第三章 1 用树状图或表格求概率-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

46 1　用树状图或表格求概率 第1课时 用树状图或表格求概率 ▶ “答案与解析”见P23 1. 新考向·地域文化 豫剧是国家级非物质文化 遗产,因其雅俗共赏,深受大众喜爱.现有正 面印有豫剧经典剧目不同人物的三张卡片, 它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面 朝上洗匀,从中随机抽取一张,放回洗匀后, 再从中随机抽取一张,两次抽取的卡片正面 相同的概率为 ( ) A. 1 9 B. 1 6 C. 1 5 D. 1 3 2. 小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日 的上午或下午去游乐园游玩,则他们三人在 同一个半天去游玩的概率为 . 3. 易错题 (2024·常州)在3张相同的小纸条 上分别写有“石头”“剪子”“布”.将这3张小 纸条做成3支签,放在不透明的盒子中搅匀. (1) 从盒子中任意抽出1支签,求抽到“石 头”的概率. (2) 甲、乙两人通过抽签分胜负,规定:“石 头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“石头”. 甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回),乙 再从余下的2支签中任意抽出1支签,求甲 取胜的概率. 4. (2024·东营)如图,四边形ABCD 是平行四边形,从① AC=BD, ② AC⊥BD,③ AB=BC 这三个条 件中任意选取两个,能使▱ABCD 是正方形 的概率为 ( ) A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 5 6 (第4题) (第6题) 5. 现有三张背面完全相同的纸牌,它们的正面 分别印有数字1,2,3,将它们背面朝上,洗匀 后随机抽取一张,记录纸牌上的数字并把纸 牌放回,再重复这样的步骤两次,得到三个数 字a,b,c,则以a,b,c为边长正好构成等边 三角形的概率是 ( ) A. 1 9 B. 1 27 C. 5 9 D. 1 3 6. 新趋势·跨学科 (2024·内江)如图所示的电 路中,当随机闭合开关S1,S2,S3 中的两个 时,灯泡能发光的概率为 ( ) A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 6 7. (2024·潍坊)小莹在做手抄报时,用到了红 色、黄色、蓝色三支彩笔,这三支彩笔的笔 帽和笔芯颜色分别一致.完成手抄报后,她 随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上, 每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　概率的进一步认识 47 8. 四张相同的卡片上分别写有数-1, -4,2,3,将卡片的背面向上洗匀后 从中任意抽一张,并将卡片上的数 记为k,再从余下的卡片中任意抽一张,并将 卡片上的数记为b,则一次函数y=kx+b 的图 象 经 过 第 一、二、四 象 限 的 概 率 为 . 9. 假定鸟卵孵化后,雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率 相同,如果3枚鸟卵全部成功孵化,那么3只 雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是 . 10. 新趋势·跨学科 (2024·临夏)物理变化和 化学变化的区别在于是否有新物质的生成. 某学习小组制作了A,B,C,D四张卡片(如 图),四张卡片除图片内容不同外,其他没有 区别,放置于暗箱中摇匀. (第10题) (1) 小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中 C卡片的概率是 . (2) 小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列 表法或画树状图法求小夏抽取的两张卡片 内容均为化学变化的概率. 11. ★在一次阳光活动中,A,B,C三人 玩传球游戏,游戏规则如下:每一 次传球由三人中的一人将球随机 地传给另外两人中的某一人.例如:由A开 始传球,则A可将球随机地传给B,C两人 中的某一人. (1) 若由A开始传球,求经过两次传球后, 球恰好回到A手中的概率(用画树状图或 列表的方法). (2) 若在A,B,C三人中随机选择一人开始 传球,求经过一次传球后,球恰好在A手中 的概率(用画树状图或列表的方法). (3) 若由A开始传球,求经过三次传球后, 球恰好在A手中的概率(用画树状图或列 表的方法). (4) 如果玩传球游戏的共有n(n≥2)人,仍 由A开始传球,那么经过三次传球后球恰 好在A手中的概率为 (用含n 的 式子表示). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　概率的进一步认识 48 第2课时 用概率判断游戏的公平性 ▶ “答案与解析”见P24 1. 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”的游戏, 随机出手一次,则两人平局的概率为 ( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 2. 小强、小亮、小文三名同学玩投硬币游戏.三 人同时各投出一枚质地均匀的硬币,若出现 三个正面向上或三个反面向上,则小强赢;若 出现两个正面向上和一个反面向上,则小亮 赢;若出现一个正面向上和两个反面向上,则 小文赢.有下列说法:① 小强赢的概率最小; ② 小文和小亮赢的概率相等;③ 小文赢的概 率是3 8 ;④ 这是一个公平的游戏.其中,正确 的是 (填序号). 3. (2024·甘肃)在一只不透明的布袋中,装有 质地、大小均相同的四个小球,小球上分别标 有数字1,2,3,4.甲、乙两人玩摸球游戏,规 则如下:两人同时从布袋中随机各摸出1个 小球,若两球上的数字之和为奇数,则甲获 胜;若两球上的数字之和为偶数,则乙获胜. (1) 请用画树状图或列表的方法,求甲获胜 的概率. (2) 这个游戏规则对甲、乙双方公平吗? 请 说明理由. 4. ★如图,有四张反面完全相同的纸牌 A,B,C,D,其正面分别画有四个不 同的几何图形,将这四张纸牌洗匀 后,正面朝下随机放在桌面上. (1) 从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的纸 牌上 的 图 形 是 中 心 对 称 图 形 的 概 率 为 . (2) 小明和小亮做一个游戏,其规则如下:先 由小明从这四张纸牌中随机摸出一张,不放 回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张. 若摸出的两张纸牌上的图形既是轴对称图形 又是中心对称图形,则小亮获胜;否则,小明 获胜.这个游戏公平吗? 请用画树状图或列 表的方法说明理由(纸牌用A,B,C,D表示). 若不公平,请修改游戏规则,使游戏公平. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 49 第3课时 用概率玩“配紫色”游戏 ▶ “答案与解析”见P24 1. 有一个“配紫色”游戏,其规则如下:如图,有 甲、乙两个可以自由转动的转盘,每个转盘被 分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动 两个转盘,若转盘甲转出红色、转盘乙转出蓝 色,或转盘甲转出蓝色、转盘乙转出红色,则 成功配成紫色.游戏者能成功配成紫色的概 率是 ( ) (第1题) A. 1 4 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 2 2. 新年游园会中有一款电子飞镖的游戏如图所 示,A靶被等分成2个区域,分别涂上红色和 蓝色,B靶被等分成3个区域,分别涂上红 色、蓝色和白色,小彬、小颖分别向A靶、B靶 投掷一枚电子飞镖,电子飞镖随机落在靶盘 的某一位置.若两枚电子飞镖命中部分的颜 色恰好配成紫色(红色和蓝色可配成紫色), 则小彬获得奖品,否则小颖获得奖品(若电子 飞镖落在分界线上,则重投一次,直到落在某 一区域).这个游戏公平吗? 请说明理由. (第2题) 3. 用如图所示的两个可以自由转动的转盘A,B 做“配紫色”游戏,分别转动两个转盘,若其中 一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫 色,则配成紫色的概率是 ( ) (第3题) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 3 D. 7 12 4. 爸爸寄回一枚纪念币,小颖和弟弟 小明都想要,小颖提议玩“配紫色” 游戏,获胜的人得到纪念币,规则如 下:如图,有A,B两个可以自由转动的转盘, 两人分别转动两个转盘.若其中一个转盘转 出红色,另一个转盘转出蓝色,则能配成紫 色.若配成紫色,则小颖获胜;否则,小明获 胜.这个游戏公平吗? 请说明理由.若不公 平,请修改游戏规则,使游戏对双方公平. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　概率的进一步认识拍 照 批 改 第三章　概率的 进一步认识 1　用树状图或表格求概率 第1课时 用树状图或表格求概率 1. D 2. 1 4 3. (1) 由题意知,共有3种等可能的 结果,其中抽到“石头”的结果有1种, ∴ 从盒子中任意抽出1支签,抽到 “石头”的概率是1 3. (2) 列表如下: 乙 甲 石头 剪子 布 石 头 (石头, 剪子) (石头, 布) 剪 子 (剪子, 石头) (剪子, 布) 布 (布, 石头) (布, 剪子) 由表,可知共有6种等可能的结果,其 中甲取胜的结果有3种, ∴ 甲取胜的概率为3 6= 1 2. 用画树状图或列表的 方法求概率的注意事项 计算概率时,要注意两点: (1) 注意等可能性.在每个步 骤或每个因素中,各种结果的可能 性应相同,最后得到的各种结果的 可能性相同. (2) 注意结果数的变化.如摸 球游戏,要注意第一次摸球与第二 次摸球,球有无放回,球的数量是 否发生变化. 4. A 5. A 解析:根据题意,画树状图如图 所示.由图,可知共有27种等可能的 结果,其中以a,b,c为边长正好构成 等边三角形的结果有3种.∴ 以a,b, c为边长正好构成等边三角形的概率 是3 27= 1 9. (第5题) 6. A 解析:设S1,S2,S3分别用1,2, 3表示.画树状图如图所示.由图,可 知共有6种等可能的结果,其中灯泡 能发光的结果有4种,∴ 灯泡能发光 的概率为4 6= 2 3. (第6题) 7. 1 3 8. 1 3 9. 3 8 10. (1) 1 4. (2) 四张卡片内容中是化学变化的有 A,D,画树状图如图所示. 由图,可知共有12种等可能的结果, 其中小夏抽取的两张卡片内容均为化 学变化的结果有2种. ∴ 小夏抽取的两张卡片内容均为化 学变化的概率为2 12= 1 6. (第10题) 11. (1) 根据题意,画树状图如图① 所示. 由图,可知共有4种等可能的结果,其 中经过两次传球后,球恰好回到A手 中的结果有2种. ∴ 经过两次传球后,球恰好回到A手 中的概率为2 4= 1 2. (2) 根据题意,画树状图如图②所示. 由图,可知共有6种等可能的结果,其 中经过一次传球后,球恰好在A手中 的结果有2种. ∴ 经过一次传球后,球恰好在A手中 的概率为2 6= 1 3. (3) 根据题意,画树状图如图③所示. 由图,可知共有8种等可能的结果,其 中经过三次传球后,球恰好在A手中 的结果有2种. ∴ 经过三次传球后,球恰好在A手中 的概率为2 8= 1 4. (4) n-2 (n-1)2. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 列举法计算概率的类型 及求解策略 (1) 随机事件只需一个步骤完 成或只涉及一个因素,直接利用概 率计算公式计算概率. (2) 随机事件要经过两个步骤 完成或涉及两个因素,一般需要通 过画树状图或列表,不重复、不遗 漏地列举出所有等可能的结果,再 利用概率的计算公式计算概率.其 中结果的总数较多时,列表较为 便捷. (3) 随机事件要经过三个及 以上步 骤 完 成 或 涉 及 三 个 及 以 上因素,通常画树状图列举出所 有等可能的结果,再利用概率计 算 公 式 计 算 概 率.计 算 概 率 时, 要注意两点:一是注意各种结果 的等可能性;二是注意结果数的 变化. 第2课时 用概率判断 游戏的公平性 1. B 2. ①②③ 3. (1) 根据题意,画树状图如图所示. 由图,可知共有12种等可能的结果, 其中甲获胜的结果有8种. ∴ 甲获胜的概率为8 12= 2 3. (2) 不公平. 理由:由树状图,可知乙获胜的结果有 4种, ∴ 乙获胜的概率为4 12= 1 3. ∵ 2 3≠ 1 3 , ∴ 游戏不公平. (第3题) 4. (1) 3 4. (2) 这个游戏不公平. 理由:根据题意,列表如下: 小亮 小明 A B C D A (A,B)(A,C)(A,D) B (B,A) (B,C)(B,D) C (C,A)(C,B) (C,D) D (D,A)(D,B)(D,C) 由表,可知共有12种等可能的结果, 其中摸出的两张纸牌上的图形既是轴 对称图形又是中心对称图形的结果有 2种. ∴ 摸出的两张纸牌上的图形既是轴 对称图形又是中心对称图形的概率为 2 12= 1 6. ∴ 小亮获胜的概率是1 6 ,小明获胜的 概率是1-16= 5 6. ∵ 1 6≠ 5 6 , ∴ 这个游戏不公平. 修改游戏规则的方法不唯一,如若摸 出的两张纸牌上的图形都是中心对称 图形,则小明获胜;否则,小亮获胜. 游戏公平性的判断及修改 游戏规则的方法 判断游戏是否公平,需先求出 各方获胜的概率,若概率相同,则 游戏公平;若概率不相同,则游戏 不公平.若游戏不公平,则常需要 修改游戏规则.修改游戏规则通常 有两种方法,一是使双方获胜的概 率相同,二是通过赋分法,使双方 平均每次得分相同. 第3课时 用概率玩 “配紫色”游戏 1. A 2. 这个游戏不公平. 理由:根据题意,画树状图如图所示. 由树状图,可知共有6种等可能的结 果,其中能配成紫色的结果有2种. ∴ P(小彬获得奖品)=26= 1 3. ∴ P(小颖获得奖品)=1-13= 2 3. ∵ 1 3≠ 2 3 , ∴ 这个游戏不公平. (第2题) 3. C 解析:将A转盘中的蓝色区域 等分成3份,分别记作“蓝1”“蓝2” “蓝3”.根据题意,画树状图如图所示. 由树状图,可知共有12种等可能的结 果,其中配成紫色的结果有4种. ∴ 配成紫色的概率为4 12= 1 3. (第3题) 4. 这个游戏不公平. 理由:将转盘A中的红色区域等分成 2份,分别记作“红1”“红2”;将转盘B 中的蓝色区域等分成2份,分别记作 “蓝1”“蓝2”. 根据题意,画树状图如图所示. 由图,可知共有9种等可能的结果,其 中能配成紫色的结果有5种. ∴ 小颖获胜的概率是5 9. ∴ 小明获胜的概率是1-59= 4 9. ∵ 5 9≠ 4 9 , ∴ 这个游戏不公平. 修改的游戏规则不唯一,如若两次转 出的全是红色,则小颖获胜;若两次转 出的全是蓝色,则小明获胜;若能配成 紫色,则两个转盘重新转. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42