22.1 一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

16 22.1　一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P6 1. 有下列方程:① x2-3=x;② 2 x-x 2=7; ③ 2x2+y=5;④ (x-3)2=25.其中,属于 一元二次方程的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若关于x的方程x2-ax+6=0的一个根是 2,则a的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 幸福村的“智慧春耕”让生产更高效,提升了 水稻亩产量,水稻亩产量从2022年的670千 克增长到了2024年的780千克,设该村水稻 亩产量年平均增长率为x,则可列方程为 ( ) A. 670×(1+2x)=780 B. 670×(1+x)2=780 C. 670×(1+x2)=780 D. 670×(1+x)=780 4. 用一根长40cm 的绳子围成一个面积为 64cm2的矩形.设矩形的一边长为xcm,则 可列方程为 ,整理成一般形式 为 ,二次项系数是 , 一次项系数是 ,常数项是 . 5. 把下面的方程先化成一元二次方程的一般形 式,再写出方程的二次项系数、一次项系数和 常数项. (1) (3x-1)(x+2)=-x2+5x+1. (2) x2+2=(x-2)(2x+1). 6. 易错题 已知关于x的方程(a-3)x|a-1|+x- 1=0是一元二次方程,则a的值是 ( ) A. -1 B. 3 C. 1 D. -1或3 7. 若非零实数a、b、c满足9a-3b+c=0,则关 于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0一定 有一个根为 ( ) A. 3 B. -3 C. 0 D. 9 8. 已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+ a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为 ( ) A. 0 B. ±1 C. 1 D. -1 9. 已知m 是方程2x2-5x-8=0的一个根,则 -4m2+10m+9的值为 ( ) A. -16 B. 16 C. -7 D. 7 10. 新考法·新定义题 定义:如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那 么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+ bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有一个 根为-1,则下列结论中,正确的是 ( ) A. a=c,b=1 B. a=b,c=0 C. a=-c,b=0 D. a=b=c 11. 如果方程(m-1)x2+ mx-2=0是关于 x的一元二次方程,那么m 的取值范围是 . 12. 若x=-2是方程x2+px+2q=0的根,则 p-q的值是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 第22章　一元二次方程 17 13. 新考向·数学文化 我国古代数学著作《增删 算法统宗》记载“圆中方形”问题:“今有圆田 一段,中间有个方池,丈量田地待耕犁,恰好 三分在记,池面至周有数,每边三步无疑,内 方圆径若能知,堪作算中第一.”其大意如 下:有一块圆形的田,中间有一块正方形水 池,测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好 为72平方步,从水池边到圆周,每边相距 3步远.如图,若设正方形水池的边长是 x 步,则列出的方程是 . (第13题) 14. 关于x的一元二次方程2(x-1)2+b(x- 1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x- 1=0,试求b、c的值. 15. 若实数a是一元二次方程x2+x-2=0的 一个根,求a3+2a2-a+3的值. 16. 新考法·阅读理解题 请阅读下面的 材料: 问题:已知方程x2+x-1=0,求 一个一元二次方程,使它的根分别是已知方 程根的2倍. 解:设所求方程的根为y,则y=2x,即 x=y2. 把x=y2 代入已知方程,得 y 2 2 +y2- 1=0. 化简,得y2+2y-4=0. ∴ 所求方程为y2+2y-4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法,我 们称为“换根法”. 请用材料提供的“换根法”求新方程(要求: 把所求方程化为一般形式). (1) 已知方程x2+x-2=0,求一个一元二 次方程,使它的根分别是已知方程根的相反 数,则所求方程为 . (2) 已知方程2x2-7x+3=0,求一个一元 二次方程,使它的根分别是已知方程根的 倒数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　一元二次方程 n(m+n),∴ 2* 5= 2(2- 5)+ 5(2+ 5)=2- 10+ 10+5=7. 5. C 解析:∵ x= 5-32 ,∴ x+1= 5-1 2 ,x+2= 5+12 ,x+3= 5+32 . ∴ 原式= 5-32 × 5-1 2 × 5+1 2 × 5+3 2 = (5-3)(5+3) 4 × (5-1)(5+1) 4 =-1×1=-1. 6. 2 解析:由题意,得2x-1≥0且 1-2x≥0,解得x≥12 且x≤12. ∴ x = 12.∴ y = 2x-1 - 1-2x+8x=0-0+8×12=4. ∴ 4x+5y-6= 4× 1 2+5×4-6= 4.∴ 4x+5y-6的算术平方根是2. 7. 二 解析:∵ 实 数 a、b 满 足 a2b3=-abb,且a≠0,b≠0, ∴ a、b异号,且b>0.∴ a<0.∴ 点 (a,b)在第二象限. 8. 32 解析: ab· ab +ba - 1 = ab·a 2+b2-ab ab = (a+b)2-3ab ab . ∵ a= 3+1,b= 3-1,∴ a+b= 23,ab=(3+1)(3-1)=2.∴ 原 式= (23)2-3×2 2 =12-6 2 =32. 9. 63-10 解析:∵ 正方形①②的 面积分别为4和3,∴ 正方形①的边 长为2,正方形②的边长为 3.∴ 正 方形③的边长为2- 3.∴ 阴影部分 矩形的宽为2- 3,阴影部分矩形的 长为 3-(2- 3)=23-2. ∴ 阴 影部分的面积为(23-2)(2-3)= 43-6-4+23=63-10. 10. (1) 原式= 8- 9+(2+22+ 1)=22-3+3+22=42. (2) 原式=(7+ 5)(27-25)- (3+18+66)=2(7+ 5)(7- 5)-(21+6 6)=2×2-21- 66=-17-66. 11. (1) 22. (2) ∵ 2+3与4+ 3m 是关于2的 共轭二次根式, ∴ (2+3)(4+3m)=2. ∴ 4+3m= 2 2+3 = 2 (2-3) (2+3)(2-3) = 4-23. ∴ m=-2. 第22章　一元二次方程 22.1　一元二次方程 1. B 2. D 3. B 4. x 40×12-x =64 -x2+ 20x-64=0 -1 20 -64 5. (1) 整理,得4x2-3=0,其中二次 项系数是4,一次项系数是0,常数项 是-3. (2) 整理,得-x2+3x+4=0,其中二 次项系数是-1,一次项系数是3,常 数项是4. 6. A 解析:∵ 关于x的方程(a-3)· x|a-1|+x-1=0是一元二次方程, ∴ a-3≠0且|a-1|=2,解得a=-1. 忽略一元二次方程二次项 系数不为0而致错 根据一元二次方程的概念求 字母的值时,既要保证未知数的最 高次数为2,又要保证二次项系数 不为0. 7. B 解析:把x=-3代入方程 ax2+bx+c=0,得9a-3b+c=0,即 方程一定有一个根为-3. 8. D 解析:∵ 关于x的一元二次方 程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根 为x=0,∴ a2-1=0,且a-1≠0. ∴ a=-1. 9. C 解析:∵ m 是方程2x2-5x- 8=0的一个根,∴ 2m2-5m-8=0. ∴ 2m2-5m=8.∴ -4m2+10m+ 9=-2(2m2-5m)+9=-2×8+ 9=-7. 10. C 解析:根据题意,得a+b+ c=0,a-b+c=0.两式相加,得 2(a+c)=0.∴ a=-c.两式相减,得 2b=0.∴ b=0. 11. m≥0且m≠1 解析:由题意,得 m≥0且m-1≠0,解得m≥0且m≠1. 12. 2 解析:把x=-2代入x2+ px+2q=0,得(-2)2-2p+2q=0, ∴ p-q=2. 13. π x2+3 2 -x2=72 解析:∵ 正 方形水池的边长是 x步,∴ 圆的半径 为 x 2+3 步.根据圆的面积-正方 形的面积=圆内可耕地的面积,可列 出方程π x2+3 2 -x2=72. 14. ∵ 2(x2-2x+1)+bx-b+c= 0,2x2+(b-4)x+2-b+c=0, ∴ b-4=-3,2-b+c=-1,解得 b=1,c=-2. 15. ∵ 实数a是一元二次方程x2+ x-2=0的一个根, ∴ a2+a-2=0. ∴ a2+a=2. ∴ a3+2a2-a+3=a(a2+a)+ a2-a+3=2a+a2-a+3=a2+a+ 3=2+3=5. 16. (1) y2-y-2=0. 解析:设所 求方程的根为y,则y=-x,即 x=-y.把x=-y 代入已知方程, 得(-y)2+(-y)-2=0.化简,得 y2-y-2=0.∴ 所求方程为y2- y-2=0. (2) 设所求方程的根为y,则y= 1 x , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 即x=1y. 把x=1y 代入已知方程, 得2 1 y 2 -7·1y+3=0. 化简,得 3y2-7y+2=0.∴ 所求方程为 3y2-7y+2=0. 22.2　一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 和因式分解法 1. D 2. A 3. C 4. 52-2 5. x1=2,x2= 1 4 6. (1) 移项,得4x2=9, 方程两边都除以4,得x2=94 , 直接开平方,得x=±32 , ∴ x1= 3 2 ,x2=- 3 2. (2) 方程左边分解因式,得x(2x+ 3)=0, ∴ x=0或2x+3=0. ∴ x1=0,x2=- 3 2. (3) 原 方 程 可 变 形 为 (3x+2- 2x)(3x+2+2x)=0,即(x+2)(5x+ 2)=0, ∴ x+2=0或5x+2=0. ∴ x1=-2,x2=- 2 5. (4) 原方程可变形为(x+3)(2x- 3)=0, ∴ x+3=0或2x-3=0. ∴ x1=-3,x2= 3 2. 7. D 解析:ax2-b=0可化为x2 = b a . 当b a ≥0 时,可用直接开平方法 求得x的值. 又∵ a≠0,∴ a、b同号 或b=0. 8. B 解析:(a+b+1)(a+b-1)= 15,变形得[(a+b)+1][(a+b)- 1]=15,即(a+b)2-1=15,移项,得 (a+b)2=16,∴ a+b=4或a+ b=-4.由题意,得a+b≥0,∴ a+ b=4.∴ a+b=4=2. 9. B 解析:∵ x2-25=2(x-5)2, ∴ 2(x-5)2-(x+5)(x-5)=0. ∴ (x-5)(2x-10-x-5)=0,即 (x-5)(x-15)=0.∴ x-5=0或 x-15=0,解得x1=5,x2=15.当三 角形第三边的长为5时,符合三角形 的三边关系,三角形的周长为5+7+ 11=23;当三角形第三边的长为15 时,符合三角形的三边关系,三角形的 周长为15+7+11=33.综上所述,该 三角形的周长为23或33. 10. 2 解析:∵ 关于x 的一元二次 方程mx2+5x+m2-2m=0有一个 根为x=0,∴ m2-2m=0且m≠0, 解得m=2. 11. x1=1,x2=5 解析:∵ 关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是x= 3或x=7,方程a(x+m+2)2+b=0 变形为a[(x+2)+m]2+b=0,∴ 此 方程中x+2=3或x+2=7,即方程 a(x+m+2)2+b=0的解为x1=1, x2=5. 12. 8 解析:设a2+b2=x,则(x+ 1)(x-1)=63.整理,得x2=64,解得 x=±8,即a2+b2=8或a2+b2= -8(不合题意,舍去).∴ a2+b2的值 为8. 13. (1) 原方程可化为 (3x-2)2=649 , ∴ 3x-2=83 或3x-2=-83 ,解得 x1= 14 9 ,x2=- 2 9. (2) 原方程可化为3(x- 2)+5x· (x-2)=0, 方程左边分解因式,得(x- 2)(3+ 5x)=0, ∴ x-2=0或3+5x=0,解得x1= 2,x2=- 3 5. (3) 原方程可化为[2(x+3)]2-(x- 2)2=0, 方程左边分解因式,得[2(x+3)+ (x-2)][2(x+3)-(x-2)]=0,即 (3x+4)(x+8)=0, ∴ 3x+4=0或x+8=0,解得x1= -43 ,x2=-8. (4) 方程左边分解因式,得(2x+1+ 2)2=0,即(2x+3)2=0, ∴ 2x+3=0,解得x1=x2=- 3 2. 14. 当x2>(x-1)2,即x>12 时, min{(x-1)2,x2}=(x-1)2=1,解 得x1=2,x2=0(不合题意,舍去); 当(x-1)2>x2,即x<12 时, min{(x-1)2,x2}=x2=1,解得 x1=1(不合题意,舍去),x2=-1. 综上所述,x的值为-1或2. 15. (1) 5;3;2;-12. 解析:原方程 可变形,得[(x+5)-3][(x+5)+ 3]=40.(x+5)2-32=40,(x+ 5)2=40+32.直接开平方并整理,得 x1=2,x2=-12.a、b、c、d 所表示的 数分别为5、3、2、-12. (2) 原方程可变形,得[(x+2)-4]· [(x+2)+4]=4, (x+2)2-42=4,(x+2)2=20, 直接开平方并整理,得x1=-2+ 25,x2=-2-25. 第2课时 配 方 法 1. D 2. B 3. D 4. (1) 4 2 (2) 4 9 2 3 (3) 1 1 5. -2 7 6. (1) 原方程可化为(x2+4x+4- 4)-1=0,即(x+2)2=5, 直接开平方,得x+2=± 5,解得 x1=-2+5,x2=-2-5. (2) 移项,得x2-6x=4, 配方,得x2-6x+9=4+9,即(x- 3)2=13, 直接开平方,得x-3=± 13,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7