22.2.2 配方法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

20 第2课时 配 方 法 ▶ “答案与解析”见P7 1. 用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配 方后得到的方程是 ( ) A. (x+6)2=28 B. (x-6)2=28 C. (x+3)2=1 D. (x-3)2=1 2. 把方程2x2+3x-1=0化为(x+p)2=q的 形式,则 ( ) A. p= 3 4 ,q= 25 16 B. p= 3 4 ,q= 17 16 C. p= 3 2 ,q= 11 4 D. p= 3 4 ,q= 5 4 3. 如图,下列用配方法解方程1 2x 2-x-2=0 的四个步骤中,开始出现错误的是 ( ) (第3题) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 填空,将左边的多项式配成完全平方式: (1) x2+4x+ =(x+ )2. (2) x2+43x+ = (x+ )2. (3) x2-2x+ =(x- )2. 5. 把一元二次方程2x2-8x-n=0通过配方可 化为(x+m)2=152 的形式,则m= , n= . 6. 易错题 用配方法解方程: (1) x2+4x-1=0. (2) x2-6x-4=0. (3) 2x2-8x+3=0. 7. 小思、小博两人在解方程2x2+4x+1=0时, 对方程进行配方,小思的解法如图①所示,小 博的解法如图②所示,对于两人的解法,下列 说法正确的是 ( ) (第7题) A. 两人都正确 B. 小思正确,小博不正确 C. 两人都不正确 D. 小思不正确,小博正确 8. 若方程x2-8x+m=0可以通过配方写成 (x-n)2=6的形式,则x2+8x+m=5可以 配方成 ( ) A. (x-n+5)2=1 B. (x+n)2=1 C. (x-n+5)2=11 D. (x+n)2=11 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 21 9. 若方程25x2-(k-1)x+1=0的左 边可以写成一个完全平方式,则k 的值为 ( ) A. -9或11 B. -7或8 C. -8或9 D. -6或7 10. 若方程2x2+8x-32=0能配方成(x+p)2+ q=0的形式,则直线y=px+q不经过第 象限. 11. 若一元二次方程x2-4084441=0的两根 为±2021,则一元二次方程t2-2t- 4084440=0的根为 . 12. 若(2x+3y)2+2(2x+3y)-4=0,则2x+ 3y的值为 . 13. 用配方法解方程: (1) (x+1)(2x-3)=1. (2) x(2x+1)=5x+70. 14. 当x为何值时,代数式2x2+7x-1的值与 代数式x2-19的值互为相反数? 15. 新考法·阅读理解题 先仔细阅读材 料,再尝试解决问题: 通过对实数的学习,我们知道x2≥ 0,由此可以得出完全平方公式:(a±b)2= a2±2ab+b2的值为非负数,这一性质在数学 中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+ 8x-3的最小值时,我们可以这样处理: 解:原式=2(x2+4x)-3 =2(x2+2x·2+22-22)-3 =2(x+2)2-11. ∵ (x+2)2≥0, ∴ 2(x+2)2≥0. ∴ 2(x+2)2-11≥-11,且当x=-2时, 2(x+2)2-11的值最小,为-11. (1) 求多项式3x2-6x+2的最小值,并写 出对应的x的值. (2) 求多项式8-2x2+4x 的最大值,并写 出对应的x的值. (3) 对于任意实数x,试比较代数式3x3- 2x2-4x+1与3x3+4x+10的值的大小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　一元二次方程 即x=1y. 把x=1y 代入已知方程, 得2 1 y 2 -7·1y+3=0. 化简,得 3y2-7y+2=0.∴ 所求方程为 3y2-7y+2=0. 22.2　一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 和因式分解法 1. D 2. A 3. C 4. 52-2 5. x1=2,x2= 1 4 6. (1) 移项,得4x2=9, 方程两边都除以4,得x2=94 , 直接开平方,得x=±32 , ∴ x1= 3 2 ,x2=- 3 2. (2) 方程左边分解因式,得x(2x+ 3)=0, ∴ x=0或2x+3=0. ∴ x1=0,x2=- 3 2. (3) 原 方 程 可 变 形 为 (3x+2- 2x)(3x+2+2x)=0,即(x+2)(5x+ 2)=0, ∴ x+2=0或5x+2=0. ∴ x1=-2,x2=- 2 5. (4) 原方程可变形为(x+3)(2x- 3)=0, ∴ x+3=0或2x-3=0. ∴ x1=-3,x2= 3 2. 7. D 解析:ax2-b=0可化为x2 = b a . 当b a ≥0 时,可用直接开平方法 求得x的值. 又∵ a≠0,∴ a、b同号 或b=0. 8. B 解析:(a+b+1)(a+b-1)= 15,变形得[(a+b)+1][(a+b)- 1]=15,即(a+b)2-1=15,移项,得 (a+b)2=16,∴ a+b=4或a+ b=-4.由题意,得a+b≥0,∴ a+ b=4.∴ a+b=4=2. 9. B 解析:∵ x2-25=2(x-5)2, ∴ 2(x-5)2-(x+5)(x-5)=0. ∴ (x-5)(2x-10-x-5)=0,即 (x-5)(x-15)=0.∴ x-5=0或 x-15=0,解得x1=5,x2=15.当三 角形第三边的长为5时,符合三角形 的三边关系,三角形的周长为5+7+ 11=23;当三角形第三边的长为15 时,符合三角形的三边关系,三角形的 周长为15+7+11=33.综上所述,该 三角形的周长为23或33. 10. 2 解析:∵ 关于x 的一元二次 方程mx2+5x+m2-2m=0有一个 根为x=0,∴ m2-2m=0且m≠0, 解得m=2. 11. x1=1,x2=5 解析:∵ 关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是x= 3或x=7,方程a(x+m+2)2+b=0 变形为a[(x+2)+m]2+b=0,∴ 此 方程中x+2=3或x+2=7,即方程 a(x+m+2)2+b=0的解为x1=1, x2=5. 12. 8 解析:设a2+b2=x,则(x+ 1)(x-1)=63.整理,得x2=64,解得 x=±8,即a2+b2=8或a2+b2= -8(不合题意,舍去).∴ a2+b2的值 为8. 13. (1) 原方程可化为 (3x-2)2=649 , ∴ 3x-2=83 或3x-2=-83 ,解得 x1= 14 9 ,x2=- 2 9. (2) 原方程可化为3(x- 2)+5x· (x-2)=0, 方程左边分解因式,得(x- 2)(3+ 5x)=0, ∴ x-2=0或3+5x=0,解得x1= 2,x2=- 3 5. (3) 原方程可化为[2(x+3)]2-(x- 2)2=0, 方程左边分解因式,得[2(x+3)+ (x-2)][2(x+3)-(x-2)]=0,即 (3x+4)(x+8)=0, ∴ 3x+4=0或x+8=0,解得x1= -43 ,x2=-8. (4) 方程左边分解因式,得(2x+1+ 2)2=0,即(2x+3)2=0, ∴ 2x+3=0,解得x1=x2=- 3 2. 14. 当x2>(x-1)2,即x>12 时, min{(x-1)2,x2}=(x-1)2=1,解 得x1=2,x2=0(不合题意,舍去); 当(x-1)2>x2,即x<12 时, min{(x-1)2,x2}=x2=1,解得 x1=1(不合题意,舍去),x2=-1. 综上所述,x的值为-1或2. 15. (1) 5;3;2;-12. 解析:原方程 可变形,得[(x+5)-3][(x+5)+ 3]=40.(x+5)2-32=40,(x+ 5)2=40+32.直接开平方并整理,得 x1=2,x2=-12.a、b、c、d 所表示的 数分别为5、3、2、-12. (2) 原方程可变形,得[(x+2)-4]· [(x+2)+4]=4, (x+2)2-42=4,(x+2)2=20, 直接开平方并整理,得x1=-2+ 25,x2=-2-25. 第2课时 配 方 法 1. D 2. B 3. D 4. (1) 4 2 (2) 4 9 2 3 (3) 1 1 5. -2 7 6. (1) 原方程可化为(x2+4x+4- 4)-1=0,即(x+2)2=5, 直接开平方,得x+2=± 5,解得 x1=-2+5,x2=-2-5. (2) 移项,得x2-6x=4, 配方,得x2-6x+9=4+9,即(x- 3)2=13, 直接开平方,得x-3=± 13,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 x1=3+ 13,x2=3- 13. (3) 移项,得2x2-8x=-3, 方程两边都除以2,得 x2-4x= -32 , 配方,得x2-4x+4=-32+4 ,即 (x-2)2=52 , 直接开平方,得x-2=± 102 ,解得 x1=2+ 10 2 ,x2=2- 10 2 . 配方时易出现的错误 (1) 移项时忘记变号. (2) 系数化为1时漏项. (3) 方程两边没有同时加上一 次项系数一半的平方. 7. A 解析:题图①中的解法是将二 次项系数化为1后,再利用配方法把 含未知数的项写成完全平方式;题 图②中的解法是将二次项系数化为非 1的完全平方数后,再利用配方法把 含未知数的项写成完全平方式.∴ 两 人都正确. 8. D 解析:∵ x2-8x+m=0, ∴ x2-8x=-m.∴ x2-8x+ 16=-m+16.∴ (x-4)2=-m+ 16.由题意,得n=4,-m+16=6, ∴ n=4,m=10.∴ x2+8x+m=5 可化为x2+8x+5=0.∴ x2+8x+ 16=-5+16.∴ (x+4)2=11,即 (x+n)2=11. 9. A 解析:根据题意,得-(k- 1)=±2×5×1.∴ k-1=±10,解得 k1=11,k2=-9. 10. 二 解析:原方程可化为x2+ 4x=16,配方,得x2+4x+4=20,即 (x+2)2=20,∴ p=2,q=-20. ∴ 此直线对应的函数表达式为y= 2x-20,此直线经过第一、三、四象 限,不经过第二象限. 11. t1=2022,t2=-2020 解析:t2-2t-4084440=0,则t2- 2t+1=4084440+1,∴ (t-1)2= 4084441.∴ t-1=±2021.∴ t= ±2021+1.∴ t1 =2022,t2 = -2020. 12. -1± 5 解析:设t=2x+3y, 则易得原方程为t2+2t-4=0.配方, 得(t+1)2=5,直接开平方,得t+1= ±5,解得t=-1± 5,则2x+3y 的值为-1±5. 13. (1) 整理,得2x2-x=4, 方程两边都除以2,得x2-12x=2 , 配方,得x2- 12x+ 1 4 2 =2+ 1 4 2 ,即 x-14 2 =3316 , 直接开平方,得x-14=± 33 4 ,解 得x1= 1+ 33 4 ,x2= 1- 33 4 . (2) 去括号,得2x2+x=5x+70, 移项、合并同类项,得2x2-4x=70, 方程两边都除以2,得x2-2x=35, 配方,得x2-2x+1=35+1,即(x- 1)2=36,解得x1=7,x2=-5. 14. 由 题 意,得 2x2 +7x -1= -(x2-19). 整理,得3x2+7x=20, 方程两边都除以3,得x2+73x= 20 3 , 配方,得 x+76 2 =28936 ,解得x1= -4,x2= 5 3. 15. (1) 3x2-6x+2=3(x2-2x)+ 2=3(x2-2x+1-1)+2=3(x- 1)2-1. ∵ (x-1)2≥0, ∴ 3(x-1)2≥0. ∴ 3(x-1)2-1≥-1,且当x=1时, 3(x-1)2-1的值最小,为-1. ∴ 当x=1时,原多项式的值最小, 为-1. (2) 8-2x2+4x=-2(x-1)2+10. ∵ (x-1)2≥0, ∴ -2(x-1)2≤0. ∴ -2(x-1)2+10≤10,且当x=1 时,-2(x-1)2+10的值最大,为10. ∴ 当x=1时,原多项式的值最大, 为10. (3) (3x3-2x2-4x+1)-(3x3+ 4x+10)=-2x2-8x-9=-2(x+ 2)2-1. ∵ (x+2)2≥0, ∴ -2(x+2)2≤0. ∴ -2(x+2)2-1≤-1<0. ∴ 对于任意实数x,恒有3x3-2x2- 4x+1<3x3+4x+10. 第3课时 公 式 法 1. D 2. D 3. 49 32 -2 4. -3±5 2 5. (1) ∵ a=1,b=-2,c=2, ∴ b2-4ac=(-2)2-4×1×2= -4<0. ∴ 原方程无解. (2) ∵ a=2,b=8,c=-7, ∴ b2-4ac=82-4×2×(-7)= 120>0. ∴ x=-8± 1202×2 . ∴ x1= -4+ 30 2 ,x2= -4- 30 2 . (3) 原方程可化为2x2-x-6=0, ∴ a=2,b=-1,c=-6. ∴ b2-4ac= (-1)2-4×2× (-6)=49>0. ∴ x=- (-1)± 49 2×2 . ∴ x1=2,x2=- 3 2. 6. D 解析:由题意,可知a=2,b= 2,c=-1. 7. C 解析:解方程2x2-2x-1=0, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8