第21章 二次根式 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

数学(华师版)九年级上 1 第21章拔尖测评 ◎ 满分:120分 ◎ 时间:120分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 若式子 x+1+x-2在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( ) A. x>-1 B. x≥-1 C. x≥-1且x≠0 D. x≤-1 2. 下列各组二次根式中,属于同类二次根式的为 ( ) A. 8 3 和5 13 B. a和 a2 C. 2a和 2a2 D. 28和 0.07 3. 若a=2,b=7,则 14a 2 b2 的值为 ( ) A. 2 B. 4 C. 7 D. 2 4. 从2、-3、-2这三个实数中任选两个数相乘,所有积中小于2的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. m、n在数轴上对应点的位置如图所示,则化简2 (m-n)2- (2m+n)2- m2的结果是 ( ) A. -3n+3m B. 3n-m C. -n+3m D. 3n+m (第5题) (第7题) 6. 下列各式不成立的是 ( ) A. 18- 89= 72 3 B. 2+23= 26 3 C. 8+ 18 2 =4+9=5 D. 1 3+2 =3-2 7. 如图,在数学课上,老师用5个完全相同的小矩形在无重叠的情况下拼成了一个大矩形.若小 矩形的长为 27,宽为 12,则下列对该大矩形的判断中,不正确的是 ( ) A. 大矩形的长为63 B. 大矩形的宽为53 C. 大矩形的周长为113 D. 大矩形的面积为90 8. 若要在(52-2)□2的“□”中填上一个运算符号,使计算结果最大,则这个运算符号是 ( ) A. + B. - C. × D. ÷ 9. 对于任意的正数m、n,定义运算“※”:m※n= m- n(m≥n), m+ n(m<n), 则计算(3※2)×(8※12)的 结果为 ( ) A. 2-46 B. 2 C. 25 D. 20 10. 将一组数3、6、3、23、15、…、310按下面的方式进行排列: 3、6、3、23、15、32; 21、26、33、30、33、6; … 若23的位置记为(1,4),26的位置记为(2,2),则这组数中最大的有理数的位置记为 ( ) A. (5,2) B. (5,3) C. (6,2) D. (6,5) 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 已知x、y是实数,且满足y= x-2+ 2-x+ 1 8 ,则 x· y的值是 . 12. 已知a= 12 -1 +(-3)0,b=(3+2)·(3-2),则 a+b的值为 . 13. 在如图所示的方格中,若要使横行、竖列、斜对角上的3个实数相乘都得到同样的结果,则 2个空格里的实数之积为 . 32 2 3 1 6 3 2 (第13题) (第15题) 14. 如果 a+b-22+(a-b-23)2=0,那么ba 的值为 . 15. 在一个正方形ABCD 的内部,按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形,其中较大 的正方形A2B2C2D 的面积为20,两个小正方形重叠部分的面积为5,空白部分的面积总和 为102-10,则较小的正方形A1BC1D1的面积为 . 三、 解答题(共75分) 16. (16分)计算: (1) 32÷2- 13× 18+ 54. (2) 5(5- 15)+(15+23)(15-23). (3) 12+ 1 2-3 -(2+3)2. (4) (2+3-6)(2-3+6). 17. (8分)高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”,即便是常见小物件,一旦高空落下,也威力惊 人,而且用时很短,常常避让不及.据研究,高空抛物下落的时间t(单位:s)和高度h(单位: m)近似满足公式t= 2hg (不考虑风速的影响,g≈10m/s2). (1) 求从40m高空抛物到落地的时间(结果保留根号). (2) 已知高空抛物动能(单位:J)=10×物体质量(单位:kg)×高度(单位:m),某质量为 0.2kg的玩具在高空被抛出后经过4s落在地上,这个玩具产生的动能会伤害到楼下的 行人吗? 请说明理由(注:伤害无防护人体只需要65J的动能). 2 18. (8分)已知线段a、b、c的长满足|a- 18|+(b-42)2+ c- 50=0. (1) 求线段a、b、c的长. (2) 线段a、b、c能否围成三角形? 若能围成三角形,求出该三角形的周长;若不能围成三角 形,请说明理由. 19. (8分)已知A、B、C 是数轴上三个互不重合的点,点A 对应的数为a,点B 对应的数为b, 点C 对应的数为c. (1) 若a是最大的负整数,点B 在点A 的左边,且距离点A 2个单位,把点B 向右移动(3+ 3)个单位可以与点C 重合,求a、b、c的值. (2) 在(1)的条件下,化简 a2- (a+b)2-|a-b|+|c-a|并求值. 20. (9分)张老师在课堂上提出一个问题:“通过探究知道2≈1.414…,它是个无限不循环小数, 也叫无理数,它的整数部分是1,那么有谁能说出它的小数部分是多少?”小明举手回答:“它 的小数部分我们无法全部写出来,但可以用2-1来表示它的小数部分.”张老师夸奖小明真 聪明,肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答: (1) 11的整数部分是 ,小数部分是 . (2) a为3的小数部分,b为5的整数部分,求a+b-3的值. (3) 已知8+3=x+y,其中x是一个正整数,0<y<1,求2x+(y-3)2025的值. 21. (8分)如图,某居民小区有矩形绿地ABCD,长BC 为 128米,宽AB 为 50米,现在要在矩 形绿地中修建两个形状大小相同的矩形花坛(涂色部分),每个矩形花坛的长为(13+1)米, 宽为(13-1)米. (1) 求矩形绿地的周长. (2) 除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺造价为30元/米2的地砖,要 铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元? (第21题) 22. (8分)秦九韶是我国南宋时期著名的数学家,与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家,精研 星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学.他于1247年完成的著作《数书九章》中关于三角形的面 积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”,主要内容是,如果一个三角形 的三边长分别是a、b、c,记p= a+b+c 2 ,那么这个三角形的面积S= p(p-a)(p-b)(p-c). (1) 如图,在△ABC 中,BC=5,AC=6,AB=7,请用上面的公式计算△ABC 的面积. (2) 一个三角形的三边长分别为a、b、c,S=p=15,a=10,求bc的值. (第22题) 23. (10分)有这样一类题目:将 a±2b化简,若你能找到两个数m、n,使m2+n2=a且mn=b, 则a±2b将变成m2+n2±2mn,即变成(m±n)2,从而使 a±2b得以化简. (1) 例如,∵ 5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2,∴ 5+26= (3+2)2= . (2) 仿照上面的例子,请化简 4-23. (3) 利用上面的方法,设A= 6+42,B= 3-5,求A+B 的值. 拔尖测评 第21章拔尖测评 一、 1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 8. C 9. B 解析:∵ 3>2,∴ 3※2= 3- 2.∵ 8<12,∴ 8※12=8+ 12= 22+23.∴ (3※2)×(8※12)= (3- 2)×(22+23)=(3- 2)×2×(2+3)=2. 10. B 解析:根据题意,得这组数可 写 为 3、6、9、 12、 15、…、 90,∴ 共有30个数.∵ 每行6个 数,∴ 共有5行.按照题目中的方式 进行排列: 3×1、 3×2、 3×3、 3×4、 3×5、 3×6; 3×7、 3×8、 3×9、 3×10、 3×11、 3×12、…、 3×25、 3×26、 3×27、 3×28、 3×29、 3×30. 第5行中,只有第3个是有理数, ∴ 这个数的位置记为(5,3). 二、 11. 1 2 12. 2 13. 62 14. 26-5 解析:∵ a+b-22+ (a-b-23)2=0,∴ a+b-22=0, a-b-23=0, 解得 a=2+3, b=2-3. ∴ ba = 2-32+3= (2-3)2 (2+3)(2-3) =2-26+3-1 = 26-5. 15. 10 解析:∵ 观察可知,两个空白 部分的长相等,宽也相等,∴ 重叠部 分也为正方形.∵ 空白部分的面积总 和为102-10,∴ 一个空白部分的 面积=5 2-5.∵ 较大的正方形 A2B2C2D 的面积为20,两个小正方 形重叠部分的面积为5,∴ 正方形 A2B2C2D 的边长= 20=25,重 叠部分的边长=5.∴ 一个空白部分 的长为25-5=5.∴ 这个空白部 分的宽为(52-5)÷ 5= 10- 5.∴ 小正方形A1BC1D1 的边长= 一个空白部分的宽+重叠部分的边 长= 10-5+5= 10.∴ 小正方 形A1BC1D1的面积=(10)2=10. 三、 16. (1) 原式=42÷ 2- 33× 32+36=4-6+36=4+26. (2) 原式=5-53+15-12=8- 53. (3) 原式=23+2+3-(4+43+ 3)=33+2-7-43=-3-5. (4) 原式=[2+(3- 6)][2- (3-6)]=2-(3-6)2=2-(3- 62+6)=2+62-9=62-7. 17. (1) 当h=40m时,t= 2hg = 2×40 10 =22 (s). (2) 这个玩具产生的动能会伤害到楼 下的行人. 理由:当t=4s时, 2hg = 2h 10=4 , ∴ h=80m. ∴ 高空抛物动能=10×0.2×80= 160(J),160>65. ∴ 这个玩具产生的动能会伤害到楼 下的行人. 18. (1) ∵ |a- 18|+ (b- 42)2+ c- 50=0, ∴ a- 18=0,b-4 2=0,c- 50=0. ∴ a=32,b=42,c=52. (2) 由(1),得a=32,b=42,c= 52. ∵ 32+42=72,72>52,即 a+b>c, ∴ 线段a、b、c能围成三角形. 该三角形的周长为3 2+4 2+ 52=122. 19. (1) ∵ a是最大的负整数, ∴ a=-1. ∵ 点B 在点A 的左边,且距离点A 2个单位, ∴ b=-1-2=-3. ∵ 把点B 向右移动(3+ 3)个单位 可以与点C重合, ∴ c=-3+3+3=3. (2) a2- (a+b)2-|a-b|+ |c-a|=-a+(a+b)-(a-b)+ (c-a)=-a+a+b-a+b+c- a=-2a+2b+c=-2×(-1)+2× (-3)+3=-4+3. 20. (1) 3; 11-3. 解析:∵ 3< 11<4,∴ 11的整数部分是3,小 数部分是 11-3. (2) ∵ a为 3的小数部分,b为 5的 整数部分, ∴ a=3-1,b=2. ∴ a+b-3=3-1+2-3=1. (3) ∵ 8+3=x+y,其中x是一个 正整数,0<y<1, ∴ x=8+1=9,y=3-1. ∴ 2x+(y- 3)2025=2×9+(3- 1- 3)2025=18+(-1)2025=18- 1=17. 21. (1) 2×( 128+ 50)=2× (82+52)=262(米), ∴ 矩形绿地的周长为262米. (2) 128× 50-2×(13+1)× (13-1)=80-2×12=56(平方 米),56×30=1680(元), ∴ 要铺完整个通道,则购买地砖需要 花费1680元. 22. (1) 由 题 意, 得 p = BC+AC+AB 2 = 18 2=9 , ∴ S= p(p-BC)(p-AC)(p-AB)= 9×4×3×2=66, 即△ABC的面积为66. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 (2) 由 题 意,得 p = a+b+c 2 = 10+b+c 2 =15 , ∴ b+c=20. ∵ S=p= p(p-a)(p-b)(p-c), ∴ S= 15(15-10)(15-b)(15-c)=15. ∴ (15-b)(15-c)=3. ∴ bc-15(b+c)+225=3,即bc- 300+225=3. ∴ bc=78. 23. (1) 3+2. (2) ∵ 4-2 3=3+1-2 3= (3)2+12-23=(3-1)2, ∴ 4-23= (3-1)2=3-1. (3) ∵ 6+4 2=4+2+4 2= (4)2+(2)2+2× 4× 2=(2+ 2)2, ∴ A= 6+42=2+2. ∵ 3- 5=6-252 = 5+1-25 2 = (5)2+12-2×1×5 2 = (5-1)2 2 , ∴ B = 3-5 = (5-1)2 2 = 5-1 2 = 10-22 = 1 2 10- 1 22. ∴ A+B=2+2+12 10- 1 22= 2+ 102 + 2 2. 第22章拔尖测评 一、 1. D 2. C 3. A 4. A 5. C 6. B 7. B 解析:由题意,得Δ=(2m)2- 4(m2-m)≥0.∴ m≥0.∵ 关于x 的一元二次方程x2+2mx+m2- m=0的两实数根为x1、x2,∴ x1+ x2= -2m,x1x2 =m2 -m.又 ∵ x1x2=2,∴ m2-m=2,即m2- m-2=0,解得m=2或m=-1(不 合题意,舍去).∴ x1+x2=-4. ∴ (x21+2)·(x22+2)=(x1x2)2+ 2(x1+x2)2-4x1x2+4=22+2× (-4)2-4×2+4=32. 8. D 解析:设丁的一直角边长为a, 且a<2.∵ 甲的面积+乙的面积= 丙的面积+丁的面积,∴ 2a+2a= 1 2×2 2+12a 2,即4a=2+12a 2.整 理,得 a2 -8a+4=0.∴ a= 8± (-8)2-4×1×4 2 = 8±43 2 = 4±23.∵ a<2,∴ a=4-23. 9. A 解析:设该产品的质量档次是 第x 档次,则每天的产量为[95- 5(x-1)]件,每件的利润是[6+ 2(x-1)]元.根据题意,得[6+2(x- 1)][95-5(x-1)]=1120.整理,得 x2-18x+72=0,解得x1=6,x2= 12(不合题意,舍去).∴ 该产品的质 量档次是第6档次. 10. D 解析:∵ a+b+c=0, ∴ b=-a-c.∴ b2-4ac=(-a- c)2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=(a- c)2≥0.故①是假命题.∵ 方程的两 个根为-1和3,∴ (-1)×3=ca ,即 c=-3a.∴ 3a+2c=3a-6a= -3a≠0.故②是假命题.∵ b=0, ∴ Δ=b2-4ac=-4ac.∵ 题目中a、 c的值不确定,∴ -4ac的值不确定, 不能判定该方程根的情况.故③是假 命题.∵ 方程ax2+c=0有两个不相 等的实数根,∴ Δ=-4ac>0.∴ 方 程ax2+bx+c=0根的判别式Δ= b2-4ac>0.∴ 方程ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实数根.故④是真 命题.综上所述,假命题的个数是3. 二、 11. 3或-1 12. 2 13. 6 14. 16 解析:设本次小组赛参赛球 队有x 支.根据题意,得x(x-1)= 6×4×10,解得x1=16,x2=-15(不 符合题意,舍去).∴ 本次小组赛参赛 球队有16支. 15. 15 解析:题图①中有12+1- 1=1(个)“ ”,题图②中有22+2- 1=5(个)“ ”,题图③中有32+3- 1=11(个)“ ”,题图④中有42+4- 1=19(个)“”,由此可得题图 中有 (n2+n-1)个“”,∴ 可列方程n2+ n-1=239,解得n1=15,n2=-16 (不合题意,舍去). 三、 16. (1) ∵ 2x2+4x+1=0, ∴ 2x2+4x=-1. ∴ x2+2x=-12. ∴ x2+2x+1=-12+1 ,即(x+ 1)2=12 ,则x+1=± 12. ∴ x=-1± 22 ,即x1=-1+ 2 2 , x2=-1- 2 2. (2) 原方程可化为2y2+7y =0,即 y(2y+7)=0,则y=0或2y+7=0, ∴ y1=0,y2=- 7 2. (3) 原方程可化为2x2-5x+2=0, ∴ a=2,b=-5,c=2. ∴ b2-4ac=(-5)2-4×2×2=9. ∴ x=5±92×2= 5±3 4 . ∴ x1= 1 2 ,x2=2. 17. ① 当x-1≥0,即x≥1时,方程 化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得 x1=0(舍去),x2=1. ② 当x-1<0,即x<1时,方程化为 x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0, 解得x1=1(舍去),x2=-2. 综上所述,原方程的解是x=1或 x=-2. 18. (1) 解方程x2-5x+6=0,得 x1=3,x2=2. ∵ 3比2大1, ∴ 该方程是“邻根方程”. (2) ∵ x2-(m-1)x-m=0, ∴ (x-m)(x+1)=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55