23.1.1 成比例线段&23.1.2 平行线分线段成比例&23.2 相似图形-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

38 23.1　成比例线段 第1课时 成比例线段 ▶ “答案与解析”见P16 1. 下列各组图形中,是相似图形的一组为 ( ) A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是 ( ) A. 1cm、2cm、3cm、4cm B. 1cm、2cm、20cm、40cm C. 4cm、2cm、5cm、3cm D. 5cm、10cm、15cm、20cm 3. 已知a 3= b 7 (a≠0,b≠0),下列变形中,错误 的是 ( ) A. a b= 3 7B. 7a=3bC. b a= 7 3 D. 3a=7b 4. 若y 2= 2y-x 3 ,则x y 的值为 . 5. 如图,四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩 形,AB=3,AD=6.5,BF=2. (1) 求线段的比:CD BC 、EF CF 、BF AB. (2) 指出AB、BC、CF、CD、EF、BF 这六条 线段中的成比例线段(写一组即可). (第5题) 6. 下列四组线段中,不是成比例线段的为 ( ) A. a=3,b=6,c=2,d=4 B. a=1,b=2,c=6,d=3 C. a=4,b=6,c=5,d=10 D. a=2,b=5,c= 15,d=23 7. 如果2x=3y(x、y 均不为0),那么 下列各式中,正确的是 ( ) A. x y= 2 3 B. x x-y=3 C. x+y y = 5 3 D. x x+y= 2 5 8. 若x 4= y 3 ,则x+y x-y 的值为 . 9. 如图,在▱ABCD 中,DE⊥AB 于点E, BF⊥AD 交AD 的延长线于点F. (1) AB、BC、BF、DE 这四条线段是否为成 比例线段? 若是,请写出比例式;若不是,请 说明理由. (2) 若AB=10,DE=2.5,BF=5,求BC 的长. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 第23章　图形的相似 39 第2课时 平行线分线段成比例 ▶ “答案与解析”见P16 1. 如图,若AB∥CD∥EF,ADAF= 3 5 ,BE=12,则 CE 的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 24 5 D. 36 5 (第1题) (第2题) 2. 如图,D、E分别为AB、AC上的点,DE∥BC, AE=2CE,AB=9,则AD 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 如图,AB与CD 相交于点E,AD∥BC,BEAE= 3 5 ,CD=16,则DE 的长为 . (第3题) 4. 如图,在△ABC 中,点D 在边AB 上,点F、 E 在边AC 上,DE∥BC,DF∥BE.求证: AE EC= AF FE. (第4题) 5. 如图,在四边形ABCD 中,E、F 分别为AB、 CD 上一点,且AD∥BC∥EF,AB=4BE,则 DF 与FC 的关系是 ( ) A. DF=4FC B. DF=3FC C. DF=53FC D. DF=2FC (第5题) (第6题) 6. 如图,在△ABC 中,D 是△ABC 的 边BC 上的中点,若AF∶FD=1∶ 2,BF 的延长线交AC 于点E,则 AE∶CE 的值为 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 3 4 7. 新情境·日常生活 如图所示为一架梯子的示 意图,其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1,且AB= BC=CD.为使其更稳固,在点A、D1间加绑 一根安全绳(线段AD1). 若量得AE=0.4m, 则AD1= m. (第7题) 8. ★如图,直线a∥b∥c,直线l1、l2与这三条平 行线分别交于点A、B、C 和点D、E、F.若 AB=13AC ,DE=3,则EF= . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　图形的相似 40 9. 如图,BE 平分∠ABC 交AC 于点E,DE∥ BC,交AB 于点D,AC=8,AB=9,CE=4, 求DE 的长. (第9题) 10. 如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥AB, AE=2CE,AB=6,BC=9,求 四 边 形 BDEF 的周长. (第10题) 11. 如图,在▱ABCD 中,E 是边BA 延长线上 的一点,CE 交对角线DB 于点G,交边AD 于点F.求证:CG2=GF·GE. (第11题) 12. 如图,点D、E、F 分别在△ABC 的边AB、 AC、BC 上,ADBD= 1 3 ,DE∥BC,EF∥AB,M 是EF 的中点,连结BM 并延长,交AC 于 点N,则ENAC 的值是 ( ) (第12题) A. 3 20 B. 2 9 C. 1 6 D. 1 7 13. 如图,在△ABC 中,D 为BC 的中 点,点P 在AD 上,过点P 分别作 PM∥AC 交AB 于点M,PN∥AB 交AC 于点N. (1) 若AP∶PD=2∶1,求AM∶AB的值. (2) 求证:AM AB= AN AC. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 41 23.2　相似图形 ▶ “答案与解析”见P17 1. 如图所示的三个矩形中,是相似图形的为 ( ) (第1题) A. 甲与乙 B. 乙与丙 C. 甲与丙 D. 以上都不对 2. 如图所示的两个四边形都是菱形,根据图中 给出 的 有 关 数 据 可 知,这 两 个 四 边 形 (填“相似”或“不相似”). (第2题) (第3题) 3. 如图,在长8cm、宽4cm的矩形中截去一个 矩形(阴影部分),使留下的矩形与原矩形相 似,则留下的矩形的面积为 cm2. 4. 如图,四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'相 似.求: (1) ∠B 的度数. (2) x、y的值. (第4题) 5. 如 图,正 五 边 形 FGHMN 与 正 五 边 形 ABCDE 相似.若AB∶FG=2∶3,则下列 结论正确的是 ( ) A. 2DE=3MN B. 3DE=2MN C. 3∠A=2∠F D. 2∠A=3∠F (第5题) (第6题) 6. 如图,在矩形ABCD 中,AB=1,在BC 上取 一点E,沿AE 将△ABE 向上折叠,使点B 落在AD 上的点F 处.若矩形ECDF 与矩 形ABCD 相似,则AD 的长为 . 7. 新情境·日常生活 如图,小明在一个 一边靠墙,长、宽分别为6m、4m的 矩形小花园的外围种植了一种蝴蝶 花作为装饰,这种蝴蝶花的种植区域的宽均 为20cm,此区域内、外边沿与墙所围成的两 个矩形相似吗? 请说明理由.如果要使这两 个矩形相似,那么当这种蝴蝶花的种植区域 一边的宽a为20cm时,另一边的宽b为多 少才合适? (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　图形的相似 解得m1=10,m2= 310 3 (不符合题意, 舍去). ∴ 甲种花篮的单价应降低10元. 第23章　图形的相似 23.1　成比例线段 第1课时 成比例线段 1. A 2. B 3. D 4. 1 2 5. (1) ∵ 四边形ABCD 与四边形 ABFE 都是矩形,AB=3,AD=6.5, BF=2, ∴ CD=EF=AB=3,BC=AD= 6.5,CF=BC-BF=6.5-2=4.5. ∴ CD BC= 3 6.5= 6 13 ,EF CF= 3 4.5= 2 3 , BF AB= 2 3. (2) 答 案 不 唯 一,如 EF、CF、 BF、AB. 6. C 解析:选项A中,四条线段从 小到大排列为c=2,a=3,d=4,b= 6.∵ c a= 2 3 ,d b= 4 6= 2 3 ,∴ c a = d b.∴ 线段c、a、d、b是成比例线段. 故选项A不符合题意.类似地,选项B 中可得a b = d c = 2 2 ,线段a、b、d、c 是成比例线段.故选项B不符合题 意.选项D中,ab = d c = 25 5 ,∴ 线 段a、b、d、c是成比例线段. 故选项D 不符合题意.而在选项C中,∵ a c = 4 5 ,b d= 6 10= 3 5 ,∴ a c ≠ b d.∴ 这四 条线段不是成比例线段. 7. B 解析:∵ x y= 2 3 ,∴ 3x=2y. 故选项A不符合题意.∵ x x-y=3 , 即x=3x-3y,∴ 2x=3y.故选项B 符合题意.∵ x+y y = 5 3 ,即3x+ 3y=5y,∴ 3x=2y.故选项C不符合 题意.∵ x x+y= 2 5 ,即5x=2x+2y, ∴ 3x=2y.故选项D不符合题意. 8. 7 解析:由x4= y 3 ,得x y = 4 3. ∴ 设 x=4k,y=3k(k≠0),则 x+y x-y= 4k+3k 4k-3k=7. 9. (1) 是. ∵ 在▱ABCD 中,DE⊥AB,BF⊥ AD, ∴ S▱ABCD=AB·DE=AD·BF. ∴ AB AD= BF DE. 又∵ 易得BC=AD, ∴ AB BC= BF DE. ∴ AB、BC、BF、DE 这四条线段是成 比例线段,比例式为AB BC= BF DE (比例 式的写法不唯一). (2) ∵ AB BC= BF DE , ∴ 10 BC= 5 2.5. ∴ BC=5. 第2课时 平行线分线段成比例 1. C 2. A 3. 10 4. ∵ DE∥BC, ∴ AE EC= AD DB. ∵ DF∥BE, ∴ AF FE= AD DB. ∴ AE EC= AF FE. 5. B 解析:∵ AB=4BE,∴ AE= 3BE,即AEBE=3.∵ AD∥BC∥EF, ∴ DF FC= AE BE=3 ,即DF=3FC. 6. C 解析:如图,过点D 作DM∥ BE 交AC于点M.∵ D 是△ABC 的 边BC 上 的 中 点,∴ BD =CD. ∵ DM∥BE,∴ AE EM = AF FD = 1 2 , EM CM= BD CD=1.∴ CE=EM+CM= 2EM.∴ AE CE= AE 2EM= 1 4. (第6题) 7. 1.2 解 析:∵ BB1 ∥CC1, ∴ AE EF= AB BC.∵ AB=BC,∴ AE= EF.同理,可得EF=FD1.∴ AE= EF=FD1.∵ AE=0.4m,∴ AD1= 3AE=1.2m. 8. 6 解析:∵ AB=13AC ,∴ AB AC= 1 3.∴ AB AC-AB= 1 3-1 ,即AB BC= 1 2. ∵ a∥b∥c,∴ DE EF = AB BC = 1 2. ∵ DE=3,∴ 3 EF= 1 2.∴ EF=6. 利用平行线分线段成比例 求线段长的思路 利用平行线分线段成比例求 线段长,需先确定图形中的平行 线,由此找出线段间的比例关系, 再结合待求线段与已知线段写出 一个含有它们的比例式,从而构造 出方程,最后解方程求出线段长. 9. ∵ DE∥BC, ∴ AB DB= AC CE. ∴ 9 DB= 8 4. ∴ DB=92. ∵ BE 平分∠ABC, ∴ ∠ABE=∠CBE. ∵ DE∥BC, ∴ ∠CBE=∠DEB. ∴ ∠DEB=∠DBE. ∴ DE=DB=92. 10. ∵ AE=2CE, ∴ AE AC= 2 3 ,CE AC= 1 3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 ∵ EF∥AB, ∴ AE AC= BF BC= 2 3. ∵ BC=9, ∴ BF 9= 2 3. ∴ BF=6. ∵ DE∥BC, ∴ BD AB= CE AC= 1 3. ∵ AB=6, ∴ BD 6 = 1 3. ∴ BD=2. ∵ EF∥AB,DE∥BC, ∴ 四边形BDEF 是平行四边形. ∴ EF=BD=2,DE=BF=6. ∴ 四边形BDEF 的周长为2×(2+ 6)=16. 11. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ DC∥AB,AD∥BC. ∴ CG GE= DG GB ,DG GB= GF CG. ∴ CG GE= GF CG ,即CG2=GF·GE. 12. A 解析:如图,过点F 作FG∥ BN 交AC 于点G.∵ M 是EF 的中 点,∴ EN GN= EM FM=1.∴ EN=GN. ∵ DE∥BC,∴ AE EC = AD DB = 1 3. ∴ EC=3AE.∵ EF∥AB,∴ AE EC= BF FC= 1 3.∵ FG∥BN,∴ BF FC = NG GC= 1 3.∴ GC=3NG.设 EN= NG=a,则GC=3a,∴ EC=EN+ NG+GC =5a.∵ EC =3AE, ∴ AE=53a.∴ AC=AE+EC= 5 3a+5a= 20 3a.∴ EN AC= a 20 3a =320. (第12题) 13. (1) 如图,延长 MP 交BC 于 点E. ∵ PM∥AC,即PE∥AC, ∴ AP PD= CE DE= 2 1. ∴ DE=12CE. ∴ CD=DE+CE=32CE. ∵ D 为BC的中点, ∴ BC=2CD=3CE. ∵ ME∥AC, ∴ AM AB= CE BC= CE 3CE= 1 3 ,即AM∶ AB 的值为13. (2) 如图,延长AD 至点Q,使DQ= AD,连结BQ、CQ. ∵ D 是BC的中点, ∴ BD=CD. ∴ 四边形ABQC是平行四边形. ∴ AC∥BQ,AB∥CQ. ∵ PM∥AC,PN∥AB, ∴ PM∥BQ,PN∥CQ. ∴ AM AB= AP AQ ,AN AC= AP AQ. ∴ AM AB= AN AC. (第13题) 23.2　相似图形 1. B 2. 相似 3. 8 4. (1) ∵ 四边形ABCD 与四边形 A'B'C'D'相似, ∴ ∠C=∠C'=135°. ∴ ∠B=360°-135°-96°-60°=69°. (2) ∵ 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 A'B'C'D'相似, ∴ AD A'D'= AB A'B'= BC B'C'. ∴ 12 8= y 12= 6 x ,解得x=4,y=18. 5. B 解析:∵ 正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似,相似多边 形的对应边成比例,对应角相等, ∴ DE∶MN= AB∶FG=2∶3, ∠A=∠F.∴ 3DE=2MN. 6. 1+5 2 解析:根据题意,得AB= AF=FE=CD=1.设 AD=x,则 FD=x-1(x>1).∵ 矩形ECDF 与 矩形ABCD 相似,∴ EF AD= FD DC ,即 1 x = x-1 1 ,解得x1= 1+5 2 ,x2= 1-5 2 (不合题意,舍去).∴ AD= 1+5 2 . 7. 不相似. 理由:∵ 20cm=0.2m, ∴ 外围矩形的长为6+0.2×2= 6.4(m),宽为4+0.2=4.2(m). ∵ 6 6.4≠ 4 4.2 , ∴ 此区域内、外边沿与墙所围成的 两个矩形不相似. 20cm=0.2m,当a=0.2m时,若要 使这两个矩形相似,则 6 6.4= 4 4+b 或 6 4+b= 4 6.4. ∴ b=415m 或b=5.6m. ∵ 4 15m= 80 3cm ,5.6m=560cm, ∴ 另一边的宽b为803cm 或560cm 才合适. 23.3　相似三角形 第1课时 相似三角形 1. D 2. D 3. D 4. 35° 5. ∵ AB∥CD, ∴ △AOB∽△DOC. ∴ AB DC= OB OC= OA OD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71