第二章 一元二次方程 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

42 第二章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P21 考点一 一元二次方程的解法 典例1 解方程: (1) 4x2=(x+2)2. (2) 3x2+3x-1=0. [变式]用合适的方法解方程: (1) 3x(2x+1)=4x+2. (2) x2+12x+25=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 43 (3) 2x2-7x+2=0. 考点二 一元二次方程根的判别式 典例2 已知关于x的方程kx2-4kx+k-5= 0有两个相等的实数根,解这个方程. 先利用根的判别式Δ=0和二次项系数不为0 的条件解出k 的值,再把k 的值代回原方程求解 即可. [变式] 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+ 2x-3=0有实数根,则m 的取值范围是( ) A. m≥23 B. m<23 C. m>23 且m≠1 D. m≥23 且m≠1 考点三 一元二次方程根与系数的关系 典例3 已知关于x的一元二次方程x2-2(m+ 2)x+m2-5=0有实数根,是否存在实数m,使 方程的两个实数根的平方和等于44? 若存在, 求出m 的值;若不存在,请说明理由. [变式] 已知m,n是方程x2-5x+2=0的两 个不相等的实数根,求m2-4m+n+mn的值. 考点四 一元二次方程的应用 典例4 某商场以每件280元的价格购进一批 商品,当每件商品的售价为360元时,每月可售 出60件.为了扩大销售,商场决定采取适当降价 的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价 1元,那么商场每月就可以多售出5件. (1) 降价前商场每月销售该商品的利润是多 少元? (2) 要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降 价多少元? (3) 该商场1月的销售量为60件,2月和3月销 售量的月平均增长率为x,若前三个月的总销量 为285件,求该季度的总利润. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程 44 [变式]直播购物逐渐走进了人们的生活.某电 商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进 行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出 30件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降 低5元,日销售量增加10件. (1) 若日获利1000元,商家想尽快销售完该款 商品,每件售价应定为多少元? (2) 经统计,促销活动后第一日的销售量为64件, 第三日的销售量为81件.如果第二日、第三日销 售的增长率相同,求该款小商品销售量的日平 均增长率. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 下列方程中,是关于x的一元二次方程的为 ( ) A. x2+1x2=0 B. 3x2=(x-1)(3x+2) C. (x-1)(x+2)=1 D. 3x2-2xy-5y2=0 2. (2024·宿迁)规定:对于任意实数a,b,c,有 【a,b】★c=ac+b,其中等式右侧是通常的 乘法和加法运算,如【2,3】★1=2×1+3=5. 若关于x 的方程【x,x+1】★(mx)=0有两 个不相等的实数根,则m的取值范围是 ( ) A. m<14 B. m>14 C. m>-14 且m≠0 D. m<14 且m≠0 3. 定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方 程为“和谐”方程;如果一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们 称这个方程为“美好”方程.如果一个一元二 次方程5x2+mx-n=0既是“和谐”方程又 是“美好”方程,那么m+n= . 4. 若实数a,b分别满足a2-4a+3=0,b2- 4b+3=0,且 a ≠b,则1a+ 1 b 的 值 为 . 5. 已知关于x 的一元二次方程x2- (2m+1)x+m2+m=0. (1) 求证:无论m 取何值,方程都有 两个不相等的实数根. (2) 设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+ b)(a+2b)=20,求m 的值. 6. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一 个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”, 例如:一元二次方程x2+x=0的两个根是 x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根 方程”. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 45 (1) 通过计算,判断下列方程是不是“邻根 方程”: ① x2-x-6=0. ② 2x2-23x+1=0. (2) 已知关于x 的一元二次方程x2-(m- 2)x-2m=0(m 是常数)是“邻根方程”,求 m 的值. 7. 某烘焙店生产的蛋糕产品分为6个 档次,第1个档次(即最低档次)的 蛋糕产品每天生产76件,每件的利 润为10元.调查表明:生产的蛋糕产品每提 高一个档次,该产品每件的利润增加2元. (1) 若生产的某批次蛋糕产品每件的利润为 14元,则该批次的蛋糕属于第几个档次的 产品? (2) 由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一 个档次,一天的产量会减少4件.若生产的某 个档 次 的 蛋 糕 产 品 一 天 的 总 利 润 为 1080元,则该烘焙店生产的是第几个档次的 蛋糕产品? 8. 如图,在 Rt△ABC 中,AB=6cm,BC= 43cm,∠B=30°,∠A=90°,点P 从点A 出发,以1cm/s的速度向点B 移动,点Q 从 点B 出发,以2cm/s的速度向点C 移动,连 接PQ.如果P,Q 两点同时出发,到达终点 时各自停止移动,那么经过几秒后,△PBQ 的面积为4cm2? (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程 10,x2=-11(不合题意,舍去). 答:x的值为10. (2) 三轮转发之后,参与人数为1+ 10+100+1000=1111,四轮转发之 后,参与人数为1+10+100+1000+ 10000=11111. ∵ 11111>10000, ∴ 再经过两轮转发,参与人数会超过 10000. 4. 设每轮中每人必须教会x人. 由题意,得1+x+x2=57,解得x1= 7,x2=-8(不合题意,舍去). 答:每轮中每人必须教会7人. 5. 设该兴趣小组的人数为x,则每名 同学需送出(x-1)件礼物. 依题意,得x(x-1)=30,解得x1= 6,x2=-5(不合题意,舍去). 答:该兴趣小组的人数为6. 6. 设该旅游团共有x位游客. 依题意,得1 2x (x-1)=45,解得 x1=-9(不合题意,舍去),x2=10. 答:该旅游团共有10位游客. 7. (1) 设应该邀请x 支球队参加 比赛. 依题意,得1 2x (x-1)=15,解得 x1=6,x2=-5(不合题意,舍去). 答:应该邀请6支球队参加比赛. (2) 3+12×5×4=13 (场). 答:实际共比赛13场. 8. (1) 设AB 的长为xm. ∵ 篱笆的总长为30m, ∴ BC的长为30-x2 m. 根据题意,得x·30-x2 =108. 整理,得x2-30x+216=0,解得 x1=12,x2=18(不合题意,舍去). ∴ 30-x 2 = 30-12 2 =9. 答:BC的长为9m. (2) 养殖园的面积不能达到100m2. 理由:假 设 养 殖 园 的 面 积 能 达 到 100m2. 设AB 的长为y m,则 BC 的长为 30-y 4 m. 根据题意,得y· 30-y 4 =100. 整理,得y2-30y+400=0. ∵ Δ=(-30)2-4×1×400= -700<0, ∴ 原方程没有实数根. ∴ 假设不成立,即养殖园的面积不能 达到100m2. 第二章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 (1) 移项,得4x2-(x+ 2)2=0. ∴ (2x+x+2)(2x-x-2)=0. ∴ 2x+x+2=0或2x-x-2=0. ∴ x1=- 2 3 ,x2=2. (2) ∵ Δ=32-4×3×(-1)= 21>0, ∴ x=-3± 216 . ∴ x1= -3+ 21 6 ,x2= -3- 21 6 . [变式] (1) 移项,得3x(2x+1)- 2(2x+1)=0. 分解因式,得(2x+1)(3x-2)=0. ∴ 2x+1=0或3x-2=0. ∴ x1=- 1 2 ,x2= 2 3. (2) 移项,得x2+12x=-25. 配方,得x2+12x+36=-25+36,即 (x+6)2=11. 开方,得x+6=± 11. ∴ x1=-6+ 11,x2=-6- 11. (3) 对于2x2-7x+2=0,a=2, b=-7,c=2. ∵ b2-4ac=(-7)2-4×2×2= 49-16=33>0, ∴ x= 7± 33 4 ,即x1= 7+ 33 4 , x2= 7- 33 4 . 典例2 ∵ 原方程有两个相等的实数根, ∴ k≠0且Δ=0,即16k2-4k(k- 5)=0. ∴ k=-53 或k=0(不合题意,舍去). ∴ 原方程可化为-53x 2+203x- 20 3=0 ,即x2-4x+4=0. ∴ (x-2)2=0. ∴ x1=x2=2. [变式] D 解析:∵ 关于x 的一元 二次方程(m-1)x2+2x-3=0有实 数根,∴ Δ=22-4(m-1)×(-3)≥ 0,m-1≠0.∴ m≥23 且m≠1. 典例3 存在. 设方程的两个实数根为x1,x2,则 x1+x2=2(m+2),x1x2=m2-5. ∴ x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2= 2m2+16m+26. 令2m2+16m+26=44,即 m2+ 8m-9=0,解得m1=1,m2=-9. ∵ 方程x2-2(m+2)x+m2-5=0 有实数根, ∴ Δ=16m+36≥0,即m≥-94. ∴ m=1. [变式] ∵ m 是方程x2-5x+2=0 的实数根, ∴ m2-5m+2=0. ∴ m2=5m-2. ∴ m2-4m+n+mn=5m-2-4m+ n+mn=m+n+mn-2. 根据根与系数的关系,得m+n=5, mn=2, ∴ m2-4m+n+mn=5+2-2=5. 典例4 (1) 根据题意,得(360- 280)×60=80×60=4800(元). 答:降价前商场每月销售该商品的利 润是4800元. (2) 设每件商品降价m 元,则每件的 销售利润为(360-m-280)元,每月 可售出(60+5m)件. 根据题意,得(360-m-280)(60+ 5m)=7200. 整理,得 m2-68m+480=0,解得 m1=8,m2=60. 又∵ 要有利于减少库存, ∴ m=60. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 答:每件商品应降价60元. (3) 根据题意,得60+60(1+x)+ 60(1+x)2=285. 整理,得4x2+12x-7=0,解得x1= 0.5=50%,x2=-3.5(不合题意,舍 去). ∴ 60(1+x)=60×(1+50%)=90, 60(1+x)2=60×(1+50%)2=135. ∴ 2月这种商品每件的售价为360- 90-60 5 =354 (元),3月这种商品每件 的售价为360-135-605 =345 (元). ∴ 该季度的总利润为(360-280)× 60+(354-280)×90+(345-280)× 135=20235(元). 答:该季度的总利润为20235元. [变式] (1) 设每件降价x 元,则每 件售价应为(60-x)元,日销售量为 30+x5×10 件,每件盈利为(60- x-30)元. 由题意,得(60-x-30) 30+x5× 10 =1000. 整理,得x2-15x+50=0,解得x1= 10,x2=5(不合题意,舍去). ∴ 60-x=50. 答:每件售价应定为50元. (2) 设该款小商品销售量的日平均增 长率为m. 由题意,得64(1+m)2=81,解得 m1=0.125=12.5%,m2=-2.125 (不合题意,舍去). 答:该款小商品销售量的日平均增长 率为12.5%. ［综合素能提升］ 1. C 2. D 解析:根据题意,得x(mx)+ x+1=0.整理,得mx2+x+1=0. ∵ 关 于 x 的 方 程 【x,x+1】★ (mx)=0有两个不相等的实数根, ∴ Δ=12-4m·1>0且m≠0,解得 m<14 且m≠0. 3. 5 解析:∵ 一元二次方程5x2+ mx-n=0既是“和谐”方程又是“美 好”方 程,∴ 5+m-n=0, 5-m-n=0, 解 得 m=0, n=5. ∴ m+n=0+5=5. 4. 4 3 解析:∵ 实数a,b分别满足 a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠ b,∴ a,b可看成方程x2-4x+3=0 的两个不相等的实数根.∴ a+b=4, ab=3.∴ 1 a+ 1 b= a+b ab = 4 3. 5. (1) ∵ Δ=[-(2m+1)]2- 4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2- 4m=1>0, ∴ 无论m 取何值,方程都有两个不 相等的实数根. (2) ∵ 该方程的两个实数根为a,b, ∴ a+b=2m+1,ab=m2+m. ∵ (2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ ab+2b2=2(a2+2ab+b2)+ab= 2(a+b)2+ab, ∴ 2(a+b)2+ab=20. ∴ 2(2m+1)2+m2+m=20. 整理,得m2+m-2=0,解得m1= -2,m2=1. ∴ m 的值为-2或1. 6. (1) ① x2-x-6=0,即(x- 3)(x+2)=0,解得x1=3,x2=-2. ∵ 3-(-2)=5≠1, ∴ 一元二次方程 x2-x-6=0 不是 “邻根方程”. ② 方程 2x2-23x+1=0的两个根 是x1= 23- (-23)2-4×2×1 2×2 , x2= 23+ (-23)2-4×2×1 2×2 ,即 x1= 3-1 2 ,x2= 3+1 2 . ∵ 3+1 2 - 3-1 2 =1 , ∴ 一元二次方程 2x2-23x+1=0 是“邻根方程”. (2) ∵ x2-(m-2)x-2m=0, ∴ (x-m)(x+2)=0. ∴ x1=m,x2=-2. ∵ 关于x的一元二次方程 x2-(m- 2)x-2m=0(m 是常数)是“邻根 方程”, ∴ m=-2+1或 m=-2-1,即 m=-1或m=-3. 7. (1) (14-10)÷2+1=3(个), ∴ 该批次的蛋糕属于第3个档次的 产品. (2) 设该烘焙店生产的是第x个档次 的蛋糕产品. 由题意,得[10+2(x-1)][76- 4(x-1)]=1080. 整理,得x2-16x+55=0,解得x1= 5,x2=11(不合题意,舍去). ∴ 该烘焙店生产的是第5个档次的 蛋糕产品. 8. 如图,过点Q 作QE⊥PB 于点E, 则∠QEB=90°. ∵ 在Rt△QEB 中,∠B=30°, ∴ QE=12QB. ∴ S△PBQ= 1 2PB ·QE. 设经 过ts后,△PBQ 的 面 积 为 4cm2. 点P,Q到达终点前,PB=(6-t)cm, QB=2tcm,QE=tcm. 由题意,得1 2 (6-t)·t=4,即t2- 6t+8=0,解得t1=2,t2=4. 当t=4时,2t=8,8>43,不合题意, 舍去. ∴ t=2. 点Q 到达点C 后,t>2 3,QE= AC=12BC=2 3cm ,PB=(6- t)cm. ∴ 1 2×23× (6-t)=4. ∴ t=6-433 . 综上所述,经过2s或 6-433 s后, △PBQ 的面积为4cm2. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22