22.2.4 一元二次方程根的判别式&22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

25 第4课时 一元二次方程根的判别式 ▶ “答案与解析”见P10 1. (2023·广元)关于x的一元二次方程2x2- 3x+32=0 根的情况,下列说法正确的是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 2. 若关于x 的一元二次方程9x2-6x+c=0 有两个相等的实数根,则c的值为 ( ) A. -9 B. 4 C. -1 D. 1 3. 若关于x 的一元二次方程2x2-3x+k=0 有实数根,则实数k的取值范围是 ( ) A. k<98 B. k≤98 C. k≥98 D. k<-98 4. 请填写一个常数,使得关于x 的方程x2- 2x+ =0有两个不相等的实数根. 5. (2024·云南)如果一元二次方程x2-2x+ c=0无实数根,那么实数c 的取值范围 是 . 6. 关于x的方程x2-2x+2m-1=0 有实数根,且m 为正整数,求m 的 值及此时方程的根. 7. 已知关于x的一元二次方程x2-mnx+m+ n=0,其中m、n 在数轴上的对应点如图所 示,则这个方程的根的情况是 ( ) (第7题) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. (2024·广安)若关于x的一元二次方程(m+ 1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 ( ) A. m<0且m≠-1 B. m≥0 C. m≤0且m≠-1 D. m<0 9. 若关于x的一元二次方程mx2-mx-14=0 有两个相等的实数根,则m= . 10. 已知关于x的方程x2-(3k+1)x+ 2k2+2k=0. (1) 求证:无论k取何值,方程总有 实数根. (2) 若等腰三角形ABC 的一边长a为6,另 两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求此 三角形的周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　一元二次方程 26 *第5课时 一元二次方程的根与系数的关系 ▶ “答案与解析”见P10 1. 已知x1、x2 是一元二次方程x2-2x=0的 两个实数根,则下列结论错误的是 ( ) A. x1≠x2 B. x21-2x1=0 C. x1+x2=2 D. x1·x2=2 2. 已知x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0 的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值 分别是 ( ) A. a=3,b=1 B. a=3,b=-1 C. a=-32 ,b=-1 D. a=-32 ,b=1 3. 若α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两 根,则β α+ α β 的值为 ( ) A. 4 27 B. -427 C. -5827 D. 58 27 4. 已知x1、x2是关于x 的方程x2+bx-3=0 的两根,且满足x1+x2-3x1·x2=5,则b 的值为 ( ) A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 5. (1) (2024·巴中)已知方程x2-2x+k=0的 一个根为-2,则方程的另一个根为 . (2) 设x1、x2是方程x2-3x+1=0的两个 根,则x21+3x2+3= . 6. 已知一元二次方程2x2-9x+3=0的两根为 x1和x2,求下面各式的值: (1) (x1+1)(x2+1). (2) x21-x1x2+x22. 7. (2023·乐山)若关于x的一元二次方程x2- 8x+m=0的两根为x1、x2,且x1=3x2,则 m 的值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 8. 已知关于x的一元二次方程x2-2(1-m)x+ m2=0的两个实数根为x1、x2,若x1·x2= 1,则m 的值为 ( ) A. -1 B. 1 C. 1或-1 D. 1 2 9. 在解一元二次方程x2+px+q=0 时,小红看错了常数项q,得到方程 的两根是-3、1;小明看错了一次项 系数p,得到方程的两根是5、-4,则原来的 方程是 ( ) A. x2+2x-3=0 B. x2+2x-20=0 C. x2-2x-20=0 D. x2-2x-3=0 10. 关于x 的方程(x-1)(x+2)=p2(p 为常 数)的根的情况,下列结论正确的是 ( ) A. 有两个正根 B. 有两个负根 C. 有一个正根,一个负根 D. 没有实数根 11. 已知关于x的一元二次方程 x2+2x+k+ 1=0的两个实数根x1、x2 满足x1+x2- x1·x2<-1,则k的取值范围可以在数轴 上表示为 ( ) A. B. C. D. 12. 设x1与x2为一元二次方程 1 2x 2+3x+2= 0的两个根,则(x1-x2)2的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 27 13. 整体思想 已知方程x2-2025x+1=0的两 个根分别为x1、x2,则x21- 2025 x2 的值为 . 14. 如果实数a、b 分别满足a2-4a+3=0, b2-4b+3=0,且a≠b,那么1a+ 1 b 的值为 . 15. 已知关于x的方程x2-4mx+4m2-4=0. (1) 求证:此方程有两个不相等的实数根. (2) 若此方程的一个根是另一个根的3倍, 求m 的值. 16. 已知关于x 的一元二次方程x2- 2(a-1)x+a2-a-2=0有两个 不相等的实数根x1、x2. (1) 若a为正整数,求a的值. (2) 若x1、x2 满足x21+x22-x1·x2=16, 求a的值. 17. 在关于x 的分式方程k-1x-1=2① 和一元二 次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0② 中,k、m、n 均为实数,方程①的根为非 负数. (1) 求k的取值范围. (2) 若方程②有两个实数根x1、x2,且满足 x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2- k),则当k为负整数时,试判断m2≤4是否 成立,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　一元二次方程 4)(x-4)=0, 分解因式,得(x-4)(x-12)=0, ∴ x-4=0或x-12=0,解得x1= 4,x2=12. 6. (1) 方程整理,得2x2+2x-1=0, ∵ b2-4ac=12, ∴ x=-2± 122×2 =-1±32 . ∴ x1= -1+3 2 ,x2= -1-3 2 . (2) 方程整理,得x2+26x=4,配 方,得 x2+26x+6=4+6,即 (x+ 6)2=10, ∴ x+6= 10或 x+6=- 10. ∴ x1=-6+ 10,x2=-6- 10. 7. 设m=4x-5,n=3x-2,则m- n=(4x-5)-(3x-2)=x-3. ∴ 原方程可化为m2+n2=(m-n)2. ∴ mn=0,即(4x-5)(3x-2)=0,解 得x1= 5 4 ,x2= 2 3. 第4课时 一元二次方程根的 判别式 1. C 2. D 3. B 4. 答案不唯一, 如1 2 5. c>1 6. ∵ 关于x 的方程x2-2x+2m- 1=0有实数根, ∴ Δ=(-2)2-4(2m-1)≥0,解得 m≤1. 又∵ m 为正整数, ∴ m=1. ∴ 原方程为x2-2x+1=0,解得 x1=x2=1. 7. A 解析:由数轴,得m>0,n<0, m+n<0,∴ mn<0.∴ Δ=b2- 4ac=(mn)2-4(m+n)>0.∴ 方程 有两个不相等的实数根. 8. A 解析:∵ 关于x的一元二次方 程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相 等的实数根,∴ m+1≠0, 4-4(m+1)>0, 解 得m<0且m≠-1. 9. -1 解析:∵ 关于x的一元二次 方程mx2-mx-14=0 有两个相等 的实数根,∴ Δ=b2-4ac=0,即 (-m)2-4×m× -14 =0,解得 m=0或m=-1.当m=0时,原方程 不是一元二次方程,不合题意,舍去. ∴ m=-1. 10. (1) ∵ b2-4ac=[-(3k+ 1)]2-4(2k2+2k)=9k2+6k+1- 8k2-8k=k2-2k+1=(k-1)2≥0, ∴ 无论k取何值,方程总有实数根. (2) ① 若a=6为底边长,则b、c为腰 长,即b=c. ∴ (k-1)2=0,解得k1=k2=1. 此时原方程为x2-4x+4=0,解得 x1=x2=2,即b=c=2.此时三角形 的三边长为6、2、2,不能构成三角形. ∴ 不合题意,舍去. ② 若b、c中一边为腰长,则不妨设 b=a=6.将x=6代入方程,得62- 6(3k+1)+2k2+2k=0,解得k1=3, k2=5. 当k=3时,原方程为x2-10x+24= 0,解得x1=4,x2=6. 此时三角形的三边长为6、6、4,能构 成三角形. 当k=5时,原方程为x2-16x+60= 0,解得x3=6,x4=10. 此时三角形的三边长为6、6、10,能构 成三角形. 综上所述,此三角形的周长为6+6+ 4=16或6+6+10=22. *第5课时 一元二次方程的 根与系数的关系 1. D 2. D 3. C 4. A 5. (1) 4 (2) 11 解析:∵ x1、x2 是方程x2- 3x+1=0的两个根,∴ x1+x2=3, x21-3x1+1=0.∴ x21=3x1-1. ∴ x21+3x2+3=3x1-1+3x2+3= 3(x1+x2)+2=9+2=11. 6. ∵ 一元二次方程2x2-9x+3=0 的两根为x1和x2, ∴ x1+x2= 9 2 ,x1x2= 3 2. (1) (x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+ x2+1=x1x2+(x1+x2)+1= 3 2+ 9 2+1=7. (2) x21-x1x2+x22=x21+2x1x2+ x22-3x1x2=(x1+x2)2-3x1x2= 9 2 2 -3×32= 81 4- 9 2= 63 4. 7. C 解析:∵ 一元二次方程x2- 8x+m=0的两根为x1、x2,∴ x1+ x2=8.∵ x1=3x2,∴ x1=6,x2=2. ∴ m=x1x2=6×2=12. 8. A 解析:根据题意,知x1·x2= m2=1,则m=1或-1.当m=1时, x2+1=0,原方程无解,故m=-1. 9. B 解析:∵ 小红看错了常数项q, 得到方程的两根是-3、1,∴ -p= -3+1=-2,解得p=2.∵ 小明看 错了一次项系数p,得到方程的两根 是5、-4,∴ q=5×(-4)=-20. ∴ 原来的方程是x2+2x-20=0. 10. C 解析:整理方程,得x2+x- 2-p2=0,则Δ=12-4×1·(-2- p2)=9+4p2>0,故该方程有两个不 相等的实数根,设为x1、x2.∵ x1· x2=-2-p2<0,∴ x1、x2 异号. ∴ 该方程有一个正根,一个负根. 11. D 解析:∵ 关于x 的一元二次 方程x2+2x+k+1=0有两个实数 根,∴ Δ≥0,即4-4(k+1)≥0,解得 k≤0①.由根与系数的关系,可知 x1+x2=-2,x1·x2=k+1. ∵ x1+x2-x1·x2<-1,∴ -2- (k+1)<-1,解得k>-2②.综合 ①②,得-2<k≤0. 12. 20 解 析:由 题 意,得 x1 + 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 x2=-6,x1x2=4.∴ (x1-x2)2= (x1+x2)2-4x1x2=(-6)2-4× 4=36-16=20. 13. -1 解 析:∵ 方 程 x2 - 2025x+1=0的两个根分别为x1、 x2,∴ x1x2=1,x21-2025x1+1=0. ∴ x21 -2025x1= -1.∴ x21 - 2025 x2 =x 2 1- 2025x1 x1x2 =x 2 1-2025x1= -1. 14. 4 3 解析:∵ 实数a、b分别满足 a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠ b,∴ a、b可看作方程x2-4x+3=0 的两个不相等的实数根.∴ a+b=4, a·b=3.∴ 原式=a+ba·b= 4 3. 15. (1) ∵ Δ=(-4m)2-4(4m2- 4)=16m2-16m2+16=16>0, ∴ 此方程有两个不相等的实数根. (2) 设此方程的两根分别为t、3t.根 据根与系数的关系,得t+3t=4m, t·3t=4m2-4, ∴ t=m. ∴ 3m2=4m2-4,解 得 m1=2, m2=-2. 16. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两 个不相等的实数根, ∴ Δ=[-2(a-1)]2-4(a2-a- 2)>0,解得a<3. ∵ a为正整数, ∴ a=1或2. (2) ∵ x1+x2=2(a-1),x1·x2= a2-a-2,且x21+x22-x1·x2= (x1+x2)2-3x1·x2=16, ∴ [2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16, 解得a1=-1,a2=6. ∵ a<3, ∴ a=-1. 17. (1) ∵ 关 于 x 的 分 式 方 程 k-1 x-1=2 的根为非负数, ∴ x≥0且x≠1. 解这个分式方程,得x=k+12 . ∴ k+1 2 ≥0 且k+1 2 ≠1 ,解得k≥-1 且k≠1. 又∵ (2-k)x2+3mx+(3-k)n=0 为一元二次方程, ∴ 2-k≠0. ∴ k≠2. 综上所述,k≥-1且k≠1,k≠2. (2) 成立. 理由:由(1),知k≥-1且k≠1, k≠2. ∵ k为负整数, ∴ k=-1. ∴ 原一元二次方程可化为3x2+ 3mx+4n=0. ∴ x1+x2=-m,x1·x2= 4 3n. ∵ x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1- k)(x2-k),即x1(x1+1)+x2(x2+ 1)=(x1+1)(x2+1), ∴ x21+x22+(x1+x2)=x1·x2+ (x1+x2)+1,即x21+x22-x1·x2=1. ∴ (x1+x2)2-3x1·x2=1. ∴ (-m)2-3·43n=1 ,即 m2- 4n=1. ∴ n=m 2-1 4 ③. 又∵ Δ=(3m)2-4×3·4n=9m2- 48n≥0④, ∴ 把 ③ 代 入 ④,得 9m2 -48· m2-1 4 ≥0. 整理,得m2≤4. 专题特训三　一元二次方程 根的判别式和根与 系数的关系的综合 1. D 解析:设方程x2-mx+1=0 的两根分别为a、b.根据根与系数的 关系,得a+b=m,ab=1.∵ |a- b|=2,∴ (a-b)2=4.∴ (a+b)2- 4ab=4.∴ m2-4×1=4,解得m= ±22.∵ Δ=m2-4>0,∴ m 的值 为22或-22. 2. C 解析:根据根与系数的关系,得 x1+x2=-(2m-3),x1·x2=m2+ 1.∵ 2 x1 + 2 x2 = 2(x1+x2) x1x2 =1 , ∴ -2(2m-3) m2+1 =1. 整理,得 m2+ 4m-5=0,解得m1=-5或m2=1. 当m=-5时,方程为x2-13x+ 26=0,∵ Δ=(-13)2-4×1×26= 65>0,∴ m=-5符合题意.当m=1 时,方程为x2-x+2=0,∵ Δ= (-1)2-4×1×2=-7<0,∴ m=1 不符合题意,舍去. 3. 7 解析:∵ x1、x2 是方程2x2+ kx-2=0的两个实数根,∴ x1+ x2=- k 2 ,x1·x2=-1.∴ (x1- 2)·(x2-2)=x1·x2-2(x1+ x2)+4=-1-2× - k 2 +4=10, 解得k=7. 4. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 x2-4x+(m-1)=0有实数根, ∴ Δ=(-4)2-4×1×(m-1)≥0, 解得 m≤5,即 m 的 取 值 范 围 是 m≤5. (2) 设该方程的另一个根为x2,则 (2-5)+x2=4,解得x2=2+5. ∵ (2-5)(2+5)=m-1, ∴ -1=m-1,解得m=0,即该方程 的另一个根是2+5,m 的值是0. 5. (1) 根据题意,得Δ=(-2)2- 4(m-2)≥0,解得m≤3. (2) 根据题意,得x1+x2=2,x1x2= m-2,3x1+3x2-x1x2=6-(m- 2)=-m+8. ∵ m≤3, ∴ 当m=3时,3x1+3x2-x1x2 的 值最小,最小值为-3+8=5. 6. (1) ∵ Δ=m2-4(m-2)=m2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11