第二章 一元二次方程 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

∴ △ADE≌△BAF. ∴ AD=BA. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ 四边形ABCD 是正方形. (2) △AHF 是等腰三角形. 理由:由(1),得△ADE≌△BAF. ∴ AE=BF. 又∵ BH=AE, ∴ BH=BF. ∵ ∠ABC=90°,即AB⊥HF, ∴ AB 垂直平分线段HF. ∴ AH=AF. ∴ △AHF 是等腰三角形. (3) 如图,延长CB 到点H,使BH= AE,连接AH. ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AD∥BC,AB=DA. ∴ ∠ABH=∠DAE. ∵ BH=AE, ∴ △ABH≌△DAE. ∴ AH=DE,∠H=∠AED=60°. ∵ DE=AF, ∴ AH=AF. ∴ △AHF 是等边三角形. ∴ AH=HF=BH+BF=AE+ BF=6+2=8. ∴ DE=AH=8. (第21题) 第二章拔尖测评 一、 1. A 2. B 3. C 4. B 5. C 6. C 7. A 解析:∵ x21+x22=5,∴ (x1+ x2)2-2x1x2=5.∵ x1+x2=3, ∴ 9-2x1x2=5,即x1x2=2.∴ 以 x1,x2 为根的一元二次方程是x2- 3x+2=0. 8. C 解析:设每天“遗忘”的百分比 为x,则(1-x)2= 12 ,解得x1= 2-2 2 ,x2= 2+2 2 (不合题意,舍去). ∵ 2-2 2 ≈0.293 ,∴ 每天“遗忘”的 百分比约为29.3%. 9. D 解析:∵ m,n是一元二次方程 x2+2x-1=0 的 两 个 实 数 根, ∴ m2+2m-1=0,m+n=-2, mn= -1.∴ m2 = -2m +1. ∴ m3+m2n 2m-1 -mn= m2(m+n) 2m-1 - (-1)= (-2m+1)×(-2) 2m-1 +1=2+ 1=3. 10. C 解析:由题意,得a+b= -2m-3,ab=m2,(2m +3)2- 4m2>0.∴ m > - 34.∵ 1 a + 1 b=-1 ,∴ a+b ab =-1.∴ a+b= -ab.∴ -2m -3=-m2,解 得 m=-1(不合题意,舍去)或m=3. ∴ m 的值为3. 二、 11. 40-2x 12. 3 13. m<0 且m≠-1 14. 1.5或5.5 解析:解方程x2- 2x=0,得x=0或x=2.∵ 关于x的 一元二次方程x2-2x=0与x2+ 2x-2m+3=0为“友 好 方 程”, ∴ -2m+3=0或4+4-2m+3=0. ∴ m=1.5或m=5.5.∵ 方程x2+ 2x-2m+3=0有实数根,∴ 22- 4(-2m+3)≥0,解得m≥1.∴ m= 1.5或m=5.5. 15. 3 解析:∵ 6÷1=6(s),8÷2= 4(s).∴ 0≤t≤4.∴ 点D 始终在边 AC 上.∴ CD=tcm,BE=2tcm, AD=AC-CD=(6-t)cm,CE= BC-BE=(8-2t)cm.根据题意,得 1 2AD ·CE=18× 1 2AC ·BC,即 1 2 (6-t)(8-2t)=18× 1 2×6×8. 整理,得t2-10t+21=0,解得t1=3, t2=7(不合题意,舍去).∴ t=3. 三、 16. (1) x1=2,x2=4. (2) x1= 3+ 13 2 ,x2= 3- 13 2 . (3) 无解. 17. (1) ∵ 原方程有两个不相等的实 数根, ∴ Δ>0. ∴ Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+ 1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0, 解得k>1. (2) ∵ 1<k<5, ∴ 整数k的值为2,3,4. 当k=2时,方程为 x2-4x+3=0,解 得x1=1,x2=3;当k=3或4时,方 程的解不是整数. 综上所述,k的值为2. 18. 设每千克降低x 元,该水果超市 每天可获得销售利润3640元. 由题意,得(38-x-22) 160+x3× 120 =3640. 整理,得x2-12x+27=0,解得x=3 或x=9. ∵ 要尽可能让顾客得到实惠, ∴ x=9. ∴ 38-x=29. ∴ 这种水果的售价为每千克29元. 19. (1) 设截得的较短的细铁丝的长 是xcm,则截得的较长的细铁丝的长 是(40-x)cm. 依题 意,得 1 4x 2 + 14 (40- x) 2 =52. 整理,得x2-40x+384=0,解得 x1=16,x2=24. 当x=16时,40-x=40-16=24> 16,符合题意;当x=24时,40-x= 40-24=16<24,不合题意,舍去. 答:截 得 的 较 短 的 细 铁 丝 的 长 是 16cm,截得的较长的细铁丝的长是 24cm. (2) 折成的两个正方形的面积之和不 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 85 可以等于42cm2. 理由:假设可以等于42cm2,此时截 得的较短的细铁丝的长是ycm,则较 长的细铁丝的长是(40-y)cm. 依题 意,得 1 4y 2 + 14 (40- y) 2 =42. 整理,得y2-40y+464=0. ∵ Δ= (-40)2 -4×1×464= -256<0, ∴ 该方程没有实数根. ∴ 假设不成立. ∴ 折成的两个正方形的面积之和不 可以等于42cm2. 20. (1) p;1. (2) ∵ x1+x2=p,x1x2=1, ∴ 1 x1+ 1 x2= x2+x1 x1x2 = p 1=p. ∵ 关于x的一元二次方程x2-px+ 1=0(p为常数)有两个不相等的实数 根x1和x2, ∴ x21-px1+1=0. ∴ x1-p+ 1 x1=0 ,即x1+ 1 x1=p. (3) ∵ x21+x22=2p+1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2=2p+1. ∴ p2-2=2p+1,解得 p1=3, p2=-1. 在x2-px+1=0中,当p=3 时, Δ=p2-4=9-4=5>0,符合题意; 当p=-1 时,Δ=p2-4=-3<0,不 合题意,舍去. ∴ p=3. 21. (1) -2;1. (2) 方程两边同时平方,得2x+3= x2,即x2-2x-3=0. ∴ (x-3)(x+1)=0. ∴ x-3=0或x+1=0. ∴ x1=3,x2=-1. 当x=3时,2x+3=9=3, ∴ x=3是原方程的解. 当 x= -1 时, 2x+3= 1= 1≠-1, ∴ x=-1不是原方程的解. ∴ 方程 2x+3=x的解是x=3. (3) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠A=∠D=90°,AB=CD=3m. 设AP=xm,则PD=(8-x)m. ∵ BP + CP = 10 m,BP = AP2+AB2,CP= PD2+CD2, ∴ x2+9+ (8-x)2+9=10. ∴ (8-x)2+9=10- x2+9. 两边同时平方,得(8-x)2+9= 100-20 x2+9+9+x2. 整理,得5 x2+9=4x+9. 两边同时平方并整理,得x2-8x+ 16=0,即(x-4)2=0. ∴ x1=x2=4. ∴ AP 的长为4m. 第三章拔尖测评 一、 1. C 2. A 3. B 4. A 5. C 6. D 解析:将这些开关随机闭合至 少两个,所有等可能的结果有(S1, S2),(S1,S3),(S1,S4),(S2,S3),(S2, S4),(S3,S4),(S1,S2,S3),(S1,S2, S4),(S1,S3,S4),(S2,S3,S4),(S1, S2,S3,S4),共11种,其中能让灯泡发 光的结果有(S1,S3),(S1,S4),(S2, S3),(S2,S4),(S1,S2,S3),(S1,S2, S4),(S1,S3,S4),(S2,S3,S4),(S1, S2,S3,S4),共9种,∴ 将这些开关随 机闭合至少两个,能让灯泡发光的概 率为9 11. 7. C 解析:将A,B两名同学座位相 邻的情况用“􀳫”表示,不相邻的情况 用“✕”表示.根据题意,列表如下: A B ① ② ③ ④ ① 􀳫 ✕ ✕ ② 􀳫 􀳫 ✕ ③ ✕ 􀳫 􀳫 ④ ✕ ✕ 􀳫 由表,可知共有12种等可能的结果, 其中A,B两名同学座位相邻的结果 有6种.∴ A,B两名同学座位相邻的 概率是6 12= 1 2. 8. B 解析:由题图可知,随着试验次 数的增加,频率稳定在0.65左右, ∴ 估计不规则图案的面积为24× 0.65=15.6(cm2). 9. C 解析:三张图片上、中、下三段 分别表示为A,a,1;B,b,2;C,c,3.画 树状图如图所示.由图,可知共有 27种等可能的结果,其中这三张图片 恰好组成一张完整风景图片的结果有 3种.∴ 这三张图片恰好组成一张完 整风景图片的概率为3 27= 1 9. (第9题) 10. B 解析:如图①,将各格点分别 记为1,2,3,4,5,6,7,8.根据题意,画 树状图如图②所示.由图,可知点P 从点A 运动到点B 的不同路径共 有5条. (第10题) 二、 11. 20 12. 3 5 13. 1 8 解析:根据题意,画树状图如 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 95 数学(北师版)九年级上 3 第二章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 1 2 2. 某市2022年年底森林覆盖率为64%,该市大力发展植树造林活动,2024年年底森林覆盖率已达到 69%.若这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,则符合题意的方程是 ( ) A. 0.64(1+x)=0.69 B. 0.64(1+x)2=0.69 C. 0.64(1+2x)=0.69 D. 0.64(1+2x)2=0.69 3. 淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a的值为 ( ) A. 1 B. 2-1 C. 2+1 D. 1或2+1 4. 课堂上,同学们围绕一元二次方程2x2+▲x-5=0的根的情况展开讨论,其中一次项系数被遮挡,下列 四名同学的观点中,正确的是 ( ) A. 无论“▲”为何值,该方程都有两个相等的实数根 B. 无论“▲”为何值,该方程都有两个不相等的实数根 C. 无论“▲”为何值,该方程都只有一个实数根 D. 由于“▲”的值不确定,无法判定该方程有没有实数根 5. 已知等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为 ( ) A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13 6. 如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍,其面积为15m2, 在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其他材料制成),则BC 的长为 ( ) (第6题) A. 5m或6m B. 2.5m或3m C. 5m D. 3m 7. 若x1+x2=3,x21+x22=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是 ( ) A. x2-3x+2=0 B. x2+3x-2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2-3x-2=0 8. 俗语有云:“一天不练手脚慢,两天不练丢一半,三天不练门外汉,四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技 艺在学习后,如果不及时复习,那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的,根据 “两天不练丢一半”,则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据:2≈1.414) ( ) A. 20.3% B. 25.2% C. 29.3% D. 50% 9. 若m,n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根,则m 3+m2n 2m-1 -mn 的值为 ( ) A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 10. 已知a,b是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足1a+ 1 b= -1,则m 的值为 ( ) A. -3或1 B. 3或-1 C. 3 D. 1 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 如图,某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的道路,使其中两 条与AB 平行,另一条与AD 平行,其余部分种花草,并且使每一块草坪的面积都为144m2.小明为了 解决这个问题,他设每条道路的宽为xm,并列出一个不完整的方程为(26-x)(■)=144×6,则“■” 处应补全的代数式为 . (第11题) (第15题) 12. 已知y2-x=0,x2-3y2+x-3=0,则x的值为 . 13. 若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是 . 14. 若两个一元二次方程有一个相同的实数根,则称这两个方程为“友好方程”.已知关于x 的一元二次方 程x2-2x=0与x2+2x-2m+3=0为“友好方程”,则m 的值为 . 15. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点D 从点C 开始沿边CA 运动,速度为1cm/s, 与此同时,点E 从点B 开始沿边BC 运动,速度为2cm/s,当点E 到达点C 时,点D 同时停止运动,连 接AE,DE.设运动时间为ts,△ADE 的面积为S.当S=18S△ABC 时,t= . 三、 解答题(共55分) 16. (8分)解方程: (1) (2x-1)2=x(3x+2)-7. (2) 2x2-1=x(x+3). (3) x2+2(x-1)=2x2+6. 4 17. (8分)已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根. (1) 求k的取值范围. (2) 若k<5,且k,x1,x2都是整数,求k的值. 18. (9分)端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,调查员的对话如下: 小王:“这种水果的进价是每千克22元.” 小李:“当售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.” 根据他们的对话,解决问题: 若该水果超市每天既要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,则这种水果的售价为每千 克多少元? 19. (10分)把一段40cm的细铁丝截为两段,利用这两段细铁丝折成两个正方形. (1) 若折成的两个正方形面积之和等于52cm2,则截得的两段细铁丝的长分别是多少? (2) 折成的两个正方形的面积之和是否可以等于42cm2? 请说明理由. 20. (10分)已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1) 填空:x1+x2= ,x1x2= . (2) 求1 x1+ 1 x2 ,x1+ 1 x1 的值. (3) 已知x21+x22=2p+1,求p的值. 21. (10分)阅读材料: 求解一元一次方程时,可根据等式的基本性质把方程转化为x=a 的形式;求解二元一次方程组 时,可把它转化为一元一次方程来解.类似地,求解三元一次方程组时,可把它转化为解二元一次方程 组;求解一元二次方程时,可把它转化为两个一元一次方程来解;求解分式方程时,可把它转化为整式 方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它 们有一个共同的基本数学思想———转化,把未知转化为已知.我们还可以用转化的数学思想解一些新 的方程.例如:一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程 x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解. (1) 方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= . (2) 用转化思想求方程 2x+3=x的解. (3) 如图,矩形草坪ABCD 的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点 B 处,沿草坪边BA,AD 走到点P 处,把长绳PB 段拉直并固定在点P 处,然后沿草坪边PD,DC 走到点C 处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C 处.求AP 的长. (第21题)