1.2 一元二次方程的解法&专题特训一 一元二次方程解法的灵活应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

1.2　一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 1. D 2. D 3. 4 4. 6+ 3 解析:解(x-2)2=3,得 x1=2+3,x2=2-3.∵ 方程(x- 2)2=3的两个根为a 和b,且a>b, ∴ a=2+3,b=2- 3.∴ 2a+b= 2×(2+3)+2-3=6+3. 5. (1) x1=23,x2=-23. (2) x1=4,x2=-4. (3) x1=6,x2=-2. (4) y1=0,y2=-8. 6. C 解析:由(a2+b2-3)2=25,得 a2+b2-3=±5.∴ a2+b2=3±5, 解得 a2+b2=8或a2+b2=-2(不 合题意,舍去). 7. D 解析:由题意,知3x2=54, ∴ x2=18.∴ x1=32,x2=-32. 8. x1=2,x2=-2 解析:由题意,得 (2x+1)*x=8可化为(2x+1)x- x=8,解得x=±2.∴ 该方程的解为 x1=2,x2=-2. 9. 2或-1 解析:∵ min{(x-1)2, x2}=1,∴ 当(x-1)2=1时,解得 x1=2,x2=0(不合题意,舍去);当 x2=1时,解得x3=-1,x4=1(不合 题意,舍去). 10. 小明的解答有错误. ②;直接开平方求的是平方根而不是 算术平方根. 移项,得4(2x-1)2=25(x+1)2. 直接开平方,得2(2x-1)=±5(x+1). ∴ x1=-7,x2=- 1 3. 11. 解方程2(x-3)2-8=0,得x1= 1,x2=5. ∵ 三角形的两边长分别是3和4, ∴ 第三边的长x 的取值范围是1< x<7. ∴ x=5. ∵ 32+42=52, ∴ 这个三角形是直角三角形. 12. 设原正方形铁皮的边长为xcm, 则无盖的长方体盒子的长、宽均为 (x-6×2)cm,高为6cm. 根据题意,得(x-6×2)(x-6×2)× 6=3750,即(x-12)2=625,解得 x1=37,x2=-13(不合题意,舍去). ∴ 原正方形铁皮的边长为37cm. 13. x1= 11 4 ,x2= 9 4 解析:∵ 方程 a(x+m)2+b=0的两个根为x1=3 和x2=7,∴ a(3+m)2+b=0, a(7+m)2+b=0, 解得 m=-5, a b=- 1 4. ∵ 4b x+12m 2+a= 0,b≠0,∴ 4x+12m 2 +ab =0. ∴ 4x-52 2 -14=0 ,解得x1= 11 4 ,x2= 9 4. 14. (1) 32;9. (2) ∵ |d(a,2)|=8, ∴ d(a,2)=±8. 若d(a,2)=8, 当a>2时,4a-a=8,解得a=83 ; 当a<2时,2a2-2=8,解得a1= -5,a2=5(不合题意,舍去). 若d(a,2)=-8, 当a>2时,4a-a=-8,解得a= -83 (不合题意,舍去); 当a<2时,2a2-2=-8,无解. 综上所述,当|d(a,2)|=8时,a的值 为8 3 或-5. 第2课时 配 方 法 1. B 2. A 3. x1=2025,x2=-2023 解析:x2-2x-4096575=0,则x2- 2x=4096575.∴ x2-2x+1= 4096575+ 1.∴ (x - 1)2 = 4096576.∴ x-1=±2024.∴ x1= 2025,x2=-2023. 4. 3 5. (1) x1=-5+33,x2=-5- 33. (2) x1=-2+22,x2=-2-22. (3) x1= 2+ 10 3 ,x2= 2- 10 3 . (4) x1=-4,x2= 1 2. 6. D 7. D 解析:∵ 方程x2-6x+q=0 配方后是(x-p)2=7,∴ x2-2px+ p2=7.∴ -6=-2p,解得p=3,即 (x-3)2=7.∴ x2-6x+9-7=0. ∴ q=2.∴ x2+6x+q=0配方后是 (x+3)2=7. 8. 1 9. 7 解析:∵ 2a2+b2-4a-6b+ 11=0,∴ 2a2-4a+2+b2-6b+9= 0.∴ 2(a-1)2+(b-3)2=0.∴ a- 1=0,b-3=0,解得a=1,b=3. ∴ 3-1<c<3+1,即2<c<4.∵ c 是正整数,∴ c=3.∴ △ABC的周长 为1+3+3=7. 10. (1) 把x=0代入方程,得a2- 4=0,解得a1=2,a2=-2. 由题意,得a+2≠0. ∴ a≠-2. ∴ a=2. (2) 把a=1代入方程,得3x2+3x- 3=0,即x2+x=1. 配方,得x2+x+14= 5 4 ,即 x+ 1 2 2 =54 ,解得x1=- 1 2+ 5 2 , x2=- 1 2- 5 2. 11. (1) 1;小;3. (2) 2;大;7. (3) 设花 园 垂 直 于 墙 的 边 的 长 为 xm,则平行于墙的边的长为(20- 2x)m. ∵ x(20-2x)= -2x2+20x= -2(x2-10x+25)+50=-2(x- 5)2+50, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 ∴ 花园的面积为[-2(x-5)2+ 50]m2. ∵ -2(x-5)2≤0, ∴ -2(x-5)2+50≤50,即-2(x- 5)2+50有最大值50,此时x=5. ∴ 当花园垂直于墙的边的长为5m 时,花园的面积最大,最大面积是 50m2. 求ax2+bx+c的最大值 或最小值的一般方法 对于二次三项式ax2+bx+c 的最大值或最小值问题,往往先运 用配方法将它化成a(x+m)2+h 的形式,再根据(x+m)2≥0,结合 a与0的大小关系确定a(x+m)2 与0的大小关系,即当a>0时, a(x+m)2≥0,a(x+m)2+h≥h, 此时,该二次三项式有最小值,为 h;当a<0时,a(x+m)2≤0, a(x+m)2+h≤h,此时,该二次三 项式有最大值,为h. 12. a>b>c 解析:∵ m、n均不为 0,∴ a-b=m2+mn+n2-mn+ n2=m2+2n2>0.∴ a>b.∵ b-c= mn-n2-5mn+4m2+3n2=4m2- 4mn+2n2=(2m-n)2+n2>0, ∴ b>c.∴ a>b>c. 13. 0 解析:∵ (a2+4a+6)· (2b2-4b+7)≤10,∴ (a2+4a+4+ 2)(2b2-4b+2+5)≤10.∴ [(a+ 2)2+2][2(b-1)2+5]≤10.∴ 2(a+ 2)2(b-1)2+5(a+2)2+4(b-1)2+ 10≤10.∴ 2(a+2)2(b-1)2+5(a+ 2)2+4(b-1)2≤0.∵ 2(a+2)2(b- 1)2≥0,5(a+2)2≥0,4(b-1)2≥0, ∴ a+2=0,b-1=0.∴ a=-2,b= 1.∴ a+2b=-2+2=0. 14. 将原方程拆成两个二次三项式组 成的方程,得(a2x2-2abx+b2)+ (b2x2-2bcx+c2)=0. ∴ (ax-b)2+(bx-c)2=0. 又∵ a、b、c、x 都是实数,即(ax- b)2≥0,(bx-c)2≥0, ∴ ax-b=0,bx-c=0. 又∵ a、b均不为0, ∴ 易得c b= b a=x. 第3课时 公式法与根的判别式 1. C 2. B 3. x1= -1+ 57 4 , x2= -1- 57 4 4. -2m 解析:∵ x2+bx+4=0的 两个根中较小的一个根是m(m≠0), ∴ -b- b2-16 2 = m.∴ b + b2-16=-2m. 5. (1) 一;原方程没有化成一般形式. (2) 把方程x2-5x=1化为一般形 式,得x2-5x-1=0. ∵ a=1,b=-5,c=-1, ∴ b2-4ac= (-5)2-4×1× (-1)=25+4=29>0. ∴ x=5± 292 . ∴ x1= 5+ 29 2 ,x2= 5- 29 2 . 6. A 解析:∵ 关于x的一元二次方 程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相 等的实数根,∴ m+1≠0, 4-4(m+1)>0, 解 得m<0且m≠-1. 7. A 解析:若x=1是方程甲的根, 则a+2b+a=0,即a=-b.∴ 方程 乙:bx2+2ax+b=0变为bx2- 2bx+b=0,解得x1=x2=1.∴ x=1 也是方程乙的根.∴ ①正确.若方程 甲有两个相等的实数根,则(2b)2- 4a·a=0,即4b2=4a2.∴ 4a2- 4b2=0.∴ 在方程乙:bx2+2ax+b= 0中,其根的判别式(2a)2-4b·b= 4a2-4b2=0.∴ 方程乙有两个相等 的实数根.∴ ②正确.若方程甲有两 个不相等的实数根,则(2b)2-4a· a>0,解得 4b2>4a2.∴ 4a2-4b2< 0.∴ 在方程乙:bx2+2ax+b=0中, 其根的判别式(2a)2-4b·b=4a2- 4b2<0.∴ 方 程 乙 没 有 实 数 根. ∴ ③不正确.若x=n既是方程甲的 根, 又 是 方 程 乙 的 根, 则 an2+2bn+a=0①, bn2+2an+b=0②. ①-②,得(a- b)n2-2(a-b)n+(a-b)=0. ∵ a≠b,∴ n2-2n+1=0,解得 n1=n2=1.∴ ④不正确.综上所述, 正确的是①②. 8. D 解析:∵ 直线y=2x+a不经 过第二象限,∴ a≤0.当a<0时, ∵ 22-4a=4-4a>0,∴ 方程有两 个不相等的实数根.当a=0时,原方 程可化为2x+1=0,∴ 实数根的个 数为1.综上所述,关于x 的方程 ax2+2x+1=0的实数根的个数为1 或2. 9. -12 解析:设|x|=y,此方程变 形为y2-3y+2=0,解得y1=2, y2=1.∴ |x|=2或|x|=1.∴ x= ±2或x=±1.∴ 最小的根为-2,它 的倒数是-12. 10. 7 2 解析:由题意,可知(-2m)2- 4× 12 × (-4m +1)=4m2 - 2(-4m+1)=4m2+8m-2=0. ∴ m2+2m= 12.∴ (m-2)2- 2m(m-1)= -m2 -2m +4= -(m2+2m)+4=-12+4= 7 2. 11. (1) 答 案 不 唯 一,如 3x2 + 52x+4=0. (2) ∵ 勾股方程mx2+ 2qx+n=0 有两个相等的实数根, ∴ (2q)2-4mn=2q2-4mn=0. ∴ q2=2mn. ∵ q2=m2+n2, ∴ m2+n2=2mn. ∴ (m-n)2=0,即m-n=0. ∴ m=n. ∴ q=2m. ∴ m q= 2 2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 (3) ∵ x=-1是勾股方程mx2+ 2qx+n=0的一个根, ∴ m-2q+n=0. ∴ 2q=m+n. ∵ 四边形ABCD 的周长是6, ∴ 2m+2n+2q=6. ∴ q=2. ∵ q2=m2+n2, ∴ m2+n2=2,m+n=2. ∴ 易得mn=1. ∴ 四 边 形 ABCD 的 面 积 =2× 1 2mn+ 1 2q 2=mn+ 12q 2=1+ 1=2. 12. ±3或-5 解析:① 当原方程是 一元一次方程时,方程只有一个实数 根,则k2-9=0,解得k=±3.② 当 原方程是一元二次方程时,方程有两 个相等的实数根,即a≠0,b2-4ac= 0.∴ k2-9≠0,4(k+1)2-4(k2- 9)=0,解得k=-5.综上所述,k 的 值为±3或-5. 13. (1) ∵ b2-4ac=[-(3k+ 1)]2-4(2k2+2k)=9k2+6k+1- 8k2-8k=k2-2k+1=(k-1)2≥0, ∴ 无论k取何值,方程总有实数根. (2) ① 若a为底边长,则b、c为腰长. ∴ b=c. ∴ (k-1)2=0,解得k=1. ∴ 原方程可化为x2-4x+4=0. ∴ x1=x2=2. ∴ b=c=2,此时△ABC 的三边长为 6、2、2,不能构成三角形,舍去. ② 若a为腰长,则b、c中有一个为腰 长,不妨设b=a=6. 将x=6代入方程,得62-6(3k+ 1)+2k2+2k=0,解得k=3或k=5. 当k=3时,原方程可化为x2-10x+ 24=0,解得x1=4,x2=6. ∴ b=6,c=4,此时△ABC 的三边长 为6、6、4,能构成三角形. 当k=5时,原方程可化为x2-16x+ 60=0,解得x3=6,x4=10. ∴ b=6,c=10,此时△ABC 的三边 长为6、6、10,能构成三角形. ∴ △ABC的周长为6+6+4=16或 6+6+10=22. 解决一元二次方程与等腰 三角形问题的一般步骤 往往先根据一元二次方程根 的判别式与0的大小关系,确定方 程总有实数根,再根据三角形的形 状和已知边长分情况讨论方程根 的情况,求得方程中的待定系数及 其解,并结合三角形三边关系确定 三角形的三边长和周长.在特殊情 况下,也可以根据一元二次方程根 的判别式为完全平方式,直接运用 公式法求得方程的根,再分类讨论 求得符合条件的三角形的三边长 和周长. 第4课时 因式分解法 1. B 2. C 3. 2 4. (1) x1=0,x2=-16. (2) x1=-2,x2=- 2 5. (3) x1=-3,x2= 3 2. (4) x1=0,x2=4. 5. (1) △ABC是等腰三角形. 理由:把x=-1代入方程(a+c)· x2+2bx+(b-c)=0,得a+c-2b+ b-c=0. ∴ a=b. ∴ △ABC为等腰三角形. (2) ∵ △ABC为等边三角形, ∴ a=b=c. ∴ 方程(a+c)x2+2bx+(b-c)=0 可化为 x2+x=0,解 得 x1=0, x2=-1. 6. C 解析:∵ x2-x-1=(x+1)0, ∴ x2-x-1=1,即(x-2)(x+1)= 0,解得x1=2,x2=-1.又∵ x+1≠ 0,即x≠-1,∴ x=2. 7. C 解析:∵ 2(x-3)2=9-x2, ∴ 2(x-3)2+(x+3)(x-3)=0. ∴ (x-3)[2(x-3)+(x+3)]=0, 即(x-3)(3x-3)=0.∴ x1=1, x2=3. 8. D 解析:把x=3代入方程x2- (m+1)x+2m=0,得9-3(m+1)+ 2m=0,解得m=6.∴ 原方程为x2- 7x+12=0,解得x1=3,x2=4.∵ 这 个方程的两个实数根恰好是等腰三角 形ABC 的 两 条 边 的 长,∴ ① 当 △ABC的腰长为4,底边长为3时, △ABC的周长为4+4+3=11;② 当 △ABC的腰长为3,底边长为4时, △ABC的周长为3+3+4=10.综上 所述,△ABC的周长为10或11. 9. -2 解析:根据题意,得x2+ 2x-(3x+1)=5.整理,得x2-x- 6=0,即(x-3)(x+2)=0,解得 x1=3,x2=-2.当x=3时,3x+1= 10>0,不符合题意,舍去;当x=-2 时,3x+1=-5<0,符合题意.∴ x 的值为-2. 10. 2(x+3)(x-5) 解析:∵ x2- 2px+3q=0的两个根分别是-3和 5,∴ 2x2-4px+6q=2(x2-2px+ 3q)=2(x+3)(x-5). 11. 12 解析:解x2-4x+3=0,得 x1=1,x2=3.由题意,得a=1或3. 当a=1时,三边长为1、3、4.∵ 1+ 3=4,∴ 长为1、3、4的三条线段不能 组成三角形.当a=3时,三边长为3、 5、4.∵ 3+4>5,∴ 长为3、5、4的三 条线段能组成三角形.∴ 三角形的周 长为3+4+5=12. 12. 当x+3≥0,即x≥-3时,原方 程可化为x2+(x+3)-9=0,即 x2+x-6=0. 分解因式,得(x-2)(x+3)=0,解得 x1=-3,x2=2. 当x+3<0,即x<-3时,原方程可 化为x2-(x+3)-9=0,即x2-x- 12=0. 分解因式,得(x-4)(x+3)=0,解得 x3=4,x4=-3. 两个解都不符合x<-3,舍去. 综上所述,原方程的解为x1=-3, x2=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 13. D 解 析:∵ m 满 足 等 式 (1-m)2=(1-m)2,∴ 1-m≥ 0,解得m≤1.由(m+1)y2-3my- 9=0,即(y-3)[(m+1)y+3]=0, 解得y1=3,y2=- 3 m+1.∵ m 是整 数,且关于y的一元二次方程(m+1)· y2-3my-9=0的根都是整数, ∴ m=0、-2、-4.∴ 满足条件的所 有整数m 的和是0-2-4=-6. 14. (1) 3;2. (2) ① 方法一:x2+6x-27的常数 项-27=9×(-3),一次项系数6= 9+(-3), ∴ x2+6x-27=x2+[9+(-3)]x+ 9×(-3). ∴ x2+6x-27=(x+9)(x-3). ∴ 解方程x2+6x-27=0,得x1= -9,x2=3. 方法二:x2+6x-27=x2+6x+9- 9-27=(x+3)2-62=(x+3+ 6)(x+3-6)=(x+9)(x-3). ∴ 解方程x2+6x-27=0,得x1= -9,x2=3. ② 方法一:x2-24x+140的常数项 140=(-10)×(-14),一次项系数 -24=(-10)+(-14), ∴ x2-24x+140=x2+[(-10)+ (-14)]x+(-10)×(-14). ∴ x2-24x+140=(x-10)(x- 14). ∴ 解方程x2-24x+140=0,得x1= 10,x2=14. 方法二:x2-24x+140=x2-24x+ 144-144+140=(x-12)2-22= (x-12+2)(x-12-2)=(x- 10)(x-14). ∴ 解方程x2-24x+140=0,得x1= 10,x2=14. (3) 解方程x2-10x+24=0,得x1= 4,x2=6. ① 当 CD =4时,即 AB=BC= DA=4, ∵ 菱形ABCD 的一条对角线长为8, ∴ 两边长之和大于8. ∵ 4+4=8, ∴ 不合题意,舍去. ② 当 CD =6时,即 AB=BC= DA=6, ∵ 菱形ABCD 的一条对角线长为8, ∴ 两边长之和大于8. ∵ 6+6>8, ∴ 符合题意,菱形ABCD 的周长= 4×6=24. 专题特训一　一元二次 方程解法的灵活应用 1. (1) 由原方程,得x2=36,解得 x1=6,x2=-6. (2) 整理,得x2=4,解得x1=2, x2=-2. 2. 由原方程,得x2+6x=8091. ∴ x2+6x+32=8091+32,即(x+ 3)2=8100. ∴ x+3=90或x+3=-90,解得 x1=87,x2=-93. 3. 原方程可变形为 2x2+3x- 22=0. ∵ a=2,b=3,c=-22, ∴ b2-4ac=32-4×2×(-22)= 25>0. ∴ x=-3± 25 22 . ∴ x1 = -3+5 22 = 22 ,x2 = -3-5 22 =-22. 4. (1) 原方程可变形为2x(x-3)+ (x-3)=0,得(x-3)(2x+1)=0. ∴ x1=3,x2=- 1 2. 未正确理解等式的基本性质 导致错误 解一 元 二 次 方 程 ax2=bx (a≠0)时,有的同学往往会直接将 方程变形为ax=b,得到方程的解 为x=ba ,没有考虑到在方程两边 同时除以的整式x必须是不等于0 的整式,从而导致出现失根(x=0) 的错误结果. (2) ∵ 2(4-x)2=x2-16, ∴ 2(x-4)2-(x+4)(x-4)=0. 分解因式,得(x-4)(x-12)=0. ∴ x-4=0或x-12=0,解得x1= 4,x2=12. 5. (1) 设a2+b2=m, 则原方程变为m(2m-1)=3, 整理,得2m2-m-3=0,解得m=32 或m=-1. ∵ a2+b2≥0, ∴ a2+b2=32. ∴ 3a2+3b2-1=3×32-1= 7 2. (2) 设最小正整数为x. 由题意,得x(x+1)(x+2)(x+ 3)=24, 整理,得(x2+3x)(x2+3x+2)=24. 设x2+3x=y, 则方程化为y(y+2)=24, 整理,得 y2 +2y-24=0,解 得 y1=-6,y2=4. ∵ x为正整数, ∴ x2+3x>0. ∴ y=x2+3x=4,解得x1=1, x2=-4<0(不合题意,舍去). ∴ 这四个连续正整数为1、2、3、4. *1.3　一元二次方程的根 与系数的关系 1. C 2. B 3. (1) 3 2 (2) 6 4. (1) 1-5 (2) x=2 5. (1) ∵ 方程有两个不相等的实 数根, ∴ b2-4ac=(-4)2-4(m+1)= 16-4m-4=12-4m>0. ∴ m<3. (2) 由根与系数的关系,得x1+x2= 4,x1x2=m+1. ∵ (x1-1)(x2-1)=-4, ∴ x1x2-(x1+x2)+1=-4. ∴ m+1-4+1=-4. ∴ m=-2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 4 1.2　一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 ▶ “答案与解析”见P2 1. 若关于x的方程(x-2)2=m+1有实数根, 则m 的取值范围是 ( ) A. m>1 B. m>-1 C. m≥1 D. m≥-1 2. 方程(x+6)2-9=0的两个根是 ( ) A. x1=3,x2=9 B. x1=-3,x2=9 C. x1=3,x2=-9 D. x1=-3,x2=-9 3. 如果关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0) 的两个根分别是m-1和2m+4,那么ba 的 值为 . 4. 已知一元二次方程(x-2)2=3的两个根为a 和b,且a>b,则2a+b的值为 . 5. 用直接开平方法解下列方程: (1) x2-12=0. (2) 1 2x 2-2=6. (3) (x-2)2=16. (4) 2(y+4)2+3=35. 6. 若(a2+b2-3)2=25,则a2+b2的值为 ( ) A. 8或-2 B. -2 C. 8 D. 2或-8 7. 给出一种运算:对于函数y=xn,规定y'= nxn-1.例如:若函数y=x5,则有y'=5x4.已 知函数y=x3,则方程y'=54的根是 ( ) A. x1=x2=0 B. x1=23,x2=-23 C. x1=2,x2=-2 D. x1=32,x2=-32 8. 新考法·新定义题 定义运算:a*b=ab-b,例 如:1*2=1×2-2=0,则方程(2x+1)* x=8的解为 . 9. 对于实数p、q,我们用符号min{p, q}表示p、q 两数中较小的数,如 min{1,2}=1.若 min{(x-1)2, x2}=1,则x= . 10. 用直接开平方法解一元二次方程4(2x- 1)2-25(x+1)2=0. 小明的解答如下:移项,得4(2x-1)2= 25(x+1)2①. 直接开平方,得2(2x-1)=5(x+1)②. ∴ x=-7③. 小明 的 解 答 有 无 错 误? 若 有,错 在 第 步,原因是 ,写出正确的解答过程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 5 11. 已知三角形的两边长分别是3和4,第三边 的长是方程2(x-3)2-8=0的根,试判断 这个三角形的形状. 12. 如图,将一块正方形铁皮的四个角各剪去 一个边长为6cm的小正方形,做成一个 无盖的长方体盒子.已知盒子的容积为 3750cm3,求原正方形铁皮的边长. (第12题) 13. 已知关于x的方程a(x+m)2+b=0(a、b、m 均为常数,且a≠0,b≠0)的两个根是x1=3 和x2=7,则关于x的方程4b x+12m 2 + a=0的根是 . 14. 已知a、b为实数,且a、b均不为0, 现定义有序实数对(a,b)的“真诚 值”为d(a,b)= ab2-a(a>b), ba2-b(a<b), 如数对(3,2)的“真诚值”为d(3,2)=3× 22-3=9;数对(-5,-2)的“真诚值”为 d(-5,-2)=(-2)×(-5)2-(-2)= -48. (1) 根据上述的定义填空:d(-3,4)= ,d(3,-2)= . (2) 数对(a,2)的“真诚值”的绝对值为 |d(a,2)|.若|d(a,2)|=8,求a的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 6 第2课时 配 方 法 ▶ “答案与解析”见P2 1. (2024·南通模拟)用配方法解方程x2+ 8x+7=0,变形后的正确结果是 ( ) A. (x+4)2=-7 B. (x+4)2=9 C. (x+4)2=23 D. (x+4)2=-9 2. 解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方, 如图①所示为甲的做法,如图②所示为乙的 做法.对于两人的做法,下列说法中正确的是 ( ) (第2题) A. 两人都正确 B. 甲正确,乙不正确 C. 甲不正确,乙正确 D. 两人都不正确 3. (2024·无锡期末)若方程x2-4096576=0 的两根为x1=2024,x2=-2024,则方程 x2-2x-4096575=0的两根为 . 4. (2024·常州期末)如图,用配方法解一元二 次方程x2+6x=40时,配方的过程可以用 拼图直观地表示,即看成将一个长是x+6、 宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方 形,则m 的值是 . (第4题) 5. 用配方法解下列方程: (1) x2-2=-10x. (2) 1 2x 2+2x-2=0. (3) 3x2-4x-2=0. (4) -2x2-7x+4=0. 6. (2024·东营)用配方法解一元二次方程 x2-2x-2023=0,将它转化为(x+a)2=b 的形式,则ab 的值为 ( ) A. -2024 B. 2024 C. -1 D. 1 7. 已知关于x的方程x2-6x+q=0配方后是 (x-p)2=7,则方程x2+6x+q=0配方后是 ( ) A. (x-3)2=5 B. (x+3)2=5 C. (x-3)2=9 D. (x+3)2=7 8. 已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c= 0(a、b、c是常数,a≠0)配方后为(x+1)2= d(d为常数),则b2a= . 9. 已知△ABC 的三边长a、b、c都是正整数,且 满足2a2+b2-4a-6b+11=0,则△ABC 的周长是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 7 10. 已知关于x 的一元二次方程(a+2)x2+ 3x+a2-4=0. (1) 若方程有一个根为0,求实数a的值. (2) 当a=1时,用配方法解方程. 11. ★ 配方法不仅可以用来解一元二次方程,还 可以解决很多其他问题,例如:∵ 3a2≥0, ∴ 3a2+1≥1,即3a2+1有最小值1,此时 a=0.同样,∵ -3(a+1)2≤0,∴ -3(a+ 1)2+6≤6,即-3(a+1)2+6有最大值6, 此时a=-1. (1) 当x= 时,代数式2(x-1)2+3 有最 (填“大”或“小”)值,为 . (2) 当x= 时,代数式-x2+4x+ 3有最 (填“大”或“小”)值,为 . (3) 如图,矩形花园的一面靠墙(墙足够 长),另外三面的栅栏总长为20m,当花园 垂直于墙的边的长为多少时,花园的面积最 大? 最大面积是多少? (第11题) 12. (2024·靖江段考)已知a=m2+mn+n2, b=mn-n2,c=5mn-4m2-3n2(m、n 为 常数且均不为0),比较a、b、c 的大小: (用“>”连接). 13. 已知实数a、b满足(a2+4a+6)· (2b2-4b+7)≤10,则a+2b= . 14. 已知关于x 的方程(a2+b2)x2- 2b(a+c)x+b2+c2=0,其中a、 b、c、x都是实数,且a、b均不为0. 求证:c b= b a=x. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 8 第3课时 公式法与根的判别式 ▶ “答案与解析”见P3 1. 一元二次方程x2+22x-6=0的根是 ( ) A. x1=x2=2 B. x1=0,x2=-22 C. x1=2,x2=-32 D. x1=-2,x2=32 2. (2024·泰安)若关于x 的一元二次方程 2x2-3x+k=0有实数根,则实数k的取值 范围是 ( ) A. k<98 B. k≤98 C. k≥98 D. k<-98 3. 已知a、b满足|b-2|+ 3a+9=0,则关于 x 的方程(1-a)x2+bx=2-4a 的根是 . 4. 若关于x的一元二次方程x2+bx+4=0的 两个根中较小的一个根是m(m≠0),则b+ b2-16= (用含m 的代数式表示). 5. 小明在解方程x2-5x=1时出现了错误,其 解答过程如下: 解:∵ a=1,b=-5,c=1(第一步), ∴ b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21(第二步). ∴ x=5± 212 (第三步). ∴ x1= 5+ 21 2 ,x2= 5- 21 2 (第四步). (1) 小明的解答过程从第 步开始出 错,其错误原因是 . (2) 写出此题正确的解答过程. 6. (2024·广安)若关于x 的一元二次方程 (m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数 根,则m 的取值范围是 ( ) A. m<0且m≠-1 B. m≥0 C. m≤0且m≠-1 D. m<0 7. 已知方程甲:ax2+2bx+a=0,方程乙: bx2+2ax+b=0都是关于x 的一元二次方 程(a≠b).有下列说法:① 若x=1是方程甲 的根,则x=1也是方程乙的根;② 若方程甲 有两个相等的实数根,则方程乙也有两个相 等的实数根;③ 若方程甲有两个不相等的实 数根,则方程乙也有两个不相等的实数根; ④ 若x=n既是方程甲的根,又是方程乙的 根,则n可以取1或-1.其中,正确的是 ( ) A. ①② B. ③④ C. ①②③④ D. ①②④ 8. 在平面直角坐标系中,若直线y=2x+a不 经过第二象限,则关于x 的方程ax2+2x+ 1=0的实数根的个数为 ( ) A. 0 B. 0或1 C. 2 D. 1或2 9. 方程x2-3|x|+2=0的最小一个根的倒数 是 . 10. 若关于x 的一元二次方程12x 2-2mx- 4m+1=0有两个相等的实数根,则(m- 2)2-2m(m-1)的值为 . 11. 如图,将两个全等的Rt△ABE 和 Rt△ECD 拼在一起,连接AD,点 B、E、C 在同一条直线上,AE⊥ ED.已知直角三角形的直角边长分别为m、 n,斜边长为q,分别以m、2q、n为二次项 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 9 系数、一次项系数和常数项构造的关于x的 一元二次方程mx2+ 2qx+n=0,称为勾 股方程. (1) 请直接写出一个勾股方程. (2) 若勾股方程mx2+2qx+n=0有两个 相等的实数根,求m q 的值. (3) 若x=-1是勾股方程mx2+ 2qx+ n=0的一个根,且四边形ABCD 的周长是 6,求四边形ABCD 的面积. (第11题) 12. 如果关于x 的方程(k2-9)x2-2(k+ 1)x+1=0恰好只有一个根,那么k的值为 . 13. ★已知关于x 的方程x2-(3k+ 1)x+2k2+2k=0. (1) 求证:无论k取何值,方程总有 实数根. (2) 若等腰三角形ABC 的一边长a=6,另 两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求 △ABC 的周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 10 第4课时 因式分解法 ▶ “答案与解析”见P4 1. (2024·贵州)一元二次方程x2-2x=0的 解是 ( ) A. x1=3,x2=1 B. x1=2,x2=0 C. x1=3,x2=-2 D. x1=-2,x2=-1 2. 一元二次方程x(x-2)+x-2=0的根为 ( ) A. x1=x2=-1 B. x1=x2=1 C. x1=2,x2=-1 D. x1=2,x2=1 3. 已知一个等腰三角形的两边长分别是方程 x2-x=2(x-1)的两个实数根,则该等腰三 角形的第三边长是 . 4. 用因式分解法解下列方程: (1) x2+16x=0. (2) (3x+2)2-4x2=0. (3) 2x(x+3)-3(x+3)=0. (4) (x-3)(x-1)=3. 5. 已知关于x 的一元二次方程(a+c)x2+ 2bx+(b-c)=0,其中,a、b、c 分别是 △ABC 的三边长. (1) 如果x=-1是方程的根,试判断△ABC 的形状,并说明理由. (2) 如果△ABC 是等边三角形,试求这个一 元二次方程的根. 6. 若x2-x-1=(x+1)0,则x的值为 ( ) A. 2或-1 B. 0或1 C. 2 D. -1 7. 方程2(x-3)2=9-x2的根是 ( ) A. x1=0,x2=3 B. x1=1,x2=-3 C. x1=1,x2=3 D. x1=x2=3 8. 已知x=3是关于x的方程x2-(m+1)x+ 2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个 实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边的 长,则△ABC 的周长为 ( ) A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 9. 如图,数轴上点A 代表的数为3x+1,点B 代表的数为x2+2x.已知AB=5,且点A 在 数轴的负半轴上,则x的值为 . (第9题) 10. 若关于x的方程x2-2px+3q=0的两个 根分别是-3和5,则多项式2x2-4px+6q 可以分解因式为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 11 11. 已知a为一元二次方程x2-4x+3=0的 根,则以a、a+2、4为三边长的三角形的周 长为 . 12. 阅读材料: 解方程:x2+|x-1|-1=0. 解:当x-1≥0,即x≥1时,原方 程可化为x2+(x-1)-1=0,即x2+x-2= 0,解得x1=1,x2=-2(不合题意,舍去). 当x-1<0,即x<1时,原方程可化为x2- (x-1)-1=0,即x2-x=0,解得x3=0, x4=1(不合题意,舍去). 综上所述,原方程的解为x1=1,x2=0. 请按材料提供的方法解方程:x2+|x+ 3|-9=0. 13. 已知关于y 的一元二次方程(m+1)y2- 3my-9=0的根都是整数,且m 满足等式 (1-m)2=(1-m)2,则满足条件的所有 整数m 的和是 ( ) A. -5 B. -4 C. 0 D. -6 14. 阅读与思考:将式子x2-6x+8分 解因式. 方法一:整式乘法与因式分解是方 法相反的变形. 由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,得 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 分析:这个式子的常数项8=(-2)×(-4), 一次项系数-6=(-2)+(-4),∴ x2- 6x+8=x2+[(-2)+(-4)]x+(-2)× (-4).∴ x2-6x+8=(x-2)(x-4). 方法二:配方的思想. x2-6x+8=x2-6x+9-9+8=(x-3)2- 12=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4). 请仿照上面的方法,解答下列问题: (1) 分 解 因 式:x2 +5x +6= (x + )(x+ ). (2) 请用上述两种方法解方程(需写出每种 方法的具体步骤): ① x2+6x-27=0. ② x2-24x+140=0. (3) 若菱形ABCD 的一条对角线的长为8, 边CD 的长是方程x2-10x+24=0的一个 根,试求该菱形ABCD 的周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 12 　　　 专题特训一　一元二次方程解法的灵活应用 ▶ “答案与解析”见P5 类型一 缺“一”选“直” 1. 解方程: (1) 3x2-108=0. (2) x-2x2=(x-3)(x+4). 类型二 遇“大”选“配” 2. 解方程:x2+6x-8091=0. 类型三 遇“小”选“公” 3. 解方程:2x2+3x=22. 类型四 有“公”选“因” 4. 解方程: (1) 易错题 2x(x-3)=3-x. (2) 2(4-x)2=x2-16. 类型五 整体换元法 5. 新考法·过程性学习 阅读材料: 已知实数m、n满足(2m2+n2+1)· (2m2+n2-1)=80,试求2m2+n2 的值. 解:设2m2+n2=t,则原方程变为(t+1)· (t-1)=80,整理,得t2-1=80,t2=81, ∴ t=±9.∵ 2m2+n2≥0,∴ 2m2+n2=9. 上面这种方法称为“换元法”,在结构较复杂 的数和式的运算中,若把其中某些部分看成 一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使 复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写 出解答过程. (1) 设a、b满足等式(a2+b2)(2a2+2b2- 1)=3,求3a2+3b2-1的值. (2) 若四个连续正整数的积为24,求这四个 连续正整数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上