 1. B 2. B 3. 2或3 4. 点P'在 ☉O 上 5. 如图,∵ AB=10km,AC=3km, ∴ BC=7km. 由7÷10=0.7(h),知在0h到0.7h 之间,渔船是安全的,0.7h后渔船进 入危险区. (第5题) 6. D 7. B 8. B 解析:如图,连接AC、AP,取 AC的中点H,连接EH、OH.∵ CE= EP,CH=AH,∴ EH=12PA=1. ∴ 点E 的运动轨迹是以点H 为圆 心,1为半径的圆.∵ C(0,4),A(3, 0),∴ H (1.5,2).∴ OH = 22+1.52=2.5.∴ OE 长的最小 值=OH-EH=2.5-1=1.5. (第8题) 9. 3<r<5 10. (-3,0) 11. 11 2 解析:如图,∵ C 为平面内 一点,BC=1,∴ 点C 在以点B 为圆 心、1为半径的圆上.∵ 点A、B 的坐 标分别为(6,0)、(0,8),∴ OA=6, OB=8.在x轴的负半轴上取点D,使 OD=OA=6,连接CD.∵ M 为AC 的中 点,∴ AM =CM.∴ OM 是 △ACD 的中位线.∴ OM=12CD. 当OM 的长最大时,CD 的长也最大. 易得此时D、B、C 三点共线,且点C 在DB 的延长线上.∵ OB=8,OD= 6, ∠BOD = 90°, ∴ BD = OB2+OD2=10.∴ CD=BD+ BC=11.∴ OM=12CD= 11 2 ,即OM 长的最大值为11 2. (第11题) 12. 如图,连接OC. ∵ ∠ACB=90°,AC=6,BC=8, ∴ AB= AC2+BC2= 62+82=10. (1) ∵ 点A、B、C都在☉O 上, ∴ R=OA=OB=OC=5. (2) ∵ 点O、A、C 中有两个点在☉B 内,有一个点在☉B 外, ∴ 8<r<10. (第12题) 13. (1) 如图,连接AD,取AC 的中 点O,连接OD、OM. ∵ △ABC是等边三角形,D 是BC的 中点, ∴ AD⊥BC. ∵ AM⊥CM, ∴ ∠ADC=∠AMC=90°. ∵ OA=OC, ∴ OD=OA=OC=OM. ∴ A、D、C、M 四点在同一个圆上. (2) 如图,连接OB. ∵ AB=AC=BC=2,AO=OC=1, ∴ BO⊥AC. ∴ BO= AB2-AO2= 22-12= 3. ∵ OM=OA=OC=1,OB-OM≤ BM≤OB+OM, ∴ 3-1≤BM≤3+1. ∴ BM 长的最大值为 3+1,最小值 为3-1. (第13题) 14. (1) ∵ DF⊥CE, ∴ ∠CFD=90°. ∴ ∠CDF+∠FCD=90°. ∵ ∠BEC=90°, ∴ ∠BEC=∠CFD. ∵ 四边形ABCD 为菱形, ∴ BC=CD. 在Rt△BCE 和Rt△CDF 中, BC=CD, CE=DF, ∴ Rt△BCE≌Rt△CDF. ∴ ∠BCE=∠CDF. ∴ ∠CDF + ∠FCD = ∠BCE + ∠FCD=90°,即∠BCD=90°. ∴ 菱形ABCD 是正方形. (2) 如图,连接AF、ED. ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ ∠ADC=90°,AD=CD. ∵ F 为CE 的中点,DF⊥CE, ∴ DF是CE的垂直平分线,CF=EF. ∴ DE=DC=AD. ∴ ∠DAE = ∠DEA,∠DEC = ∠DCE. ∵ ∠DAE + ∠DEA + ∠ADE = 180°,∠DEC+∠DCE+∠CDE= 180°, ∴ ∠DEA = 180°-∠ADE2 , ∠DEC=180°-∠CDE2 . ∴ ∠AEF = ∠DEA + ∠DEC = 180°- 12 (∠ADE + ∠CDE)= 180°-45°=135°. ∴ ∠AEB=360°-135°-90°=135°. ∴ ∠AEF=∠AEB. ∵ △BCE≌△CDF, ∴ BE=CF=FE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 在△ABE 和△AFE 中, ∵ AE =AE,∠AEB = ∠AEF, EB=EF, ∴ △ABE≌△AFE. ∴ AB=AF. ∴ 点F 在以AB 为半径的☉A 上. (第14题) 第2课时 与圆有关的概念 1. D 2. B 3. 20° 4. 相等. 过点O 作OG⊥AB 于点G,OH⊥CD 于点H,连接OA、OC、OB、OD. ∵ O 是∠EPF 平分线上的一点, ∴ OG=OH. 在Rt△OBG 和Rt△ODH 中, ∵ OB=OD,OG=OH, ∴ Rt△OBG≌Rt△ODH. ∴ BG=DH. 同理,可得AG=CH. ∴ AG+BG=CH+DH. ∴ AB=CD. 5. D 6. B 解析:如图,连接OA.∵ OF 是 半圆O 的半径,∴ OA=OF.∵ 四边 形ABCD、四边形EFGC 都是正方 形,∴ ∠ABC=∠DCB=∠FEC= 90°,AB=BC=CD=3,CE=EF=2. 设OC=x,则BO=BC-OC=3-x, OE=OC+CE=x+2.在Rt△ABO 和Rt△EFO 中,AB2+BO2=OA2, OE2+EF2=OF2,∴ 32+(3-x)2= OA2,(x+2)2+22=OF2.∵ OA= OF,∴ 32+(3-x)2=(x+2)2+22, 解得x=1,即OC=1.在Rt△DOC 中,DO2 =OC2 +DC2,∴ OD = OC2+CD2= 12+32= 10. (第6题) 7. 2 8. 16 9. 45cm 10. 如图,连接OM、ON. (1) 在△MON 中, ∵ ON+OM>MN,且OA=OB= OM=ON, ∴ OA+OB>MN,即AB>MN. (2) 在△PON 中, ∵ ON+OP>PN,且OB=ON, ∴ OB+OP>PN,即PB>PN. (3) 在△MOP 中, ∵ OP-OM<PM,且OA=OM, ∴ OP-OA<PM,即PA<PM. (第10题) 11. 2( 13-1) 解析:如图,延长 AD 到点G,使得AD=DG,连接OG 交CD 于点M,交半圆于点N,则易得 AE+EF 的最小值是GN 的长.∵ E 是边长为4的正方形ABCD 的边CD 上的一个动点,F 是以BC 为直径的 半圆O 上的一个动点,∴ AD=DG= BC =CD =4,ON =OC =2, ∠ADC=∠DCB=90°.过点 O 作 OH⊥AD 于点H.∴ 四边形OCDH 是矩 形.∴ OH =CD=4,DH = OC=2.∴ OG= 42+(2+4)2= 2 13.∴ GN=OG-ON=2 13- 2=2( 13-1),即AE+EF 的最小 值是2(13-1). (第11题) 12. (1) 设∠QPO=x. ∵ QP=QO, ∴ ∠QPO=∠QOP=x. ∴ ∠OQP=180°-2x. ∵ OC=OQ, ∴ ∠OCP=∠OQC=180°-2x. ∵ ∠AOC=30°,即 ∠POC=30°, ∠QPO=∠OCP+∠POC, ∴ x=180°-2x+30°,解得x=70°. ∴ ∠OCP=180°-2×70°=40°. (2) 存在. ① 如图①,当点P 在OA 的延长线上 时,设∠QOC=y,则∠QOP=y+ 30°. ∵ QP=QO, ∴ ∠QPO= ∠QOP =y+30°,即 ∠CPO=y+30°. ∴ ∠OCQ=∠POC+∠CPO=30°+ y+30°=y+60°. ∵ OQ=OC, ∴ ∠OQC=∠OCQ=y+60°. ∴ 在△OCQ 中,根据三角形的内角 和 定 理,得 ∠QOC + ∠OQC + ∠OCQ=180°,即y+y+60°+y+ 60°=180°,解得y=20°. ∴ ∠OCQ=80°. ∴ ∠OCP=180°-∠OCQ=100°. ② 如图②,当点P 在OB 的延长线上 时,设∠QPO=z. ∵ QP=QO, ∴ ∠QPO=∠QOP=z. ∴ ∠CQO=∠QOP+∠QPO=2z. ∵ OC=OQ, ∴ ∠OCP=∠CQO=2z. ∵ ∠APC+∠OCP=∠AOC, ∴ z+2z=30°,解得z=10°. ∴ ∠OCP=20°. ③ 当点 P 在线段OB 上时,易知 QP≠QO. 综上 所 述,∠OCP 的 度 数 为 100° 或20°. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 28 2.1　圆 第1课时 圆的概念、点和圆的位置关系 ▶ “答案与解析”见P13 1. (2024·高邮模拟)已知☉O 的半径是6,A 是平面内一点且OA=8,则点A 与☉O 的位 置关系是 ( ) A. 点A 在☉O 内 B. 点A 在☉O 外 C. 点A 在☉O 上 D. 无法确定 2. 在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(1,0), 点B 的坐标为(a,0),☉A 的半径为2.下列 说法中,不正确的是 ( ) A. 当a=-1时,点B 在☉A 上 B. 当a<1时,点B 在☉A 内 C. 当a<-1时,点B 在☉A 外 D. 当-1<a<3时,点B 在☉A 内 3. 已知P 为平面内一点,若点P 到☉O 上的点 的最长距离为5,最短距离为1,则☉O 的半 径为 . 4. 已知AB 是经过圆心O 的直线,P 为☉O 上 的任意一点,则点P 关于直线AB 的对称点 P'与☉O 的位置关系是 . 5. 如图,某海域以点A 为圆心、3km为半径的 圆形区域为多暗礁的危险区,但渔业资源丰 富,渔船要从点B 处前往点A 处进行捕鱼, B、A 两点之间的距离是10km.若渔船始终 保持10km/h的航速行驶,则在什么时段内, 渔船是安全的? 渔船何时进入危险区? (第5题) 6. 已知☉O 的半径为1,点P 到圆心O 的距离 为d.若关于x 的方程x2-2x+d=0有实 数根,则点P ( ) A. 在☉O 的内部 B. 在☉O 的外部 C. 在☉O 上 D. 在☉O 上或☉O 的内部 7. 如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=4, BC=7,点D 在边BC 上,且BD=3,连接 AD.以点D 为圆心、r为半径画圆,若点A、 B、C 中只有1个点在圆内,则r的值可能为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (第7题) (第8题) 8. 如图,在平面直角坐标系中,C(0, 4),A(3,0),☉A 的半径为2,P 为 ☉A 上任意一点,E 是PC 的中点, 则OE 长的最小值是 ( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2 9. 已知矩形ABCD 的边AB=3,BC=4,以点 B 为圆心作圆,使A、C、D 三点中至少有一 点在☉B 内,且至少有一点在☉B 外,则☉B 的半径r的取值范围是 . 10. 如图,☉M 的半径为2,圆心 M 的坐标为 (3,4),P 是☉M 上的任意一点,PA⊥PB, 且PA、PB 与x轴分别交于A、B 两点.若 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 第2章　对称图形——圆 29 点A、B 关于原点对称(点A 在点B 的左 侧),则当线段AB 最短时,点A 的坐标为 . (第10题) (第11题) 11. 如图,在平面直角坐标系中,点A、B 的坐标 分别为(6,0)、(0,8),C 为平面内一点, BC=1,M 为AC 的中点,连接OM,则OM 长的最大值为 . 12. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6, BC=8,O 是AB 的中点. (1) 若以点O 为圆心、R 为半径作☉O,且 点A、B、C 都在☉O 上,求R 的值. (2) 若以点B 为圆心、r为半径作☉B,且点 O、A、C 中有两个点在☉B 内,有一个点在 ☉B 外,求r的取值范围. (第12题) 13. 如图,D 为等边三角形ABC 的边BC 的中 点,AB=2,动点M 满足AM⊥CM. (1) 求证:A、D、C、M 四点在同一个圆上. (2) 连接BM,求线段BM 长的最大值与最 小值. (第13题) 14. 如图,E 是菱形ABCD 内一点, ∠BEC=90°,DF⊥CE,垂足为 F,且DF=CE,连接AE. (1) 求证:菱形ABCD 是正方形. (2) 当F 是线段CE 的中点时,求证:点F 在以AB 为半径的☉A 上. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 30 第2课时 与圆有关的概念 ▶ “答案与解析”见P14 1. 如图,AB 是☉O 的直径,点C、D 在☉O 上, 且点C、D 在AB 的异侧,连接AD、OD、OC. 若∠AOC=70°,且AD∥OC,则∠AOD 的度 数为 ( ) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° (第1题) (第2题) 2. 如图,点A、D、G、M 在半圆O 上,四边形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形.设BC= a,EF=b,NH=c,则下列各式中,正确的是 ( ) A. a>b>c B. a=b=c C. c>a>b D. b>c>a 3. 如图,延长☉O 的弦AB、半径OC,两者交于 点D,BD=OA.若∠AOC=120°,则∠D 的 度数是 . (第3题) 4. 如图,O是∠EPF的平分线上的一点,以点O 为圆心的圆和∠EPF 的两边分别交于点A、 B 和点C、D.AB 与CD 相等吗? 为什么? (第4题) 5. 如图,AB 是☉O 的弦,OC⊥AB,垂足为C, OD∥AB,OC=12OD ,则∠ABD 的度数为 ( ) A. 90° B. 95° C. 100° D. 105° (第5题) (第6题) 6. 将两个正方形按如图所示的方式放置(点B、 C、E 共线,点 D、C、G 共线),若AB=3, EF=2,点O 在线段BC 上,以OF 为半径作 半圆O,点A、F都在半圆O上,则OD 的长是 ( ) A. 4 B. 10 C. 13 D. 26 7. 如图,P 是☉O 外一点,Q 是☉O 上的动点, 线段PQ 的中点为M,连接OP、OM.若☉O 的半径为4,OP=8,则OM 长的最小值是 . (第7题) (第8题) 8. 如图,过D、A、C 三点的圆的圆心为点E,过 B、E、F 三 点 的 圆 的 圆 心 为 点 D.如 果 ∠BAC=66°,那么∠ABC= °. 9. 如图,四边形ABCD、四边形EFCG 均为正方形,两个正方形彼此相邻 且在半圆O 内.若正方形EFCG 的 面积为16cm2,则半圆O的半径为 . (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 31 10. 如图,P 为☉O 外一点,PO 及其延长线分 别交☉O 于点A、B,过点P 作一条直线交 ☉O 于点M、N(异于点A、B).求证: (1) AB>MN. (2) PB>PN. (3) PA<PM. (第10题) 11. 如图,E 是边长为4的正方形 ABCD 的边CD 上的一个动点,F 是以BC 为直径的半圆O 上的一 个动点,连接AE、EF,则AE+EF 的最小 值是 . (第11题) 12. 如图,直线l经过☉O 的圆心,且与☉O 交 于A、B 两点,点C 在☉O 上,且∠AOC= 30°,P 是直线l上的一个动点(不与圆心O 重合),直线CP 与☉O 相交于另一点Q,连 接QO. (1) 当点P 在半径OA 上时,若QP=QO, 求∠OCP 的度数. (2) 当点P 在直线l上的其他位置时,是否 还存在QP=QO? 若存在,请求出此时 ∠OCP 的度数;若不存在,请说明理由. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆