第22章 一元二次方程 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

34 第22章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P14 考点一 一元二次方程的一般形式 典例1 易错题 已知关于x 的一元二次方程 (m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含 一次项,则m 的值为 ( ) A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 把原方程化为一般形式,根据一元二次方程的 定义、一次项的概念列式计算即可. [变式]若关于x的一元二次方程(m+1)x2+2x+ |m-1|=2的常数项为0,则m 的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. 3 D. -2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 35 考点二 一元二次方程的根 典例2 (2024·南充)已知m 是方程x2+4x- 1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为 . 把x=m 代入方程x2+4x-1=0,求出m2+ 4m 的值,然后利用多项式乘多项式法则计算(m+5)· (m-1),最后把m2+4m 的值代入进行计算即可. [变式]若x=a是一元二次方程x2+2x-3=0 的一个根,则2a2+4a的值是 . 考点三 解一元二次方程 典例3 选择合适的方法解下列一元二次方程: (1) (2x+3)2-25=0. (2) x2+4x+2=0. (3) 2x2-5x+1=0. (4) (x-5)2=(2x-1)(5-x). (1) 方程移项,得(2x+3)2=25,用直接开平方 法解.(2) 此方程的二次项系数为1,一次项系数是偶 数,可考虑运用配方法求解.(3) 此题不可能用直接 开平方法,方程左边不能用已学过的方法分解因式, 因此也不可能用因式分解法,配方法较复杂,所以选 用公式法.(4) 把方程右边整体移到左边后,经过变 形可提取公因式(x-5),故用因式分解法求解. [变式]选择合适的方法解下列一元二次方程: (1) 4x2-12x+9=0. (2) 3y2-6y-5=0. (3) 9(2x+3)2=16(1-3x)2. (4) 2x2- 17x-4=0. (5) -3x2+10x=8. 考点四 一元二次方程根的判别式 典例4 (2024·潍坊)已知关于x 的一元二次 方程x2-mx-n2+mn+1=0,其中m、n满足 m-2n=3,关于该方程根的情况,下列判断正确 的是 ( ) A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 [变式]关于x的一元二次方程(m-2)x2+4x+ 2=0有两个实数根,则m 的取值范围是 ( ) A. m≤4 B. m≥4 C. m≥-4且m≠2 D. m≤4且m≠2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　一元二次方程 36 考点五 一元二次方程根与系数的关系 典例5 (2024·遂宁)已知关于x 的一元二次 方程x2-(m+2)x+m-1=0. (1) 求证:无论m 取何值,方程都有两个不相等 的实数根. (2) 如果方程的两个实数根为x1、x2,且x21+ x22-x1x2=9,求m 的值. [变式](2024·泸州)已知x1、x2是一元二次方 程x2-3x-5=0的两个实数根,则(x1-x2)2+ 3x1x2的值是 . 考点六 一元二次方程的实际应用 典例6 (2024·淄博)随着人们对身心健康的 关注度越来越高,某市参加健身运动的人逐 年增多,从2021年的32万人增加到2023年的 50万人. (1) 求该市参加健身运动人数的年均增长率. (2) 为支持市民的健身运动,市政府决定从某公 司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买 不超过100套,则每套售价为1600元;若超过 100套,则每增加10套,每套售价可降低40元. 但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该 公司支付货款240000元,求购买的这种健身器 材的套数. [变式]如图,某工程队在工地利用互相垂直的 两面墙AE、AF,另两边用铁栅栏围成一块矩形 场地ABCD,中间再用铁栅栏分割成两个矩形. 已知铁栅栏总长为180m,墙AE 长为90m,墙 AF 长为60m. (1) 设BC=xm,则CD 为 m,矩形 ABCD 的面积为 m2. (2) 若矩形ABCD 的面积为4000m2,则BC 的 长为多少米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 37 1. 关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个解是 x=-2,则k的值为 ( ) A. 2或4 B. 0或4 C. -2或0 D. -2或2 2. 定义新运算“a*b”:对于任意实数a、b,都有 a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通 常的加法、减法、乘法运算.例如:4*3=(4+ 3)×(4-3)-1=7-1=6.若x*k=x(k为 实数)是关于x的方程,则它的根的情况为 ( ) A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 3. 若x1、x2 是方程x2-x-2025=0 的两 个 实 数 根,则 代 数 式 x31- 2025x1+x22的值是 ( ) A. 4051 B. 4050 C. 2025 D. 1 4. 已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2- c=0有两个相等的实数根,则1a+c 的值为 . (第5题) 5. 如图,AO=BO=50cm,OC 是一 条射线,OC⊥AB,一只蚂蚁由点 A 以2cm/s的速度向点B 爬行, 同时 另 一 只 蚂 蚁 由 点 O 以 3cm/s的速度沿OC 方向爬行,则 s 后两只蚂蚁与点O 组成的三角形的面积为 450cm2. 6. 已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+ 5=0有两个不相等的实数根. (1) 求实数m 的取值范围. (2) 若该方程的两个根都是符号相同的整 数,求整数m 的值. 7. 新情境·日常生活 某鲜花店出售甲、 乙两种花篮,八月份时,乙种花篮的 单价比甲种花篮的单价低20元,一 个甲种花篮与两个乙种花篮的单价之和为 260元. (1) 八月份,甲、乙两种花篮的单价分别是多 少元? (2) 据统计,八月份甲、乙两种花篮分别销售 了40个和50个;九月份,店主决定对甲种花 篮进行降价促销.经市场调研,甲种花篮的单 价每降低1元,预计销量比八月份增加3个; 乙种花篮的单价不变,但其销量相比八月份 也有所增加,预计增加的销量是甲种花篮增 加销量的1 3. 若预计九月份甲、乙两种花篮的 销售总额是11100元,则甲种花篮的单价应 降低多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　一元二次方程 ∴ 该商家购进每个钥匙扣的进价是 8元,每个相框的进价是2元. (2) 设每个钥匙扣的售价为m 元. 根据 题 意,得 (m -8)· 20+ 15-m 0.5 ×5 +40×(5-2)=300. 整理,得 m2-25m+154=0,解得 m1=11,m2=14. ∵ 降价幅度不超过20%, ∴ 15-m 15 ≤20%. ∴ m≥12. ∴ m=14. ∴ 每个钥匙扣的售价为14元. 10. (1) 设日租金提高x 元,则每日 可租出 50-2x10 辆. 由题 意,得(200+x)50-2x10 = 10120. 整理,得x2-50x+600=0,解得 x1=20,x2=30. ∴ 当日租金提高20元或30元时,公 司的日收益可达到10120元. (2) 不能. 理由:假设能实现,设日租金提高 m 元. 由题意,得(200+m)50-2m10 = 10160. 整理,得m2-50m+800=0. ∵ Δ=(-50)2-4×1×800= -700<0, ∴ 该一元二次方程没有实数根. ∴ 日收益不能达到10160元. (3) 设日租金提高a元. 由题 意,得(200+a)50-2a10 - 10050-2a10 -50×2a10=5500. 整理,得a2-100a+2500=0. 解得a1=a2=50. ∴ 200+a=250. ∴ 当日租金为250元时,公司的日利 润恰好为5500元. 第22章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 D 解析:∵ (m-3)x2+ m2x=9x+5,∴ (m-3)x2+(m2- 9)x-5=0.由题意,得m-3≠0, m2-9=0,解得m=-3. 勿忽略二次项系数 不为0的条件 根据一元二次方程各项系数 的要求确定参数的取值时,应同时 考虑二次项系数不为0的条件.本 题若忽略二次项系数m-3≠0这 个条件,则易导致错选B. [变式] C 解析:原方程可化为 (m+1)x2+2x+|m-1|-2=0. ∵ 常数项为0,∴ |m-1|-2=0. ∴ |m-1|=2.∴ m-1=2或m- 1=-2.∴ m=3或m=-1. 又∵ 原 方程为一元二次方程,∴ m+1≠0. ∴ m≠-1.∴ m=3. 典例2 -4 解析:∵ m 是方程 x2+4x-1=0的一个根,∴ m2+ 4m=1.∴ (m+5)(m-1)=m2- m+5m-5=m2+4m-5=1- 5=-4. [变式] 6 解析:∵ x=a是一元二 次方程x2+2x-3=0的一个根, ∴ a2+2a-3=0.∴ a2+2a=3. ∴ 2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6. 典例3 (1) 方 程 移 项,得(2x+ 3)2=25,两边开平方,得2x+3=5或 2x+3=-5,解得x1=1,x2=-4. (2) 方程变形,得x2+4x=-2,配 方,得x2+4x+4=2,即(x+2)2=2, 两边开平方,得x+2=± 2,解得 x1=-2+2,x2=-2-2. (3) ∵ a=2,b=-5,c=1, ∴ Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×1= 17>0. ∴ x=- (-5)± 17 2×2 . ∴ x1= 5+ 17 4 ,x2= 5- 17 4 . (4) 方程变形,得(x-5)2+(2x-1) (x-5)=0,分解因式,得(x-5)(x- 5+2x-1)=0,即(x-5)(3x- 6)=0, ∴ x-5=0或3x-6=0,解得x1= 5,x2=2. [变式] (1) ∵ 4x2-12x+9=0, ∴ (2x-3)2=0. ∴ 2x-3=0. ∴ x1=x2= 3 2. (2) ∵ 3y2-6y-5=0, ∴ Δ=(-6)2-4×3×(-5)= 96>0. ∴ y= -(-6)± 96 2×3 = 3±26 3 . ∴ y1= 3+26 3 ,y2= 3-26 3 . (3) ∵ 9(2x+3)2=16(1-3x)2, ∴ [3(2x+3)]2=[4(1-3x)]2. ∴ 3(2x+3)=4(1-3x)或3(2x+ 3)=-4(1-3x),解得x1=- 5 18 , x2= 13 6. (4) ∵ 2x2- 17x-4=0, ∴ Δ=(- 17)2-4×2×(-4)= 49>0. ∴ x=- (- 17)± 49 2×2 = 17±7 4 . ∴ x1= 17+7 4 ,x2= 17-7 4 . (5) 方程变形,得3x2-10x+8=0, 分解因式,得(x-2)(3x-4)=0, 解得x1=2,x2= 4 3. 典例4 C 解析:∵ m-2n=3, ∴ Δ=(-m)2-4(-n2+mn+1)= m2+4n2-4mn-4=(m-2n)2-4= 32-4=9-4=5>0.∴ 原方程有两 个不相等的实数根. [变式] D 解析:∵ 关于x的一元二 次方程(m-2)x2+4x+2=0有两个实 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 数 根,∴ 16-4(m-2)×2≥0, m-2≠0, 解 得 m≤4且m≠2. 典例5 (1) ∵ Δ=b2-4ac= [-(m+2)]2-4×1×(m-1)= m2+4m+4-4m+4=m2+8>0, ∴ 无论m 取何值,方程都有两个不 相等的实数根. (2) 由题意,得x1+x2=m+2, x1x2=m-1. ∵ x21+x22-x1x2=9,即(x1+ x2)2-3x1x2=9, ∴ (m+2)2-3(m-1)=9. 整理,得m2+m-2=0. ∴ (m+2)(m-1)=0. 解得m1=-2,m2=1. ∴ m 的值为-2或1. [变式] 14 解析:∵ x1、x2 是一元 二次方程x2-3x-5=0的两个实数 根,∴ x1+x2=3,x1·x2=-5. ∴ (x1-x2)2+3x1x2=x21+x1x2+ x22= (x1 +x2)2 -x1x2 =32 - (-5)=9+5=14. 典例6 (1) 设该市参加健身运动人 数的年均增长率为 x.由题意,得 32(1+x)2=50,解得x1=0.25= 25%,x2=-2.25(不合题意,舍去). ∴ 该市参加健身运动人数的年均增 长率为25%. (2) 设购买的这种健身器材的套数 为m. ∵ 240000÷1600=150(套), ∴ m>100. 由题意,得 m 1600-m-10010 × 40 =240000. 整理,得m2-500m+60000=0. 解得m1=200,m2=300. 当m=200时,1600-m-10010 ×40= 1600-400=1200>1000,符合题意; 当m=300时,1600-m-10010 ×40= 1600-800=800<1000,不符合题 意,舍去. ∴ 购 买 的 这 种 健 身 器 材 的 套 数 为200. [变式] (1) (180-2x);x(180-2x). (2) 由题意,得x(180-2x)=4000. 整理,得x2-90x+2000=0,解得 x=40或x=50.当x=40时,180- 2x=100>90,不合题意,舍去;当x= 50时,180-2x=80<90,符合题意. ∴ BC的长为50m. ［综合素能提升］ 1. B 解析:把x=-2代入方程 x2+4kx+2k2=4,得4-8k+2k2= 4,整理,得k2-4k=0,解得k1=0, k2=4,即k的值为0或4. 2. C 解析:由题意,得(x+k)(x- k)-1=x,即x2-x-k2-1=0. ∵ b2-4ac=(-1)2-4(-k2-1)= 4k2+5>0,∴ 方程有两个不相等的 实数根. 3. A 解析:把x1 代入x2-x- 2025=0,得x21-x1-2025=0,即 x21-2025=x1. ∵ x1、x2 是方程 x2-x-2025=0的两个实数根, ∴ x1+x2=1,x1x2=-2025. ∴ x31-2025x1+x22=x1(x21- 2025)+x22=x21+x22=(x1+x2)2- 2x1x2=1+4050=4051. 4. 2 解析:∵ 关于x的一元二次方 程ax2+2x+2-c=0有两个相等的 实数根,∴ a≠0,Δ=22-4a(2- c)=0.整理22-4a(2-c)=0,得 4a(c-2)=-4. 等式两边同时除以 4a,得c-2=-1a ,即1 a+c=2. 5. 15或10或30 解析:设xs后两 只蚂蚁与点O 组成的三角形的面积 为450cm2.有两种情况:① 如图①, 当蚂蚁在AO 上爬行,即0≤x≤25 时,由题意,得1 2×3x (50-2x)= 450,解得x1=15,x2=10.② 如图 ②,当蚂蚁在OB 上爬行,即25<x≤ 50时,由题意,得12×3x (2x-50)= 450,解得x1=30,x2=-5(不合题 意,舍去).综上所述,15s或10s或 30s后两只蚂蚁与点O 组成的三角 形的面积为450cm2. (第5题) 6. (1) 由题意,得b2-4ac=(-4)2- 4(-2m+5)>0,解得m>12. (2) 设x1、x2是方程的两个根. 由题意,得x1+x2=4>0,x1x2= -2m+5>0,解得m<52. ∴ m 的取值范围是12<m< 5 2. 又∵ m 为整数, ∴ m=1或m=2. 当m=1时,x2-4x+3=0, 解得x1=1,x2=3,方程的两个根都 是正整数,符合题意; 当m=2时,x2-4x+1=0, 解得x3=2+ 3,x4=2- 3,方程的 两个根都不是整数,不符合题意, 舍去. ∴ m=1. 7. (1) 设八月份,甲种花篮的单价是 x元,乙种花篮的单价是y元.根据题 意,得 x-y=20, x+2y=260, 解得 x=100 , y=80. ∴ 八月份,甲种花篮的单价是100元, 乙种花篮的单价是80元. (2) 设甲种花篮的单价应降低m 元, 则甲种花篮的单价是(100-m)元,九 月份甲种花篮的销量是(40+3m)个, 乙种花篮的销量是 50+13×3m 个. 根据题意,得(100-m)(40+3m)+ 8050+13×3m =11100. 整理,得3m2-340m+3100=0, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 解得m1=10,m2= 310 3 (不符合题意, 舍去). ∴ 甲种花篮的单价应降低10元. 第23章　图形的相似 23.1　成比例线段 第1课时 成比例线段 1. A 2. B 3. D 4. 1 2 5. (1) ∵ 四边形ABCD 与四边形 ABFE 都是矩形,AB=3,AD=6.5, BF=2, ∴ CD=EF=AB=3,BC=AD= 6.5,CF=BC-BF=6.5-2=4.5. ∴ CD BC= 3 6.5= 6 13 ,EF CF= 3 4.5= 2 3 , BF AB= 2 3. (2) 答 案 不 唯 一,如 EF、CF、 BF、AB. 6. C 解析:选项A中,四条线段从 小到大排列为c=2,a=3,d=4,b= 6.∵ c a= 2 3 ,d b= 4 6= 2 3 ,∴ c a = d b.∴ 线段c、a、d、b是成比例线段. 故选项A不符合题意.类似地,选项B 中可得a b = d c = 2 2 ,线段a、b、d、c 是成比例线段.故选项B不符合题 意.选项D中,ab = d c = 25 5 ,∴ 线 段a、b、d、c是成比例线段. 故选项D 不符合题意.而在选项C中,∵ a c = 4 5 ,b d= 6 10= 3 5 ,∴ a c ≠ b d.∴ 这四 条线段不是成比例线段. 7. B 解析:∵ x y= 2 3 ,∴ 3x=2y. 故选项A不符合题意.∵ x x-y=3 , 即x=3x-3y,∴ 2x=3y.故选项B 符合题意.∵ x+y y = 5 3 ,即3x+ 3y=5y,∴ 3x=2y.故选项C不符合 题意.∵ x x+y= 2 5 ,即5x=2x+2y, ∴ 3x=2y.故选项D不符合题意. 8. 7 解析:由x4= y 3 ,得x y = 4 3. ∴ 设 x=4k,y=3k(k≠0),则 x+y x-y= 4k+3k 4k-3k=7. 9. (1) 是. ∵ 在▱ABCD 中,DE⊥AB,BF⊥ AD, ∴ S▱ABCD=AB·DE=AD·BF. ∴ AB AD= BF DE. 又∵ 易得BC=AD, ∴ AB BC= BF DE. ∴ AB、BC、BF、DE 这四条线段是成 比例线段,比例式为AB BC= BF DE (比例 式的写法不唯一). (2) ∵ AB BC= BF DE , ∴ 10 BC= 5 2.5. ∴ BC=5. 第2课时 平行线分线段成比例 1. C 2. A 3. 10 4. ∵ DE∥BC, ∴ AE EC= AD DB. ∵ DF∥BE, ∴ AF FE= AD DB. ∴ AE EC= AF FE. 5. B 解析:∵ AB=4BE,∴ AE= 3BE,即AEBE=3.∵ AD∥BC∥EF, ∴ DF FC= AE BE=3 ,即DF=3FC. 6. C 解析:如图,过点D 作DM∥ BE 交AC于点M.∵ D 是△ABC 的 边BC 上 的 中 点,∴ BD =CD. ∵ DM∥BE,∴ AE EM = AF FD = 1 2 , EM CM= BD CD=1.∴ CE=EM+CM= 2EM.∴ AE CE= AE 2EM= 1 4. (第6题) 7. 1.2 解 析:∵ BB1 ∥CC1, ∴ AE EF= AB BC.∵ AB=BC,∴ AE= EF.同理,可得EF=FD1.∴ AE= EF=FD1.∵ AE=0.4m,∴ AD1= 3AE=1.2m. 8. 6 解析:∵ AB=13AC ,∴ AB AC= 1 3.∴ AB AC-AB= 1 3-1 ,即AB BC= 1 2. ∵ a∥b∥c,∴ DE EF = AB BC = 1 2. ∵ DE=3,∴ 3 EF= 1 2.∴ EF=6. 利用平行线分线段成比例 求线段长的思路 利用平行线分线段成比例求 线段长,需先确定图形中的平行 线,由此找出线段间的比例关系, 再结合待求线段与已知线段写出 一个含有它们的比例式,从而构造 出方程,最后解方程求出线段长. 9. ∵ DE∥BC, ∴ AB DB= AC CE. ∴ 9 DB= 8 4. ∴ DB=92. ∵ BE 平分∠ABC, ∴ ∠ABE=∠CBE. ∵ DE∥BC, ∴ ∠CBE=∠DEB. ∴ ∠DEB=∠DBE. ∴ DE=DB=92. 10. ∵ AE=2CE, ∴ AE AC= 2 3 ,CE AC= 1 3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61