23.3.5 相似三角形的应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

∴ GF∥AB. ∴ CM⊥GF,CGCA= CF CB. 又∵ ∠GCF=∠ACB=90°, ∴ △CGF∽△CAB. ∴ CM CN= GF AB ,即 12 5-x 12 5 =nx5. ∴ x= 6025+12n. ∴ 正方形的边长是 60 25+12n. (第12题) 第5课时 相似三角形的应用 1. B 2. 152 3. ∵ DE⊥AB,DF⊥BC, ∴ ∠DEH=∠BFH=90°. ∴ ∠D + ∠DHE = ∠B + ∠BHF=90°. ∵ ∠DHE=∠BHF, ∴ ∠D=∠B. 又∵ ∠DEH=∠C=90°, ∴ △DEH∽△BCA. ∴ DE BC= DH BA. ∴ DE·BA=BC·DH. 4. A 解析:如图,过点D 作DE∥ BC 交FC 于点E,易知△ABC∽ △CED,∴ AB EC= BC DE. 设AB=xm, 由题意得DE=10-4=6(m),EC= (x-2.2)m,∴ x x-2.2= 10 6 ,解 得 x=5.5. (第4题) 5. C 解析:如图,过点C作CE∥AD 交AB 于点E,则易得四边形AECD 为平行四边形.∴ CD=AE=2m.由 题意,易得A'B∥AD.∴ A'B∥CE. ∴ ∠A'BB'=∠ECB.∵∠A'B'B= ∠EBC=90°,∴ △A'B'B∽ △EBC. ∴ A'B'∶BE=B'B∶BC,即1.2∶ BE=2∶4.∴ BE=2.4m.∴ AB= BE+AE=2.4+2=4.4(m),即这棵 树AB 的高为4.4m. (第5题) 6. 5∶4 解析:由题意得 HF1∶ OF1 = 5 ∶ 4,∵ AH ∥BO, ∴ △AHF1∽ △BOF1.∴ AH BO = HF1 OF1 = 5 4.∵ 易 知 CG =OB, ∴ AH∶BO=AH∶CG=5∶4. 7. 315 解析:如图,由题意,得AB= 15里,AC=4.5里,CD=3.5里, ∠CDE=∠BAC=90°,AB∥CD. ∴ ∠DCE = ∠B.∴ △DEC ∽ △ACB.∴ DE AC = DC AB.∴ DE = 1.05里=315步.∴ 走出南门315步, 恰好能看见这棵树. (第7题) 8. ∵ DO⊥BF, ∴ ∠DOE=90°. ∵ OD=OE=1m, ∴ ∠DEB=45°. ∵ AB⊥BF, ∴ ∠ABE=90°. ∴ ∠BAE=45°=∠AEB. ∴ AB=BE. 设AB=BE=xm. ∵ AB⊥BF,CO⊥BF, ∴ ∠ABF= ∠COF=90°. ∴ AB∥CO. ∴ △ABF∽△COF. ∴ AB CO= BF OF. 又∵ CO=CD+OD=1.5+1= 2.5(m),BF =BE +EF =BE + (OF-OE)=(x+2)m, ∴ x 2.5= x+2 3 ,解得x=10. ∴ 环保宣传牌AB 的高度是10m. 9. 120 解析:∵ AB=CD,OA= OC,∴ OB =OD.∵ OE =OF, ∴ ∠OEF= ∠OFE = 12 (180°- ∠BOD).同 理,可 得 ∠OBD = ∠ODB = 12 (180°- ∠BOD). ∴ ∠OEF=∠OBD.如图,过点O 作 OM⊥EF 于点 M.∵ OE=OF= 34cm,OM⊥EF,∴ EM=12EF= 16cm.在 Rt△OEM 中,OM = OE2-EM2 = 342-162 = 30(cm).过点A作AH⊥BD 于点H, 则易得∠OME=∠AHB=90°.又 ∵ ∠OEF=∠OBD,∴ △OEM ∽ △ABH.∴ OE AB= OM AH ,即34 136= 30 AH. ∴ AH=120cm,即当垂挂在衣架上 的连衣裙总长度小于120cm时,连衣 裙才不会拖到地面上. (第9题) 10. (1) ∵ CD 是Rt△ABC 的斜边 AB 上的高, ∴ ∠ACB=∠ADC=90°. ∴ ∠A + ∠ACD = ∠BCM + ∠ACD=90°. ∴ ∠A=∠BCM. 同理,可得∠DMH=∠HDB. ∴ 180°-∠HDB=180°-∠DMH, 即∠ADE=∠CMB. ∴ △AED∽△CBM. (2) 由(1),知△AED∽△CBM. ∴ AE CB= AD CM. ∴ AE·CM=AD·CB. ∵ ∠A=∠A,∠ADC=∠ACB, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 ∴ △ACD∽△ABC. ∴ AD AC= CD BC. ∴ AD·BC=AC·CD. ∴ AE·CM=AC·CD. 23.4　中 位 线 1. C 2. D 3. 5 4. 12 5. ∵ D、E 分别是AB、AC的中点, ∴ DE 是△ABC的中位线. ∴ DE∥BC,BC=2DE. ∵ EF=DE, ∴ DF=2DE. ∴ DF=BC. ∴ 四边形DBCF 是平行四边形. 6. C 解析:∵ BN 平分∠ABC, BN ⊥AE,∴ ∠NBA = ∠NBE, ∠BNA=∠BNE=90°.又∵ BN= BN,∴ △BNA≌△BNE.∴ BA= BE,AN=EN.同理,可得CA=CD, AM=DM.∴ MN=12DE.∵ BE+ CD=AB+AC=19-BC=19-7= 12,∴ DE=BE+CD-BC=5. ∴ MN=12DE= 5 2. 7. D 解析:如图,设CE 与BD 交于 点O.∵ BD、CE 分别为AC、AB 边 上的中线,∴ 点O 是△ABC 的重心. ∴ OC=23CE= 10 3.∵ BD⊥CE, ∴ △BDC的面积=12 ·BD·OC= 1 2×3× 10 3=5.∵ BD 为AC 边上的 中线,∴ S△ABC=2S△BDC=10. (第7题) 8. 1 解析:∵ EF∥AC,D、E 为边 AB 的三等分点,∴ BE=ED=AD= 1 3BA ,△BEF∽△BAC.∴ EF AC= BE BA= 1 3.∴ EF=13AC=2.∵ DG∥ EF,∴ DH 是△AEF 的 中 位 线. ∴ DH=12EF=1. 9. 5 解 析:连 结 BD、DN.在 Rt△ABD 中,DB= AD2+AB2= 10.∵ E、F 分别为DM、MN 的中点, ∴ EF=12DN. 由题意,易得当点N 与点B 重合时,DN 的长最大,最大 值为10.∴ EF 长的最大值为5. 10. 2 解析:连结AG 并延长,交BC 于点M. ∵ 点G 为△ABC 的重心, ∴ AM 是 △ABC 的 中 线,AG = 2GM.∴ AG AM = 2 3.∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC.由题意,易得 AG 是 △ADE 的 中 线.∴ DE BC = AG AM= 2 3. ∵ BC=3,∴ DE=2. 11. (1) ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠C. ∵ DE∥BC, ∴ ∠ADE=∠ABC,∠AED=∠C. ∴ ∠ADE=∠AED. ∴ AD=AE. ∴ BD=EC. ∵ F、G、H 分别为BE、DE、BC 的 中点, ∴ FG∥BD,FG=12BD ,FH∥EC, FH=12EC. ∴ FG=FH. (2) 当∠A=90°时,FG⊥FH. 理由:如图,延长FG 交AC于点I. ∵ FG∥BD, ∴ ∠FIC=∠A. ∵ FH∥EC, ∴ ∠FIC+∠IFH=180°. ∵ FG⊥FH, ∴ ∠IFH=90°. ∴ ∠A=∠FIC=90°. (第11题) 12. 如图,连结AC,取AC的中点M, 连结ME、MF. ∵ E 是CD 的中点,M 是AC 的中 点,F 是AB 的中点, ∴ EM ∥AD,EM= 12AD ,FM∥ BC,FM=12BC. ∴ ∠MEF = ∠AHF,∠MFE = ∠BGF. 又∵ AD=BC, ∴ EM=FM. ∴ ∠MEF=∠MFE. ∴ ∠AHF=∠BGF. (第12题) 构造三角形的中位线解题 当题目中出现两条或多条线 段的中点时,常构造三角形的中位 线解题.若两个中点是三角形两边 的中点,则直接连结这两点得到三 角形的中位线;若两个中点是四边 形对边的中点,则往往需要先连结 对角线,取对角线的中点,再分别 连结原对边两个中点,得到两个三 角形的中位线,最后运用中位线的 性质解题. 13. 16 3 解析:如图,连结BD,BD 与 AC交于点O,设点E 为△ABC 的重 心,点F 为△ADC的重心.∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴ AC⊥BD,OA= OC=12AC=6 ,OB=OD.∴ OB= OD= AB2-OA2=8.∵ 点E 为 △ABC的重心,点F 为△ADC 的重 心,∴ OE = 13OB = 8 3 ,OF = 1 3OD= 8 3.∴ △ABC 与△ADC 的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 52 第5课时 相似三角形的应用 ▶ “答案与解析”见P23 1. 如图,为了测量某棵树的高度,小刚用长为 2m的竹竿作测量工具,移动竹竿,使竹竿、 树的顶端的影子恰好落在地面的同一点,此 时,竹竿与这一点相距6m,与树相距15m, 那么这棵树的高度为 ( ) A. 5m B. 7m C. 7.5m D. 21m (第1题) (第2题) 2. 如图,A、B 两点分别位于一个池塘的两端, 为了测量A、B 两点之间的距离,小天想了一 个办法:在地上取一点C,使它可以直接到达 A、B 两点,连结 AC、BC,在 AC 上取一 点M,使AM=3MC,作MN∥AB 交BC 于 点N,测得MN=38m,则A、B 两点之间的 距离为 m. 3. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,DE⊥AB 于 点E,DF⊥BC于点F,交AB于点H. 求证: DE·BA=BC·DH. (第3题) 4. 新情境·日常生活 如图,某超市在一楼至二楼 之间安装有电梯,天花板与地面平行.张强戴 着帽子(人与帽子的总高度约2.2m)乘电梯 刚好安全通过,则根据图中数据计算这两层 楼之间的高约为 ( ) (第4题) A. 5.5m B. 6.2m C. 11m D. 12.2m 5. 如图,在离某建筑物4m处有一棵 树AB,在某时刻,1.2m长的竹竿 A'B'垂直于地面,影长B'B 为2m, 此时,树AB 的影子有一部分映在地面上,还 有一部分映在建筑物的墙上,墙上的影长 CD 为2m,则这棵树AB 的高为 ( ) (第5题) A. 6.4m B. 5.4m C. 4.4m D. 3.4m 6. 新趋势·与物理融合 (2024·杭州期中)凸透 镜成像的原理如图所示,AD∥l∥BC.在凸透 镜左侧,若物体到焦点F1 的距离与焦点F1 到凸透镜中心线DB 的距离之比为5∶4,则 物体AH 与缩小的实像CG 的高度之比为 . (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 53 7. 新考向·传统文化 《九章算术》是我国古代数 学著作,奠定了中国传统数学的基本框架.其 中记载:“今有邑东西七里,南北九里,各中开 门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而 见木?”译文如下:今有一座矩形小城(如图), 东西方向城墙长7里,南北方向城墙长9里, 各城墙正中均开一扇城门.走出东门15里处 有棵树,问走出南门多少步,恰好能看见这棵 树? 请你计算:走出南门 步,恰好能 看见这棵树(注:1里=300步). (第7题) 8. 如图,小云想要测量窗外的环保宣传牌AB 的高度,她发现早上阳光恰好从窗户的最高 点C 处射进房间的地板点F 处,中午的阳光 恰好从窗户的最低点处射进房间的地板点E 处,小云测得窗户距地面的高度OD=1m, 窗高CD=1.5m,并测得OE=1m,OF= 3m.请根据以上测量数据,求出环保宣传牌 AB 的高度. (第8题) 9. 小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①). 如图②所示为晒衣架的侧面示意图,立杆 AB、CD 相交于点O,B、D 两点在地面上,经 测量,AB=CD=136cm,OA=OC,OE= OF=34cm.现将晒衣架完全稳固张开,扣链 EF 成一条线段,且EF=32cm,则当垂挂在 衣架上的连衣裙总长度小于 cm时, 连衣裙才不会拖到地面上. (第9题) 10. 如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,点M 在CD 上,DH⊥ BM 于点H,延长DH 与AC 的延 长线交于点E,与BC 交于点F.求证: (1) △AED∽△CBM. (2) AE·CM=AC·CD. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　图形的相似