第22章 一元二次方程 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

(2) 由 题 意,得 p = a+b+c 2 = 10+b+c 2 =15 , ∴ b+c=20. ∵ S=p= p(p-a)(p-b)(p-c), ∴ S= 15(15-10)(15-b)(15-c)=15. ∴ (15-b)(15-c)=3. ∴ bc-15(b+c)+225=3,即bc- 300+225=3. ∴ bc=78. 23. (1) 3+2. (2) ∵ 4-2 3=3+1-2 3= (3)2+12-23=(3-1)2, ∴ 4-23= (3-1)2=3-1. (3) ∵ 6+4 2=4+2+4 2= (4)2+(2)2+2× 4× 2=(2+ 2)2, ∴ A= 6+42=2+2. ∵ 3- 5=6-252 = 5+1-25 2 = (5)2+12-2×1×5 2 = (5-1)2 2 , ∴ B = 3-5 = (5-1)2 2 = 5-1 2 = 10-22 = 1 2 10- 1 22. ∴ A+B=2+2+12 10- 1 22= 2+ 102 + 2 2. 第22章拔尖测评 一、 1. D 2. C 3. A 4. A 5. C 6. B 7. B 解析:由题意,得Δ=(2m)2- 4(m2-m)≥0.∴ m≥0.∵ 关于x 的一元二次方程x2+2mx+m2- m=0的两实数根为x1、x2,∴ x1+ x2= -2m,x1x2 =m2 -m.又 ∵ x1x2=2,∴ m2-m=2,即m2- m-2=0,解得m=2或m=-1(不 合题意,舍去).∴ x1+x2=-4. ∴ (x21+2)·(x22+2)=(x1x2)2+ 2(x1+x2)2-4x1x2+4=22+2× (-4)2-4×2+4=32. 8. D 解析:设丁的一直角边长为a, 且a<2.∵ 甲的面积+乙的面积= 丙的面积+丁的面积,∴ 2a+2a= 1 2×2 2+12a 2,即4a=2+12a 2.整 理,得 a2 -8a+4=0.∴ a= 8± (-8)2-4×1×4 2 = 8±43 2 = 4±23.∵ a<2,∴ a=4-23. 9. A 解析:设该产品的质量档次是 第x 档次,则每天的产量为[95- 5(x-1)]件,每件的利润是[6+ 2(x-1)]元.根据题意,得[6+2(x- 1)][95-5(x-1)]=1120.整理,得 x2-18x+72=0,解得x1=6,x2= 12(不合题意,舍去).∴ 该产品的质 量档次是第6档次. 10. D 解析:∵ a+b+c=0, ∴ b=-a-c.∴ b2-4ac=(-a- c)2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=(a- c)2≥0.故①是假命题.∵ 方程的两 个根为-1和3,∴ (-1)×3=ca ,即 c=-3a.∴ 3a+2c=3a-6a= -3a≠0.故②是假命题.∵ b=0, ∴ Δ=b2-4ac=-4ac.∵ 题目中a、 c的值不确定,∴ -4ac的值不确定, 不能判定该方程根的情况.故③是假 命题.∵ 方程ax2+c=0有两个不相 等的实数根,∴ Δ=-4ac>0.∴ 方 程ax2+bx+c=0根的判别式Δ= b2-4ac>0.∴ 方程ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实数根.故④是真 命题.综上所述,假命题的个数是3. 二、 11. 3或-1 12. 2 13. 6 14. 16 解析:设本次小组赛参赛球 队有x 支.根据题意,得x(x-1)= 6×4×10,解得x1=16,x2=-15(不 符合题意,舍去).∴ 本次小组赛参赛 球队有16支. 15. 15 解析:题图①中有12+1- 1=1(个)“ ”,题图②中有22+2- 1=5(个)“ ”,题图③中有32+3- 1=11(个)“ ”,题图④中有42+4- 1=19(个)“”,由此可得题图 中有 (n2+n-1)个“”,∴ 可列方程n2+ n-1=239,解得n1=15,n2=-16 (不合题意,舍去). 三、 16. (1) ∵ 2x2+4x+1=0, ∴ 2x2+4x=-1. ∴ x2+2x=-12. ∴ x2+2x+1=-12+1 ,即(x+ 1)2=12 ,则x+1=± 12. ∴ x=-1± 22 ,即x1=-1+ 2 2 , x2=-1- 2 2. (2) 原方程可化为2y2+7y =0,即 y(2y+7)=0,则y=0或2y+7=0, ∴ y1=0,y2=- 7 2. (3) 原方程可化为2x2-5x+2=0, ∴ a=2,b=-5,c=2. ∴ b2-4ac=(-5)2-4×2×2=9. ∴ x=5±92×2= 5±3 4 . ∴ x1= 1 2 ,x2=2. 17. ① 当x-1≥0,即x≥1时,方程 化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得 x1=0(舍去),x2=1. ② 当x-1<0,即x<1时,方程化为 x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0, 解得x1=1(舍去),x2=-2. 综上所述,原方程的解是x=1或 x=-2. 18. (1) 解方程x2-5x+6=0,得 x1=3,x2=2. ∵ 3比2大1, ∴ 该方程是“邻根方程”. (2) ∵ x2-(m-1)x-m=0, ∴ (x-m)(x+1)=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 ∴ x1=m,x2=-1. ∵ 方程x2-(m-1)x-m=0(m 是 常数)是“邻根方程”, ∴ m-(-1)=1或-1-m=1. ∴ m=0或m=-2. 19. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相 等的实数根, ∴ (2m +1)2 -4m2 >0,解 得 m>-14. (2) 利用求根公式表示出方程的根为 x=-2m-1± 4m+12 . ∵ 方程的两个根都是整数, ∴ 4m+1为完全平方数. m 的值不唯一,如当m 的值为0时, 方程可化为x2+x=0,解得x1=0, x2=-1. 20. (1) 原方程可变形为x2-5x+ 6-p2-p=0. ∵ Δ=(-5)2-4(6-p2-p)=25- 24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+ 1)2≥0, ∴ 无论p取何值,此方程总有两个实 数根. (2) ∵ 原方程的两根为x1、x2, ∴ x1+x2=5,x1x2=6-p2-p. 又∵ x12+x22-x1x2=3p2+1, ∴ (x1+x2)2-3x1x2=3p2+1. ∴ 52-3(6-p2-p)=3p2+1. ∴ 25-18+3p2+3p=3p2+1. ∴ 3p=-6. ∴ p=-2. 21. (1) 设正方形区域AEFG 的边长 为x m,则 AB=(x-7)m,AD= (x-3)m. 由题意,得(x-7)(x-3)=45,解得 x=12或x=-2(不合题意,舍去). ∴ 正 方 形 区 域 AEFG 的 边 长 为 12m. (2) 设小道的宽度为xm,则栽种鲜 花的区域长(12-x)m,宽(12-1- x)m. 由题意,得(12-x)(12-1-x)=90, 解得 x1=2,x2=21(不 合 题 意, 舍去). ∴ 小道的宽度为2m. 22. (1) 设下降的百分率是x. 由题意,得40(1-x)2=32.4,解得 x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意, 舍去). ∴ 下降的百分率是10%. (2) ① 设每件应降价y元. 由 题 意,得 (40-y - 30)· 48+4×y0.5 =504,解得y1=3, y2=1. ∵ 要尽快减少库存, ∴ 每件应降价3元. ② 不能. 理由:设每件降价z元. 由 题 意,得 (40-z - 30)· 48+4×z0.5 =520. 整理,得z2-4z+5=0. ∵ Δ=(-4)2-4×1×5=16- 20=-4<0, ∴ 方程无实数根. ∴ 不能一天获得520元的利润. 23. (1) (6-2t). (2) 存在. 在 Rt△ABC 中,由 勾 股 定 理,得 AC= AB2-BC2=6cm. ∵ S△ABC= 1 2×6×8=24 (cm2), ∴ S△PQC= 1 6×24=4 (cm2). ① 当0<t<3时,PC=(6-2t)cm, QC=tcm, ∴ S△PCQ= 1 2QC ·PC=12t (6- 2t)cm2. ∴ 1 2t (6-2t)=4,即t2-3t+4=0. ∵ Δ=(-3)2-4×1×4=-7<0, ∴ 该一元二次方程无实数根. ∴ 该范围内不存在. ② 当3<t≤8时,PC=(2t-6)cm, QC=tcm, ∴ S△PCQ= 1 2QC ·PC=12t (2t- 6)cm2. ∴ 1 2t (2t-6)=4,即t2-3t-4=0, 解得t=4或t=-1(不合题意, 舍去). 综上所述,当t=4时,△PQC 的面积 是△ABC面积的16. 第23章拔尖测评 一、 1. B 2. B 3. C 4. C 5. B 6. B 7. C 8. D 9. C 10. B 解析:∵ BP=1,AB=3, ∴ AP=4.∴ 由勾股定理易得PD= 5.∵ 在正方形ABCD 中,BC∥AD, ∴ △PBE∽△PAD.∴ BP AP= BE AD= 1 4.∴ BE=34.∴ QE=3-34+1= 13 4.∵ BP=CQ,∴ 易得AP=BQ. ∵ 易得AB=AD,∠ABQ=∠DAP, ∴ △ABQ≌△DAP.∴ ∠Q=∠P. ∵ AD∥BC,∴ ∠ADP=∠QEO. ∴ △QOE∽△PAD.∴ OQ AP= OE AD= QE PD= 13 4 5.∴ OE=3920 ,OQ=135. 故选 项A错误,选项B正确;∵ △QOE∽ △PAD,∴ ∠QOE=∠PAD=90°. ∴ ∠DOA = ∠AOP = 90°. ∴ ∠ADO + ∠P = ∠ADO + ∠DAO=90°.∴ ∠DAO = ∠P. ∴ △DAO∽△APO.∴ AO OP= OD OA. ∴ AO2=OD·OP.∵ AE>AB, ∴ AE>AD.∴ OD≠OE.∴ OA2≠ OE · OP.故 选 项 C 错 误; ∵ ∠AOD = ∠ADF = 90°, ∴ ∠DAO+ ∠ADO = ∠ADO + ∠FDO = 90°, ∠DOF = 90°. ∴ ∠DAO=∠FDO.∴ △DAO∽ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 数学(华师版)九年级上 3 第22章拔尖测评 ◎ 满分:120分 ◎ 时间:120分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列方程中,常数项为0的是 ( ) A. x2+x=1 B. 2x2-x-12=12 C. 2(x2-1)=3(x-1) D. 2(x2+1)=x+2 2. 用配方法解下列方程时,配方有错误的是 ( ) A. x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B. 2t2-7t-4=0化为t-74 2 =8116 C. x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D. 3x2-4x-2=0化为x-23 2 =109 3. 若x1、x2是方程x2-2x-3=0的两个实数根,则x1·x22的值为 ( ) A. 3或-9 B. -3或9 C. 3或-6 D. -3或6 4. 若菱形两条对角线的长是方程x2-6x+8=0的两根,则该菱形的边长为 ( ) A. 5 B. 4 C. 25 D. 5 5. 关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是 ( ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数a的取值有关 6. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是1和-3,若关于x的方程ax2+ bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是4,则另一个根是 ( ) A. -8 B. -6 C. -4 D. -2 7. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根为x1、x2,且满足x1x2=2,则 (x21+2)(x22+2)的值是 ( ) A. 8 B. 32 C. 8或32 D. 16或40 8. 如图所示的六边形是由甲、乙两个矩形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成的,其中甲、乙的面 积和等于丙、丁的面积和.若丙的一直角边长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的一直角边 长为 ( ) (第8题) A. 1 2 B. 3 5 C. 2-3 D. 4-23 9. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件, 每件利润6元,每提高1个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.若生产的产品一天 的总利润为1 120元,且同一天所生产的产品为同一档次,则该产品的质量档次是 ( ) A. 第6档次 B. 第8档次 C. 第10档次 D. 第4档次 10. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下列命题:① 若a+b+c=0,则b2- 4ac>0;② 若方程的两个根为-1和3,则3a+2c=0;③ 若b=0,则方程ax2+bx+c=0一 定有两个实数根,并且这两个根互为相反数;④ 若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根, 则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根.其中,假命题的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 定义运算“ ”:对于任意实数a、b,都有a b=a2+b.如:2 4=22+4=8.若(x-1) 3=7,则实数x的值是 . 12. 若方程x2+(2+2a)x+a2+b+1=0有两个相等的实数根,则ba= . 13. 若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m、n,则3m2-4m+n2的值为 . 14. 在一次足球比赛小组赛中,每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛,主办方 共投入使用6个球场,每天每个球场共安排4场比赛,若连续10天才能保证小组赛全部比 完,则本次小组赛参赛球队有 支. 15. 将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放,观察每个图形中的“”的个数,若图 中有 239个“”,则n的值是 . (第15题) 三、 解答题(共75分) 16. (12分)解下列方程: (1) 2x2+4x+1=0(用配方法). (2) (y+2)(2y+3)=6. (3) 3x2-(x+2)2+2x=3x-6. 17. (7分)数学是思维的体操,运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是取胜数学的重要法 宝.阅读例题,并解答问题. 例:解方程x2-2|x|-3=0. 解:① 当x≥0时,有x2-2x-3=0,解得x1=-1(舍去),x2=3. ② 当x<0时,有x2+2x-3=0,解得x1=1(舍去),x2=-3. ∴ 原方程的解是x=3或x=-3. 试解方程:x2-|x-1|-1=0. 4 18. (8分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另 一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”. 例如,一元二次方程x2+x=0的两个根是 x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”. (1) 通过计算,判断方程x2-5x+6=0是否为“邻根方程”. (2) 已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m 是常数)是“邻根方程”,求m 的值. 19. (8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 若该方程的两个根都是整数,写出一个符合条件的m 的值,并求此时方程的根. 20. (8分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1). (1) 求证:无论p取何值,此方程总有两个实数根. (2) 若原方程的两根为x1、x2,且满足x21+x22-x1x2=3p2+1,求p的值. 21. (10分)为了丰富学生的课余生活,培养学生德智体美劳全面发展,某校成立了众多种类的学 生社团.其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作,感受劳动之美.如图①,在生态大棚中 有一块面积为45m2 的矩形空地ABCD,现计划在矩形空地上一边增加7m,另一边增加 3m,构成一个正方形区域AEFG,作为学生栽种鲜花的劳动教育基地. (1) 求正方形区域AEFG 的边长. (2) 在实际建造时,从校园美观和实用的角度考虑,按图②的方式进行改造,先在正方形区域 内的一侧建成1m宽的画廊,然后在余下的地方建成宽度相等的两条垂直小道后,其余 地方栽种鲜花,如果栽种鲜花的区域的面积为90m2,求小道的宽度. (第21题) 22. (10分)某商场一种商品的进价为每件30元,当售价为每件40元时,每天可以销售48件,为 尽快减少库存,该商场决定降价促销. (1) 若该种商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求下降的百分率. (2) 经调查,若该种商品每件每降价0.5元,每天可多销售4件. ① 该商场每天要想获得504元的利润,每件应降价多少元? ② 能不能一天获得520元的利润? 请说明理由. 23. (12分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P 从点A 开始沿射线 AC 方向以2cm/s的速度运动,与此同时,点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以1cm/s的速度 运动.点P、Q 分别从点A、C 同时出发,运动的时间为ts,当点Q 运动到点B 时,两点停止 运动. (1) 当点P在线段AC上运动时,P、C两点之间的距离为 cm(用含t的代数式表示). (2) 在运动的过程中,是否存在某一时刻,使得△PQC 的面积是△ABC 面积的16 ? 若存在, 求t的值;若不存在,请说明理由. (第23题)