第三章 概率的进一步认识 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

53 第三章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P25 考点一 用画树状图或列表的方法求概率 典例1 在5张相同的小纸条上,分别写有 ① 2;② 8;③ 1;④ 乘法;⑤ 加法.将这5张 小纸条做成5支签,①②③放在不透明的盒子A 中搅匀,④⑤放在不透明的盒子B中搅匀. (1) 从盒子A中任意抽出1支签,抽到无理数的 概率是 . (2) 先从盒子A中任意抽出2支签,再从盒子B 中任意抽出1支签.求抽到的2个实数进行相应 的运算后结果是无理数的概率. [变式](2024·无锡)一只不透明的袋子中装有 1个白球、1个红球和1个绿球,这些球除颜色外 都相同. (1) 将球搅匀,从中任意摸出1个球,摸到白球 的概率是 . (2) 将球搅匀,从中任意摸出1个球,记录颜色 后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球.求两次摸 到的球颜色不同的概率(请用画树状图法或列表 法写出分析过程). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　概率的进一步认识 54 考点二 利用概率判断游戏的公平性 典例2 小明和小丽在做一个“配紫色”游戏,规 则如下:在一个不透明的袋子中装有1个白球、 1个蓝球和2个红球,它们除颜色外其他都相 同.从中摸出2个球,若1个是红色、1个是蓝 色,则可以配成紫色,游戏获胜.小明从中任意 摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意 摸出1个球;小丽从中任意摸出1个球(不放 回),再从余下的3个球中任意摸出1个球.这个 游戏公平吗? 请说明理由. [变式]阅读如图所示的对话,并解答问题: (1) 分别用a,b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽 出的卡片上标有的数字,请用画树状图法或列 表法写出(a,b)的所有取值. (2) 小冬抽出的(a,b)中,使关于x的一元二次 方程x2-ax+b=0有解时是小丽赢,方程无解 时是小兵赢,你觉得游戏公平吗? 请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. (2024·济南)3月14日是国际数学节.某学 校在今年国际数学节策划了“竞速华容道” “玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动, 小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动, 则她们恰好选到同一个活动的概率是 ( ) A. 1 9 B. 1 6 C. 1 3 D. 2 3 2. 在古代,一位智者为了保护自己的宝藏,设计 了一个充满智慧挑战的宝箱,宝箱有两个钥 匙孔,同时插对两把钥匙才可以开启宝箱,一 位后人找到了三把外观相同的钥匙,分别为 “日”“月”“星”,其中“日”和“星”为正确的钥 匙,这位后人从三把钥匙中随机选择两把,能 够打开宝藏的概率为 ( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3. 如图所示为一幅长3.2米、宽2米的矩形图 片.为测量图片上熊猫图案的面积,现将图片 平铺在地上,向矩形图片内随机投掷骰子,掷 100次有12次落在熊猫图案中,由此可估计 图片上熊猫图案的面积为 平方米. (第3题) 4. 如图,三角形①②③④是四个完全相同的三 角形,从这四个三角形中任选两个三角形,则 这两个三角形有公共边的概率是 . (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 55 5. 甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写 有数字1,2;乙口袋中装有3个相同的小球, 它们分别写有数字3,4,5;丙口袋中装有2个 相同的小球,它们分别写有数字6,7.从三个 口袋中各随机取出1个小球.用画树状图或 列表的方法,求: (1) 取出的3个小球上恰好写有1个偶数的 概率. (2) 取出的3个小球上全写着奇数的概率. 6. 如图所示为一名学生设计的一个电路图,K1, K2,K3,K4为四个开关. (1) 当闭合四个开关中的任意一个时,求灯 泡会亮的概率. (2) 当闭合四个开关中的任意两个时,请用 画树状图或列表的方法,求灯泡会亮的概率. (第6题) 7. 如图,小明和小春制作了两个质地 均匀、可以自由转动的转盘,转盘A 被等分为四个扇形,上面分别标有 数字1,2,4,5;转盘B中圆心角为120°的扇 形上面标有数字3,其余部分上面标有数 字4. (1) 小明转动一次转盘A,求指针指向数字 为2的概率. (2) 小明和小春用这两个转盘做游戏,游戏 规则如下:分别转动两个转盘,将转盘A转 出的数字作为被减数,转盘B转出的数字作 为减数.若差为负数,则小春胜;若差为正数, 则小明胜.这个游戏对双方公平吗? 如果不 公平,请说明理由,并设计一个公平的游戏 规则. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　概率的进一步认识 2　用频率估计概率 1. A 2. 0.9 用频率估计概率的注意事项 一般地,在大量重复试验中, 某个事件发生的频率会稳定于概 率附近,因此可以利用频率估计概 率. 一般用试验次数最多时的频率 估计概率,注意不能利用频率的平 均值估计概率. 3. 方案都正确. 模拟试验没有改变试验结果. 4. B 5. 30 解析:根据题中折线统计图可 得,小球落在不规则图案内的频率趋 近于0.6,故小球落在不规则图案内 的概率为0.6.∴ 估计此不规则图案 的面积为10×5×0.6=30(m2). 6. (1) 由题意,得抽中三等奖的概率 为8-1-2-3 8 = 1 4. ∴ 24×14=6 (个). ∴ 估计抽奖袋中白球的数量为6个. (2) ∵ 添加2个黄球,球的总数增加 2个,而红球个数不变, ∴ 抽中一等奖的概率会降低. 继续添加球,能使抽中一等奖的概率 还原. 设继续添加1个红球,x 个其他颜色 的球. 由(1),得摸出红球的概率为18 , ∴ 原有红球的个数为24×18=3. ∴ 3+1=18× (24+2+1+x),解得 x=5. ∴ 设计的添加方案不唯一,如继续添 加1个红球,5个其他颜色的球. 7. (1) 2.4. (2) 画树状图如图所示. 由图,可知共有8种等可能的结果,其 中恰好是一个黑色小正方形和两个白 色小正方形的结果有3种. ∴ 恰好是一个黑色小正方形和两个 白色小正方形的概率为3 8. (第7题) 8. (1) 0.6. (2) ∵ 5×0.6=3(个), ∴ 估计袋中白球的个数为3. (3) ∵ 第一次摸出白球的概率为3 5 , ∴ 第一次摸出红球的概率为1- 3 5= 2 5. ∵ 第二次摸出白球的概率也为3 5 , ∴ 第一次摸出红球、第二次摸出白球 的概率为2 5× 3 5= 6 25. 专题特训六　概率应用的 常考类型 1. 1 6 解析:记四张卡片“食物发霉” “铁棒成针”“大米酿酒”“糖块融化”依 次为A,B,C,D,其中“铁棒成针”“糖 块融化”属于物理变化.依据题意画树 状图如图所示.由图,可知共有12种 等可能的结果,其中抽取的两张卡片 上书写的都为物理变化的结果有 2种.∴ 抽取的两张卡片上书写的都 为物理变化的概率为2 12= 1 6. (第1题) 2. (1) 1 3. (2) 列表如下: S1 S2 S3 S4 S1 (S1,S2)(S1,S3)(S1,S4) S2 (S2,S1) (S2,S3)(S2,S4) S3 (S3,S1)(S3,S2) (S3,S4) S4 (S4,S1)(S4,S2)(S4,S3) 由表,可知共有12种等可能的结果, 其中能使小灯泡发光的结果有6种. ∴ 能使小灯泡发光的概率为6 12= 1 2. 3. (1) 50. ∵ E档的学生人数为50×8%=4, ∴ E档中女生人数为4-2=2. 补全条形统计图如图所示. (2) 由题意知,调查的男生人数为5+ 3+7+6+2=23,将23名男生的劳动 时间数据按照从小到大的顺序排列, 易得排在第12个的数据为2.5, ∴ 调查的全部男生劳动时间的中位 数为2.5h. (3) 由题意知,E档中有2名男生, 2名女生,列表如下: 男 男 女 女 男 (男,男)(男,女)(男,女) 男 (男,男) (男,女)(男,女) 女 (女,男)(女,男) (女,女) 女 (女,男)(女,男)(女,女) 由表,可知共有12种等可能的结果, 其中所选两名学生恰好都是女生的结 果有2种. ∴ 所选两名学生恰好都是女生的概 率为2 12= 1 6. (第3题) 第三章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 (1) 2 3. (2) 根据题意,画树状图如图所示. 由图,可知共有12种等可能的结果, 其中抽到的2个实数进行相应的运算 后结果是无理数的有10种. ∴ 抽到的2个实数进行相应的运算 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 后结果是无理数的概率为10 12= 5 6. (典例1图) [变式] (1) 1 3. (2) 列表如下: 白 红 绿 白 (白,白) (白,红) (白,绿) 红 (红,白) (红,红) (红,绿) 绿 (绿,白) (绿,红) (绿,绿) 由表格可知,共有9种等可能的结果, 其中两次摸到的球颜色不同的结果有 6种. ∴ 两次摸到的球颜色不同的概率为 6 9= 2 3. 典例2 这个游戏不公平. 理由:根据题意,小明的摸球情况列表 如下: 白 蓝 红 红 白 (白,白)(蓝,白)(红,白)(红,白) 蓝 (白,蓝)(蓝,蓝)(红,蓝)(红,蓝) 红 (白,红)(蓝,红)(红,红)(红,红) 红 (白,红)(蓝,红)(红,红)(红,红) 由表,可知共有16种等可能的结果, 其中能配成紫色的结果有4种. ∴ 小明获胜的概率为4 16= 1 4. 小丽的摸球情况列表如下: 白 蓝 红 红 白 (蓝,白)(红,白)(红,白) 蓝 (白,蓝) (红,蓝)(红,蓝) 红 (白,红)(蓝,红) (红,红) 红 (白,红)(蓝,红)(红,红) 由表,可知共有12种等可能的结果, 其中能配成紫色的结果有4种. ∴ 小丽获胜的概率为4 12= 1 3. ∵ 1 4≠ 1 3 , ∴ 这个游戏不公平. [变式] (1) 由题意,列表如下: b a 1 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3 (3,1) (3,2) (3,3) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (2) 游戏公平. 理由:由(1)中表格,可知共有12种等 可能的结果,其中Δ=a2-4b≥0时, 方程有解;Δ=a2-4b<0时,方程 无解. ∵ Δ≥0的结果有6种,Δ<0的结果 有6种, ∴ P(小丽赢)=612= 1 2 , P(小兵赢)=612= 1 2. ∴ P(小丽赢)=P(小兵赢). ∴ 游戏公平. ［综合素能提升］ 1. C 2. A 解析:根据题意,画树状图如图 所示.由图,可知共有6种等可能的结 果,其中能够打开宝藏的结果有2种. ∴ 能够打开宝藏的概率为2 6= 1 3. (第2题) 3. 0.768 解析:估计骰子落在熊猫 图案中的概率为12 100=0.12 ,∴ 估计 图片上熊猫图案的面积为0.12× (3.2×2)=0.768(平方米). 4. 1 2 解析:画树状图如图所示.由 图,可知共有12种等可能的结果,其 中两个三角形有公共边的结果有 6种,∴ 这两个三角形有公共边的概 率是6 12= 1 2. (第4题) 5. 根据题意,画树状图如图所示. (1) 由图,可知共有12种等可能的结 果,其中取出的3个小球上恰好写有 1个偶数的结果有5种. ∴ 取出的3个小球上恰好写有1个 偶数的概率为5 12. (2) 由图,可知共有12种等可能的结 果,其中取出的3个小球上全写着奇 数的结果有2种. ∴ 取出的3个小球上全写着奇数的 概率为2 12= 1 6. (第5题) 6. (1) 闭合四个开关中的任意一个, 共有4种等可能的结果,而灯泡会亮 的结果只有1种. ∴ 灯泡会亮的概率为1 4. (2) 列表如下: K1 K2 K3 K4 K1 (K1,K2)(K1,K3)(K1,K4) K2 (K2,K1) (K2,K3)(K2,K4) K3 (K3,K1)(K3,K2) (K3,K4) K4 (K4,K1)(K4,K2)(K4,K3) 由表,可知共有12种等可能的结果, 其中灯泡会亮的结果有6种. ∴ 灯泡会亮的概率为6 12= 1 2. 7. (1) 小明转动一次转盘A,指针指 向数字为2的概率是14. (2) 不公平. 理由:根据题意,画树状图如图所示. 由图,可知共有12种等可能的结果, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 其中差为负数的结果有6种,差为正 数的结果有4种. ∴ 小春胜的概率是6 12= 1 2 ,小明胜 的概率是4 12= 1 3. ∵ 1 2> 1 3 , ∴ 这个游戏对双方不公平. 设计游戏规则的方法不唯一,如若差 为负数,则小春胜;若差为非负数,则 小明胜. (第7题) 第四章　图形的相似 1　成比例线段 第1课时 成比例线段 及比例的基本性质 1. D 2. C 判断成比例线段的方法 当四条线段的长度单位不相 同时,先要统一单位,按照从小到 大(或从大到小)的顺序排列,再把 它们按照先后顺序依次计算第一 条与第二条、第三条与第四条线段 的比,看是否相等.若相等,则成比 例,否则不成比例. 3. A 4. 10 5. (1) ∵ AD DB= AE EC , ∴ AD AB-AD= AE EC. 设AD=xcm. ∵ AB=12cm,AE=6cm,EC= 4cm, ∴ x 12-x= 6 4 ,解得x=7.2. ∴ AD=7.2cm. (2) ∵ AB=12cm,AD=7.2cm, ∴ DB=4.8cm. ∴ DB AB= 2 5. ∵ AE=6cm,EC=4cm, ∴ AC=10cm. ∴ EC AC= 2 5. ∴ DB AB= EC AC ,即线段DB,AB,EC, AC成比例. 6. B 7. ±8 8. 设这个数为x. 当1 2= x 3 时,解得x= 32. 当1 3 =x2 时,解得x=233 . 当 3 1= x 2 时,解得x=23. ∴ 这个数为 3 2 或23 3 或23. 9. (1) 能. ∵ DE⊥AB,BF⊥AD, ∴ S▱ABCD=AB·DE=AD·BF. ∴ AB AD= BF DE. 又∵ 在▱ABCD 中,BC=AD, ∴ AB BC= BF DE. (2) 由(1),得ABBC= BF DE. ∵ AB=10,DE=2.5,BF=5, ∴ 10 BC= 5 2.5. ∴ BC=5. 第2课时 比例的其他性质 1. A 2. A 3. 9 4. 设a 4= b 3= c 2=k (k≠0). ∴ a=4k,b=3k,c=2k. ∵ a+3b-3c=14, ∴ 4k+9k-6k=14,解得k=2. ∴ a=8,b=6,c=4. ∴ 4a-3b+c=32-18+4=18. 5. ∵ 在△ABC和△A'B'C'中, AB A'B'= AC A'C'= BC B'C'= 6 5 , ∴ AB+BC+AC A'B'+B'C'+A'C'= 6 5. ∵ △ABC 和△A'B'C'的周长之差 是4, ∴ 设△ABC 的周长为x,则△A'B'C' 的周长为x-4. ∴ x x-4= 6 5 ,解得x=24. ∴ x-4=20. ∴ △ABC和△A'B'C'的周长分别是 24,20. 6. B 解析:由2a=3b=4c,得a6= b 4= c 3. 设a 6= b 4= c 3=k (k≠0), 则a=6k,b=4k,c=3k.∴ a+b c-2b= 6k+4k 3k-8k=-2. 7. 四 8. (1) 设a 2= b 3= c 5=k (k≠0),则 a=2k,b=3k,c=5k. ∴ 原式=4k+9k-25k2k-6k+15k= -12k 11k = -1211. (2) 把a=2k,b=3k,c=5k 代入 2a+b+3c=44,得4k+3k+15k= 44,解得k=2. ∴ a=4,b=6,c=10. 9. (1) ∵ b+d=0, ∴ d=-b. ∵ a b= c d , ∴ a b- c d= a b+ c b= a+c b =0. ∴ a+c=0. (2) 当 a+b+c≠0时,b+ca = a+c b = a+b c = 2(a+b+c) a+b+c =2. ∴ t=2. ∴ t2-t-2=22-2-2=0. 当a+b+c=0时,b+c=-a,a+ c=-b,a+b=-c. ∴ b+c a = a+c b = a+b c =-1. ∴ t=-1. ∴ t2-t-2=(-1)2-(-1)-2=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72