第21章 专题特训一 二次根式的化简求值-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

10 专题特训一　二次根式的化简求值 ▶ “答案与解析”见P4 类型一 运用二次根式的非负性求值 1. 若x、y 都是实数,且y= x-4+ 4-x+ 4,求xy的值. 2. 已知(x-y+2)的算术平方根和(x+y-1)2 互为相反数,求-5y x 的平方根. 3. 若 m 满 足 关 系 式 3x+2y-2-m + 2x+3y-m= x-100+y· 100-x-y, 请确定m的值. 类型二 运用数形结合法化简 4. ★实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,化 简:a2-|b-a|+ (a-c)2- (b+c)2. (第4题) 类型三 利用同类二次根式的条件求值 5. 已 知 最 简 二 次 根 式 3x-102x+y-5 和 x-3y+11是同类二次根式.求: (1) x、y的值. (2) 2x2+4y2的值. 类型四 先化简代数式,再代入求值 6. 已知a-b=23-1,ab=3,则(a+1)(b-1) 的值为 ( ) A. -3 B. 33 C. 32-2 D. 3-1 7. 已知a=3+22,b=3-22,则a2b-ab2= . 8. 先化简,再求值:(a- 3)(a+ 3)-a(a- 5),其中a=5+12. 类型五 先整体平方,再代入求值 9. 若 x+ 1x= 6 ,0<x<1,则 x- 1x 的 值是 ( ) A. -2 B. -2 C. ±2 D. ±2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 11 10. 如果a+b=2+3,ab=23,那么a-b的 值为 . 11. 已知x=2- 3,求代数式(7+ 43)x2+(2+3)x+3的值. 类型六 先变形代数式,再整体代入求值 12. 已知a= 5+2,b= 5-2,则 a2+b2+7 的值为 ( ) A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 13. 已知x= 3-2 3+2 ,y= 3+2 3-2 ,则代数式 3x2-6xy+3y2的值为 . 14. 已知a= 6+ 3,b= 6- 3,求ab- b a 的值. 15. 已知x=1-2,y=1+2,求x2+ y2-xy-2x+2y的值. 16. 先化简,再求值: 1 x+y+ 1 x-y ÷ 1xy+y2, 其中x=5+3,y=5-3. 类型七 二次根式的化简求值的应用 17. 新情境·日常生活 如图,张大伯家有一块矩 形空 地,矩 形 空 地 的 长 为 72 m,宽 为 32m,现要在空地中划出一块矩形地养鸡 (即图中涂色部分),其余部分种植蔬菜,矩形 养鸡场的长为(10+1)m,宽为(10-1)m. (1) 求矩形空地的周长(结果化为最简二次 根式). (2) 张大伯种植的蔬菜每平方米的产量为 15kg,求张大伯种植的蔬菜的总产量. (第17题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次根式 专题特训一　二次根式的 化简求值 1. 根据题意,得x-4≥0且4-x≥ 0,解得x≥4且x≤4, ∴ x=4. ∴ y=4. ∴ xy=4×4=16. 2. ∵ (x-y+2)的算术平方根和 (x+y-1)2互为相反数, ∴ x-y+2+(x+y-1)2=0. ∴ x-y+2=0,x+y-1=0,解得 x=-12 ,y= 3 2. ∴ -5y x = -5×32 -12 =15. ∴ -5y x 的平方根为± 15. 3. 根据题意,得 x-100+y≥0, 100-x-y≥0, 解得 x+y=100. ∴ 由关系式易得 3x+2y-2-m+ 2x+3y-m=0. ∴ x+y=100, 3x+2y-2-m=0, 2x+3y-m=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=51, y=49, m=249. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ m 的值为249. 4. 由 数 轴,可 知c<a<0<b, |c|>|b|, ∴ b-a>0,a-c>0,b+c<0. ∴ 原式=|a|-|b-a|+|a-c|- |b+c|=-a-(b-a)+(a-c)+ (b+c)=-a-b+a+a-c+b+ c=a. 先确定范围后化简 解决这类题目时,一般首先根 据数在数轴上对应点的位置,运用 数形结合法确定数的取值范围,然 后运用 a2=|a|化简二次根式, 最后根据绝对值的性质、整式加减 等知识解答. 5. (1) 根 据 题 意, 得 3x-10=2, 2x+y-5=x-3y+11, 解得 x=4 , y=3. (2) 当x=4,y=3时, 2x2+4y2= 2×42+4×32= 68=2 17. 6. A 解析:(a+1)(b-1)=ab- (a-b)-1= 3-(23-1)-1= -3. 7. 42 解析:a2b-ab2=ab(a- b)=(3+2 2)(3-2 2)[(3+ 22)-(3-22)]=(9-8)×42= 42. 8. 原式=a2-3-a2+ 5a= 5a- 3,当a= 5+ 12 时,原式= 5× 5+12 -3=5+ 52-3=2+ 52. 9. A 解析: x- 1x 2 = x+ 1 x 2 -4=(6)2-4=2.∵ 0< x<1,∴ 1 x>1 ,即x<1x.∴ x< 1 x .∴ x- 1x <0.∴ x- 1 x =-2. 10. 2-3或-2+3 解析:∵ (a- b)2=(a+b)2-4ab,且a+b=2+ 3,ab=2 3,∴ (a-b)2=(2+ 3)2-83=(2- 3)2.∴ a-b= 2-3或-2+3. 11. ∵ x=2-3, ∴ x2=(2-3)2=4-43+3=7- 43. ∴ (7+43)x2+(2+ 3)x+ 3= (7+43)(7-43)+(2+ 3)(2- 3)+ 3=49-48+4-3+ 3= 2+3. 12. A 解析:∵ a= 5+2,b= 5- 2,∴ a+b=(5+2)+(5-2)= 25,ab=(5+2)(5-2)=1.∴ 原 式 = (a+b)2-2ab+7 = (25)2-2+7=5. 13. 288 解析:∵ x= 3-2 3+2 = (3-2)(3-2) (3+2)(3-2) =5-2 6,y= 3+2 3-2 = (3+2)(3+2) (3-2)(3+2) =5+ 26,∴ x-y=(5-2 6)-(5+ 26)=-46.∴ 原式=3(x-y)2= 3×(-46)2=288. 14. ∵ a=6+3,b=6-3, ∴ a+b=(6+ 3)+(6- 3)= 26,a-b=(6+3)-(6-3)= 23,ab=(6+3)(6-3)=3. ∴ 原式=a 2-b2 ab = (a+b)(a-b) ab = 26×23 3 =42. 15. ∵ x=1-2,y=1+2, ∴ x-y=(1- 2)-(1+ 2)= -22,xy=(1-2)(1+2)=-1. ∴ 原式=(x-y)2+xy-2(x-y)= (-22)2+(-1)-2×(-22)= 7+42. 16. 原 式 = x-y(x+y)(x-y)+ x+y (x+y)(x-y) ÷ 1y(x+y) = 2x (x+y)(x-y) ·y(x+y)= 2xy x-y. ∵ x=5+3,y=5-3, ∴ xy=(5+3)(5- 3)=2,x- y=(5+3)-(5-3)=23. ∴ 原式=2xyx-y= 2×2 23 =233 . 17. (1) 由题意,得矩形空地的周长为 2×(72+ 32)=2×(62+42)= 202(m). (2) 由题意,得种植蔬菜的面积为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 72× 32-( 10+1)( 10- 1)=62×42-[( 10)2-1]= 48-10+1=39(m2). ∴ 39×15=585(kg). ∴ 张大伯种植的蔬菜的总产量为 585kg. 第21章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 B 解析:由题意,得x-1≥ 0且x-3≠0,解得x≥1且x≠3. [变式] B 解 析:由 题 意,得 3x+9≥0, x-2≠0, 解得x≥-3且x≠2. 典例2 7 解析:∵ |m-n-5|+ 2m+n-4=0,|m-n-5|≥0, 2m+n-4≥0,∴ m-n-5=0, 2m+n-4=0.∴ m=3,n=-2. ∴ 3m+n=9-2=7. [变式] 5 解析:由已知条件可知 (y-2)2+ x-3=0,∴ y-2=0, x-3=0.∴ y=2,x=3.∴ x+y= 5.∴ x+y的算术平方根是5. 典例3 根据数轴,可得c<b<0<a, ∴ a-b>0,c-a<0,b+c<0. ∴ a2 -|a-b|+ (c-a)2 + |b+c|=a-(a-b)-(c-a)-(b+ c)=a-a+b-c+a-b-c=a-2c. [变式] a≤3 解 析:∵ a+ a2-6a+9=3,∴ a2-6a+9= 3-a,即 (a-3)2=3-a.∴ 3- a≥0.∴ a≤3. 典例4 D 解析:把a=5×105m/s2, s=0.64m代入公式v= 2as,得 v= 2as= 2×5×105×0.64= 8×102(m/s). [变式] 25π 解析:把l=0.2m代 入关系式t=2π l10 ,得t=2π× 0.2 10=2π× 2 10= 2 5π (s). 典例5 (1) 原式= 63-233 + 43 ÷23=2833 ÷23=143. (2) 原式=(7+43)×(4-43+ 3)+(4-3)- 3=(7+43)×(7- 43)+1- 3=49-48+1- 3= 2-3. (3) 原 式=[(2+1)2]8×(3- 22)9=(3+22)8×(3-22)9= [(3+2 2)(3-22)]8× (3- 22)=(9-8)8×(3-22)=1× (3-22)=3-22. [变式] (1) 原式=(23-32)× (23+32)=(23)2-(32)2= 12-18=-6. (2) 原式=(52)2-(25)2-(5- 2 10+2)=50-20-7+2 10= 23+2 10. (3) 原 式=[(2- 3)- 5]× [(2- 3)+ 5]=(2- 3)2- (5)2=2-2 2× 3+3-5= -26. 典例6 ∵ x=7+2,y=7-2, ∴ 易得x+y=27,xy=3. (1) ∵ 1 x+ 1 y= y+x xy , ∴ 当x+y=2 7,xy=3时,原 式=273 . (2) ∵ x2-xy+y2=(x+y)2-3xy, ∴ 当x+y=27,xy=3时,原式= (27)2-3×3=19. [变式] 原式= a-ba-b- a+b a-b ÷ b (a+b)(a-b) = -2b a-b · (a+b)(a-b) b =-2 (a+b).当a= 3-2,b=5- 3时,原式=-2× (3-2+5-3)=-2×3=-6. 典例7 (1) 32 解析:根据题意, 得裁出的正方形纸片 A的边长为 18cm=32cm. (2) 根据题意,得裁出的正方形纸片B 的边长为 32cm=42cm,则矩形纸 片的长为32+42=72(cm),宽为 42cm, ∴ 涂色部分的面积=72×42- (18+32)=56-50=6(cm2). (3) 不能裁出. 理由:∵ 面积为25cm2 的两块正方 形纸片的边长均为 25cm=5cm, 5+5=10(cm),10>72, ∴ 不能在矩形纸片上裁出面积都为 25cm2的两块正方形纸片. [变式] C 解析:∵ 两张正方形纸 片的面积分别为16cm2 和12cm2, ∴ 它们的边长分别为4cm、23cm. ∴ 矩形的宽为4cm,长为(4+23) cm.∴ 空白部分的面积为4×(4+ 23)-16-12=(83-12)cm2. ［综合素能提升］ 1. A 解析:由题意,可知x+3>0, 4-3x≥0,解得-3<x≤43.∴ 使函 数y= 1 x+3 + 4-3x有意义的所 有整数x 为-2、-1、0、1.∴ 使函数 y= 1 x+3 + 4-3x有意义的所有 整数x 的和是-2+(-1)+0+ 1=-2. 2. C 解析:∵ |x+2|+ y-3=0, ∴ x+2=0,y-3=0,解得x=-2, y=3.∴ (xy)2= (-2×3)2=6. 3. D 解析:∵ 2、5、m 是某三角形三 边的长,∴ 5-2<m<5+2,即3< m<7.∴ m-3>0,m-7<0. ∴ (m-3)2+ (m-7)2=|m- 3|+|m-7|=m-3+7-m=4. 4. C 解析:∵ m*n=m(m-n)+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5