第21章 二次根式 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

12 第21章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P5 考点一 二次根式有意义的条件 典例1 (2024·衡阳衡山段考)函数y= 1 x-3+ x-1的自变量x的取值范围是 ( ) A. x≥1 B. x≥1且x≠3 C. x≠3 D. 1≤x≤3 [变式]要使式子 3x+9 x-2 有意义,x 的取值范 围是 ( ) A. x≥-3 B. x≥-3且x≠2 C. x>-3且x≠2 D. x≤-3 考点二 二次根式的双重非负性 典例2 若实数 m、n 满足|m-n-5|+ 2m+n-4=0,则3m+n= . 由绝对值与二次根式的非负性,可知|m-n- 5|≥0且 2m+n-4≥0,再根据非负数的和为0的 性质确定m-n-5与2m+n-4的值,由此获解. [变式](2024· 衡阳期中)若y2-4y+4+ x-3=0,则x+y的算术平方根是 . 考点三 二次根式 a2的性质 典例3 (2024·长春期中)实数a、b、c在数轴 上的位置如图所示.化简:a2-|a-b|+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 13 (c-a)2+|b+c|. (典例3图) 由实数a、b、c在数轴上的位置可确定a、b、c的 大小关系及取值范围,进而确定a-b,c-a,b+c的 正负性,再根据绝对值与二次根式的性质化简即可. [变式]如果a+ a2-6a+9=3成立,那么实 数a的取值范围是 . 考点四 二次根式的化简 典例4 射击时,子弹射出枪口时的速度可用公 式v= 2as进行计算,其中a为子弹的加速度, s 为枪筒的长.如果a=5×105 m/s2,s= 0.64m,那么子弹射出枪口时的速度(用科学记 数法表示)为 ( ) A. 0.4×103m/s B. 0.8×103m/s C. 4×102m/s D. 8×102m/s [变式]新趋势·与物理融合 如图,一 根细线上端固定,下端系一小球,让 小球来回自由摆动,来回摆动一次 所用的时间t(单位:s)与细线长度l(单位:m) 之间满足关系式t=2π l10 ,当细线长度为0.2 m 时,小 球 来 回 摆 动 一 次 所 用 的 时 间 是 s(结果保留π). 考点五 二次根式的运算 典例5 计算: (1) 312-2 13+ 48 ÷23. (2) (7+4 3)×(2- 3)2+(2- 3)× (2+3)-3. (3) (2+1)16×(3-22)9. (1) 先化简各个二次根式并合并同类二次根 式,再进行除法运算,或者先进行除法运算,再化简、 合并同类二次根式.(2) (2- 3)2=7-43,因此可 以对(7+43)×(7-43)、(2- 3)×(2+3)分别 运用平方差公式进行计算,并求得结果.(3) ∵ (2+ 1)2=3+22,∴ 先把(2+1)16 转化成[(2+1)2]8, 然后利用(ab)n=anbn 解答. [变式]计算: (1) (23- 18)(12+32). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次根式 14 (2) (25+52)(52-25)-(5-2)2. (3) (2-5-3)(2+5-3). 考点六 与二次根式有关的化简求值 典例6 已知x= 7+2,y= 7-2,求下面各 式的值: (1) 1 x+ 1 y. (2) x2-xy+y2. [变式]先化简,再求值:1-a+ba-b ÷ ba2-b2,其 中,a=3-2,b=5-3. 考点七 二次根式与几何图形的综合 典例7 现有两块同样大小的矩形纸片,丽丽采 用如图①所示的方式,在矩形纸片上裁出两块面 积分别为18cm2和32cm2的正方形纸片A、B. (1) 裁出的正方形纸片A的边长为 cm. (2) 求图①中涂色部分的面积. (3) 小明想采用如图②所示的方式,在矩形纸片 上裁出面积都为25cm2 的两块正方形纸片,请 你判断能否裁出,并说明理由. (典例7图) [变式]如图,在一个矩形中无重叠地放入面积 分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片,则 图中空白部分的面积为 ( ) A. (4-23)cm2 B. (83-4)cm2 C. (83-12)cm2 D. 8cm2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 15 1. 使函数y= 1 x+3 + 4-3x有意义的所有 整数x的和是 ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 2. 若|x+2|+ y-3=0,则 (xy)2的值为 ( ) A. 5 B. -6 C. 6 D. 36 3. 已 知2、5、m 是 某 三 角 形 三 边 的 长,则 (m-3)2+ (m-7)2的结果为 ( ) A. 2m-10 B. 10-2m C. 10 D. 4 4. 对于任意的实数m、n,定义一种运算“*”:m* n=m(m-n)+n(m+n),则2*5的值为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 设x=5-32 ,则代数式x(x+1)(x+2)(x+ 3)的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 6. 已 知 y = 2x-1- 1-2x +8x,则 4x+5y-6的算术平方根为 . 7. 如果实数a、b满足 a2b3=-abb,且a≠ 0,b≠0,那么点(a,b)在第 象限. 8. 已 知a= 3+1,b= 3-1,则 ab· a b+ b a-1 的值为 . 9. 如图,一个矩形被分割成四部分,其 中图形①②③都是正方形,且正方 形①②的面积分别为4和3,则图中 阴影部分的面积为 . (第9题) 10. 计算: (1) 24÷3- 12× 18+ (2+1)2. (2) (7+ 5)(28- 20)-(3+ 32)2. 11. 新考法·新定义题 定义:若两个二次 根式a、b满足ab=c,且c是有理 数,则称a与b是关于c的共轭二 次根式. (1) 若a与2是关于4的共轭二次根式,则 a= . (2) 若2+3与4+3m 是关于2的共轭二 次根式,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次根式 72× 32-( 10+1)( 10- 1)=62×42-[( 10)2-1]= 48-10+1=39(m2). ∴ 39×15=585(kg). ∴ 张大伯种植的蔬菜的总产量为 585kg. 第21章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 B 解析:由题意,得x-1≥ 0且x-3≠0,解得x≥1且x≠3. [变式] B 解 析:由 题 意,得 3x+9≥0, x-2≠0, 解得x≥-3且x≠2. 典例2 7 解析:∵ |m-n-5|+ 2m+n-4=0,|m-n-5|≥0, 2m+n-4≥0,∴ m-n-5=0, 2m+n-4=0.∴ m=3,n=-2. ∴ 3m+n=9-2=7. [变式] 5 解析:由已知条件可知 (y-2)2+ x-3=0,∴ y-2=0, x-3=0.∴ y=2,x=3.∴ x+y= 5.∴ x+y的算术平方根是5. 典例3 根据数轴,可得c<b<0<a, ∴ a-b>0,c-a<0,b+c<0. ∴ a2 -|a-b|+ (c-a)2 + |b+c|=a-(a-b)-(c-a)-(b+ c)=a-a+b-c+a-b-c=a-2c. [变式] a≤3 解 析:∵ a+ a2-6a+9=3,∴ a2-6a+9= 3-a,即 (a-3)2=3-a.∴ 3- a≥0.∴ a≤3. 典例4 D 解析:把a=5×105m/s2, s=0.64m代入公式v= 2as,得 v= 2as= 2×5×105×0.64= 8×102(m/s). [变式] 25π 解析:把l=0.2m代 入关系式t=2π l10 ,得t=2π× 0.2 10=2π× 2 10= 2 5π (s). 典例5 (1) 原式= 63-233 + 43 ÷23=2833 ÷23=143. (2) 原式=(7+43)×(4-43+ 3)+(4-3)- 3=(7+43)×(7- 43)+1- 3=49-48+1- 3= 2-3. (3) 原 式=[(2+1)2]8×(3- 22)9=(3+22)8×(3-22)9= [(3+2 2)(3-22)]8× (3- 22)=(9-8)8×(3-22)=1× (3-22)=3-22. [变式] (1) 原式=(23-32)× (23+32)=(23)2-(32)2= 12-18=-6. (2) 原式=(52)2-(25)2-(5- 2 10+2)=50-20-7+2 10= 23+2 10. (3) 原 式=[(2- 3)- 5]× [(2- 3)+ 5]=(2- 3)2- (5)2=2-2 2× 3+3-5= -26. 典例6 ∵ x=7+2,y=7-2, ∴ 易得x+y=27,xy=3. (1) ∵ 1 x+ 1 y= y+x xy , ∴ 当x+y=2 7,xy=3时,原 式=273 . (2) ∵ x2-xy+y2=(x+y)2-3xy, ∴ 当x+y=27,xy=3时,原式= (27)2-3×3=19. [变式] 原式= a-ba-b- a+b a-b ÷ b (a+b)(a-b) = -2b a-b · (a+b)(a-b) b =-2 (a+b).当a= 3-2,b=5- 3时,原式=-2× (3-2+5-3)=-2×3=-6. 典例7 (1) 32 解析:根据题意, 得裁出的正方形纸片 A的边长为 18cm=32cm. (2) 根据题意,得裁出的正方形纸片B 的边长为 32cm=42cm,则矩形纸 片的长为32+42=72(cm),宽为 42cm, ∴ 涂色部分的面积=72×42- (18+32)=56-50=6(cm2). (3) 不能裁出. 理由:∵ 面积为25cm2 的两块正方 形纸片的边长均为 25cm=5cm, 5+5=10(cm),10>72, ∴ 不能在矩形纸片上裁出面积都为 25cm2的两块正方形纸片. [变式] C 解析:∵ 两张正方形纸 片的面积分别为16cm2 和12cm2, ∴ 它们的边长分别为4cm、23cm. ∴ 矩形的宽为4cm,长为(4+23) cm.∴ 空白部分的面积为4×(4+ 23)-16-12=(83-12)cm2. ［综合素能提升］ 1. A 解析:由题意,可知x+3>0, 4-3x≥0,解得-3<x≤43.∴ 使函 数y= 1 x+3 + 4-3x有意义的所 有整数x 为-2、-1、0、1.∴ 使函数 y= 1 x+3 + 4-3x有意义的所有 整数x 的和是-2+(-1)+0+ 1=-2. 2. C 解析:∵ |x+2|+ y-3=0, ∴ x+2=0,y-3=0,解得x=-2, y=3.∴ (xy)2= (-2×3)2=6. 3. D 解析:∵ 2、5、m 是某三角形三 边的长,∴ 5-2<m<5+2,即3< m<7.∴ m-3>0,m-7<0. ∴ (m-3)2+ (m-7)2=|m- 3|+|m-7|=m-3+7-m=4. 4. C 解析:∵ m*n=m(m-n)+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 n(m+n),∴ 2* 5= 2(2- 5)+ 5(2+ 5)=2- 10+ 10+5=7. 5. C 解析:∵ x= 5-32 ,∴ x+1= 5-1 2 ,x+2= 5+12 ,x+3= 5+32 . ∴ 原式= 5-32 × 5-1 2 × 5+1 2 × 5+3 2 = (5-3)(5+3) 4 × (5-1)(5+1) 4 =-1×1=-1. 6. 2 解析:由题意,得2x-1≥0且 1-2x≥0,解得x≥12 且x≤12. ∴ x = 12.∴ y = 2x-1 - 1-2x+8x=0-0+8×12=4. ∴ 4x+5y-6= 4× 1 2+5×4-6= 4.∴ 4x+5y-6的算术平方根是2. 7. 二 解析:∵ 实 数 a、b 满 足 a2b3=-abb,且a≠0,b≠0, ∴ a、b异号,且b>0.∴ a<0.∴ 点 (a,b)在第二象限. 8. 32 解析: ab· ab +ba - 1 = ab·a 2+b2-ab ab = (a+b)2-3ab ab . ∵ a= 3+1,b= 3-1,∴ a+b= 23,ab=(3+1)(3-1)=2.∴ 原 式= (23)2-3×2 2 =12-6 2 =32. 9. 63-10 解析:∵ 正方形①②的 面积分别为4和3,∴ 正方形①的边 长为2,正方形②的边长为 3.∴ 正 方形③的边长为2- 3.∴ 阴影部分 矩形的宽为2- 3,阴影部分矩形的 长为 3-(2- 3)=23-2. ∴ 阴 影部分的面积为(23-2)(2-3)= 43-6-4+23=63-10. 10. (1) 原式= 8- 9+(2+22+ 1)=22-3+3+22=42. (2) 原式=(7+ 5)(27-25)- (3+18+66)=2(7+ 5)(7- 5)-(21+6 6)=2×2-21- 66=-17-66. 11. (1) 22. (2) ∵ 2+3与4+ 3m 是关于2的 共轭二次根式, ∴ (2+3)(4+3m)=2. ∴ 4+3m= 2 2+3 = 2 (2-3) (2+3)(2-3) = 4-23. ∴ m=-2. 第22章　一元二次方程 22.1　一元二次方程 1. B 2. D 3. B 4. x 40×12-x =64 -x2+ 20x-64=0 -1 20 -64 5. (1) 整理,得4x2-3=0,其中二次 项系数是4,一次项系数是0,常数项 是-3. (2) 整理,得-x2+3x+4=0,其中二 次项系数是-1,一次项系数是3,常 数项是4. 6. A 解析:∵ 关于x的方程(a-3)· x|a-1|+x-1=0是一元二次方程, ∴ a-3≠0且|a-1|=2,解得a=-1. 忽略一元二次方程二次项 系数不为0而致错 根据一元二次方程的概念求 字母的值时,既要保证未知数的最 高次数为2,又要保证二次项系数 不为0. 7. B 解析:把x=-3代入方程 ax2+bx+c=0,得9a-3b+c=0,即 方程一定有一个根为-3. 8. D 解析:∵ 关于x的一元二次方 程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根 为x=0,∴ a2-1=0,且a-1≠0. ∴ a=-1. 9. C 解析:∵ m 是方程2x2-5x- 8=0的一个根,∴ 2m2-5m-8=0. ∴ 2m2-5m=8.∴ -4m2+10m+ 9=-2(2m2-5m)+9=-2×8+ 9=-7. 10. C 解析:根据题意,得a+b+ c=0,a-b+c=0.两式相加,得 2(a+c)=0.∴ a=-c.两式相减,得 2b=0.∴ b=0. 11. m≥0且m≠1 解析:由题意,得 m≥0且m-1≠0,解得m≥0且m≠1. 12. 2 解析:把x=-2代入x2+ px+2q=0,得(-2)2-2p+2q=0, ∴ p-q=2. 13. π x2+3 2 -x2=72 解析:∵ 正 方形水池的边长是 x步,∴ 圆的半径 为 x 2+3 步.根据圆的面积-正方 形的面积=圆内可耕地的面积,可列 出方程π x2+3 2 -x2=72. 14. ∵ 2(x2-2x+1)+bx-b+c= 0,2x2+(b-4)x+2-b+c=0, ∴ b-4=-3,2-b+c=-1,解得 b=1,c=-2. 15. ∵ 实数a是一元二次方程x2+ x-2=0的一个根, ∴ a2+a-2=0. ∴ a2+a=2. ∴ a3+2a2-a+3=a(a2+a)+ a2-a+3=2a+a2-a+3=a2+a+ 3=2+3=5. 16. (1) y2-y-2=0. 解析:设所 求方程的根为y,则y=-x,即 x=-y.把x=-y 代入已知方程, 得(-y)2+(-y)-2=0.化简,得 y2-y-2=0.∴ 所求方程为y2- y-2=0. (2) 设所求方程的根为y,则y= 1 x , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6