1.1 一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

1 本册教材思维导图 2 1.1　一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P1 1. 已知一元二次方程3x2+1=6x 的一次项系 数为6,则它的二次项系数和常数项分别为 ( ) A. 3、1 B. -3、-1 C. 3、-1 D. -3x2、-1 2. (2024·东莞模拟)如果关于x的一元二次方 程ax2+bx+1=0的一个解是x=1,那么代 数式2022-a-b的值为 ( ) A. -2022 B. 2021 C. 2022 D. 2023 3. (2024·常州天宁期中)若(m+3)x|m|-1- (m-3)x-5=0是关于x的一元二次方程, 则m 的值为 . 4. 若关于x的一元二次方程(a-1)x2-ax+ a2=0的一个根为1,则a的值为 . 5. 把下列关于x 的一元二次方程化成一般形 式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常 数项. (1) (x-4)(x+3)=15. (2) (x+5)2-2x(x-4)=4x-3. (3) 3x(x-4)=2(x-4). (4) 4(x-3)2=9(x+1)2. 6. (2024·西宁)如图,小区物业计划在一个长 60m、宽22m的矩形场地ABCD 上,修建一 个小型停车场,涂色部分为停车位所在区域, 两侧是宽xm的道路,中间是宽2xm的道 路.如果涂色部分的总面积是600m2,那么x 满足的方程是 ( ) (第6题) A. x2-41x+180=0B. x2-41x+225=0 C. x2-41x+30=0 D. x2-41x-270=0 7. 已知关于x 的一元二次方程x2+ax+b=0 有一个非零实数根-b,则a-b的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. -2 8. ★若关于x的两个不同的方程x2+ax+1=0 和x2-x-a=0恰有一个公共根,则a的值为 ( ) A. 2 B. -3 C. -3或2 D. 2或3 9. 若在关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 中,4a+2b+c=0,则此方程必有一根为 . 10. 如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按 一定规律组成的.若按此规律排列下去,第 n个图形中有160个小圆圈,则可列关于n 的方程为 . (第10题) 11. 已知m 是方程x2+x-3=0的一个根,则 m3+2m2-2m+2024的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 第1章　一元二次方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”,标“易错题”的设有“易错警示”,详见“答案与解析”. 3 12. 新考法·操作实践题 如图,数轴上点A 与点 C 表示的数分别为1和3,O 为原点,宸宸同 学以C 为直角顶点作Rt△ABC,BC=1,再 以点A 为圆心,AB 长为半径画圆,交数轴 于D、E 两点.莲莲同学说:“若点D、E 分别 表示数m 和n,我发现x=m 是一元二次方 程x2+bx-4=0的一个根.”琮琮说:“x= n一定不是此方程的根.” (1) 请写出m 与n的值. (2) 求出b的值. (3) 你认为琮琮说得对吗? 为什么? (第12题) 13. 在关于x 的一元二次方程x2- 2ax+b=0中,若a2-b>0,则称 a是该方程的“中点值”. (1) 方程x2-8x+3=0的“中点值”是 . (2) 已知方程x2-mx+n=0的“中点值” 是3,其中一个根是x=2,求mn的值. 14. 已知下列三个关于x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ ax+b=0恰好有一个相同的实数根a,则 a+b+c的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 15. 阅读材料: 问题:已知方程x2+x-1=0,求 一个一元二次方程,使它的根分别 是已知方程的根的2倍. 解:设所求方程的根为y,则y=2x. ∴ x=y2. 把x=y2 代入已知方程x2+x-1=0,得 y 2 2 +y2-1=0. 化简,得y2+2y-4=0. 这种利用方程根的替换求新方程的方法,我 们称为“换根法”. 请用材料提供的“换根法”求新方程(把所求 方程化成一般形式). (1) 已知方程x2+x-2=0,求一个一元二 次方程,使它的根分别是已知方程的根的相 反数. (2) 已知关于x 的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数 根,求一个一元二次方程,使它的根分别是 已知方程的根的倒数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 第1章　一元二次方程 1.1　一元二次方程 1. B 2. D 3. 3 解析:∵ (m+3)x|m|-1-(m- 3)x-5=0是关于x 的一元二次方 程,∴ m+3≠0, |m|-1=2, 解得m=3. 4. -1 解析:把x=1代入(a- 1)x2-ax+a2=0中,得a2=1. ∴ a=±1.由题意,得a-1≠0, 即a≠1.∴ a=-1. 5. (1) x2-x-27=0,它的二次项系 数为1,一次项系数为-1,常数项 为-27. (2) -x2+14x+28=0,它的二次项 系数为-1,一次项系数为14,常数项 为28. (3) 3x2-14x+8=0,它的二次项系 数为3,一次项系数为-14,常数项 为8. (4) -5x2-42x+27=0,它的二次 项系数为-5,一次项系数为-42,常 数项为27. 6. A 解析:∵ 矩形场地ABCD 的 长为60m,宽为22m,且停车位的两 侧是宽xm的道路,中间是宽2xm 的道路,∴ 停车位(即涂色部分)可合 成长为(60-2x)m、宽为(22-2x)m 的矩形.根据题意,得(60-2x)(22- 2x)=600,化 简,得 x2 -41x+ 180=0. 7. A 解析:∵ 关于x的一元二次方 程x2+ax+b=0有一个非零实数根 -b,∴ b2-ab+b=0.∵ -b≠0,即 b≠0,∴ 方程两边同时除以b,得b- a+1=0.∴ a-b=1. 8. A 解析:∵ 关于x的两个不同的 方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0 恰有一个公共根,∴ x2+ax+1= x2-x-a,即(a+1)x+a+1=0. ∵ 易 得 a ≠ -1,∴ a+1≠0. ∴ x=-1.∴ x=-1是公共根.把 x=-1代入x2+ax+1=0,得1- a+1=0,解得a=2. 根据方程的根确定待定 系数的一般方法 对于这类几个方程具有公共 根,需确定其中待定系数的问题, 解答时,往往先根据它们存在的一 个公共根联立方程组,通过消元、 降次的方法,找到方程的根与待定 系数之间的数量关系,再根据隐含 的条件确定这几个方程的公共根, 最后将方程的根代入方程求得待 定系数. 9. x=-2 10. n2+n+4=160 解析:观察图形 的变化,可知第1个图形中小圆圈的 个数为1×2+4=6;第2个图形中小 圆圈的个数为2×3+4=10;第3个 图形中小圆圈的个数为3×4+4= 16;…;∴ 第n个图形中小圆圈的个 数为n(n+1)+4=n2+n+4.∵ 第n 个图形中有160个小圆圈,∴ n2+ n+4=160. 11. 2027 解析:∵ m 是方程x2+ x-3=0的一个根,∴ m2+m-3= 0.∴ m2+m=3.∴ m3+2m2-2m+ 2024=m3+m2+m2-2m+2024= m(m2+m)+m2-2m+2024= 3m+m2-2m+2024=m2+m+ 2024=3+2024=2027. 12. (1) 在Rt△ABC中, ∵ BC=1,AC=2, ∴ AB= 12+22=5. ∴ AE=AD=AB=5. ∵ 点A 表示的数为1, ∴ OE=AE-OA= 5-1,OD= AD+OA=5+1. ∴ 点D 表示的数为 5+1,即m= 5+1;点E 表示的数为- 5+1,即 n=-5+1. (2) 把x=5+1代入方程x2+bx- 4=0,得(5+1)2+(5+1)b-4= 0,解得b=-2,即b的值为-2. (3) 琮琮说得不对. 把x=- 5+1代入方程x2-2x- 4=0. ∵ 左边=(- 5+1)2-2(- 5+ 1)-4=5-25+1+25-2-4=0, ∴ 左边=右边. ∴ x=n是此方程的根. ∴ 琮琮说得不对. 13. (1) 4. (2) 由题意,得m 2=3 ,解得m=6. 把x=2,m=6代入x2-mx+n=0, 得4-6×2+n=0,解得n=8. ∴ mn=6×8=48. 14. A 解析:把x=a 代入ax2+ bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ ax+b=0,得a·a2+ba+c=0, ba2+ca+a=0,ca2+a·a+b=0. 相加,得(a+b+c)a2+(b+c+a)· a+(a+b+c)=0,即(a+b+c)· (a2+a+1)=0.∵ a2+a+1= a+ 1 2 2 +34>0 ,∴ a+b+c=0. 15. (1) 设所求方程的根为 m,则 m=-x. ∴ x=-m. 把x=-m 代入已知方程x2+x- 2=0,得(-m)2+(-m)-2=0. 化简,得m2-m-2=0. (2) 设所求方程的根为n,则n=1x. ∴ x=1n. 把x=1n 代入已知方程ax2+bx+ c=0(a≠0),得a 1n 2 +b·1n + c=0. 去分母,得 a+bn+cn2=0. 若c=0,则原方程ax2+bx+c= 0(a≠0)一定有一个根为0,不合题意. ∴ c≠0. ∴ 所求方程为cn2+bn+a=0(c≠0). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1