第一章 特殊平行四边形 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

∴ B(1,-6). 把A(-6,1),B(1,-6)代入y= kx + b,得 -6k+b=1, k+b=-6, 解 得 k=-1, b=-5. ∴ 一次函数的表达式为y=-x-5. (2) 设直线x=-2交直线AB于点H. 在y=-x-5中,令x=-2,得 y=-3, ∴ H(-2,-3). ∵ △PAB 的面积为21, ∴ 1 2PH ·|xB -xA|=21,即 1 2PH ·(1+6)=21. ∴ PH=6. ∵ -3+6=3,-3-6=-9, ∴ 点P的坐标为(-2,3)或(-2,-9). (3) 点Q 的坐标为 -11+ 1452 , -11+ 1452 或(3,-2). 解析:如 图,过点Q 作QM∥x轴交直线AB 于 点 M.设 Q t,-6t (t>0).在 y=-x-5中,令y=- 6 t ,得x= 6 t-5 ,∴ M 6t-5 ,-6t .∴ MQ= 6 t-5-t .∵ △QAB 的面积为21, ∴ 1 2MQ ·|yA-yB|=21,即 1 2× 6 t-5-t ×7=21.∴ 6 t-5-t= 6或 6t -5-t= -6 ,解 得t= -11± 145 2 或t=-2或t=3. ∵ t>0,∴ t=-11+ 1452 ,t=3符 合 题 意.∴ 点 Q 的 坐 标 为 -11+ 145 2 , -11+ 1452 或 (3,-2). (第1题) 2. (1) ∵ 点A(6,a)在正比例函数 y=x的图象上, ∴ A(6,6). ∵ 点A(6,6)在反比例函数y= k x 的图象上, ∴ k=6. ∴ 反比例函数的表达式为y= 6 x. (2) 正比例函数图象向下平移n个单 位长度后得到的直线BC 对应的函数 表达式为y=x-n(n>0). 过点B 作BQ⊥y 轴于点Q,过点C 作CH⊥y轴于点H, ∴ BQ∥CH. ∴ 易得△QBE∽△HCE. ∵ BE∶CE=3∶2, ∴ BQ CH= BE CE= 3 2. 设B 3m,63m (m>0),则C -2m, 6 -2m . ∵ 点B,C在直线y=x-n上, ∴ 3m-n=63m , -2m-n= 6-2m , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m=1, n=1 或 m=-1, n=-1 (不合题意,舍去). ∴ 直线BC对应的函数表达式为y= x-1,B(3,2),C(-2,-3). ∴ 易得E(0,-1),D(1,0). ∵ 直 线 BC 与 BG 关 于 直 线 BF 对称, ∴ 易得G(5,0). ∴ GD=4. ∴ S△BCG=S△BDG+S△CDG= 1 2×4× 2+12×4×3=10. 拔尖测评 第一章拔尖测评 一、 1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 解析:如图,过点B 作BE⊥ x轴于点E.∴ ∠BEA=90°.∵ 点A 的坐标为(-2,0),∴ OA=2.∵ 四边 形OABC 是菱形,∴ AB=OA=2, AB∥OC.∴ ∠EAB=∠AOC=60°. ∴ ∠ABE=30°.∴ AE=12AB= 1 2×2=1.∴ BE= AB2-AE2= 22-12=3,OE=AE+OA=1+ 2=3.∴ 点B 的坐标是(-3,3). ∵ 将菱形OABC 沿x 轴向右平移 1个单位长度,再沿y 轴向下平移 1个单位长度,得到菱形O'A'B'C', ∴ 点B'的坐标为(-2,3-1). (第5题) 6. C 7. D 解析:∵ 四边形ABCD 是正 方 形,∴ AB = AD,∠ABE = ∠ADC=∠ADF=90°.在△ABE 和 △ADF 中, AB=AD, ∠ABE=∠ADF, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ADF.∴ AE=AF. ∵ AM 平 分∠EAF,∴ ∠EAM = ∠FAM.在 △AEM 和 △AFM 中, AE=AF, ∠EAM=∠FAM, AM=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEM ≌ △AFM.∴ EM =FM.∵ 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 4 的 正 方 形, ∴ BC=CD=4,∠BCD=90°.设 DM=x,则MC=CD-DM=4-x, CE=BC-BE=4-1=3,EM= FM = FD + DM =1+x.在 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 Rt△MCE 中,根 据 勾 股 定 理,得 EM2=MC2+CE2,即(1+x)2=(4- x)2+32,解得x=125.∴ DM=125. 8. C 解析:∵ 四边形ABCD 为正方 形,∴ OA=OD,∠OBC=∠OCB= ∠OAD=∠ODA=45°.∵ EF∥BC, ∴ ∠OEF=∠OCB=45°,∠OFE= ∠OBC=45°.∴ ∠OEF=∠OFE= 45°.∴ ∠AEF = ∠DFE =135°, OE=OF.∵ OA=OD,∴ AE=DF. 又∵ EF=FE,∴ △AEF≌△DFE. ∴ ∠EAF = ∠FDE = 15°. ∴ ∠ADE = ∠ODA - ∠FDE = 45°-15°=30°.∴ ∠AED=180°- ∠OAD - ∠ADE =180°-45°- 30°=105°. 9. A 解析:∵ E 为BC 的中点, ∴ BC=2BE=2CE.又∵ BC= 2AB,∴ AB=BE=CE.∵ ∠ABC= 60°,∴ △ABE 是 等 边 三 角 形. ∴ ∠BAE = ∠BEA =60°,AE = BE=CE. ∴ ∠EAC=∠ECA=30°. ∴ ∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°, 即AB⊥AC.故①正确.∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AD=BC= 2AB,O 为AC的中点.∵ E 为BC 的 中点,∴ OE=12AB. ∴ AD=4OE. 故②正确.∵ 在▱ABCD 中,AD∥ BC,AD = BC,OA = OC, ∴ ∠OAF= ∠OCE.在 △AOF 和 △COE 中, ∠OAF=∠OCE, OA=OC, ∠AOF=∠COE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOF≌△COE.∴ AF=CE. ∵ AF∥CE,∴ 四边形AECF 是平行 四边形.又∵ AE=CE,∴ 四边形 AECF 是菱形.故③正确.∵ OA= OC,E 为BC 的中点,∴ S△BOE = 1 2S△BOC= 1 4S△ABC. 故④正确.综上 所述,正确的个数是4. 10. D 解析:① 由折叠,易知EF 垂 直平分BG,∴ BN=12BG.∵ BG 的 长是变化的,∴ BN 的长也是变化 的.∵ AB=3是定值,∴ BN 与AB 不一定相等.故①错误.② ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠A=90°,AD∥ BC.∴ ∠GEF=∠EFB.由折叠,得 BF = GF, ∠EFB = ∠EFG. ∴ ∠GEF=∠EFG.∴ GE=GF= BF.∴ 四边形BEGF 是平行四边形. ∵ BF=GF,∴ 四边形BEGF 是菱 形.∴ BE=EG.连接BD.∵ ∠A= 90°,AB=3,AD=BC=6,∴ BD= AB2+AD2=35.当点G 与点D 重合时,设BE=DE=x,则AE=6- x.在Rt△ABE 中,∵ BE2=AB2+ AE2,∴ x2=32+(6-x)2.∴ x= 15 4.∴ DE=154.∵ S菱形BEDF=DE· AB = 12 BD · EF,∴ EF = 2×3×154 35 =352 . 故②正确.③ 由题 意,易 得 S△GNF = 1 4 S菱形BEGF. ∵ S菱形BEGF=EG·AB=3EG,易知 3≤EG≤154 ,∴ 当点A,M 重合,即 EG=3时,△GNF 的面积最小,最小 值为1 4×3×3= 9 4 ;当点D,G 重合, 即EG=154 时,△GNF 的面积最大, 最大值为1 4× 15 4×3= 45 16.∴ 9 4≤ S≤4516. 故③错误.④ 当CF=52 时, BE=BF=BC-CF=6-52= 7 2. 由 折叠,得 ME=AE,GM=AB=3, ∠M=∠A=90°.∴ ME=AE= BE2-AB2 = 72 2 -32 = 13 2 .∴ S△MEG = 1 2ME ·GM = 1 2× 13 2 ×3= 3 13 4 . 故④正确.综 上所述,正确的是②④. 二、 11. 34 12. 3 13. 2 14. 55-5 解析:∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠A=∠C=∠D=90°, AB=BC=AD=CD=10.∵ G 是边 CD 的中点,∴ CG=DG=5.由翻折, 得 EF = AE,BF = BA =10, ∠EFB=∠A=90°.由题意,易得 GF≥BG-BF.∴ 当点G,F,B 在同 一条直线上时,GF 的长最小.如图, 连接EG.设EF=AE=x.易得BG= CG2+BC2=5 5.∵ S梯形ABGD = S△EDG+S△ABE+S△EBG,∴ 1 2× (5+ 10)×10=12×5× (10-x)+12× 10x+12×55x ,解得x=55-5. ∴ AE=55-5.∴ 当GF 的长最小 时,AE 的长是55-5. (第14题) 15. ①②④ 解析:① ∵ 四边形 ABCD 是 矩 形,∴ ∠B =90°.又 ∵ ∠EGF=90°,四边形的内角和是 360°,∴ ∠GEB+∠GFB=180°.故 ①正确.② 如图,过点G 作GM⊥ AB,GN⊥BC,垂足分别为M,N,则 ∠GME=∠GNB=∠GNF=90°. ∵ ∠B=90°,∴ 四边形BMGN 为矩 形.∴ ∠MGN=∠MGE+∠EGN= 90°.又 ∵ ∠EGF = ∠EGN + ∠NGF=90°,∴ ∠MGE=∠NGF. 在 △GEM 和 △GFN 中, ∠GME=∠GNF, ∠MGE=∠NGF, GE=GF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △GEM ≌ △GFN.∴ GM =GN.故②正确. ③ 由②,得点G 到边AB,BC 的距离 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 相等.∵ AB=4,AD=5,∴ 点G 到 边AD,DC的距离不相等.故③错误. ④ 当四边形EBFG 是正方形时,点G 到AB 的距离最大,此时 MG=GE. ∵ EF=AB=4,GE=GF,∴ 在 Rt△GEF 中,2EG2 = EF2,即 2EG2=42.∴ EG=22.故④正确. 综上所述,正确的是①②④. (第15题) 三、 16. ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB=BC=CD=AD,∠A=∠C. ∵ BE=BF, ∴ AB-BE=BC-BF,即AE=CF. 在△DAE 和△DCF 中, DA=DC, ∠A=∠C, AE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAE≌△DCF. ∴ DE=DF. ∴ ∠DEF=∠DFE. 17. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ BC=CD,∠BCD=90°. ∵ CE⊥BG,DF⊥CE, ∴ ∠BEC=∠CFD=90°. ∴ ∠BCE+∠CBE=90°. ∵ ∠BCE+∠DCF=90°, ∴ ∠CBE=∠DCF. 在△CBE 和△DCF 中, ∠BEC=∠CFD, ∠CBE=∠DCF, BC=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△DCF. ∴ BE=CF,CE=DF. ∵ CE=CF+EF, ∴ DF=BE+EF. 18. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AD=BC,AD∥BC. ∴ AD∥EF. ∵ BE=CF, ∴ BE+BF=CF+BF,即EF=BC. ∴ AD=EF. ∴ 四边形AEFD 是平行四边形. 又∵ DF⊥BC, ∴ ∠DFE=90°. ∴ 四边形AEFD 是矩形. (2) 由(1)可知,∠DFE=∠DFC= 90°,AD=EF=BC. ∵ AD=6,BF=3, ∴ EB=CF=3,则EC=9. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∠ADC=120°, ∴ 易得∠DCF=60°,∠CDF=30°. ∴ DC=2CF=6. 在 Rt△DFC 中,由 勾 股 定 理,得 DF2+CF2=DC2, ∴ DF= DC2-CF2= 62-32= 33. ∵ 四边形AEFD 是矩形, ∴ DF=AE=33,∠AEC=90°. 在 Rt△ACE 中,由 勾 股 定 理,得 AE2+EC2=AC2, ∴ AC = AE2+EC2 = (33)2+92=63. ∵ M 是AC的中点,∠AEC=90°, ∴ EM=12AC= 1 2×63=33. 19. (1) ∵ OH ⊥AB,OM ⊥BC, OH=OM, ∴ ∠ABD=∠CBD. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠ADB=∠CBD. ∴ ∠ABD=∠ADB. ∴ AB=AD. ∴ 四边形ABCD 是菱形. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∠ABC=90°, ∴ 四边形ABCD 是矩形. ∴ OA=OC,OB=OD,BD=AC. ∴ OA=OC=OB=OD. ∵ AB=OB, ∴ △ABO 是等边三角形. ∴ ∠ABO=60°. ∴ ∠OBM=30°. ∵ OH⊥AB,OM⊥BC, ∴ 四边形OHBM 是矩形. ∴ OH=BM,OB=2OM. ∴ BM= OB2-OM2=3OM. ∴ OH OM= BM OM=3. 20. (1) 四边形ABCD 是矩形. 理由:∵ 四边形 ABCD 是平行四 边形, ∴ AD∥BC,AD=BC. ∵ AC∥DE, ∴ 四边形ACED 是平行四边形. ∴ AF=EF. ∵ AD∥EC, ∴ ∠DAF=∠FEC. ∵ ∠DAF=∠FBE, ∴ ∠FBE=∠FEB. ∴ FB=FE=FA. ∴ ∠FAB=∠FBA. ∴ 易得∠FBA+∠FBE=180°2 = 90°,即∠ABE=90°. ∴ 四边形ABCD 是矩形. (2) 当AD=2CF 时,四边形ABCD 是正方形. 理由:由(1)可知,四边形ACED 是平 行四边形, ∴ 易得DF=CF=12CD= 1 2AB. ∵ AD=2CF, ∴ AB=AD. 由(1)可知,四边形ABCD 是矩形, ∴ 四边形ABCD 是正方形. 21. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠DAB=∠ABC=90°. ∵ DE⊥AF, ∴ ∠AGD=90°. ∴ ∠ADE+∠DAF=90°. ∵ ∠BAF+∠DAF=90°, ∴ ∠ADE=∠BAF. ∵ DE=AF, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 75 ∴ △ADE≌△BAF. ∴ AD=BA. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ 四边形ABCD 是正方形. (2) △AHF 是等腰三角形. 理由:由(1),得△ADE≌△BAF. ∴ AE=BF. 又∵ BH=AE, ∴ BH=BF. ∵ ∠ABC=90°,即AB⊥HF, ∴ AB 垂直平分线段HF. ∴ AH=AF. ∴ △AHF 是等腰三角形. (3) 如图,延长CB 到点H,使BH= AE,连接AH. ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AD∥BC,AB=DA. ∴ ∠ABH=∠DAE. ∵ BH=AE, ∴ △ABH≌△DAE. ∴ AH=DE,∠H=∠AED=60°. ∵ DE=AF, ∴ AH=AF. ∴ △AHF 是等边三角形. ∴ AH=HF=BH+BF=AE+ BF=6+2=8. ∴ DE=AH=8. (第21题) 第二章拔尖测评 一、 1. A 2. B 3. C 4. B 5. C 6. C 7. A 解析:∵ x21+x22=5,∴ (x1+ x2)2-2x1x2=5.∵ x1+x2=3, ∴ 9-2x1x2=5,即x1x2=2.∴ 以 x1,x2 为根的一元二次方程是x2- 3x+2=0. 8. C 解析:设每天“遗忘”的百分比 为x,则(1-x)2= 12 ,解得x1= 2-2 2 ,x2= 2+2 2 (不合题意,舍去). ∵ 2-2 2 ≈0.293 ,∴ 每天“遗忘”的 百分比约为29.3%. 9. D 解析:∵ m,n是一元二次方程 x2+2x-1=0 的 两 个 实 数 根, ∴ m2+2m-1=0,m+n=-2, mn= -1.∴ m2 = -2m +1. ∴ m3+m2n 2m-1 -mn= m2(m+n) 2m-1 - (-1)= (-2m+1)×(-2) 2m-1 +1=2+ 1=3. 10. C 解析:由题意,得a+b= -2m-3,ab=m2,(2m +3)2- 4m2>0.∴ m > - 34.∵ 1 a + 1 b=-1 ,∴ a+b ab =-1.∴ a+b= -ab.∴ -2m -3=-m2,解 得 m=-1(不合题意,舍去)或m=3. ∴ m 的值为3. 二、 11. 40-2x 12. 3 13. m<0 且m≠-1 14. 1.5或5.5 解析:解方程x2- 2x=0,得x=0或x=2.∵ 关于x的 一元二次方程x2-2x=0与x2+ 2x-2m+3=0为“友 好 方 程”, ∴ -2m+3=0或4+4-2m+3=0. ∴ m=1.5或m=5.5.∵ 方程x2+ 2x-2m+3=0有实数根,∴ 22- 4(-2m+3)≥0,解得m≥1.∴ m= 1.5或m=5.5. 15. 3 解析:∵ 6÷1=6(s),8÷2= 4(s).∴ 0≤t≤4.∴ 点D 始终在边 AC 上.∴ CD=tcm,BE=2tcm, AD=AC-CD=(6-t)cm,CE= BC-BE=(8-2t)cm.根据题意,得 1 2AD ·CE=18× 1 2AC ·BC,即 1 2 (6-t)(8-2t)=18× 1 2×6×8. 整理,得t2-10t+21=0,解得t1=3, t2=7(不合题意,舍去).∴ t=3. 三、 16. (1) x1=2,x2=4. (2) x1= 3+ 13 2 ,x2= 3- 13 2 . (3) 无解. 17. (1) ∵ 原方程有两个不相等的实 数根, ∴ Δ>0. ∴ Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+ 1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0, 解得k>1. (2) ∵ 1<k<5, ∴ 整数k的值为2,3,4. 当k=2时,方程为 x2-4x+3=0,解 得x1=1,x2=3;当k=3或4时,方 程的解不是整数. 综上所述,k的值为2. 18. 设每千克降低x 元,该水果超市 每天可获得销售利润3640元. 由题意,得(38-x-22) 160+x3× 120 =3640. 整理,得x2-12x+27=0,解得x=3 或x=9. ∵ 要尽可能让顾客得到实惠, ∴ x=9. ∴ 38-x=29. ∴ 这种水果的售价为每千克29元. 19. (1) 设截得的较短的细铁丝的长 是xcm,则截得的较长的细铁丝的长 是(40-x)cm. 依题 意,得 1 4x 2 + 14 (40- x) 2 =52. 整理,得x2-40x+384=0,解得 x1=16,x2=24. 当x=16时,40-x=40-16=24> 16,符合题意;当x=24时,40-x= 40-24=16<24,不合题意,舍去. 答:截 得 的 较 短 的 细 铁 丝 的 长 是 16cm,截得的较长的细铁丝的长是 24cm. (2) 折成的两个正方形的面积之和不 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 85 数学(北师版)九年级上 1 第一章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,以下条件不能证明▱ABCD 是菱形的为 ( ) A. ∠BAC=∠BCA B. ∠ABD=∠CBD C. OA2+OB2=AD2 D. AD2+OA2=OD2 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2. 如图,四边形ABCD 是矩形,直线EF 分别交AD,BC,BD 于点E,F,O,下列条件中,不能证明 △BOF≌△DOE 的是 ( ) A. O 为矩形ABCD 两条对角线的交点 B. EO=FO C. AE=CF D. EF⊥BD 3. 如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O,DH⊥BC 于点H,连接OH,∠BAD=56°,则 ∠HDO 的度数是 ( ) A. 38° B. 34° C. 28° D. 24° 4. 如图,边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,E 是BC 边上一点,F 是BD 上一点, 连接DE,EF.若△DEF 与△DEC 关于直线DE 对称,则△BEF 的周长是 ( ) A. 22 B. 2+2 C. 4-22 D. 2 5. 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点A 的坐标为(-2,0),∠AOC=60°.将菱形OABC 沿 x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向下平移1个单位长度,得到菱形O'A'B'C',其中点B'的坐标为 ( ) A. (-2,3-1) B. (-2,1) C. (-3,1) D. (-3,3-1) (第5题) (第6题) (第7题) 6. 如图,在矩形ABCD 中,∠BAD 的平分线交BC 于点E,交DC 的延长线于点F,取EF 的中点G,连接 CG,BG,BD,DG.有下列结论:① BE=CD;② ∠DGF=135°;③ ∠ABG+∠ADG=180°;④ 若AB AD= 2 3 ,则3S△BDG=13S△DGF.其中,正确的是 ( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 7. 如图,在边长为4的正方形ABCD 中,E 是BC 上一点,F 是CD 的延长线上一点,连接AE,AF,AM 平 分∠EAF,交CD 于点M.若BE=DF=1,则DM 的长为 ( ) A. 2 B. 5 C. 6 D. 12 5 8. 如图,在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F 分别为AO,DO 上一点,且EF∥AD,连接 AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED 的度数为 ( ) A. 80° B. 90° C. 105° D. 115° (第8题) (第9题) (第10题) 9. 如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 为BC 的中点,连接EO 并延长,交AD 于点F,连接 AE,CF,∠ABC=60°,BC=2AB.给出下列结论:① AB⊥AC;② AD=4OE;③ 四边形AECF 是菱 形;④ S△BOE= 1 4S△ABC. 其中,正确的个数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=3,BC=6,E,F 分别是矩形的边AD,BC 上的动点,将该纸片沿直 线EF 折叠,使点B 落在矩形的边AD 上,对应点记为G,点A 落在点M 处,连接BG,BE,EF 与BG 交于点N.给出下列结论:① BN=AB;② 当点G 与点D 重合时,EF=352 ;③ △GNF 的面积S 的 取值范围是9 4≤S≤ 7 2 ;④ 当CF=52 时,S△MEG= 3 13 4 . 其中,正确的是 ( ) A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④ 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 如图,E 是矩形ABCD 的对角线BD 的中点,F 是AB 边的中点.若AB=10,EF=3,则线段CE 的长 为 . (第11题) (第12题) (第13题) 12. 如图,菱形ABCD 的顶点A,B,C,D 均在坐标轴上,∠ABC=120°,点A 的坐标为(-3,0),E 是CD 的中点,P 是OC 上一动点,则PD+PE 的最小值为 . 13. 如图,四边形ABCD 是矩形,△ADG 是正三角形,F 是GD 的中点,P 是矩形ABCD 内一点,且△PBC 是以BC 为底的等腰三角形,则△PCD 的面积与△FCD 的面积的比值是 . 14. 如图,正方形ABCD 的边长为10,G 是边CD 的中点,E 是边AD 上一动点,连接BE,将△ABE 沿BE 翻折得到△FBE,连接BG,GF.当GF 的长最小时,AE 的长是 . (第14题) (第15题) 15. 如图,在矩形ABCD 中,AB=4,AD=5,E,F 分别是边AB,BC 上的动点,点E 不与点A,B 重合,且 EF=AB,G 是五边形AEFCD 内满足GE=GF 且∠EGF=90°的点.给出下列结论:① ∠GEB 与 2 ∠GFB 一定互补;② 点G 到边AB,BC 的距离一定相等;③ 点G 到边AD,DC 的距离可能相等; ④ 点G 到边AB 的距离的最大值为22.其中,正确的是 (填序号). 三、 解答题(共55分) 16. (8分)如图,在菱形ABCD 中,E,F 分别是AB,BC 边上的点,BE=BF.求证:∠DEF=∠DFE. (第16题) 17. (8分)如图,四边形ABCD 是正方形,G 为线段AD 上任意一点,CE⊥BG 于点E,DF⊥CE 于点F.求 证:DF=BE+EF. (第17题) 18. (9分)如图,在▱ABCD 中,M 为AC 的中点,过点D 作DF⊥BC 于点F,延长CB 到点E,使BE= CF,连接AE,EM. (1) 求证:四边形AEFD 是矩形. (2) 若AD=6,BF=3,∠ADC=120°,求EM 的长. (第18题) 19. (10分)在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,过点O 分别作AB 和BC 的垂线,垂足分别为 H,M. (1) 如图①,当OH=OM 时,求证:四边形ABCD 是菱形. (2) 如图②,当∠ABC=90°时,若AB=OB,求OHOM 的值. (第19题) 20. (10分)如图,四边形ABCD 是平行四边形,连接AC,过点D 作DE∥AC,与BC 的延长线交于点E,连 接AE 交DC 于点F,连接BF. (1) 若∠DAF=∠FBE,请判断四边形ABCD 的形状,并说明理由. (2) 在(1)的条件下,当线段AD 与CF 满足什么数量关系时,四边形ABCD 是正方形? 请说明理由. (第20题) 21. (10分)如图①,在矩形ABCD 中,点E,F 分别在边AB,BC 上,DE=AF,DE⊥AF 于点G,延长CB 到点H,使得BH=AE,连接AH. (1) 求证:四边形ABCD 是正方形. (2) 判断△AHF 的形状,并说明理由. (3) 如图②,在菱形ABCD 中,点E,F 分别在边AB,BC 上,DE 与AF 相交于点G,DE=AF, ∠AED=60°,AE=6,BF=2.求DE 的长. (第21题)