1.3 一元二次方程的根与系数的关系&专题特训二 根的判别式及根与系数的关系-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

13 *1.3　一元二次方程的根与系数的关系 ▶ “答案与解析”见P5 1. 若关于x 的方程x2-4x+m+2=0有一个 根为-1,则另一个根为 ( ) A. 2 B. -2 C. 5 D. -5 2. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解 同一个一元二次方程时,小影在解方程的过 程中写错了常数项,因而得到方程的两个根 是6和1;小冬在解方程的过程中写错了一次 项系数,因而得到方程的两个根是-2和-5, 原来的方程是 ( ) A. x2+6x+5=0 B. x2-7x+10=0 C. x2-5x+2=0 D. x2-6x-10=0 3. (1) 已知方程x2-3x+2=0的两个根是 x1、x2,则 1 x1+ 1 x2= . (2) 已知x1、x2是方程x2-2x-1=0的两 个根,则x21+x22= . 4. (1) 已知关于x的方程x2-2x+n=0的一 个根为1+5,则它的另一个根为 . (2) 若x=1是关于x的一元二次方程x2+ (k+1)x+2=0的一个实数根,则另一个实 数根为 . 5. 已知关于x 的一元二次方程x2-4x+m+ 1=0有两个不相等的实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 若该方程的两个实数根为x1、x2,且 (x1-1)(x2-1)=-4,求m 的值. 6. 若α、β是方程x2+2x-2024=0的两个实 数根,则α2+3α+β的值为 ( ) A. 2015 B. 2022 C. -2015 D. 4010 7. 已知菱形ABCD 的边长是5,两条对角线交 于点O,且AO、BO 的长分别是关于x 的方 程x2+(2m-1)x+m2+3=0的两个根,则 m 的值为 ( ) A. -3 B. 5 C. 5或-3 D. -5或3 8. (1) (2024·成都)若m、n 是一元二次方程 x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n- 2)2的值为 . (2) 已知x1、x2是方程x2-x-2024=0的 两个实数根,则代数式x31-2024x1+x22 的 值为 . 9. 已知一元二次方程x2-14x+48=0的两个 根是菱形的两条对角线长,则这个菱形的周 长为 . 10. 已知关于x 的一元二次方程x2-3x+ 2m=0有两个不相等的实数根x1、x2.如果 x1-2x2=6,那么实数m 的值为 . 11. 如果关于x 的一元二次方程x2- 2kx+k2-k=0的两个实数根分 别是x1、x2,且x21+x22=4,那么 x21-x1x2+x22的值是 . 12. 已知关于x 的一元二次方程x2-5x+ m=0. (1) 若方程有实数根,求实数m的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 14 (2) 若方程的两个实数根为x1、x2,且满足 3x1-2x2=5,求实数m 的值. 13. 整体思想 (2024·遂宁)已知关于x 的一元 二次方程x2-(m+2)x+m-1=0. (1) 求证:无论m 取何值,方程都有两个不 相等的实数根. (2) 如果方程的两个实数根为x1、x2,且 x21+x22-x1x2=9,求m 的值. 14. 若m、n是一元二次方程x2+3x- 1=0的两个实数根,则m 3+m2n 3m-1 的值为 . 15. 在关于x的分式方程k-1x-1=2① 和 一元二次方程(2-k)x2+3mx+ (3-k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程① 的根为非负数. (1) 求k的取值范围. (2) 若方程②有两个实数根x1、x2,且满足 x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2- k),当k为负整数时,试判断m2≤4是否成 立,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 15 　　专题特训二　根的判别式及根与系数的关系 ▶ “答案与解析”见P6 类型一 运用根的判别式确定根的情况 先求得根的判别式与0的大小关系,再确定一元 二次方程根的情况. 1. (2024·潍坊)已知关于x 的一元二次方程 x2-mx-n2+mn+1=0,其中m、n 满足 m-2n=3,关于该方程根的情况,下列判断 中正确的是 ( ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 2. 已知关于x的一元二次方程x2+mx+2n= 0,其中m、n是常数. (1) 若m=n+3,试判断该一元二次方程根 的情况. (2) 若该一元二次方程有两个相等的实数根, 请写出一组m、n的值,并求此时方程的根. 类型二 根据根的情况确定待定系数的值 或取值范围 根据所给一元二次方程根的情况,确定该方程的 根的判别式与0的大小关系,进而求得方程中待定系 数的值或取值范围. 3. (2024·宿迁)规定:对于任意实数a、b、c,有 【a,b】★c=ac+b,其中等式右边是常规的 乘法和加法运算,如【2,3】★1=2×1+3=5. 若关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两 个不相等的实数根,则m 的取值范围是 ( ) A. m<14 B. m>14 C. m>14 且m≠0 D. m<14 且m≠0 类型三 运用根与系数的关系求值 根据一元二次方程中有实数根存在时根与系数 之间的数量关系,进而求得待求代数式的值. 4. 若方程x2+3x+1=0的两个根为 α、β,则 α β + βα 的值为 . 类型四 综合运用根的判别式及根与系数的 关系解题 综合运用一元二次方程根的判别式及根与系数 之间的关系,进行解题. 5. 已知关于x 的一元二次方程mx2+2(m+ 1)x+m-1=0有两个不相等的实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 若该方程的两个实数根分别为x1、x2,且 x21+x22=8,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 13. D 解 析:∵ m 满 足 等 式 (1-m)2=(1-m)2,∴ 1-m≥ 0,解得m≤1.由(m+1)y2-3my- 9=0,即(y-3)[(m+1)y+3]=0, 解得y1=3,y2=- 3 m+1.∵ m 是整 数,且关于y的一元二次方程(m+1)· y2-3my-9=0的根都是整数, ∴ m=0、-2、-4.∴ 满足条件的所 有整数m 的和是0-2-4=-6. 14. (1) 3;2. (2) ① 方法一:x2+6x-27的常数 项-27=9×(-3),一次项系数6= 9+(-3), ∴ x2+6x-27=x2+[9+(-3)]x+ 9×(-3). ∴ x2+6x-27=(x+9)(x-3). ∴ 解方程x2+6x-27=0,得x1= -9,x2=3. 方法二:x2+6x-27=x2+6x+9- 9-27=(x+3)2-62=(x+3+ 6)(x+3-6)=(x+9)(x-3). ∴ 解方程x2+6x-27=0,得x1= -9,x2=3. ② 方法一:x2-24x+140的常数项 140=(-10)×(-14),一次项系数 -24=(-10)+(-14), ∴ x2-24x+140=x2+[(-10)+ (-14)]x+(-10)×(-14). ∴ x2-24x+140=(x-10)(x- 14). ∴ 解方程x2-24x+140=0,得x1= 10,x2=14. 方法二:x2-24x+140=x2-24x+ 144-144+140=(x-12)2-22= (x-12+2)(x-12-2)=(x- 10)(x-14). ∴ 解方程x2-24x+140=0,得x1= 10,x2=14. (3) 解方程x2-10x+24=0,得x1= 4,x2=6. ① 当 CD =4时,即 AB=BC= DA=4, ∵ 菱形ABCD 的一条对角线长为8, ∴ 两边长之和大于8. ∵ 4+4=8, ∴ 不合题意,舍去. ② 当 CD =6时,即 AB=BC= DA=6, ∵ 菱形ABCD 的一条对角线长为8, ∴ 两边长之和大于8. ∵ 6+6>8, ∴ 符合题意,菱形ABCD 的周长= 4×6=24. 专题特训一　一元二次 方程解法的灵活应用 1. (1) 由原方程,得x2=36,解得 x1=6,x2=-6. (2) 整理,得x2=4,解得x1=2, x2=-2. 2. 由原方程,得x2+6x=8091. ∴ x2+6x+32=8091+32,即(x+ 3)2=8100. ∴ x+3=90或x+3=-90,解得 x1=87,x2=-93. 3. 原方程可变形为 2x2+3x- 22=0. ∵ a=2,b=3,c=-22, ∴ b2-4ac=32-4×2×(-22)= 25>0. ∴ x=-3± 25 22 . ∴ x1 = -3+5 22 = 22 ,x2 = -3-5 22 =-22. 4. (1) 原方程可变形为2x(x-3)+ (x-3)=0,得(x-3)(2x+1)=0. ∴ x1=3,x2=- 1 2. 未正确理解等式的基本性质 导致错误 解一 元 二 次 方 程 ax2=bx (a≠0)时,有的同学往往会直接将 方程变形为ax=b,得到方程的解 为x=ba ,没有考虑到在方程两边 同时除以的整式x必须是不等于0 的整式,从而导致出现失根(x=0) 的错误结果. (2) ∵ 2(4-x)2=x2-16, ∴ 2(x-4)2-(x+4)(x-4)=0. 分解因式,得(x-4)(x-12)=0. ∴ x-4=0或x-12=0,解得x1= 4,x2=12. 5. (1) 设a2+b2=m, 则原方程变为m(2m-1)=3, 整理,得2m2-m-3=0,解得m=32 或m=-1. ∵ a2+b2≥0, ∴ a2+b2=32. ∴ 3a2+3b2-1=3×32-1= 7 2. (2) 设最小正整数为x. 由题意,得x(x+1)(x+2)(x+ 3)=24, 整理,得(x2+3x)(x2+3x+2)=24. 设x2+3x=y, 则方程化为y(y+2)=24, 整理,得 y2 +2y-24=0,解 得 y1=-6,y2=4. ∵ x为正整数, ∴ x2+3x>0. ∴ y=x2+3x=4,解得x1=1, x2=-4<0(不合题意,舍去). ∴ 这四个连续正整数为1、2、3、4. *1.3　一元二次方程的根 与系数的关系 1. C 2. B 3. (1) 3 2 (2) 6 4. (1) 1-5 (2) x=2 5. (1) ∵ 方程有两个不相等的实 数根, ∴ b2-4ac=(-4)2-4(m+1)= 16-4m-4=12-4m>0. ∴ m<3. (2) 由根与系数的关系,得x1+x2= 4,x1x2=m+1. ∵ (x1-1)(x2-1)=-4, ∴ x1x2-(x1+x2)+1=-4. ∴ m+1-4+1=-4. ∴ m=-2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 6. B 解析:∵ α、β是方程x2+2x- 2024=0的两个实数根,∴ α+β= -2,α2+2α=2024.∴ α2+3α+β= α2+2α+α+β=2024+(-2)= 2022. 7. A 解析:由 勾 股 定 理,可 得 AO2+BO2=25.由根与系数的关系, 得AO+BO=-2m+1,AO·BO= m2+3.∴ AO2+BO2=(AO+ BO)2-2AO·BO=(-2m+1)2- 2(m2+3)=25.整理,得m2-2m- 15=0,解得 m1=-3,m2=5.又 ∵ b2-4ac>0,∴ (2m-1)2- 4(m2+3)>0,解 得 m < -114. ∴ m=-3. 8. (1) 7 解析:∵ m、n是一元二次 方程x2-5x+2=0的两个实数根, ∴ m2-5m +2=0,m +n=5. ∴ m2-5m=-2,n=5-m.∴ m+ (n-2)2=m+(3-m)2=m2-5m+ 9=-2+9=7. (2) 4049 解析:∵ x1、x2 是方程 x2-x-2024=0两 个 实 数 根, ∴ x21-x1-2024=0,x1+x2=1, x1x2 = -2024.∴ x31 -x21 - 2024x1=0.∴ x31-2024x1=x21. ∴ x31-2024x1+x22=x21+x22= (x1+x2)2-2x1x2=12+4048= 4049. 9. 20 解析:设菱形的对角线长分别 为x1、x2.∵ 一元二次方程x2- 14x+48=0的两个根是菱形的两条 对角线长,∴ x1+x2=14,x1x2= 48.∵ 菱形的对角线互相垂直平分, ∴ 菱形的边长为 x1 2 2 + x22 2 = x21+x22 4 = (x1+x2)2-2x1x2 4 = 142-2×48 4 = 196-96 4 = 5. ∴ 菱形的周长为4×5=20. 10. -2 解析:由题意,知x1+x2= 3.∵ x1-2x2=6,即x1+x2-3x2= 6,∴ 3-3x2=6,解得x2=-1.代入 方程,得1+3+2m=0,解得m=-2. 11. 4 解析:由方程有两个实数根 x1、x2,得(-2k)2-4(k2-k)≥0,即 k≥0,且x1+x2=2k,x1x2=k2-k. ∵ x21+x22=4,∴ (x1+x2)2- 2x1x2=4,即(2k)2-2(k2-k)=4. 整理,得k2+k-2=0,解得k1=1, k2=-2(不合题意,舍去).∴ x21- x1x2+x22=4-(k2-k)=4-k2+ k=4-1+1=4. 12. (1) ∵ 方程有实数根, ∴ b2-4ac=25-4m ≥0,解 得 m≤254. (2) 由根与系数的关系,可知x1+ x2=5,x1x2=m. ∵ 3x1-2x2=5, ∴ 3x1+3x2-5x2=5. ∴ -5x2=-10,解得x2=2. 把x=2代入原方程,得m=6. 13. (1) x2-(m+2)x+m-1=0,这 里a=1,b=-(m+2),c=m-1, ∴ b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1× (m-1)=m2+4m+4-4m+4= m2+8. ∵ m2≥0, ∴ m2+8>0,即b2-4ac>0. ∴ 无论m 取何值,方程都有两个不 相等的实数根. (2) 由题意,得x1+x2=m+2, x1x2=m-1. ∵ x21+x22-x1x2=9,即(x1+ x2)2-3x1x2=9, ∴ (m+2)2-3(m-1)=9,整理,得 m2+m-2=0. ∴ (m+2)(m-1)=0,解得m1= -2,m2=1. ∴ m 的值为-2或1. 14. 3 解析:∵ m、n是一元二次方 程x2+3x-1=0的两个实数根, ∴ m2+3m-1=0,m+n=-3. ∴ 3m-1=-m2.∴ m3+m2n 3m-1 = m2(m+n) 3m-1 = -3m2 -m2=3. 15. (1) ∵ 关 于 x 的 分 式 方 程 k-1 x-1=2 的根为非负数, ∴ x≥0,且x≠1. 解这个分式方程,得x=k+12 . ∴ k+1 2 ≥0 ,且k+1 2 ≠1 ,解得k≥ -1,且k≠1. 又∵ (2-k)x2+3mx+(3-k)n=0 为一元二次方程, ∴ 2-k≠0. ∴ k≠2. 综上所述,k≥-1,且k≠1,k≠2. (2) 成立. 理由:由(1),知k≥-1,且k≠1, k≠2. ∵ k为负整数, ∴ k=-1. ∴ 原一元二次方程可化为3x2+ 3mx+4n=0. ∴ x1+x2=-m,x1x2= 4 3n. ∵ x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1- k)(x2-k),即x1(x1+1)+x2(x2+ 1)=(x1+1)(x2+1), ∴ x21+x22+(x1+x2)=x1x2+ (x1+x2)+1,即x21+x22-x1x2=1. ∴ (x1+x2)2-3x1x2=1. ∴ (-m)2-3×43n=1 ,即 m2- 4n=1. ∴ n=m 2-1 4 ③. 又∵ b2-4ac=(3m)2-4×3×4n= 9m2-48n≥0④, ∴ 把 ③ 代 入 ④,得 9m2 -48× m2-1 4 ≥0. 整理,得m2≤4. 专题特训二　根的判别式 及根与系数的关系 1. C 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 2. (1) b2-4ac=m2-4×2n=m2- 8n, ∵ m=n+3, ∴ b2-4ac=(n+3)2-8n=n2- 2n+9=(n-1)2+8>0. ∴ 该一元二次方程有两个不相等的 实数根. (2) 根据题意,得b2-4ac=m2- 8n=0, ∴ m2=8n. 令n=0,则 m=0(m、n 的取值不 唯一), 此时方程变形为x2=0, ∴ x1=x2=0. 3. D 解析:根据题意,得x×mx+ x+1=0,整理,得mx2+x+1=0. ∵ 关 于 x 的 方 程 【x,x+1】★ (mx)=0有两个不相等的实数根, ∴ b2-4ac=12-4m·1>0且m≠ 0,解得m<14 且m≠0. 4. 3 解析:∵ 方程x2+3x+1=0 的两个根为α、β,∴ α+β=-3,αβ= 1.∴ (α+β)2=9,即α2+2αβ+β2= 9.∴ α2+2αβ+β2 αβ =9,即α β +2+ β α=9.∵ αβ>0,∴ α β >0,βα >0. ∴ αβ 2 +2 α β · β α + βα 2 =9.∴ αβ + βα 2 = 9.∴ α β + βα =3. 5. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 mx2+2(m+1)x+m-1=0有两个 不相等的实数根, ∴ b2-4ac=[2(m+1)]2-4m(m- 1)>0,解得m>-13. 又∵ m≠0, ∴ m 的 取 值 范 围 是 m>-13 且 m≠0. (2) ∵ 该方程的两个实数根分别为 x1、x2, ∴ x1+x2=- 2m+2 m ,x1x2= m-1 m . 又∵ x21+x22=8,即(x1+x2)2- 2x1x2=8, ∴ -2m+2m 2 -2×m-1m =8 ,解得 m1=2,m2=- 1 3. 经检验,m1=2,m2=- 1 3 是原分式 方程的解. 又∵ m>-13 且m≠0, ∴ m=2. 1.4　用一元二次方程 解决问题 第1课时 面积问题 与平均增长率问题 1. B 2. D 3. 2 解析:设道路的宽为x 米. ∵ 种植草坪的部分可合成长为(32- x)米、宽为(20-x)米的矩形,∴ 由 题意,得(32-x)(20-x)=540,解得 x1=2,x2=50(不合题意,舍去). ∴ 道路的宽为2米. 4. (1) ∵ 平行于墙的一边长为xm, ∴ 垂直于墙的一边长为60-x 2 m. ∴ x·60-x2 =250 ,解得x1=10, x2=50. ∵ x≤40, ∴ x=10. ∴ 60-x 2 =25. ∴ 当垂直于墙的一边长为25m,平行 于墙的一边长为10m时,饲养室的占 地面积为250m2. (2) 画出设计示意图如图所示(画法 不唯一). 方案一:AB 的长为30m,AC 的长为 11m;方案二:AB 的长为33m,AC 的长为10m(任选一种方案即可). 由题意,得AC的长为60- (x-2)+1 3 = 63-x 3 m. ∴ x·63-x3 =330 ,解得x1=30, x2=33. 当x=30时,即AB 的长为30m,AC 的长为11m; 当x=33时,即AB 的长为33m,AC 的长为10m. ∴ 两种方案均可行. (第4题) 5. B 解析:设这种植物每个支干长 出的小分支的个数是x.由题意,得 1+x+x2=57.整理,得x2+x- 56=0,解得x1=7,x2=-8(不合题 意,舍去).∴ 这种植物每个支干长出 的小分支的个数是7. 6. 10% 解析:根据题意,得500(1+ 20%)(1-r)2=486,解得r1=0.1, r2=1.9(不合题意,舍去).∴ r= 10%. 7. 54 解析:由题意,得长减少3m, 矩形菜地变成正方形菜地.∴ 设矩形 菜地的宽为xm,则长为(x+3)m.根 据题意,得x(x+3)=180,解得x1= 12,x2= -15(不 合 题 意,舍 去). ∴ x+3=15.∴ 这块矩形菜地的长 为15m,宽为12m.∴ 李叔叔原来的 菜地的周长为2×(15+12)=54(m). 8. 6 解析:设一名同学每节课手把 手教会了x 名同学.根据题意,得 (1+x)2=49,解得x1=6,x2=-8 (不合题意,舍去).∴ 一名同学每节 课手把手教会了6名同学. 9. (1) ∵ AB=x米, ∴ AD=(40-x)米. 由题意,得x(40-x)=300,解得 x1=10,x2=30,即 x 的 值 为10 或30. (2) 花园的面积不能为400平方米. 理由:由题意,得x(40-x)=400,解 得x1=x2=20. ∴ 当x=20时,40-x=40-20=20. ∵ 20<24, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7