第三章 概率的进一步认识 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

可以等于42cm2. 理由:假设可以等于42cm2,此时截 得的较短的细铁丝的长是ycm,则较 长的细铁丝的长是(40-y)cm. 依题 意,得 1 4y 2 + 14 (40- y) 2 =42. 整理,得y2-40y+464=0. ∵ Δ= (-40)2 -4×1×464= -256<0, ∴ 该方程没有实数根. ∴ 假设不成立. ∴ 折成的两个正方形的面积之和不 可以等于42cm2. 20. (1) p;1. (2) ∵ x1+x2=p,x1x2=1, ∴ 1 x1+ 1 x2= x2+x1 x1x2 = p 1=p. ∵ 关于x的一元二次方程x2-px+ 1=0(p为常数)有两个不相等的实数 根x1和x2, ∴ x21-px1+1=0. ∴ x1-p+ 1 x1=0 ,即x1+ 1 x1=p. (3) ∵ x21+x22=2p+1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2=2p+1. ∴ p2-2=2p+1,解得 p1=3, p2=-1. 在x2-px+1=0中,当p=3 时, Δ=p2-4=9-4=5>0,符合题意; 当p=-1 时,Δ=p2-4=-3<0,不 合题意,舍去. ∴ p=3. 21. (1) -2;1. (2) 方程两边同时平方,得2x+3= x2,即x2-2x-3=0. ∴ (x-3)(x+1)=0. ∴ x-3=0或x+1=0. ∴ x1=3,x2=-1. 当x=3时,2x+3=9=3, ∴ x=3是原方程的解. 当 x= -1 时, 2x+3= 1= 1≠-1, ∴ x=-1不是原方程的解. ∴ 方程 2x+3=x的解是x=3. (3) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠A=∠D=90°,AB=CD=3m. 设AP=xm,则PD=(8-x)m. ∵ BP + CP = 10 m,BP = AP2+AB2,CP= PD2+CD2, ∴ x2+9+ (8-x)2+9=10. ∴ (8-x)2+9=10- x2+9. 两边同时平方,得(8-x)2+9= 100-20 x2+9+9+x2. 整理,得5 x2+9=4x+9. 两边同时平方并整理,得x2-8x+ 16=0,即(x-4)2=0. ∴ x1=x2=4. ∴ AP 的长为4m. 第三章拔尖测评 一、 1. C 2. A 3. B 4. A 5. C 6. D 解析:将这些开关随机闭合至 少两个,所有等可能的结果有(S1, S2),(S1,S3),(S1,S4),(S2,S3),(S2, S4),(S3,S4),(S1,S2,S3),(S1,S2, S4),(S1,S3,S4),(S2,S3,S4),(S1, S2,S3,S4),共11种,其中能让灯泡发 光的结果有(S1,S3),(S1,S4),(S2, S3),(S2,S4),(S1,S2,S3),(S1,S2, S4),(S1,S3,S4),(S2,S3,S4),(S1, S2,S3,S4),共9种,∴ 将这些开关随 机闭合至少两个,能让灯泡发光的概 率为9 11. 7. C 解析:将A,B两名同学座位相 邻的情况用“􀳫”表示,不相邻的情况 用“✕”表示.根据题意,列表如下: A B ① ② ③ ④ ① 􀳫 ✕ ✕ ② 􀳫 􀳫 ✕ ③ ✕ 􀳫 􀳫 ④ ✕ ✕ 􀳫 由表,可知共有12种等可能的结果, 其中A,B两名同学座位相邻的结果 有6种.∴ A,B两名同学座位相邻的 概率是6 12= 1 2. 8. B 解析:由题图可知,随着试验次 数的增加,频率稳定在0.65左右, ∴ 估计不规则图案的面积为24× 0.65=15.6(cm2). 9. C 解析:三张图片上、中、下三段 分别表示为A,a,1;B,b,2;C,c,3.画 树状图如图所示.由图,可知共有 27种等可能的结果,其中这三张图片 恰好组成一张完整风景图片的结果有 3种.∴ 这三张图片恰好组成一张完 整风景图片的概率为3 27= 1 9. (第9题) 10. B 解析:如图①,将各格点分别 记为1,2,3,4,5,6,7,8.根据题意,画 树状图如图②所示.由图,可知点P 从点A 运动到点B 的不同路径共 有5条. (第10题) 二、 11. 20 12. 3 5 13. 1 8 解析:根据题意,画树状图如 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 95 图所示.由图,可知共有8种等可能的 结果,其中经过每个路口都是绿灯的 结果有1种.∴ 小红上学时经过每个 路口都是绿灯的概率为1 8. (第13题) 14. 1 6 解析:∵ 田忌的上、中等马 分别比齐王的中、下等马强,∴ 当齐 王的三匹马出场顺序为上、中、下等马 时,田忌的马按下、上、中等马的顺序 出场,才能赢得比赛.根据题意,画树 状图如图所示.由图,可知共有6种等 可能的结果,其中田忌赢得比赛的结 果有1种.∴ 田忌能赢得比赛的概率 为1 6. (第14题) 15. 5 12 解析:将转盘A中的蓝色区 域等分成2份,分别记作“蓝1”“蓝2”; 将转盘B中的红色区域分别记作 “红1”“红2”.根据题意,列表如下: A B 红 蓝1 蓝2 红1 (红,红1)(蓝1,红1)(蓝2,红1) 蓝 (红,蓝) (蓝1,蓝) (蓝2,蓝) 红2 (红,红2)(蓝1,红2)(蓝2,红2) 黄 (红,黄) (蓝1,黄) (蓝2,黄) 由表,可知共有12种等可能的结果, 其中可配成紫色的结果有5种.∴ 可 配成紫色的概率是5 12. 三、 16. 画树状图如图所示. 由图,可知共有9种等可能的结果,其 中两次中彩蛋的颜色不同的结果有 4种. ∴ 某同学获一等奖的概率为4 9. (第16题) 17. (1) 1 4. (2) 列表如下: A B C D A (A,A)(A,B)(A,C)(A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A)(D,B) (D,C) (D,D) 由表,可知共有16种等可能的结果, 其中小刚和小红选择同一线路的结果 有4种, ∴ 小刚和小红选择同一线路的概率 为4 16= 1 4. 18. 这个游戏不公平. 理由:列表如下: 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 由表,可知共有16种等可能的结果, 其中两次数字差的绝对值小于2的结 果有10种. ∴ 小明获胜的概率为10 16= 5 8. ∴ 小刚获胜的概率为1-58= 3 8. ∵ 5 8≠ 3 8 , ∴ 这个游戏不公平. 19. (1) ∵ 通过大量重复试验后,发 现摸出红球的频率稳定于0.75左右, ∴ 估计摸出红球的概率为0.75. 设白球有x个. 根 据 题 意,得 3 3+x =0.75 ,解 得 x=1. ∴ 估计箱子里白球的个数为1. (2) 根据题意,列表如下: 红1 红2 红3 白 红1 (红1, 红1) (红1, 红2) (红1, 红3) (红1, 白) 红2 (红2, 红1) (红2, 红2) (红2, 红3) (红2, 白) 红3 (红3, 红1) (红3, 红2) (红3, 红3) (红3, 白) 白 (白, 红1) (白, 红2) (白, 红3) (白, 白) 由表,可知共有16种等可能的结果, 其中两次摸出的球颜色恰好不同的结 果有6种. ∴ 两次摸出的球颜色恰好不同的概 率为6 16= 3 8. 20. (1) 根据题意,画树状图如图所示. 由图,可知共有4种等可能的结果. ∴ 如题图②所示的方格图可表示的 不同信息的总个数为4. (2) 16. (3) 当n=3,即n2=9时,29=512. ∵ 16<492<512, ∴ n的最小值为3. (第20题) 期中拔尖测评 一、 1. C 2. B 3. C 4. A 5. D 6. D 7. B 解析:∵ 四边形AMEF 是正 方形,S正方形AMEF=16,∴ AM2=16. ∴ AM=4.∵ 在Rt△ABC 中,M 是 斜边BC 的中点,∴ AM=12BC ,即 BC = 2AM = 8. ∴ AC = BC2-AB2 = 82-42 =4 3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 06 数学(北师版)九年级上 5 第三章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,那么称该三位数为“平稳数”.用1,2,3这 三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,恰好是“平稳数”的概率为 ( ) A. 1 9 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 9 2. 某校九年级(3)班承担下周学校的升旗任务,老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中,选择两名担任升旗 手,则甲、乙两名同学同时被选中的概率是 ( ) A. 1 6 B. 1 8 C. 1 4 D. 2 3 3. 一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球,这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个 球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出一个球,则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是 ( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 4 9 D. 5 9 4. 晓玲的爸爸一共买了四杯茶,其中一杯是金橘柠檬,其余三杯是珍珠奶茶,这四杯茶的外观完全一样,爸 爸在拿回家的过程中弄混了,不知道哪一杯是金橘柠檬,在不打开盖子的情况下,晓玲和哥哥从四杯茶 中随机各拿走一杯,则晓玲和哥哥拿的都是珍珠奶茶的概率是 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 9 D. 4 9 5. 某超市推出促销活动吸引顾客:在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球,小球上分别标有“0元” “10元”“20元”“30元”.顾客只要在超市一次性消费满200元,便可从箱子里同时摸出两个小球,并根据 两个小球所标金额之和换取等值的购物券,陈叔叔消费了200元,则他所获得购物券的金额不低于 30元的概率是 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 4 6. 如图,电路上有S1,S2,S3,S4四个断开的开关和一个正常的小灯泡L,将这些开关随机闭合至少两个,则 能让灯泡发光的概率为 ( ) A. 3 5 B. 7 11 C. 4 5 D. 9 11 (第6题) (第7题) 7. 班长邀请A,B,C,D四名同学参加圆桌会议.如图,班长坐在⑤号座位,四名同学随机坐在①②③④四个 座位,则A,B两名同学座位相邻的概率是 ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 8. 地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为24cm2 的矩形卡纸上绘制了一个不规则图案,他们想了 解该图案的面积是多少.经研究,采取了以下方法:将矩形卡纸水平放置在地面上,在适当位置随机地朝 矩形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或矩形区域外不计试验结果).他 们将若干次有效试验的结果绘制成了如图所示的统计图,由此估计不规则图案的面积为 ( ) A. 36.8cm2 B. 15.6cm2 C. 37.8cm2 D. 16.8cm2 (第8题) (第10题) 9. 把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都按照同样的方式剪成相同的三段,然后将上、中、下三段 分别混合均匀,从三堆图片中随机各抽出一张,则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为 ( ) A. 1 3 B. 1 6 C. 1 9 D. 1 12 10. 如图所示为一个沿3×3的正方形方格纸的对角线AB 剪下的图形,点P 从点A 出发,沿格点线每次向 右或向上运动1个单位长度,则点P 从点A 运动到点B 的不同路径共有 ( ) A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 从一个不透明的口袋中随机摸出1个球,记下球的颜色,再将球放回口袋中搅匀,不断重复上述过程, 一共摸了150次,其中有50次摸出黑球.已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个,这些球除颜色外其 他都相同,由此估计口袋中白球的个数为 . 12. 九年级(1)班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛,则恰好选择1名男生和1名女生 的概率是 . 13. 小红上学要经过三个十字路口,每个路口遇到红灯和绿灯的机会都相同(不考虑黄灯),则小红上学时 经过每个路口都是绿灯的概率为 . 14. 看了《田忌赛马》的故事后,小杨用数学模型来分析:齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如 下表: 马匹 人物 下等马 中等马 上等马 齐王 6分 8分 10分 田忌 5分 7分 9分 每匹马只赛一场,两数相比,大数为胜,三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为上、中、下等马.若 田忌的三匹马随机出场,则田忌能赢得比赛的概率为 . 6 15. 用如图所示的两个可自由转动的转盘A,B做“配紫色”游戏.分别转动两个转盘,当转盘停止时,若其中 一个转盘的指针所指区域的颜色为红色,另一个转盘的指针所指区域的颜色为蓝色,即可配成紫色,则 可配成紫色的概率是 . (第15题) 三、 解答题(共55分) 16. (10分)班级联欢会上有一个抽奖活动,每名同学均参加一次抽奖,活动规则如下:将三个完全相同的不 透明纸杯倒置放在桌面上,每个杯子内放入一个彩蛋,彩蛋的颜色分别为红色、红色、绿色.参加活动的 同学先从中随机选中一个杯子,记录杯内彩蛋的颜色后放回,重新打乱杯子的摆放位置,再从中随机选 中一个杯子,记录杯内彩蛋的颜色.若两次中彩蛋的颜色不同则获一等奖,颜色相同则获二等奖.用画 树状图或列表的方法,求某同学获一等奖的概率. 17. (10分)某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事,传承红色基因”为主题的研学活动,策划了四条研 学线路供学生选择:A彭雪枫纪念馆,B淮海军政大礼堂,C爱园烈士陵园,D大王庄党性教育基地,每 名学生只能任意选择一条线路. (1) 小刚选择线路A的概率为 . (2) 请用画树状图或列表的方法,求小刚和小红选择同一线路的概率. 18. (10分)小明和小刚一起做游戏,游戏规则如下:将分别标有数字1,2,3,4的4个球放入一个不透明的 袋子中,这些球除数字外其他都相同.从中随机摸出1个球记下数字后放回,再从中随机摸出1个球记 下数字.若两次数字差的绝对值小于2,则小明获胜;否则,小刚获胜.这个游戏公平吗? 请说明理由. 19. (12分)一个不透明的箱子里装有3个红球和若干个白球,每个球除颜色外其他都相同,每次把箱子里 的球摇匀后随机摸出1个球,记下颜色后再放回箱子里.通过大量重复试验后,发现摸出红球的频率稳 定于0.75左右. (1) 估计箱子里白球的个数. (2) 现从箱子里摸出1个球,记下颜色后放回箱子里,摇匀后,再摸出1个球,求两次摸出的球颜色恰好 不同的概率(用画树状图或列表的方法). 20. (13分)生活在数字时代的我们,很多场合可以用二维码来表示不同的信息.类似地,可以通过在矩形方 格图中,对每一个小方格涂色或不涂色来表示不同的信息.例如:如图①,方格图中只有一个小方格,通 过涂色或不涂色可表示两个不同的信息. (1) 用画树状图或列表的方法求如图②所示的方格图可表示的不同信息的总个数(图中标号1,2表示 两个不同位置的小方格,下同). (2) 如图③所示为2×2的方格图,它可表示的不同信息的总个数为 . (3) 某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”,准备在证件的右下角采用n×n的方格图来表示个 人身份信息.若该校师生共有492人,求n的最小值. (第20题)