第四章 1 成比例线段-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

56 1　成比例线段 第1课时 成比例线段及比例的基本性质 ▶ “答案与解析”见P27 1. 正方形的对角线长与它的边长之比是( ) A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶2 D. 2∶1 2. ★已知线段a=0.3m,b=18cm,c=0.4m, d=24cm,下列说法中,正确的为 ( ) A. b,d,c,a成比例 B. d,b,a,c成比例 C. b,d,a,c成比例 D. b,c,d,a成比例 3. 已知2x+4y=0,且x≠0,则y与x的比是 ( ) A. -12 B. 1 2 C. -2 D. 2 4. 已知a,b,c,d 是成比例的线段,其中a=5, b=4,d=8,则线段c的长为 . 5. 如图,在△ABC 中,AB=12cm,点D,E 分 别在AB,AC 上,AE=6cm,EC=4cm,且 AD DB= AE EC. (1) 求AD 的长. (2) 试说明线段DB,AB,EC,AC 是否成 比例. (第5题) 6. 已知a 2= b 3 (a≠0,b≠0),下列变形错误的是 ( ) A. a b= 2 3 B. 2a=3b C. b a= 3 2 D. 3a=2b 7. 若比例式m x= x n 成立,可称x是m,n的比例 中项,则当m=4,n=16时,x= . 8. 新考法·条件开放题 已知三个数1, 2,3,请你再添上一个数,使它们能 构成一个比例式,求这个数. 9. 如 图,在▱ABCD 中,DE⊥AB 于点E, BF⊥AD,交AD 的延长线于点F. (1) AB,BC,BF,DE 这四条线段能否成比 例? 若能,请写出比例式;若不能,请说明 理由. (2) 若AB=10,DE=2.5,BF=5,求BC的长. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第四章　图形的相似 57 第2课时 比例的其他性质 ▶ “答案与解析”见P27 1. 已知a=3b,则a+ba 的值为 ( ) A. 4 3 B. 3 4 C. 5 4 D. 5 3 2. 若x 2= y 3= z 4≠0 ,则下列各式一定正确的为 ( ) A. x+y 5 = z 4 B. 2x=3y=4z C. x+y+z 9 =1 D. x+3 4 = y+4 3 3. 已知a b= c d= e f= 3 5 ,b+d+2f=15,则a+ c+2e= . 4. 已知a 4= b 3= c 2≠0 ,且a+3b-3c=14,求 4a-3b+c的值. 5. 在△ABC 和△A'B'C'中,ABA'B'= AC A'C'= BC B'C'= 6 5 ,且△ABC 和△A'B'C'的周长之差 是4,求△ABC 和△A'B'C'的周长. 6. 若2a=3b=4c,且abc≠0,则a+bc-2b 的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 7. 已知2a+b c = 2c+a b = 2b+c a =k (a+b+c≠ 0),则函数y=kx+k的图象一定不经过第 象限. 8. 已知a 2= b 3= c 5≠0. (1) 求代数式2a+3b-5c a-2b+3c 的值. (2) 当2a+b+3c=44时,求a,b,c的值. 9. ★我们知道:如果a b= c d ,且b+d≠ 0,那么ab= c d= a+c b+d. (1) 如果b+d=0,那么a,c满足什么关系? (2) 如果b+c a = a+c b = a+b c =t ,求t2-t-2 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第四章　图形的相似 其中差为负数的结果有6种,差为正 数的结果有4种. ∴ 小春胜的概率是6 12= 1 2 ,小明胜 的概率是4 12= 1 3. ∵ 1 2> 1 3 , ∴ 这个游戏对双方不公平. 设计游戏规则的方法不唯一,如若差 为负数,则小春胜;若差为非负数,则 小明胜. (第7题) 第四章　图形的相似 1　成比例线段 第1课时 成比例线段 及比例的基本性质 1. D 2. C 判断成比例线段的方法 当四条线段的长度单位不相 同时,先要统一单位,按照从小到 大(或从大到小)的顺序排列,再把 它们按照先后顺序依次计算第一 条与第二条、第三条与第四条线段 的比,看是否相等.若相等,则成比 例,否则不成比例. 3. A 4. 10 5. (1) ∵ AD DB= AE EC , ∴ AD AB-AD= AE EC. 设AD=xcm. ∵ AB=12cm,AE=6cm,EC= 4cm, ∴ x 12-x= 6 4 ,解得x=7.2. ∴ AD=7.2cm. (2) ∵ AB=12cm,AD=7.2cm, ∴ DB=4.8cm. ∴ DB AB= 2 5. ∵ AE=6cm,EC=4cm, ∴ AC=10cm. ∴ EC AC= 2 5. ∴ DB AB= EC AC ,即线段DB,AB,EC, AC成比例. 6. B 7. ±8 8. 设这个数为x. 当1 2= x 3 时,解得x= 32. 当1 3 =x2 时,解得x=233 . 当 3 1= x 2 时,解得x=23. ∴ 这个数为 3 2 或23 3 或23. 9. (1) 能. ∵ DE⊥AB,BF⊥AD, ∴ S▱ABCD=AB·DE=AD·BF. ∴ AB AD= BF DE. 又∵ 在▱ABCD 中,BC=AD, ∴ AB BC= BF DE. (2) 由(1),得ABBC= BF DE. ∵ AB=10,DE=2.5,BF=5, ∴ 10 BC= 5 2.5. ∴ BC=5. 第2课时 比例的其他性质 1. A 2. A 3. 9 4. 设a 4= b 3= c 2=k (k≠0). ∴ a=4k,b=3k,c=2k. ∵ a+3b-3c=14, ∴ 4k+9k-6k=14,解得k=2. ∴ a=8,b=6,c=4. ∴ 4a-3b+c=32-18+4=18. 5. ∵ 在△ABC和△A'B'C'中, AB A'B'= AC A'C'= BC B'C'= 6 5 , ∴ AB+BC+AC A'B'+B'C'+A'C'= 6 5. ∵ △ABC 和△A'B'C'的周长之差 是4, ∴ 设△ABC 的周长为x,则△A'B'C' 的周长为x-4. ∴ x x-4= 6 5 ,解得x=24. ∴ x-4=20. ∴ △ABC和△A'B'C'的周长分别是 24,20. 6. B 解析:由2a=3b=4c,得a6= b 4= c 3. 设a 6= b 4= c 3=k (k≠0), 则a=6k,b=4k,c=3k.∴ a+b c-2b= 6k+4k 3k-8k=-2. 7. 四 8. (1) 设a 2= b 3= c 5=k (k≠0),则 a=2k,b=3k,c=5k. ∴ 原式=4k+9k-25k2k-6k+15k= -12k 11k = -1211. (2) 把a=2k,b=3k,c=5k 代入 2a+b+3c=44,得4k+3k+15k= 44,解得k=2. ∴ a=4,b=6,c=10. 9. (1) ∵ b+d=0, ∴ d=-b. ∵ a b= c d , ∴ a b- c d= a b+ c b= a+c b =0. ∴ a+c=0. (2) 当 a+b+c≠0时,b+ca = a+c b = a+b c = 2(a+b+c) a+b+c =2. ∴ t=2. ∴ t2-t-2=22-2-2=0. 当a+b+c=0时,b+c=-a,a+ c=-b,a+b=-c. ∴ b+c a = a+c b = a+b c =-1. ∴ t=-1. ∴ t2-t-2=(-1)2-(-1)-2=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 利用比例的性质求代数式 值的技巧 解多个比例式连在一起的求 值型问题的方法:一是利用引入参 数法求解,即先把所有的量都统一 用含同一个参数的式子表示,再求 代数式的值;二是利用等比性质求 代数式的值. 2　平行线分线段成比例 1. C 2. A 3. 3 4. ∵ DE∥BC, ∴ CD AD= BE AE= 1 2. ∵ AB=AE+BE=15, ∴ AE=10. ∵ DF∥CE, ∴ CD AD= EF AF= 1 2. ∵ AE=EF+AF=10, ∴ EF=103. 运用平行线分线段成比例 求线段长的方法 先确定图形中的平行线,由此 联想到被一组平行线截得的线段 间的比例关系,结合待求线段和已 知线段,写出一个含有它们的比例 式,构造出方程,解方程求出待求 线段的长. 5. C 6. C 7. C 解析:∵ AC∥EF,∴ 易得 EF AC= BF BC.∵ EF∥DB,∴ 易得EF DB= CF CB.∴ EF AC + EF DB = BF BC + CF CB = BF+CF BC = BC BC=1.∴ r p + r q =1. ∵ r≠0,∴ 1 p+ 1 q= 1 r. 8. A 解析:如图,过点C 作CE∥ AD,交 BA 的 延 长 线 于 点 E. ∴ ∠BAD=∠E,∠ACE=∠CAD. ∵ AD 平 分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠CAD.∴ ∠E=∠ACE.∴ AC= AE.∵ CE∥AD,∴ BA AE= BD DC ,即 AB∶AC=BD∶DC. (第8题) 9. (1) ∵ DE∥BC, ∴ AE AC= AD AB. 又∵ AD∶AB=1∶3,AE=3, ∴ 3 AC= 1 3. ∴ AC=9. ∴ EC=AC-AE=9-3=6. (2) ∵ DE∥BC, ∴ AD AB= AE AC. ∵ EF∥CG, ∴ AE AC= AF AG. ∴ AD AB= AF AG ,即AD·AG=AF·AB. 10. 过点 D 作DG∥BF,交 AC 于 点G. ∴ FG GC= BD DC= 5 3. 设FG=5x,GC=3x. ∵ EF∥DG, ∴ AF FG= AE ED. 又∵ E 是AD 的中点, ∴ AE=ED. ∴ AF=FG=5x. ∴ AC=AF+FG+GC=13x. ∴ AF AC= 5x 13x= 5 13. 添加平行线构造比例线段 题目中已知的是线段的比,要 求的也是线段的比,但没有出现平 行线,根据平行线分线段成比例的 推论可作出适当的平行线,再根据 对应线段成比例的关系,建立已知 比例式和要求的比例式之间的关 系,使问题顺利解决. 11. (1) 过点A 作AG∥MN,交BN 的延长线于点G. ∴ GN BN= AM BM ,CO AO= CN GN. ∵ O 是AC的中点, ∴ AO=CO. ∴ GN=CN. ∴ CN BN= GN BN= AM BM= 1 3. (2) 过点A 作AG∥MN,交BN 的延 长线于点G. ∴ GN BN= AM BM ,CO AO= CN GN. ∴ AM BM ·BN CN ·CO AO= GN BN ·BN CN · CN GN=1. (3) 同(2),得AFBF ·BC CD ·DP AP=1 , AE CE ·CB BD ·DP AP=1. ∴ AF BF ·BC CD ·DP AP = AE CE ·CB BD · DP AP. ∴ AE CE= AF BF ·BD CD= 1 3× 1 2= 1 6. 3　相似多边形 1. B 2. 2 2 3. (1) ∵ 六边形ABCDEF∽六边形 A'B'C'D'E'F',BC=12cm,B'C'= 5cm, ∴ BC B'C'= 12 5. ∴ 两个六边形的相似比为12 5. (2) ∵ 六边形 ABCDEF∽六边形 A'B'C'D'E'F', ∴ ∠A=∠A'=90°,∠B'=∠B= 150°. (3) ∵ 六边形 ABCDEF∽六边形 A'B'C'D'E'F',且相似比为125 , ∴ AF A'F'= EF E'F'= ED E'D'= CD C'D'= 12 5. ∵ AF=4cm,E'F'=4cm,ED= 5cm,C'D'=3cm, ∴ A'F'= 512AF= 5 3 cm ,EF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82