第三章 2 用频率估计概率&专题特训六 概率应用的常考类型-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

50 2　用频率估计概率 ▶ “答案与解析”见P25 1. (2024·贵州)小星通过大量重复的定点投篮 练习,用频率估计他投中的概率为0.4,下列 说法中,正确的是 ( ) A. 小星定点投篮1次,不一定能投中 B. 小星定点投篮1次,一定可以投中 C. 小星定点投篮10次,一定投中4次 D. 小星定点投篮4次,一定投中1次 2. 易错题 (2024·宁夏)为了解一种枸杞幼苗 的成活率,在同一条件下进行移植试验,结果 如下表: 移植总棵数n 成活棵数m 成活的频率m n (结果精确到0.001) 40 35 0.875 150 134 0.893 300 271 0.903 500 451 0.902 700 631 0.901 1 000 899 0.899 1 500 1 350 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是 (结果精确到0.1). 3. 妈妈给小明一串钥匙,共有4把,小明决定先 试试哪把是防盗门的钥匙.你知道他第一次 就试开成功的概率有多大吗? 下列是小明用 其他替代物进行模拟试验的方案. 方案一:用一枚质地均匀的正四面体骰子(每 个面上分别标有数字1,2,3,4),掷得朝上一 面的数字是4为试开成功. 方案二:用4张扑克牌,红心、黑桃、方块、梅 花各1张,随机摸1张,摸到红心为试开成功. 方案三:用计算机模拟,在1~4之间产生一 个随机整数.若产生的是1,则表示试开成功. 你认为上述方案都正确吗? 为什么? 4. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共 25个,这些球除颜色外都相同,将口袋中的 球搅匀后,从中随机摸出1个球,记下它的颜 色后再放回口袋中,不断重复这一过程.若共 摸了100次球,发现有60次摸到红球,则估 计口袋中红球的个数为 ( ) A. 60 B. 15 C. 10 D. 40 5. 如图①,一张纸片上有一个不规则 图案(图中的小兔子),小雅想了解 该图案的面积是多少,她采取了以 下办法:用一个长为10m、宽为5m的矩形, 将不规则图案围起来,然后在适当位置随机 地向矩形区域扔小球,并记录小球落在不规 则图案内的次数(球扔在界线上或矩形区域 外不计入试验结果),她将若干次有效试验的 结果绘制成了如图②所示的折线统计图,由此 她估计此不规则图案的面积为 m2. (第5题) 6. 一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白 色、黑色四种除颜色外其余都相同的球.从袋 中任意摸出1个球,红色、黄色、白色分别代 表一、二、三等奖,黑色代表谢谢参与. (1) 小明观察后发现,平均每8人中会有1人 抽中一等奖,2人抽中二等奖,3人未中奖.若 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 51 袋中共有24个球,请估计抽奖袋中白球的数量. (2) 在(1)的条件下,如果在抽奖袋中添加 2个黄球,那么抽中一等奖的概率会怎样变 化? 继续添加球,能否使抽中一等奖的概率 还原? 若能,请设计一种添加方案;若不能, 请说明理由. 7. 新情境·热点信息 随着信息化的发展,二维码 已经走进我们的日常生活,其图案主要由黑、 白两种小正方形组成. (1) 某兴趣小组从某个二维码中截取部分开 展数学活动.如图,在边长为2cm的正方形 区域内通过计算机随机掷点,经过大量重复 试验,发现点落在区域内黑色部分的频率稳 定在0.6附近,据此可以估计这个区域内黑 色部分的总面积为 cm2. (2) 另一兴趣小组对由三个相同的小正方形 组成的“ ”进行涂色,每个小正方形随 机涂成黑色或白色,则恰好是一个黑色小正 方形和两个白色小正方形的概率为多少? (第7题) 8. 一个不透明的袋中装有红、白两种 颜色的球共5个,这些球除颜色外 其余都相同.某学习小组做摸球试 验,将球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜 色,再把它放回袋中搅匀,不断重复.活动中 的一组统计数据如下表: 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到白球的次数m 54 174 295 484 602 摸到白球的频率m n 0.540.580.590.6050.602 (1) 当摸球的次数很大时,摸出白球的频率 接近于 (结果精确到0.1). (2) 估计袋中白球的个数. (3) 在一次摸球游戏中,小明发现先后摸两 次球(第一次摸完放回),第一次摸出白球的 概率为3 5 ,第二次摸出白球的概率也为3 5 ,则 两次都摸出白球的概率为3 5× 3 5= 9 25. 根据 以上信息,求第一次摸出红球、第二次摸出白 球的概率. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　概率的进一步认识 52 专题特训六　概率应用的常考类型 ▶ “答案与解析”见P25 类型一 跨学科的综合应用 1. 在四张大小、材质相同的卡片正面依次书写 “食物发霉”“ 铁棒成针”“大米酿酒”“糖块融 化”几种变化,卡片置于暗箱摇匀后随机抽取 两张,抽取的两张卡片上书写的都为物理变 化的概率是 . 2. 课间休息,数学李老师提前来到了 教室,准备上数学课,看到了上节物 理课在黑板上留下的一个电路图 (如图),就嘱咐班级的值日生擦黑板时把电 路图留下.上课时,李老师问班级的物理课代 表:“此电路图下,小灯泡何时发光?”物理课 代表回答:“在开关S1闭合的情况下,再闭合 S2,S3,S4中的任意一个开关,小灯泡就会发 光.”物理课代表的回答得到了全班同学的认 可.接下来,李老师提出了如下的数学问题: (1) 在开关S3 闭合的情况下,随机闭合S1, S2,S4中的一个开关,能够让小灯泡发光的概 率为 . (2) 当随机闭合S1,S2,S3,S4 中的两个开关 时,请用画树状图或列表的方法求出能使小 灯泡发光的概率. (第2题) 类型二 概率与统计的综合应用 3. (2024·东营)为贯彻教育部《大中小学劳动 教育指导纲要(试行)》文件精神,东营市某学 校举办“我参与,我劳动,我快乐,我光荣”活 动.为了解学生周末在家劳动情况,学校随机 调查了八年级部分学生在家劳动时间(记为 xh,分成五档:A档:0≤x<1;B档:1≤x< 2;C档:2≤x<3;D档:3≤x<4;E档:x≥ 4),并进行整理和分析,调查的八年级男生、 女生劳动时间的不完整统计图如图所示. (第3题) 根据以上信息,回答下列问题: (1) 本次调查中,共调查了 名学生, 补全条形统计图. (2) 调查的男生劳动时间在C档的数据是2, 2.2,2.4,2.5,2.7,2.8,2.9,求调查的全部男 生劳动时间的中位数. (3) 学校为了提高学生的劳动意识,现从 E档中选两名学生进行劳动经验交流,请用 列表法或画树状图法求所选两名学生恰好都 是女生的概率. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 2　用频率估计概率 1. A 2. 0.9 用频率估计概率的注意事项 一般地,在大量重复试验中, 某个事件发生的频率会稳定于概 率附近,因此可以利用频率估计概 率. 一般用试验次数最多时的频率 估计概率,注意不能利用频率的平 均值估计概率. 3. 方案都正确. 模拟试验没有改变试验结果. 4. B 5. 30 解析:根据题中折线统计图可 得,小球落在不规则图案内的频率趋 近于0.6,故小球落在不规则图案内 的概率为0.6.∴ 估计此不规则图案 的面积为10×5×0.6=30(m2). 6. (1) 由题意,得抽中三等奖的概率 为8-1-2-3 8 = 1 4. ∴ 24×14=6 (个). ∴ 估计抽奖袋中白球的数量为6个. (2) ∵ 添加2个黄球,球的总数增加 2个,而红球个数不变, ∴ 抽中一等奖的概率会降低. 继续添加球,能使抽中一等奖的概率 还原. 设继续添加1个红球,x 个其他颜色 的球. 由(1),得摸出红球的概率为18 , ∴ 原有红球的个数为24×18=3. ∴ 3+1=18× (24+2+1+x),解得 x=5. ∴ 设计的添加方案不唯一,如继续添 加1个红球,5个其他颜色的球. 7. (1) 2.4. (2) 画树状图如图所示. 由图,可知共有8种等可能的结果,其 中恰好是一个黑色小正方形和两个白 色小正方形的结果有3种. ∴ 恰好是一个黑色小正方形和两个 白色小正方形的概率为3 8. (第7题) 8. (1) 0.6. (2) ∵ 5×0.6=3(个), ∴ 估计袋中白球的个数为3. (3) ∵ 第一次摸出白球的概率为3 5 , ∴ 第一次摸出红球的概率为1- 3 5= 2 5. ∵ 第二次摸出白球的概率也为3 5 , ∴ 第一次摸出红球、第二次摸出白球 的概率为2 5× 3 5= 6 25. 专题特训六　概率应用的 常考类型 1. 1 6 解析:记四张卡片“食物发霉” “铁棒成针”“大米酿酒”“糖块融化”依 次为A,B,C,D,其中“铁棒成针”“糖 块融化”属于物理变化.依据题意画树 状图如图所示.由图,可知共有12种 等可能的结果,其中抽取的两张卡片 上书写的都为物理变化的结果有 2种.∴ 抽取的两张卡片上书写的都 为物理变化的概率为2 12= 1 6. (第1题) 2. (1) 1 3. (2) 列表如下: S1 S2 S3 S4 S1 (S1,S2)(S1,S3)(S1,S4) S2 (S2,S1) (S2,S3)(S2,S4) S3 (S3,S1)(S3,S2) (S3,S4) S4 (S4,S1)(S4,S2)(S4,S3) 由表,可知共有12种等可能的结果, 其中能使小灯泡发光的结果有6种. ∴ 能使小灯泡发光的概率为6 12= 1 2. 3. (1) 50. ∵ E档的学生人数为50×8%=4, ∴ E档中女生人数为4-2=2. 补全条形统计图如图所示. (2) 由题意知,调查的男生人数为5+ 3+7+6+2=23,将23名男生的劳动 时间数据按照从小到大的顺序排列, 易得排在第12个的数据为2.5, ∴ 调查的全部男生劳动时间的中位 数为2.5h. (3) 由题意知,E档中有2名男生, 2名女生,列表如下: 男 男 女 女 男 (男,男)(男,女)(男,女) 男 (男,男) (男,女)(男,女) 女 (女,男)(女,男) (女,女) 女 (女,男)(女,男)(女,女) 由表,可知共有12种等可能的结果, 其中所选两名学生恰好都是女生的结 果有2种. ∴ 所选两名学生恰好都是女生的概 率为2 12= 1 6. (第3题) 第三章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 (1) 2 3. (2) 根据题意,画树状图如图所示. 由图,可知共有12种等可能的结果, 其中抽到的2个实数进行相应的运算 后结果是无理数的有10种. ∴ 抽到的2个实数进行相应的运算 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52