1.1一元二次方程（基础篇）讲义2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的定义与一般式核心知识点，从定义的三个关键条件（只含一个未知数、最高次数2、整式方程）展开，延伸至一般式的各项名称、转化方法及系数符号注意事项，配套练习题覆盖定义判断、参数求解等场景，构建从概念理解到应用的学习支架。 资料特色为分层设计适配基础薄弱学生，含导图辅助可视化概念脉络，通过细致分析定义要点（如二次项系数不为0）和一般式转化培养抽象能力与符号意识，练习题中参数题与列表法解题发展推理意识，课中助力教师分层教学，课后帮助学生强化应用弥补盲点。

1.1一元二次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 分析： 1. “只含有一个未知数”：方程中必须只有一个变量，如(x)、(y)等，不能同时出现两个或多个不同的未知数（如含有两个未知数，不是一元二次方程）。 2. “未知数的最高次数是2”：方程中未知数项的最高指数为2，且二次项系数不能为0（如是一元二次方程，而最高次数为1，不是）。 3. “整式方程”：方程的分母中不含未知数，根号下不含未知数，等号两边都是整式（如是分式方程，是无理方程，均不符合）。 一元二次方程的一般式 一元二次方程的一般形式为：（其中(a)、(b)、(c)是常数，且）。 分析： 1. 各项名称： · 称为二次项，其中 (a) 是二次项系数（，否则方程最高次数不是2，不符合定义）； · (bx) 称为一次项，其中 (b) 是一次项系数（(b) 可以为0，此时方程为，仍为一元二次方程）； · (c) 称为常数项（(c) 可以为0，此时方程为，仍为一元二次方程）。 2. 一般式的转化：任何一元二次方程都可以通过移项、合并同类项等变形化为一般式。例如： · 方程移项后为（此时，，）； · 方程展开后为（此时，，）。 3. 注意事项：确定系数时需包括前面的符号。例如方程中，二次项系数，一次项系数，常数项。 型 习 练 题 一元二次方程的定义 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键． 根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程”进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意； C、，当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元三次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：由一元二次方程需同时满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程，则： A．方程中含两个未知数x和y，不满足①，不是一元二次方程； B．方程中未知数x的最高次数为3，不满足②，不是一元二次方程； C．方程中含分式，不是整式方程，不满足③，不是一元二次方程； D．方程只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，满足所有条件，是一元二次方程． 故选：D． 3．下列方程中是关于x的一元二次方程的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键， 根据一元二次方程的定义分析各选项是否符合条件即可得到答案． 【详解】解：A：中，若，则不是二次方程，故此项错误； B：中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故此项错误； C：含有分式，不是整式方程，故此项错误； D：可化为，是一元二次方程，此项正确； 故选：D． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项． 【详解】解：A：中，a、b、c为参数，若则不是二次方程，故不一定是一元二次方程； B：只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程； C：含两个未知数y和x，不是一元二次方程； D：最高次数为3，不是一元二次方程； 故选：B． 5．下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判断， 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：选项A：若，则方程变为，不是二次方程，故不一定是一元二次方程； 选项B：方程中含有未知数y，不是一元方程； 选项C：方程中含有分式，不是整式方程； 选项D：方程只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． ∴故选：D． 化成一元二次方程的一般式 6．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A． B．1，6 C．1， D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式及其系数的概念，直接读取系数即可； 方程已是一般形式，直接根据一元二次方程一般形式的定义确定系数 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为 ， ∴对于方程 ， 二次项系数为1，一次项系数为， 故选：A 7．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需熟练掌握化简步骤，确保方程为标准形式． 将原方程通过去括号、移项和合并同类项化为一般形式． 【详解】解：∵原方程为， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 乘以（使二次项系数为正）：， ∴一般形式为， 故选：C． 8．将一元二次方程化为的形式，若，则b，c的值分别为（    ） A．5，1 B．， C．5， D．，1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 将方程移项化为一般形式，然后比较系数即可． 【详解】解：移项得 ， ，，． 故选：D． 9．关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是： （，，是常数且）特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：设表示的数为， 化成一元二次方程一般形式是， ∵二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0， ∴， ∴表示的数为4， 故选：B． 10．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过展开和移项化为标准形式． 根据一元二次方程的一般形式（），将方程左边展开并移项整理． 【详解】， 展开得， 移项得。 一般形式为， 故选C． 求参数 11．关于的方程是一元二次方程，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 方程为一元二次方程，需满足最高次项为二次且二次项系数非零，据此计算求解即可． 【详解】解：由于方程是一元二次方程， 则最高次项次数：，且二次项系数， 方程，解得或， 不等式，解得， 因此， 故答案为：D． 12．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 13．如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 14．若是方程 的根 ， 则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 15．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(   ) A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解；将已知根 代入一元二次方程，直接求解 的值． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 判断是否是一元二次方程的解 16．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 17．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 18．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 19．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 20．若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，利用方程根的定义，将所求表达式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵ m是方程 的根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1一元二次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 分析： 1. “只含有一个未知数”：方程中必须只有一个变量，如(x)、(y)等，不能同时出现两个或多个不同的未知数（如含有两个未知数，不是一元二次方程）。 2. “未知数的最高次数是2”：方程中未知数项的最高指数为2，且二次项系数不能为0（如是一元二次方程，而最高次数为1，不是）。 3. “整式方程”：方程的分母中不含未知数，根号下不含未知数，等号两边都是整式（如是分式方程，是无理方程，均不符合）。 一元二次方程的一般式 一元二次方程的一般形式为：（其中(a)、(b)、(c)是常数，且）。 分析： 1. 各项名称： · 称为二次项，其中 (a) 是二次项系数（，否则方程最高次数不是2，不符合定义）； · (bx) 称为一次项，其中 (b) 是一次项系数（(b) 可以为0，此时方程为，仍为一元二次方程）； · (c) 称为常数项（(c) 可以为0，此时方程为，仍为一元二次方程）。 2. 一般式的转化：任何一元二次方程都可以通过移项、合并同类项等变形化为一般式。例如： · 方程移项后为（此时，，）； · 方程展开后为（此时，，）。 3. 注意事项：确定系数时需包括前面的符号。例如方程中，二次项系数，一次项系数，常数项。 型 习 练 题 一元二次方程的定义 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中是关于x的一元二次方程的为（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 化成一元二次方程的一般式 6．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A． B．1，6 C．1， D． 7．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．将一元二次方程化为的形式，若，则b，c的值分别为（    ） A．5，1 B．， C．5， D．，1 9．关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 10．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 求参数 11．关于的方程是一元二次方程，则（  ） A． B． C． D． 12．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 13．如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 14．若是方程 的根 ， 则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 判断是否是一元二次方程的解 15．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(   ) A．2 B． C．1 D． 16．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 17．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 18．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 19．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 20．若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $