第二章 3 用公式法求解一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

2　用配方法求解一元二次方程 第1课时 二次项系数为1的配方 1. D 2. D 3. 16 (x-4)2=21 4. 4 3 x1= -4+ 3,x2 = -4-3 5. (1) x1=2+6,x2=2-6. (2) x1=4,x2=1. (3) 原方程没有实数根. 6. C 解析:由x2+6x+c=0,整理, 得(x+3)2=-c+9.∵ (x+3)2= 2c,∴ 2c=-c+9,解得c=3. 7. A 解析:N-M=a2-a-a+ 1=a2-2a+1=(a-1)2≥0, ∴ N≥M. 巧用配方法比较 两个整式大小的方法 先将两个整式作差化简得一 个多项式,再利用配方法将这个多 项式中的二次项和一次项进行配 方变形后,可将多项式化为一个完 全平方式和一个常数的和的形式, 再根据m2≥0可得出该多项式的 正负性,进而比较大小. 8. -1±5 解析:设t=2x+3y,则 原方程可化为t2+2t-4=0,配方,得 t2+2t+1=5,即(t+1)2=5,开方, 得t+1=± 5,即t=-1± 5. ∴ 2x+3y的值为-1±5. 9. 由题意,得(x-120)[120-(x- 120)]=3200,即 x2 -360x + 32000=0. ∴ (x-180)2=202,解得x1=200, x2=160. ∴ x的值为200或160. 第2课时 二次项系数 不为1的配方 1. A 2. 5 3 ± 15 3 1+ 15 3 1- 153 3. (1) x1=1+ 2 2 ,x2=1- 2 2. (2) x1= 3+6 6 ,x2= 3-6 6 . (3) x1= 62 5 ,x2=-2. (4) x1=1,x2=- 11 5. 4. C 5. 3+ 33 3 或3- 33 3 6. -4+ 30 2 或-4- 30 2 解析:由 题意,得5x2+7x+1=x2-9x+15. 整理,得4x2+16x-14=0,即x2+ 4x- 72 =0.∴ (x+2)2 =152. ∴ x1= -4+ 30 2 ,x2= -4- 30 2 . 7. (1) 原式=3(x2-2x)+2= 3(x2-2x+1-1)+2=3(x- 1)2-1. ∵ 3(x-1)2≥0, ∴ 3(x-1)2-1≥0-1. ∴ 当x=1时,3(x-1)2-1的值最 小,为-1,即多项式3x2-6x+2的 最小值为-1,对应的x的值为1. (2) 原式=-(x-1)2+5. ∵ -(x-1)2≤0, ∴ -(x-1)2+5≤0+5. ∴ 当x=1时,-(x-1)2+5的值最 大,为5,即多项式4-x2+2x的最大 值为5. (3) 原式=(x+1)2+(y-2)2+4. ∵ (x+1)2≥0,(y-2)2≥0, ∴ 当(x+1)2=0,(y-2)2=0,即 x=-1,y=2时,(x+1)2+(y- 2)2+4的值最小,为4,即多项式 x2+2x+y2-4y+9的最小值为4. 3　用公式法求解 一元二次方程 第1课时 公式法与根的判别式 1. D 2. D 3. 13 5+ 132 5- 13 2 4. c>1 5. (1) x1=-2,x2= 1 3. (2) y1= 4+ 22 3 ,y2= 4- 22 3 . (3) x1=x2=-2. 用公式法解一元二次方程的 两个注意点 用公式法解一元二次方程是 配方法的深入,是将配方法一般 化、模型化.用此方法需要注意: (1) 必须先把方程化为一般形式, 以便准确确定a,b,c的值;(2) 用 公式法解方程的条件是b2-4ac≥ 0,其中当b2-4ac>0时,方程有两 个不相等的实数根;当b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.注 意一元二次方程若有根,就有两个, 不要把两个相等的根当成一个. 6. D 解析:根据题意,得16-4(m- 2)×2≥0,且m-2≠0,解得m≤4且 m≠2. 忽略二次项系数不为0致错 根据一元二次方程有实数根 求字母的取值范围时,若题目中说 明方程为一元二次方程,且二次项 系数中含有字母,则需要考虑两个 限制条件:一是二次项系数不为0; 二是根的判别式大于或等于0,以 避免解答不全. 7. D 解析:当k-1≠0,即k≠1时, 此方程为一元二次方程.∵ 关于x的 方程(k-1)2x2+(2k+1)x+1=0 有实数根,∴ Δ=(2k+1)2-4×(k- 1)2×1=12k-3≥0,解得k≥14. 当 k-1=0,即k=1时,方程为3x+1= 0,显然有解.综上所述,k的取值范围 是k≥14. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 想当然认为方程为 二次方程导致错解 解答根据整式方程有实数根 求字母的取值范围的题目时,若题 目中未说明方程是二次方程,则要 分两种情况讨论:一是考虑方程为 一次方程;二是考虑方程为二次方 程,以避免解答不全,导致错误. 8. C 解析:∵ m-2n=3,∴ Δ= (-m)2-4(-n2+mn+1)=m2+ 4n2-4mn-4=(m-2n)2-4=32- 4=9-4=5>0.∴ 原方程有两个不 相等的实数根. 9. 有两个不相等的实数根 解析:由 所给一次函数的图象可知,k<0,b< 0.∵ 关于x的一元二次方程为x2+ bx-kb=0,∴ Δ=b2-4×1× (-kb)=b2+4kb.∵ k<0,b<0, ∴ kb>0.∴ Δ=b2+4kb>0.∴ 此方 程有两个不相等的实数根. 10. x2-3x+1=0 解析:原方程去 分母,得2x= 5+3,移项,得2x- 3=5,两边平方,得4x2-12x+9= 5,即x2-3x+1=0. 11. ①②④ 解析:① 若a+b+c= 0,则b=-(a+c).∴ b2-4ac= [-(a+c)]2-4ac=(a-c)2≥0.故 ①正确.② ∵ 方程ax2+c=0有两 个不相等的实数根,∴ x2=-ca>0. ∴ a,c异号.∴ b2-4ac>0.∴ 方程 ax2+bx+c=0必有两个不相等的实 数根.故②正 确.③ ∵ c 是 方 程 ax2+bx+c=0的一个根,∴ ac2+ bc+c=0.当c≠0时,ac+b+1=0, 故③不正确.④ ∵ x1 是一元二次方 程ax2+bx+c=0的一个根,∴ x1= -b± b2-4ac 2a ,即± b2-4ac= 2ax1+b.∴ b2-4ac=(2ax1+b)2. 故④正确.故正确的有①②④. 12. (1) ①③④. (2) ∵ 关于x的一元二次方程 ax2+ bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”, ∴ b=a+c. ∴ b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a- c)2≥0. ∴ “和谐方程”总有实数根. 13. (1) ∵ a=1,b=-(k+3),c= 2k+2, ∴ Δ=b2-4ac=[-(k+3)]2-4× 1×(2k+2)=k2+6k+9-8k-8= k2-2k+1=(k-1)2≥0. ∴ 无论k 取何值,方程总有两个实 数根. (2) ∵ Δ=(k-1)2≥0, ∴ x = k+3± (k-1)2 2 = k+3±(k-1) 2 . ∴ x1=k+1,x2=2. ∵ 方程有一个不小于4的根, ∴ k+1≥4,解得k≥3. 14. 1- 33 4 解析:当2x2-4=x, 且x≤0时,输入计算后始终不能输 出 y 的 值. ∴ x = -(-1)± (-1)2-4×2×(-4) 2×2 = 1± 33 4 .∵ 1+ 33 4 >0 ,1- 33 4 < 0,∴ x=1- 334 . 15. 令xy=a,x+y=b,则原方程组 可化为 5a2+2b=133, b 4+2a 2=51. 整理,得 5a2+2b=133①, 16a2+2b=408②. 由②-①,得11a2=275,即a2=25, 解得a=±5. 将a2=25代入②,得b=4. ∴ 方程组的解为 a=5, b=4 或 a=-5 , b=4. ∴ x2+y2=(x+y)2-2xy=b2- 2a. 当a=5,b=4时,x2+y2=6; 当a=-5,b=4时,x2+y2=26. ∴ x2+y2的值为6或26. 第2课时 公式法的实际应用 1. C 2. 48 3. 设页边距为xcm. 根据题意,得(16-2x)(10-2x)= 16×10×70%,解得x=1或x=12 (不合题意,舍去). 答:设置页边距为1cm. 4. C 解析:由题意,得(90-b)· (60-a)=5046.∵ a∶b=2∶3, ∴ a=23b.∴ (90-b)60-23b = 5046,解得b1=3,b2=177(不合题 意,舍去). 5. (1) 设人行通道的宽度为x米,则 两块运动区域的长为(21-3x)米,宽 为(10-2x)米. 根据题意,得(21-3x)(10-2x)= 90,解得x1=10(不合题意,舍去), x2=2. 答:人行通道的宽度为2米. (2) 不能. 理由:假设人行通道的宽度为y 米 时,每块运动区域的宽与长之比等于 3∶5. 根据题意,得(10-2y)∶ 21-3y 2 = 3∶5,解得y= 37 11. ∵ 37 11>3 , ∴ 假设不成立. ∴ 不能改变人行通道的宽度,使得每 块运动区域的宽与长之比等于3∶5. 4　用因式分解法求解 一元二次方程 1. B 2. C 3. x1=-2,x2=5 4. (1) y1=0,y2=- 7 2. (2) x1=3,x2= 13 4. (3) x1=- 10 7 ,x2=14. (4) x1=2,x2=-2. 5. B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 30 3　用公式法求解一元二次方程 第1课时 公式法与根的判别式 ▶ “答案与解析”见P16 1. 若x=2± 4-4×3× (-1) 2×3 是某个一元二 次方程的根,则这个一元二次方程可以是 ( ) A. 3x2+2x-1=0 B. 2x2+4x-1=0 C. -x2-2x+3=0 D. 3x2-2x-1=0 2. (2024·上海)以下一元二次方程有两个相等 实数根的是 ( ) A. x2-6x=0 B. x2-9=0 C. x2-6x+6=0 D. x2-6x+9=0 3. 用公式法解方程x2-5x+3=0时,b2-4ac= ,x1= ,x2= . 4. (2024·云南)若一元二次方程x2-2x+c= 0没有实数根,则实数c 的取值范围是 . 5. ★用公式法解下列方程: (1) 3x2=2-5x. (2) 3 2y 2-4y=1. (3) x(x+22)+2=0. 6. 易错题 (2024·龙东地区)关于x 的一元二 次方程(m-2)x2+4x+2=0有两个实数 根,则m 的取值范围是 ( ) A. m≤4 B. m≥4 C. m≥-4且m≠2 D. m≤4且m≠2 7. 易错题 若关于x的方程(k-1)2x2+ (2k+1)x+1=0有实数根,则k的 取值范围是 ( ) A. k>14 且k≠1 B. k≥14 且k≠1 C. k>14 D. k≥14 8. (2024·潍坊)已知关于x 的一元二次方程 x2-mx-n2+mn+1=0,其中m,n 满足 m-2n=3,关于该方程根的情况,下列判断 中正确的是 ( ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 (第9题) 9. 一次函数y=kx+b的图象 如图所示,则关于x 的一元 二次方程x2+bx-kb=0的 根的情况是 . 10. 新考法·过程性学习 若可将x= 5-12 转化 为方程x2+x-1=0,我们规定:方程x2+ x-1=0称为x= 5-12 的还原方程.转化 过程如下:x= 5-12 ,去分母,得2x=5- 1,移项,得2x+1=5,两边平方,得4x2+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 31 4x+1=5,整理,得x2+x-1=0.按照上述 方法,x= 5+32 的还原方程是 . 11. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0),有下列结论:① 若a+b+c=0, 则b2-4ac≥0;② 若方程ax2+c=0有两 个不相等的实数根,则方程ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实数根;③ 若c是方程 ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+ 1=0成立;④ 若x1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个根,则b2-4ac=(2ax1+ b)2.其中,正确的有 (填序号). 12. 新考法·新定义 定义:若关于x的一元二次 方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c, 则称该方程为“和谐方程”. (1) 有下列方程:① x2+2x+1=0;② x2- 2x+1=0;③ x2-x-2=0;④ x2+x=0. 其中,属于“和谐方程”的是 (填 序号). (2) 求证:“和谐方程”总有实数根. 13. 已知关于x的方程x2-(k+3)x+ 2k+2=0. (1) 求证:无论k取何值,方程总有 两个实数根. (2) 若方程有一个不小于4的根,求实数k 的取值范围. 14. 如图所示为一个计算程序,当x= 时,输入计算后该程序会一直循环下去. (第14题) 15. 新考法·阅读理解 “通过等价变换,化陌生为 熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问 题的基本思维方式.例如:解方程x- x= 0,就可以利用该思维方式,设 x=y,将原 方程转化为y2-y=0这个熟悉的关于y 的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法 又叫“换元法”.请你运用这种思维方式和换 元法解决问题. 已 知 实 数 x,y 满 足 方 程 组 5x2y2+2x+2y=133, x+y 4 +2x 2y2=51, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 求x 2+y2的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程 32 第2课时 公式法的实际应用 ▶ “答案与解析”见P17 1. 如图,公园里有一段长20米的墙AB,工人师 傅计划利用墙AB 和40米的栅栏围成一个 面积为198平方米的封闭矩形绿化区域,设 矩形中垂直于墙 AB 的一边的栅栏长为 x米.下列说法中,正确的是 ( ) A. 由题意,得2x·(40-2x)=198 B. x的取值范围是0<x≤20 C. 只有一种围法 D. 只有两种围法 (第1题) (第2题) 2. 如图所示为一张长12cm、宽10cm的矩形铁 皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等 的矩形,剩余部分(涂色部分)可制成底面积 是24cm2的有盖的长方体铁盒,则该铁盒的 体积为 cm3. 3. 新考法·方案设计题 如图,在打印图片之前, 为确定打印区域,需设置纸张大小和页边距 (纸张的边线到打印区域的距离),上、下、左、 右页边距分别为acm,bcm,ccm,dcm.若 纸张大小为16cm×10cm,考虑到整体的美 观性,要求各页边距相等并使打印区域的面 积占纸张的70%,则需如何设置页边距? (第3题) 4. 如图,一块矩形绿地长90m,宽 60m.在绿地中开辟两条道路,使得 a∶b=2∶3,开辟道路后剩余绿地 的面积为5046m2,则b的值为 ( ) (第4题) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某市各校充分利用走廊、平台、小广场、转角 等“金角银边”,打造更多适合学生的运动空 间.如图,某校有一块长为21米、宽为10米 的矩形小广场,计划在其中打造两块相同的 运动区域,两块运动区域之间及周边留有宽 度相等的人行通道,且人行通道的宽度不能 超过3米. (1) 如果两块运动区域的面积之和为90平 方米,求人行通道的宽度. (2) 能否改变人行通道的宽度,使得每块运 动区域的宽与长之比等于3∶5? 请说明 理由. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上