21.2.1 二次根式的乘法&21.2.2 积的算术平方根-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

4 21.2　二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法 ▶ “答案与解析”见P1 1. 计算2×7的结果是 ( ) A. 27 B. 72 C. 14 D. 14 2. 计算 27× 13 的结果是 ( ) A. 9 B. 3 C. 33 D. 3 3. 2+x· 2-x= 4-x2成立的条件是 ( ) A. x≥2 B. x=2 C. -2≤x≤2 D. x≤-2 4. 计算:(1) 5× 20= . (2) 32× 24= . 5. 如果 18× x的结果是一个整数,那么最小 的正整数x的值为 . 6. 计算: (1) 10×3. (2) 6× 24. (3) 90× 25. (4) 3×8×6. 7. 下列各式中,计算正确的是 ( ) A. 7×3=7×3=21 B. 5×4= 5×2= 10 C. 4× 10= 2×5= 10 D. 12× 13= 12× 1 3=4=2 8. 下列各数中,与2的积为无理数的是 ( ) A. 8 B. 1 18 C. 13 D. 32 9. 已知m= - 33 ×(-221),则有 ( ) A. 5<m<6 B. 4<m<5 C. -5<m<-4 D. -6<m<-5 10. 新考法·新定义题 若规定两数a、b通过运算 “※”得到4ab,即a※b=4ab,例如2※6= 4×2×6=48,则 5※ 3= . 11. 某 直角三角形两条直角边的长分别为 3cm、12cm,则该直角三角形的面积为 cm2. 12. 计算: (1) 2 414× -3 1 17 . (2) 114× 2 2 5×3. (3) 3m× m2×2 6m 2(m≥0). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 5 第2课时 积的算术平方根 ▶ “答案与解析”见P2 1. 若 x(x-6)= x· x-6,则 ( ) A. x≥6 B. x≥0 C. 0≤x≤6 D. x为一切实数 2. 下列各式中,不正确的是 ( ) A. 72=62 B. 36×9= 36×9=6×3=18 C. (-4)×(-49)= -4× -49=(-2)× (-7)=14 D. 152-122= 15+12× 15-12=9 3. 计算25×310的结果为 ( ) A. 615 B. 630 C. 302 D. 305 4. 计算:6×10= . 5. 若一个矩形相邻两边的长分别为 6cm、 14cm,则这个矩形的面积为 cm2. 6. 计算下列各式,并将所得结果化简: (1) 2 5×125. (2) 8× 28. (3) 1 6 12a×215a. 7. 已知k、m、n 都是整数,若 90=k 10, 800=20 m,180=6n,则k、m、n的大 小关系是 ( ) A. m<k<n B. m=n<k C. m<n<k D. k<m=n 8. 若2× 20= 2×m 5=m n,则m-n= . 9. 若 一 个 直 角 三 角 形 的 一 条 直 角 边 长 为 23cm,斜边长为63cm,则这个直角三角 形的另一条直角边长为 cm,这个直 角三角形的面积为 cm2. 10. 新考法·新定义题 对于任意不相等的两个实 数a、b,定义一种运算※,如下:a※b= a+b a-b ,如3※2= 3+23-2=5. 求(7※5)× (-2※50)的值. 11. 一个底面为30cm×30cm的长方 体玻璃容器中装满水,现将一部分 水倒入一个底面为正方形、高为 10cm的铁桶中,当铁桶装满水时,容器中 的水面下降了20cm,则铁桶底面的边长是 多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次根式 第21章　二次根式 21.1　二次根式 1. C 2. D 3. C 4. (1) x>1 (2) 6 (3) 2025 5. -2 6. (1) 11. (2) 0.3. (3) 0.5. (4) 3 4. (5) 4-π. (6) 1 10. 7. A 解析:在实数范围内,2x2+ 1>0,则式子 2x2+1一定是二次根 式.故A正确.若被开方数是负数,则 带二次根号的式子不是二次根式.故 B错误.当x=0时,1x2 无意义,则式 子 1 x2 无意义.故C错误.4=2, 2不是无理数.故D错误. 8. C 解析:要使这个式子有意义,必 须有-a≥0,ab>0,∴ a<0,b<0. ∴ 点P(a,b)在第三象限. 9. D 解析:由图可知,b<0<a, ∴ b-a<0.∴ |b|+ (b-a)2+ a2=-b+(a-b)+a=2a-2b. 10. C 解析:由 1-3x有意义,可知 1-3x≥0,∴ x≤13.∴ 2x-1≤ -13<0.∴ 原式= (2x-1)2 - (1-3x)=1-2x-1+3x=x. 易忽略题目中的隐含条件 给出式子要求化简,则说明原 式一定有意义,这是题目的隐含条 件,在求解时若忽略这一条件,则 容易造成化简失误,故本题的解题 关键是确定x的取值范围. 11. x≥-12 且x≠4,x≠0 解析:∵ 2x+1 x-4 +x 0 有 意 义, ∴ 2x+1≥0,x-4≠0,x ≠0. ∴ x≥-12 且x≠4,x≠0. 12. 11或13 解析:∵ (a-3)2+ b-5=0,(a-3)2≥0,b-5≥0, ∴ a-3=0,b-5=0,解得a=3,b= 5.设等腰三角形的第三边长为c.当 a=c=3时,∵ 3+3>5,∴ 能构成三 角形.∴ 三角形的周长=3+5+3= 11.当b=c=5时,∵ 5+3>5,∴ 能 构成三角形.∴ 三角形的周长=3+ 5+5=13. 13. 8 解析:由m-4≥0,得m≥4. ∴ 2-m<0.∴ m-2+ m-4=m, 即 m-4=2,解得m=8. 14. 2或12 解析:∵ |a|=5, b2=7,∴ a=±5,b=±7.又 ∵ (a-b)2=b-a,∴ a-b≤0, 即a≤b.∴ a=-5,b=7或a=5, b=7.当a=-5,b=7时,a+b= -5+7=2;当a=5,b=7时,a+b= 5+7=12.综上所述,a+b的值为2 或12. 15. (1) 根据题意,得 2x+1≥0, 1-|x|≠0, 解 得x≥-12 且x≠1. (2) 根据题意,得3-x≥0,x-2>0, x-2.5≠0,解得2<x≤3且x≠ 2.5. 16. 由题意得16-n2≥0,n2-16≥0, n+4≠0,则n2=16且n≠-4,解得 n=4,则m=-3,∴ (m+n)2025= 12025=1. 17. 由三角形的三边关系知,b+c> a,a+b>c. ∴ a-(b+c)<0,a+b-c>0. ∴ a-b-c<0,b-c+a>0. ∴ 原式=|a+b+c|-|a-b-c|+ |b-c+a|=a+b+c+a-b-c+ b+a-c=3a+b-c. 18. (1) 3 解析:∵ 2≤a≤5,∴ a- 2≥0,a-5≤0.∴ 原式=|a-2|+ |a-5|=a-2-(a-5)=3. (2) 3≤a≤7 解析:由题意,可知 |3-a|+|a-7|=4.当a≤3时,原 等式化为3-a-(a-7)=4,解得 a=3,符合题意;当3<a<7时,原等 式化为-(3-a)-(a-7)=4,符合 题意;当a≥7时,原等式化为-(3- a)+(a-7)=4,解得a=7,符合题 意.综上所述,a 的取值范围是3≤ a≤7. (3) 原方程可化为|a+1|+|a- 5|=8. 当a≤-1时,原方程化为-a-1- (a-5)=8,解得a=-2,符合题意; 当-1<a<5时,原方程化为a+1- (a-5)=8,此方程无解,不符合题意; 当a≥5时,原方程化为a+1+a- 5=8,解得a=6,符合题意. 综上所述,a=-2或a=6. 21.2　二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法 1. D 2. B 3. C 4. (1) 10 (2) 2 5. 2 6. (1) 30. (2) 12. (3) 6. (4) 12. 7. D 解析:根据二次根式的乘法法 则可知,7× 3= 7×3= 21, 5× 4= 5×4= 20,4× 10= 4×10= 40.故选项A、B、 C都是错误的. 8. C 解析:2× 8= 2×8= 16=4,故A选项不符合题意.2× 1 18= 2× 1 18= 1 9 = 1 3 ,故B 选项不符合题意.2× 13= 26,故 C 选 项 符 合 题 意.2 × 32 = 2×32= 64=8,故D选项不符合 题意. 9. A 解析:m= - 33 ×(-221)= 2 3× 3×21= 2 3× 63= 4 9 × 63= 49×63= 28.∵ 25< 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 28< 36,∴ 5< 28<6,即5< m<6. 10. 4 15 解析:5※ 3=4× 5× 3=4× 5×3=4 15. 11. 3 解析:根据题意,得12× 3× 12=12× 36=3 (cm2).∴ 该直 角三角形的面积为3cm2. 12. (1) 原 式 = 2 × 174 × -3 117 = 2 × (-3) × 17 4× 1 17=-6× 1 2=-3. (2) 原式= 54 × 12 5 × 3 = 5 4× 12 5×3 =9=3. (3) 原 式 =2 3m×m2×6m 2 = 2 9m4=2×3m2=6m2. 第2课时 积的算术平方根 1. A 2. C 3. C 4. 2 15 5. 2 21 6. (1) 原式= 25×2 = 25× 2=52. (2) 原式=22×27=4× 2×7= 4 14. (3) 原式=16×2 3a×2 15a= 2 3× 3a×15a= 2 3×35a=25a. 7. A 解析:根据题意,得 90= 3 10,800=202, 180=65, 则k=3,m=2,n=5.∴ m<k<n. 8. -8 解析:∵ 2× 20= 2× 25=2 10,而 2× 20= 2× m 5=m n,∴ m =2,n=10. ∴ m-n=2-10=-8. 9. 46 122 解析:根据勾股定 理,可 知 另 一 条 直 角 边 长 为 (63)2-(23)2 = 108-12= 96= 42×6=46(cm).∴ 这个 直角三角形的面积为1 2×23×46= 4× 3×6=4×32=122(cm2). 10. 由 定 义 运 算,可 知 7※5= 7+5 7-5 = 12 2 = 23 2 =3 ,-2※50= -2+50 -2-50 = 48 -52= 43 -52=- 3 13. ∴ (7※5)×(-2※50)= 3× - 313 =-313. 11. 设铁桶底面的边长是xcm(x>0). 根据题意,得10x2=30×30×20, ∴ x2=30×30×2. ∴ x= 30×30×2= 302× 2= 302. ∴ 铁桶底面的边长是302cm. 第3课时 二次根式的除法 1. C 2. D 3. A 4. -2<x≤1 5. 2 3 6. 33 7. (1) 6 5 = 6×5 5×5 = 305 . (2) 2 7 =2×7 7×7 =277 . (3) 3+1 2 = (3+1)×2 2×2 =6+22 . (4) 8 2a = 8× 2a 2a× 2a =4a2a = 2a a . (5) - 123 ÷ 5 54 = - 53÷ 5 54 = - 5 3× 54 5 = - 18=-32. 二次根式化简的“三注意” (1) 根号里不能有分数. (2) 分母中不能有根号,需将 分母的根号去掉. (3) 根号里不能有任何一个因 数是完全平方数,所以需将完全平 方数“开方”出来. 8. C 解析: 14是最简二次根式, 14 7 不能再化简. 9. C 解析:∵ 2 5 = 205 , 2 5 = 10 5 ,∴ 2 5< 2 5< 2 5 . 10. D 解析: 0.063= 63010000= 9× 70 100 = 35× 14 100 .∵ 5=a, 14=b,∴ 原式=3ab100. 11. D 解析:由勾股定理,得AC= 22+32= 13.∵ S△ABC=3×3- 1 2×1×2- 1 2×1×3- 1 2×2×3= 7 2 ,∴ S△ABC = 1 2AC ·BD= 72. ∴ 1 2 13 ·BD = 72.∴ BD = 7 13 =7 1313 . 12. 63 解析: 54×6 3 = 54 3 × 6= 18×6=63. 13. 8 解析:∵ 最 简 二 次 根 式 n-12n+1与最简二次根式 4n-m 相等,∴ n-1=2,2n+1=4n-m,解 得n=3,m=5.∴ m+n=8. 14. -2 解析:∵ 2x+7是最简二 次根式,∴ 2x+7≥0,解 得 x≥ -3.5.由题意,可知x 取整数值.当 x=-3时,二次根式为 1=1,不是 最简二次根式,不合题意;当x=-2 时,二次根式为 3,是最简二次根式, 符合题意.故 x 可取的 最 小 整 数 是-2. 15. (1) 18× 3÷ 2= 18×3÷ 2= 54÷2= 27=33. (2) 12 ÷ 27 × 18 = 12÷27×18 = 12×127×18 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2