第22章 专题特训三 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的综合-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

x2=-6,x1x2=4.∴ (x1-x2)2= (x1+x2)2-4x1x2=(-6)2-4× 4=36-16=20. 13. -1 解 析:∵ 方 程 x2 - 2025x+1=0的两个根分别为x1、 x2,∴ x1x2=1,x21-2025x1+1=0. ∴ x21 -2025x1= -1.∴ x21 - 2025 x2 =x 2 1- 2025x1 x1x2 =x 2 1-2025x1= -1. 14. 4 3 解析:∵ 实数a、b分别满足 a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠ b,∴ a、b可看作方程x2-4x+3=0 的两个不相等的实数根.∴ a+b=4, a·b=3.∴ 原式=a+ba·b= 4 3. 15. (1) ∵ Δ=(-4m)2-4(4m2- 4)=16m2-16m2+16=16>0, ∴ 此方程有两个不相等的实数根. (2) 设此方程的两根分别为t、3t.根 据根与系数的关系,得t+3t=4m, t·3t=4m2-4, ∴ t=m. ∴ 3m2=4m2-4,解 得 m1=2, m2=-2. 16. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两 个不相等的实数根, ∴ Δ=[-2(a-1)]2-4(a2-a- 2)>0,解得a<3. ∵ a为正整数, ∴ a=1或2. (2) ∵ x1+x2=2(a-1),x1·x2= a2-a-2,且x21+x22-x1·x2= (x1+x2)2-3x1·x2=16, ∴ [2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16, 解得a1=-1,a2=6. ∵ a<3, ∴ a=-1. 17. (1) ∵ 关 于 x 的 分 式 方 程 k-1 x-1=2 的根为非负数, ∴ x≥0且x≠1. 解这个分式方程,得x=k+12 . ∴ k+1 2 ≥0 且k+1 2 ≠1 ,解得k≥-1 且k≠1. 又∵ (2-k)x2+3mx+(3-k)n=0 为一元二次方程, ∴ 2-k≠0. ∴ k≠2. 综上所述,k≥-1且k≠1,k≠2. (2) 成立. 理由:由(1),知k≥-1且k≠1, k≠2. ∵ k为负整数, ∴ k=-1. ∴ 原一元二次方程可化为3x2+ 3mx+4n=0. ∴ x1+x2=-m,x1·x2= 4 3n. ∵ x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1- k)(x2-k),即x1(x1+1)+x2(x2+ 1)=(x1+1)(x2+1), ∴ x21+x22+(x1+x2)=x1·x2+ (x1+x2)+1,即x21+x22-x1·x2=1. ∴ (x1+x2)2-3x1·x2=1. ∴ (-m)2-3·43n=1 ,即 m2- 4n=1. ∴ n=m 2-1 4 ③. 又∵ Δ=(3m)2-4×3·4n=9m2- 48n≥0④, ∴ 把 ③ 代 入 ④,得 9m2 -48· m2-1 4 ≥0. 整理,得m2≤4. 专题特训三　一元二次方程 根的判别式和根与 系数的关系的综合 1. D 解析:设方程x2-mx+1=0 的两根分别为a、b.根据根与系数的 关系,得a+b=m,ab=1.∵ |a- b|=2,∴ (a-b)2=4.∴ (a+b)2- 4ab=4.∴ m2-4×1=4,解得m= ±22.∵ Δ=m2-4>0,∴ m 的值 为22或-22. 2. C 解析:根据根与系数的关系,得 x1+x2=-(2m-3),x1·x2=m2+ 1.∵ 2 x1 + 2 x2 = 2(x1+x2) x1x2 =1 , ∴ -2(2m-3) m2+1 =1. 整理,得 m2+ 4m-5=0,解得m1=-5或m2=1. 当m=-5时,方程为x2-13x+ 26=0,∵ Δ=(-13)2-4×1×26= 65>0,∴ m=-5符合题意.当m=1 时,方程为x2-x+2=0,∵ Δ= (-1)2-4×1×2=-7<0,∴ m=1 不符合题意,舍去. 3. 7 解析:∵ x1、x2 是方程2x2+ kx-2=0的两个实数根,∴ x1+ x2=- k 2 ,x1·x2=-1.∴ (x1- 2)·(x2-2)=x1·x2-2(x1+ x2)+4=-1-2× - k 2 +4=10, 解得k=7. 4. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 x2-4x+(m-1)=0有实数根, ∴ Δ=(-4)2-4×1×(m-1)≥0, 解得 m≤5,即 m 的 取 值 范 围 是 m≤5. (2) 设该方程的另一个根为x2,则 (2-5)+x2=4,解得x2=2+5. ∵ (2-5)(2+5)=m-1, ∴ -1=m-1,解得m=0,即该方程 的另一个根是2+5,m 的值是0. 5. (1) 根据题意,得Δ=(-2)2- 4(m-2)≥0,解得m≤3. (2) 根据题意,得x1+x2=2,x1x2= m-2,3x1+3x2-x1x2=6-(m- 2)=-m+8. ∵ m≤3, ∴ 当m=3时,3x1+3x2-x1x2 的 值最小,最小值为-3+8=5. 6. (1) ∵ Δ=m2-4(m-2)=m2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 4m+8=(m-2)2+4>0, ∴ 无论m 取任何实数,此方程总有 两个不相等的实数根. (2) 由根与系数的关系,得 x1+ x2=-m,x1x2=m-2. ∵ x21+x22+m(x1+x2)=m2+1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2+m(x1+ x2)=m2+1. ∴ m2-2(m-2)-m2=m2+1.整 理,得m2+2m-3=0,解得m=-3 或m=1. 7. (1) 等腰三角形. 理由:把x=1代入方程,得a+c- 2b-a+c=0,化 简,得c=b, ∴ △ABC的形状为等腰三角形. (2) 直角三角形. 理由: ∵ 方程有两个相等的实数根, ∴ Δ=(-2b)2-4×(a+c)(-a+ c)=0,即4b2-4×(c2-a2)=0. 化简,得b2+a2=c2, ∴ △ABC的形状为直角三角形. 8. (1) 由一元二次方程根与系数的 关系,得ab=m+3, ∵ a、b分别是菱形的两条对角线的 长,且菱形的面积为5, ∴ 1 2ab=5. ∴ 1 2 (m+3)=5,解得m=7. (2) ∵ a、b分别为矩形的两条对角线 的长, ∴ a=b,即一元二次方程x2-mx+ m+3=0有两个相等的实数根. ∴ Δ=(-m)2-4(m+3)=0,即 m2-4m -12=0,解 得 m1=6, m2=-2. 当m=-2时,原方程为x2+2x+ 1=0,解得a=b=-1, ∵ a、b 分别为矩形的两条对角线 的长, ∴ 不符合题意,舍去. ∴ m 的值为6. 9. (1) ∵ Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+ k)=4k2+4k+1-4k2-4k=1>0, ∴ 方程有两个不相等的实数根. (2) ∵ △ABC 的两边AB、AC 的长 是这个方程的两个实数根, ∴ AB+AC=2k+1,AB·AC= k2+k. ∵ ∠BAC=90°,BC=5, ∴ AB2+AC2=52,即(AB+AC)2- 2AB·AC=25. ∴ (2k+1)2-2(k2+k)=25,解得 k1=-4,k2=3. 当k=-4时,AB+AC=2×(-4)+ 1=-7,不合题意,舍去;当k=3时, AB+AC=2×3+1=7,符合题意. ∴ k的值为3. 10. (1) ∵ m、n分别是等腰三角形的 腰长和底边长, ∴ 2m>n,且m>0,n>0. ∴ 4m2>n2. 又∵ b2-4ac=(-2m)2-4×1× 1 4n 2=4m2-n2, ∴ b2-4ac>0. ∴ 这个方程有两个不相等的实数根. (2) 设x1、x2 是方程的两个实数根. 由题意,得|x1-x2|=8. ∴ (x1-x2)2=64. ∴ (x1+x2)2-4x1x2=64. 由根与系数的关系,得x1+x2=2m, x1x2= 1 4n 2, ∴ (2m)2 -4× 14n 2 =64,即 m2-14n 2=4. 设等腰三角形底边上的高为h. 根据 题 意,由 勾 股 定 理 易 得 h= m2-14n 2 =4.∵ S等腰三角形 = 1 2n ·h=12n×4=16 , ∴ n=8. ∴ (2m)2-4×14×8 2=64,解得 m1=42,m2=-42.当m=-42 时,x1+x2=2m=-82,不合题意, 舍去. ∴ m=42,n=8. 22.3　实践与探索 第1课时 面积、变化率问题 1. A 2. C 3. 设矩形温室的宽为xm,则长为 2xm. 根据题意,得(x-2)(2x-3- 1)=288,解得x1=14,x2=-10(不 合题意,舍去). ∴ 2x=28. ∴ 当矩形温室的长为28m,宽为 14m时,蔬 菜 种 植 区 域 的 面 积 是 288m2. 4. (1) 设该楼盘在1月到3月期间均 价的月平均下降率为x. 根据 题 意,得 16000(1-x)2 = 14440,解得x1=0.05=5%,x2= 1.95(不合题意,舍去). ∴ 该楼盘在1月到3月期间均价的 月平均下降率为5%. (2) 4月的均价为每平方米14440× (1-5%)=13718(元). ∵ 13718<14000, ∴ 王叔叔能在4月买房子. 5. C 解析:如图,四块图形拼成的正 方形的边长为x.根据剪拼前后图形 的面积相等,可得y(x+y)=x2.将 y=2代入方程,可得2(x+2)=x2, 解得x1=1+ 5,x2=1- 5(不合题 意,舍去). (第5题) 6. A 解析:设月平均降价的百分率 为x.根据题意,得27 (1-x)2= 24.3.∴ (1-x)2=0.9.∴ 今年7月 该款新能源汽车的价格为24.3 (1- x)2=24.3×0.9=21.87 (万元/辆). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 28 专题特训三　一元二次方程根的判别式 　　　　　　　 　和根与系数的关系的综合 ▶ “答案与解析”见P11 类型一 综合运用根与系数的关系及根的判别 式解决参数问题 1. 已知关于x的一元二次方程x2-mx+1=0 的两根之差为2,则m 的值为 ( ) A. 1或-1 B. 2或-2 C. 2或-2 D. 22或-22 2. 已知关于x 的一元二次方程x2+(2m- 3)x+m2+1=0的两实根x1、x2 满足 2 x1+ 2 x2=1 ,则m 的值为 ( ) A. 1或5B. 1或-5C. -5 D. 5 3. (2023·达州)已知x1、x2是方程2x2+kx- 2=0的两个实数根,且(x1-2)(x2-2)= 10,则k的值为 . 4. 已知关于x的一元二次方程x2-4x+(m- 1)=0有实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 若该方程的一个根为2-5,求该方程的 另一个根及m 的值. 5. 已知关于x 的方程x2-2x+m-2=0有两 个实数根x1、x2. 求: (1) m 的取值范围. (2) 3x1+3x2-x1x2的最小值. 6. 已知关于x 的一元二次方程x2+ mx+m-2=0. (1) 求证:无论m 取任何实数,此方 程总有两个不相等的实数根. (2) 设该方程的两个实数根为x1、x2,若x21+ x22+m(x1+x2)=m2+1,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 29 类型二 运用根与系数的关系及根的判别式解 决几何图形问题 7. 已知关于x的一元二次方程(a+c)x2-2bx- a+c=0,其中a、b、c为△ABC 的三边. (1) 若x=1是方程的根,判断△ABC 的形 状,并说明理由. (2) 若方程有两个相等的实数根,判断 △ABC 的形状,并说明理由. 8. (2024·北京期中)已知关于x的一 元二次方程x2-mx+m+3=0的 两个根为a、b. (1) 若a、b分别是菱形的两条对角线的长, 且菱形的面积为5,求m 的值. (2) 若a、b分别为矩形的两条对角线的长, 求m 的值. 9. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+ k2+k=0. (1) 求证:方程有两个不相等的实数根. (2) 若△ABC 的两边AB、AC 的长是这个方 程的两个实数根,且∠BAC=90°,BC=5,求 k的值. 10. 已知关于x 的一元二次方程x2- 2mx+14n 2=0,其中m、n分别是 等腰三角形的腰长和底边长. (1) 求证:这个方程有两个不相等的实 数根. (2) 若方程的两个实数根的差的绝对值是 8,且等腰三角形的面积是16,求m、n的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　一元二次方程