22.3 实践与探索-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

30 22.3　实践与探索 第1课时 面积、变化率问题 ▶ “答案与解析”见P12 1. 王爷爷承包了一块矩形土地,其布局如图所 示.已知AD=52米,AB=30米,涂色部分 是大棚,其余部分是等宽的小路,大棚的总面 积为1400平方米,则小路的宽为 ( ) (第1题) A. 1米 B. 2米 C. 40米 D. 1米或40米 2. 某商店销售农产品,今年1月开始盈利,2月 盈利240000元,4月盈利290400元,且从 2月到4月,每月盈利的增长率相同,则每月 盈利的增长率是 ( ) A. 8% B. 9% C. 10% D. 11% 3. 某村计划建造如图所示的矩形温室,要求长 与宽的比为2∶1.在温室内,沿前侧内墙保 留3m宽的空地,其他三侧内墙各保留1m 宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时, 蔬菜种植区域的面积是288m2? (第3题) 4. 某楼盘1月的均价为每平方米16000元,开 发商连续两个月下调房价,3月的均价为每 平方米14440元. (1) 求该楼盘在1月到3月期间均价的月平 均下降率. (2) 王叔叔想要买房子,他决定等到均价低 于每平方米14000元时再买,按这样的月平 均下降率,王叔叔能在4月买房子吗? 5. 如图,将矩形沿图中虚线(其中x>y)剪成四 块图形,用这四块图形恰能拼成一个正方形. 若y=2,则x的值为 ( ) (第5题) A. 3 B. 25-1 C. 1+5 D. 1+2 6. ★随着我国新能源汽车的生产技术不断提升, 市场上某款新能源汽车的价格由今年3月的 27万元/辆下降到5月的24.3万元/辆.若价 格继续下降,且月平均降价的百分率保持不 变,则预计到今年7月该款新能源汽车的价 格将会 ( ) A. 低于22万元/辆 B. 低于21.5万元/辆 C. 超过22万元/辆 D. 超过23万元/辆 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 31 7. 如图,准备在一个长30m、宽24m 的矩形花圃内修建四条宽度相等且 与各边垂直的小路,四条小路围成 的中间部分恰好是一个小正方形,且边长是小 路宽的4倍.若四条小路所占的面积为99m2, 则小路的宽为 m. (第7题) 8. 如图,用长为22m的篱笆,一面利用墙(墙的 最大可用长度为14m),围成中间隔有一道 篱笆的矩形花圃,为了方便出入,在BC 段上 用其他材料做了两扇宽为1m的小门.若花 圃的面积刚好为45m2,求此时花圃 AB 段的长. (第8题) 9. 新情境·日常生活 某产品每件的生产 成本为500元,原定销售价为每件 625元,经市场预测,从现在开始,第 一季度销售价将下降20%,第二季度又将回 升6%.当该产品每件的生产成本平均每个 季度降低的百分率是多少时,才能使半年后 每件的销售利润不变? 10. 如图,正方形ABCD 的边长为4cm,动点P 从点B 出发,以2cm/s的速度沿B→C→D 的方向向点D 运动,动点Q 从点A 出发, 以1cm/s的速度沿A→B 的方向向点B 运 动.若P、Q 两点同时出发,运动时间为ts. (1) 连结 PD、PQ、DQ,当t 为何值时, △PDQ 的面积为11cm2? (2) 当点P 在BC 上运动时,是否存在这样 的t值,使得△PDQ 是以PD 为一腰的等 腰三角形? 若存在,请求出符合条件的t 值;若不存在,请说明理由. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　一元二次方程 32 第2课时 营销、数字等问题 ▶ “答案与解析”见P13 1. 如图,在一张长10cm、宽6cm的矩形纸片上 的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折 叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面 (图中涂色部分)面积是32cm2,则剪去的小 正方形的边长为 ( ) (第1题) A. 1cm B. 3cm C. 5cm D. 7cm 2. 一种商品的进价为5元/件,市场调查发现,当 售价为m 元/件时,每天可销售该商品(m+ 5)件,此时每天获利144元,则该商品的售价 为 元/件. 3. 某企业去年年底的总产值是1 200万元,从今 年起该企业投入大量资金更新设备,引进人 才,产值迅速增加,力争到明年年底实现总产 值翻两番的目标,则这两年总产值的年平均 增长率为 . 4. 某旅行社为吸引游客组团去大明湖风景区旅 游,推出了如下收费标准:如果人数不超过 20,那么人均旅游费用为1000元;如果人数 超过20,那么每超过1人,人均旅游费用降低 20元,但人均旅游费用不低于700元.某单 位组织员工去大明湖风景区旅游,共支付给 旅行社旅游费用24000元,该单位这次共有 多少人去大明湖风景区旅游? 5. 某厂把500万元资金投入新产品生产,一年 后获得了一定的利润,在不抽调资金和利润 的前提下,第二年的利润率比第一年的利润 率增加了8%,这样第二年净得利润112万 元,则第一年的利润率为 ( ) A. 10% B. 11% C. 12% D. 13% 6. 一个两位数,十位上的数字与个位上的数字 之和为5,把这个两位数的十位上的数字与 个位上的数字对调后,所得的新的两位数与 原来的两位数的积是736,则原来的两位数 是 . 7. 某商店代销一批季节性服装,每套代销服装 的成本为40元,当第一个月的售价为每套 52元时,可售出180套;根据市场变化提高 第一个月的售价作为第二个月的售价,且售 价每增加1元,销售量将减少10套.若该商 店预计要在这两个月的代销中获利4160元, 则第二个月的售价为每套 元. 8. 如图所示为一张长12cm、宽10cm的矩形铁 皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等 的矩形,剩余部分(涂色部分)可制成底面积 是24cm2的有盖的长方体铁盒.求剪去的正 方形的边长. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 33 9. 新情境·日常生活 某商家用1600元 购进钥匙扣,800元购进相框,每个 钥匙扣和每个相框的进价之和为10 元,且购进相框的数量是钥匙扣的2倍. (1) 求该商家购进每个钥匙扣和每个相框的 进价. (2) 该商家在销售过程中发现,当相框的售 价为每个5元,钥匙扣的售价为每个15元 时,平均每天可售出40个相框,20个钥匙 扣.据统计,钥匙扣的售价每降低0.5元,平 均每天可多售出5个,且降价幅度不超过 20%.若该商家在保证相框的售价和销量不 变且不考虑其他因素的情况下,想使钥匙扣 和相框平均每天的总获利为300元,则每个 钥匙扣的售价为多少元? 10. 某汽车租赁公司共有汽车50辆,市场调查 表明,当日租金为每辆200元时,可全部租 出,日租金每提高10元,租出去的车就减少 2辆. (1) 当日租金提高多少元时,公司的日收益 可达到10120元? (2) 若希望日收益达到10160元,你认为能 否实现? 若能,求出此时的日租金;若不能, 请说明理由. (3) 汽车日常维护需要一定的费用,已知租 出的车辆每日的维护费为100元,未租出的 车辆每日的维护费为50元.当日租金为多 少元时,公司的日利润恰好为5500元(利润= 收益-维护费)? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　一元二次方程 4m+8=(m-2)2+4>0, ∴ 无论m 取任何实数,此方程总有 两个不相等的实数根. (2) 由根与系数的关系,得 x1+ x2=-m,x1x2=m-2. ∵ x21+x22+m(x1+x2)=m2+1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2+m(x1+ x2)=m2+1. ∴ m2-2(m-2)-m2=m2+1.整 理,得m2+2m-3=0,解得m=-3 或m=1. 7. (1) 等腰三角形. 理由:把x=1代入方程,得a+c- 2b-a+c=0,化 简,得c=b, ∴ △ABC的形状为等腰三角形. (2) 直角三角形. 理由: ∵ 方程有两个相等的实数根, ∴ Δ=(-2b)2-4×(a+c)(-a+ c)=0,即4b2-4×(c2-a2)=0. 化简,得b2+a2=c2, ∴ △ABC的形状为直角三角形. 8. (1) 由一元二次方程根与系数的 关系,得ab=m+3, ∵ a、b分别是菱形的两条对角线的 长,且菱形的面积为5, ∴ 1 2ab=5. ∴ 1 2 (m+3)=5,解得m=7. (2) ∵ a、b分别为矩形的两条对角线 的长, ∴ a=b,即一元二次方程x2-mx+ m+3=0有两个相等的实数根. ∴ Δ=(-m)2-4(m+3)=0,即 m2-4m -12=0,解 得 m1=6, m2=-2. 当m=-2时,原方程为x2+2x+ 1=0,解得a=b=-1, ∵ a、b 分别为矩形的两条对角线 的长, ∴ 不符合题意,舍去. ∴ m 的值为6. 9. (1) ∵ Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+ k)=4k2+4k+1-4k2-4k=1>0, ∴ 方程有两个不相等的实数根. (2) ∵ △ABC 的两边AB、AC 的长 是这个方程的两个实数根, ∴ AB+AC=2k+1,AB·AC= k2+k. ∵ ∠BAC=90°,BC=5, ∴ AB2+AC2=52,即(AB+AC)2- 2AB·AC=25. ∴ (2k+1)2-2(k2+k)=25,解得 k1=-4,k2=3. 当k=-4时,AB+AC=2×(-4)+ 1=-7,不合题意,舍去;当k=3时, AB+AC=2×3+1=7,符合题意. ∴ k的值为3. 10. (1) ∵ m、n分别是等腰三角形的 腰长和底边长, ∴ 2m>n,且m>0,n>0. ∴ 4m2>n2. 又∵ b2-4ac=(-2m)2-4×1× 1 4n 2=4m2-n2, ∴ b2-4ac>0. ∴ 这个方程有两个不相等的实数根. (2) 设x1、x2 是方程的两个实数根. 由题意,得|x1-x2|=8. ∴ (x1-x2)2=64. ∴ (x1+x2)2-4x1x2=64. 由根与系数的关系,得x1+x2=2m, x1x2= 1 4n 2, ∴ (2m)2 -4× 14n 2 =64,即 m2-14n 2=4. 设等腰三角形底边上的高为h. 根据 题 意,由 勾 股 定 理 易 得 h= m2-14n 2 =4.∵ S等腰三角形 = 1 2n ·h=12n×4=16 , ∴ n=8. ∴ (2m)2-4×14×8 2=64,解得 m1=42,m2=-42.当m=-42 时,x1+x2=2m=-82,不合题意, 舍去. ∴ m=42,n=8. 22.3　实践与探索 第1课时 面积、变化率问题 1. A 2. C 3. 设矩形温室的宽为xm,则长为 2xm. 根据题意,得(x-2)(2x-3- 1)=288,解得x1=14,x2=-10(不 合题意,舍去). ∴ 2x=28. ∴ 当矩形温室的长为28m,宽为 14m时,蔬 菜 种 植 区 域 的 面 积 是 288m2. 4. (1) 设该楼盘在1月到3月期间均 价的月平均下降率为x. 根据 题 意,得 16000(1-x)2 = 14440,解得x1=0.05=5%,x2= 1.95(不合题意,舍去). ∴ 该楼盘在1月到3月期间均价的 月平均下降率为5%. (2) 4月的均价为每平方米14440× (1-5%)=13718(元). ∵ 13718<14000, ∴ 王叔叔能在4月买房子. 5. C 解析:如图,四块图形拼成的正 方形的边长为x.根据剪拼前后图形 的面积相等,可得y(x+y)=x2.将 y=2代入方程,可得2(x+2)=x2, 解得x1=1+ 5,x2=1- 5(不合题 意,舍去). (第5题) 6. A 解析:设月平均降价的百分率 为x.根据题意,得27 (1-x)2= 24.3.∴ (1-x)2=0.9.∴ 今年7月 该款新能源汽车的价格为24.3 (1- x)2=24.3×0.9=21.87 (万元/辆). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 增长率(或降低率)问题的规律 (1) 增长率问题:设某数为a, 平均增长率为x,则一次增长后的 值为a(1+x),两次增长后的值为 a(1+x)2,以此类推,n 次增长后 的值为a(1+x)n. (2) 降低率问题:设某数为a, 平均降低率为x,则一次降低后的 值为a(1-x),两次降低后的值为 a(1-x)2,以此类推,n 次降低后 的值为a(1-x)n. 7. 3 2 解析:设小路的宽为xm,则 小正方形的边长为4xm.由题意,得 (30+4x+24+4x)x=99,解得x1= 3 2 ,x2=- 33 4 (不合题意,舍去). ∴ 小路的宽为3 2 m. 8. 设花圃 AB 段 的 长 为x m,则 BC=22-3x+2=(24-3x)m. 由题意,可得(24-3x)x=45,解得 x1=3,x2=5. 当AB=3m时,BC=15m, ∵ 15>14, ∴ 不满足题意,舍去. 当AB=5m时,BC=9m,满足题意. ∴ 花圃AB 段的长为5m. 9. 设该产品每件的生产成本平均 每个季度降低的百分率是x. 由题意,得625×(1-20%)×(1+ 6%)-500(1-x)2=625-500,解得 x1=1.9(不合题意,舍去),x2= 0.1=10%. ∴ 该产品每件的生产成本平均每个 季度降低的百分率是10%时,才能使 半年后每件的销售利润不变. 10. (1) 当点P 在BC 上,即0≤t≤2 时,易得AQ=tcm,BQ=(4-t)cm, BP=2tcm,PC=(4-2t)cm. ∵ S△PDQ =S正方形ABCD -S△ADQ - S△BPQ-S△CPD, ∴ 4×4-12 ·4t-12 (4-t)·2t- 1 2 ·4(4-2t)=11,解得t1=-1, t2=3,两根均不合题意,舍去. 当点P 在CD 上,即2<t≤4时,易得 DP=(8-2t)cm. ∵ S△PDQ= 1 2DP ·BC, ∴ 1 2 (8-2t)·4=11,解得t=54 (不合题意,舍去). 综上所述,不存在这样的t 值,使 △PDQ 的面积为11cm2. (2) 存在. 由题意,易得AQ=tcm,BQ=(4- t)cm,BP=2tcm,PC=(4-2t)cm (0≤t≤2). ① 当PD=QD 时, ∵ DC=DA, ∴ Rt△DPC≌Rt△DQA. ∴ PC=QA,即4-2t=t,解 得 t=43. ② 当PD=PQ 时,在Rt△PBQ 中, PQ2=PB2+BQ2=[(2t)2+(4- t)2]cm2;在 Rt△PCD 中,PD2= PC2+CD2=[(4-2t)2+42]cm2. ∴ (2t)2+(4-t)2=(4-2t)2+42, 解得t1=-42-4(不合题意,舍 去),t2=42-4. 综上所述,当t的值为43 或42-4 时,△PDQ 是以PD 为一腰的等腰三 角形. 第2课时 营销、数字等问题 1. A 2. 13 3. 100% 4. ∵ 20×1000=20000(元),20000< 24000, ∴ 该单位这次去大明湖风景区旅游 的人数超过20. 设该单位这次共有x人去大明湖风景 区旅游,则人均旅游费用为[1000- 20(x-20)]元. 由题意,得x[1000-20(x-20)]= 24000. 整理,得x2-70x+1200=0,解得 x=30或x=40. 当x=30时,1000-20(x-20)= 800,800>700,符合题意; 当x=40时,1000-20(x-20)= 600,600<700,不符合题意,舍去. ∴ 该单位这次共有30人去大明湖风 景区旅游. 5. C 解析:设第一年的利润率为x, 则第一年的利润是500x 万元,第二 年的投入资金为(500+500x)万元, 第二年的利润率为x+8%,利润为 112万元.由题意,得(500+500x)· (x+8%)=112,解得 x1=12%, x2=-120%(不合题意,舍去). 6. 23或32 解析:设原来的两位数 的个位上的数字是x,则十位上的数 字是5-x.由题意,得[10(5-x)+ x][10x+(5-x)]=736.整理,得 x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3. ∴ 原来的两位数是23或32. 7. 60 解析:设第二个月的售价为每 套x 元,则销售量为[180-10(x- 52)]套.由题意,得180×(52-40)+ (x-40)[180-10(x-52)]=4160, 解得x1=50(不合题意,舍去),x2= 60.∴ 第二个月的售价为每套60元. 8. 设剪去的正方形的边长为xcm, 则制成的长方体铁盒的长为(10- 2x)cm,宽为12-2x2 = (6-x)cm. 由题意,可知(10-2x)(6-x)=24. 整理,得x2-11x+18=0,解得x1= 2,x2=9(不合题意,舍去). ∴ 剪去的正方形的边长为2cm. 9. (1) 设该商家购进每个钥匙扣的 进价是x 元,则每个相框的进价是 (10-x)元. 根据题意,得1600 x ×2= 800 10-x ,解得 x=8. 经检验,x=8是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ 10-x=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 ∴ 该商家购进每个钥匙扣的进价是 8元,每个相框的进价是2元. (2) 设每个钥匙扣的售价为m 元. 根据 题 意,得 (m -8)· 20+ 15-m 0.5 ×5 +40×(5-2)=300. 整理,得 m2-25m+154=0,解得 m1=11,m2=14. ∵ 降价幅度不超过20%, ∴ 15-m 15 ≤20%. ∴ m≥12. ∴ m=14. ∴ 每个钥匙扣的售价为14元. 10. (1) 设日租金提高x 元,则每日 可租出 50-2x10 辆. 由题 意,得(200+x)50-2x10 = 10120. 整理,得x2-50x+600=0,解得 x1=20,x2=30. ∴ 当日租金提高20元或30元时,公 司的日收益可达到10120元. (2) 不能. 理由:假设能实现,设日租金提高 m 元. 由题意,得(200+m)50-2m10 = 10160. 整理,得m2-50m+800=0. ∵ Δ=(-50)2-4×1×800= -700<0, ∴ 该一元二次方程没有实数根. ∴ 日收益不能达到10160元. (3) 设日租金提高a元. 由题 意,得(200+a)50-2a10 - 10050-2a10 -50×2a10=5500. 整理,得a2-100a+2500=0. 解得a1=a2=50. ∴ 200+a=250. ∴ 当日租金为250元时,公司的日利 润恰好为5500元. 第22章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 D 解析:∵ (m-3)x2+ m2x=9x+5,∴ (m-3)x2+(m2- 9)x-5=0.由题意,得m-3≠0, m2-9=0,解得m=-3. 勿忽略二次项系数 不为0的条件 根据一元二次方程各项系数 的要求确定参数的取值时,应同时 考虑二次项系数不为0的条件.本 题若忽略二次项系数m-3≠0这 个条件,则易导致错选B. [变式] C 解析:原方程可化为 (m+1)x2+2x+|m-1|-2=0. ∵ 常数项为0,∴ |m-1|-2=0. ∴ |m-1|=2.∴ m-1=2或m- 1=-2.∴ m=3或m=-1. 又∵ 原 方程为一元二次方程,∴ m+1≠0. ∴ m≠-1.∴ m=3. 典例2 -4 解析:∵ m 是方程 x2+4x-1=0的一个根,∴ m2+ 4m=1.∴ (m+5)(m-1)=m2- m+5m-5=m2+4m-5=1- 5=-4. [变式] 6 解析:∵ x=a是一元二 次方程x2+2x-3=0的一个根, ∴ a2+2a-3=0.∴ a2+2a=3. ∴ 2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6. 典例3 (1) 方 程 移 项,得(2x+ 3)2=25,两边开平方,得2x+3=5或 2x+3=-5,解得x1=1,x2=-4. (2) 方程变形,得x2+4x=-2,配 方,得x2+4x+4=2,即(x+2)2=2, 两边开平方,得x+2=± 2,解得 x1=-2+2,x2=-2-2. (3) ∵ a=2,b=-5,c=1, ∴ Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×1= 17>0. ∴ x=- (-5)± 17 2×2 . ∴ x1= 5+ 17 4 ,x2= 5- 17 4 . (4) 方程变形,得(x-5)2+(2x-1) (x-5)=0,分解因式,得(x-5)(x- 5+2x-1)=0,即(x-5)(3x- 6)=0, ∴ x-5=0或3x-6=0,解得x1= 5,x2=2. [变式] (1) ∵ 4x2-12x+9=0, ∴ (2x-3)2=0. ∴ 2x-3=0. ∴ x1=x2= 3 2. (2) ∵ 3y2-6y-5=0, ∴ Δ=(-6)2-4×3×(-5)= 96>0. ∴ y= -(-6)± 96 2×3 = 3±26 3 . ∴ y1= 3+26 3 ,y2= 3-26 3 . (3) ∵ 9(2x+3)2=16(1-3x)2, ∴ [3(2x+3)]2=[4(1-3x)]2. ∴ 3(2x+3)=4(1-3x)或3(2x+ 3)=-4(1-3x),解得x1=- 5 18 , x2= 13 6. (4) ∵ 2x2- 17x-4=0, ∴ Δ=(- 17)2-4×2×(-4)= 49>0. ∴ x=- (- 17)± 49 2×2 = 17±7 4 . ∴ x1= 17+7 4 ,x2= 17-7 4 . (5) 方程变形,得3x2-10x+8=0, 分解因式,得(x-2)(3x-4)=0, 解得x1=2,x2= 4 3. 典例4 C 解析:∵ m-2n=3, ∴ Δ=(-m)2-4(-n2+mn+1)= m2+4n2-4mn-4=(m-2n)2-4= 32-4=9-4=5>0.∴ 原方程有两 个不相等的实数根. [变式] D 解析:∵ 关于x的一元二 次方程(m-2)x2+4x+2=0有两个实 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41