第一章 1 菱形的性质与判定-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

1 本册教材思维导图 2 1　菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 ▶ “答案与解析”见P1 1. 如图,在菱形ABCD 中,连接AC,BD.若 ∠1=20°,则∠2的度数为 ( ) A. 20° B. 60° C. 70° D. 80° (第1题) (第2题) 2. (2024·临夏)如图,O 是坐标原点,菱形 ABOC 的顶点B 在x轴的负半轴上,顶点C 的坐标为(3,4),则顶点A 的坐标为 ( ) A. (-4,2) B. (-3,4) C. (-2,4) D. (-4,3) 3. 如图,在菱形ABCD 中,∠DAB=40°,连接 AC,以点A 为圆心,AC 长为半径作弧,交直 线AD 于点E,连接CE,则∠AEC 的度数是 . (第3题) 4. 如图,菱形ABCD 的边长为2,∠ABC=60°, M,N 分别是边BC,CD 上的两个动点, ∠MAN=60°,连接 MN.猜想:△AMN 的 形状是 三角形,并证明. (第4题) 5. 数形结合思想 (2024·甘肃)如图①,动点P 从菱形ABCD 的点A 出发,沿边AB→BC 匀速运动,运动到点C 时停止.设点P 的运 动路程为x,PO 的长为y,y与x 的函数图 象如图②所示,当点P 运动到BC 的中点时, PO 的长为 ( ) (第5题) A. 2 B. 3 C. 5 D. 22 6. 如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=α,E 为对 角线BD 上一点,F 为AD 边上一点,连接 CE,EF.若CE=EF,CE⊥BD,则∠DEF 一定等于 ( ) A. α B. 90°-12α C. 90°-α D. 90°+α (第6题) (第7题) 7. 如图,AB=8,P 为线段AB 上的一个动点, 分别以AP,PB 为边在AB 的同侧作菱形 APCD 和菱形PBFE,点P,C,E 在同一条 直线上,∠DAP=60°,M,N 分别是对角线 AC,BE 的中点.当点P 在线段AB 上移动 时,点M,N 之间的距离最短为 ( ) A. 2 B. 23 C. 4 D. 43 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 第一章　特殊平行四边形 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”,标“易错题”的设有“易错警示”,详见“答案与解析”. 3 8. 如图,P 为菱形ABCD 的对角线AC 上的一 个定点,Q 为AD 边上的一个动点,AP 的垂 直平分线分别交AB,AP 于点E,G,∠DAB= 30°.若PQ 长的最小值为3,则AE 的长为 . (第8题) (第9题) 9. 如图,把菱形ABCD 沿AH 折叠,使点B 落 在BC 上的点E 处,连接DE.若∠B=70°, 则∠EDC 的度数为 . 10. 如图①,P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一 点,连接DP 并延长,交边AB 于点E,连接 BP 并延长,交边AD 于点F. (1) 求证:△APB≌△APD. (2) 如图②,连接EF,BD,请直接写出图中 所有的等腰三角形(不包括以菱形的边AD 和AB 为腰的等腰三角形). (第10题) 11. 在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,E 是AC 上任意一点,F 是线段BC 的延长线上一点,且CF=AE,连 接BE,EF. (1) 如图①,当E 是线段AC 的中点时,求 证:BE=EF. (2) 如图②,当E 不是线段AC 的中点,且 其他条件不变时,请你判断(1)中的结论是 否成立,并说明理由. (3) 如图③,当E 是线段AC 的延长线上任 意一点,且其他条件不变时,(1)中的结论是 否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,请 说明理由. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形 4 第2课时 菱形的判定 ▶ “答案与解析”见P2 1. 依据所标数据,下列四边形不一定为菱形 的是 ( ) A. B. C. D. 2. (2024·西藏)如图,在四边形 ABCD 中, AD=BC,AB=CD,AC 与BD 相交于点O, 请添加一个条件: ,使四边形ABCD 是菱形. (第2题) 3. 新考法·条件开放题 如图,点E,F 分别在 ▱ABCD 的边AB,BC 上,AE=CF,连接 DE,DF.给出下列三个条件:① ∠1=∠2; ② DE=DF;③ ∠3=∠4.请从中选择一个 合适的作为已知条件,使▱ABCD 为菱形. (1) 你添加的条件是 (填序号). (2) 根据(1)中添加的条件,求证:▱ABCD 为菱形. (第3题) 4. 用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD, 下列作法错误的是 ( ) A. B. C. D. 5. 如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,点E,F 分别在线段AD 及其延长线上,且 DE= DF.下列条件不能使四边形BECF 为菱形 的是 ( ) A. BE⊥EC B. BE=BF C. AB=AC D. BC⊥EF (第5题) (第6题) 6. 新考法·方案探究题 如 图,在 ▱ABCD 中, AD>AB,∠ABC 为锐角,将△ABC 沿对 角线AC 平移,得到△A'B'C',连接AB', B'D,C'D.若使四边形AB'C'D 是菱形, 需 添 加 一 个 条 件,现 有 下 列 三 个 条 件: ① AB'=DC';② B'D⊥AC';③ ∠A'C'B'= ∠A'C'D.其中,正确的是 (填序号). 7. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,O 为对 角线BD 的中点,过点O 的直线l分别与 AD,BC 所在的直线相交于点E,F(点E 不 与点D 重合),连接BE,DF. (1) 求证:△DOE≌△BOF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 5 (2) 当直线l⊥BD 时,试判断四边形EBFD 的形状,并说明理由. (第7题) 8. 新考法·动点探究题 如图①,△ABC 为等腰三 角形,AB=AC=6,P 是底边BC 上的一个 动点.PD∥AC,交AB 于点D,PE∥AB,交 AC 于点E. (1) 求四边形ADPE 的周长. (2) 当点 P 运动到什么位置时,四边形 ADPE 是菱形? 请说明理由. (3) 如果△ABC 不是等腰三角形(如图②), 其他条件不变,那么当点P 运动到什么位置 时,四边形ADPE 是菱形? 请说明理由. (第8题) 9. 类比法 如图①,P 是线段AB 上的 一点,在 AB 的同侧作△APC 和 △BPD,使 PC=PA,PD=PB, ∠APC=∠BPD,连接CD,E,F,G,H 分 别是AC,AB,BD,CD 的中点,顺次连接 EF,FG,GH,HE,EG,HF. (1) 猜想EG 与HF 的关系,并说明理由. (2) 如图②,当点P 在线段AB 的上方时,在 △APB 的外部作△APC 和△BPD,且其他 条件不变,(1)中的结论仍成立吗? 请说明 理由. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形 6 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用 ▶ “答案与解析”见P3 1. 如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合 部分构成一个四边形ABCD,连接AC,BD, 在其中一张纸条转动的过程中,下列结论错 误的是 ( ) A. AD=CD B. AC⊥BD C. 四边形ABCD 的面积不变 D. 四边形ABCD 的周长=4AB (第1题) (第2题) (第3题) 2. 新考法·操作实践题 如图,在正方形网格中,如 果把△ABC 的顶点C 先向右平移3格,再向 上平移1格到达点C',连接BC',那么线段 BC'与线段AC 的关系是 ( ) A. 垂直 B. 相等 C. 平分 D. 平分且垂直 3. 如图,在∠MON 的两边上分别截取OA, OB,使OA=OB;分别以点A,B 为圆心, OA 长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC, BC,AB,OC.若AB=2,四边形OACB 的面 积为4,则OC 的长为 . 4. 如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂 足分别为E,F,且BE=DF,连接AC. (1) 求证:▱ABCD 是菱形. (2) 若AB=5,AC=6,求▱ABCD 的面积. (第4题) 5. ★中国结寓意团圆、美满,以独特的 东方神韵体现我国人民的智慧和深 厚的文化底蕴,小陶家有一个菱形 中国结装饰(如图①),其示意图如图②所示, 测得BD=12cm,AC=16cm,直线EF⊥ AB交两对边于点E,F,则EF的长为( ) A. 9.6cm B. 10.8cm C. 12cm D. 4.8cm (第5题) (第6题) 6. 如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相 交于点O,E,F 分别是OB,OD 的中点.有下 列结论:① 四边形AECF是菱形;② ∠BAE= ∠DCF;③ ∠DAF=∠FAO;④ S菱形ABCD= EF·AC.其中,正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的 两条对角线的长度之和为 . 8. 如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=60°,AC 与 BD 交于点O,E 为CD 的延长线上一点,且 CD=DE,连接BE,分别交AC,AD 于点F, G,连接 AE,OG.有下列结论:① OG= 1 2AB ;② 与△DEG 全等的三角形共有5个; ③ 四边形ODEG 与四边形OBAG 面积相 等;④ 由点A,B,D,E 构成的四边形是菱 形.其中,正确的是 (填序号). (第8题) 9. 新考法·新定义 定义:若P 为四边形ABCD 内一点,且满足∠APB+∠CPD=180°,则 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 7 称P 为四边形ABCD 的一个“互补点”. (1) 如图①,P 为四边形ABCD 的一个“互补 点”,若∠APD=60°,则∠BPC= . (2) 如图②,P 是菱形ABCD 对角线BD 上 的任意一点(不与点B,D 重合),求证:P 为 菱形ABCD 的一个“互补点”. (第9题) 10. 如图,在▱ABCD 中,FA⊥AB,交CD 于点 E,交BC 的延长线于点F,且CF=BC,连 接AC,DF. (1) 求证:四边形ACFD 是菱形. (2) 若AB=5,DF=132 ,求四边形ACFD 的面积. (第10题) (第11题) 11. 如图,在等腰三角形ABC 中,AB= AC,AD 是∠BAC 的平分线,P 是 AD 上任意一点,过点P 作EF∥ AB,分别交BC,AC 于点E,F,过点P 作 PM∥AC,交AB 于点M. (1) 求证:四边形PFAM 为菱形. (2) 当四 边 形 PFAM 的 面 积 为 四 边 形 BEFM 面积的一半时,猜想线段AP 与AD 之间的数量关系,并证明你的结论. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形 第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 1. C 2. C 3. 10°或80° 4. 等边. 连接AC. ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ ∠B=∠D =60°,AB=BC= CD=AD. ∴ △ABC,△ACD 都是等边三角形. ∴ AB = AC,∠B = ∠BAC = ∠ACD=60°=∠MAN. ∴ 易得∠BAM=∠CAN. ∴ △BAM≌△CAN. ∴ AM=AN. ∵ ∠MAN=60°, ∴ △AMN 是等边三角形. 5. C 解析:结合图象,得当x=0时, PO=AO=4;当点P 运动到点B 时, PO=BO=2.∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ BC = AB,AC ⊥ BD. ∴ ∠AOB=∠BOC=90°.∴ BC= AB= OA2+OB2=25.当点P 运 动到BC 的中点时,易得PO 的长为 1 2BC=5. 6. C 解析:连接 AC.∵ 四边形 ABCD 是菱形,点 E 在对角线BD 上,∴ AC⊥BD,∠ABE=∠CBE= ∠ADE= 12 ∠ABC= 1 2α ,AB= CB.∵ CE⊥BD,∴ A,E,C 三点共 线.∴ ∠EAD=90°-∠ADE=90°- 1 2 α. 在 △ABE 和 △CBE 中, AB=CB, ∠ABE=∠CBE, BE=BE, ∴ △ABE ≌ △CBE.∴ AE=CE.∵ CE=EF, ∴ AE=EF.∴ ∠EFA=∠EAD= 90°- 12α.∴ ∠AEF =180°- 90°-12α - 90°-12α =α. ∴ ∠DEF=90°-∠AEF=90°-α. 7. B 解析:如图,连接 DP,PF, DF.∵ M,N 分别是AC,BE 的中 点,四边形APCD 和四边形PBFE 是 菱形,∴ M 是DP 的中点,N 是PF 的中点.∴ MN 是△PDF 的中位线. ∴ MN=12DF. 易知当 DF⊥AD 时,DF 的长最小,则MN 的长最小. ∵ AB=8,∠DAB=60°,∴ 易得DF 长的最小值为43.∴ MN 长的最小 值为23. (第7题) 8. 6 解析:如图,过点P 作PK⊥ AB 于点K,连接PE.∵ GE 垂直平 分AP,∴ AE=PE.∴ ∠EAP= ∠EPA.∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC 平 分∠BAD.∴ ∠BAD = 2∠BAP = 30°. ∴ ∠PEK = ∠EAP+∠EPA=2∠BAP=30°. ∵ ∠PKE=90°,∴ PE=2PK.当 PQ⊥AD 时,PQ 的长最小,为3.又 ∵ AC 平 分 ∠BAD,PK ⊥AB, ∴ PK=PQ=3.∴ PE=2×3=6. ∴ AE=6. (第8题) 9. 15° 解析:∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ AB=AD,AD∥BC,∠ADC= ∠B=70°.由 折 叠,得 AE=AB, ∠AEB=∠B=70°.∴ AD=AE. ∴ ∠AED=∠ADE.∵ AD∥BC, ∴ ∠DAE = ∠AEB = 70°. ∴ ∠ADE= ∠AED = 12 (180°- ∠DAE ) = 55°. ∴ ∠EDC = ∠ADC-∠ADE=15°. 10. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB=AD,∠BAP=∠DAP. 在△APB 和△APD 中, AB=AD, ∠BAP=∠DAP, AP=AP, ∴ △APB≌△APD. (2) △AEF,△PEF,△PDB,△CBD. 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB=BC. ∵ ∠ABC=60°, ∴ △ABC是等边三角形. ∴ ∠BCA=60°. ∵ E 是线段AC的中点, ∴ ∠CBE=∠ABE=30°,AE=CE. ∵ CF=AE, ∴ CE=CF. ∴ ∠F=∠CEF=12∠BCA=30°. ∴ ∠CBE=∠F=30°. ∴ BE=EF. (2) 结论成立. 理由:过点E 作EG∥BC,交AB 于 点G. 由(1),得△ABC是等边三角形. ∴ AB=AC,∠ABC= ∠BAC= ∠ACB=60°. ∴ ∠ECF=180°-∠ACB=120°. ∵ EG∥BC, ∴ ∠AGE=∠ABC=60°. 又∵ ∠BAC=60°, ∴ △AGE 是等边三角形. ∴ AG=AE=GE. ∴ BG = EC,∠BGE =120°= ∠ECF. 又∵ CF=AE, ∴ GE=CF. 在△BGE 和△ECF 中, BG=EC, ∠BGE=∠ECF, GE=CF, ∴ △BGE≌△ECF. ∴ BE=EF. (3) 结论成立. 过点E 作EG∥BC,交AB 的延长线 于点G. 由(1),得△ABC是等边三角形. ∴ AB=AC,∠ABC= ∠BAC= ∠ACB=60°. ∴ ∠ECF=∠ACB=60°. ∵ EG∥BC, ∴ ∠AGE=∠ABC=60°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 又∵ ∠BAC=60°, ∴ △AGE 是等边三角形. ∴ AG=AE=GE. ∴ BG=EC. 又∵ CF=AE, ∴ GE=CF. 在△BGE 和△ECF 中, BG=EC, ∠BGE=∠ECF=60°, GE=CF, ∴ △BGE≌△ECF. ∴ BE=EF. 第2课时 菱形的判定 1. C 2. AC⊥BD(答案不唯一) 3. (1) 答案不唯一,如①. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ ∠A=∠C. 在△ADE 和△CDF 中, ∠1=∠2, ∠A=∠C, AE=CF, ∴ △ADE≌△CDF. ∴ AD=CD. ∴ ▱ABCD 为菱形. 4. C 5. A 6. ②③ 7. (1) ∵ AD∥BC, ∴ ∠ODE=∠OBF. ∵ O 为对角线BD 的中点, ∴ OD=OB. 在△DOE 和△BOF 中, ∠ODE=∠OBF, OD=OB, ∠DOE=∠BOF, ∴ △DOE≌△BOF. (2) 四边形EBFD 是菱形. 理由:∵ OD=OB,直线l经过点O 且l⊥BD, ∴ 直线l是线段BD 的垂直平分线. ∴ DE=BE,DF=BF. ∵ △DOE≌△BOF, ∴ DE=BF. ∴ DE=BE=DF=BF. ∴ 四边形EBFD 是菱形. 8. (1) ∵ PD∥AC,PE∥AB, ∴ ∠DPB=∠C,∠EPC=∠B. ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C. ∴ ∠B=∠DPB,∠C=∠EPC. ∴ DB=DP,PE=EC. ∴ 四边形 ADPE 的周长是AD+ DP+PE+AE=AB+AC=12. (2) 当点P 运动到BC 的中点时,四 边形ADPE 是菱形. 理由:∵ PD∥AC,PE∥AB, ∴ 四边形ADPE 是平行四边形. 由(1)知,∠DPB=∠C,∠EPC= ∠B,PE=EC. ∵ P 是BC的中点, ∴ PB=PC. 在△DBP 和△EPC中, ∠B=∠EPC, BP=PC, ∠DPB=∠C, ∴ △DBP≌△EPC. ∴ DP=EC. ∵ EC=PE, ∴ DP=EP. ∴ 四边形ADPE 是菱形. (3) 当点P 运动到∠A 的平分线上 时,四边形ADPE 是菱形. 理由:如图,连接AP. ∵ PD∥AC,PE∥AB, ∴ 四边形ADPE 是平行四边形. ∵ AP 平分∠BAC, ∴ ∠1=∠2. ∵ AB∥EP, ∴ ∠1=∠3. ∴ ∠2=∠3. ∴ AE=EP. ∴ 四边形ADPE 是菱形. (第8题) 9. (1) EG 与HF 互相垂直平分. 理由:如图①,连接AD,BC. ∵ ∠APC=∠BPD, ∴ ∠APC + ∠CPD = ∠BPD + ∠CPD,即∠APD=∠CPB. 在△APD 和△CPB 中, PA=PC, ∠APD=∠CPB, PD=PB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △APD≌△CPB. ∴ AD=CB. ∵ E,F,G,H 分别是AC,AB,BD, CD 的中点, ∴ EF,FG,GH,HE 分别是△ABC, △ABD,△BCD,△ACD 的中位线. ∴ EF=GH=12CB ,HE=FG= 1 2AD. 又∵ AD=CB, ∴ EF=FG=GH=HE. ∴ 四边形EFGH 是菱形. ∴ EG 与HF 互相垂直平分. (2) 结论仍成立. 理由:如图②,连接AD,BC. ∵ ∠APC=∠BPD, ∴ ∠APC + ∠CPD = ∠BPD + ∠CPD,即∠APD=∠CPB. 在△APD 和△CPB 中, PA=PC, ∠APD=∠CPB, PD=PB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △APD≌△CPB. ∴ AD=CB. ∵ E,F,G,H 分别是AC,AB,BD, CD 的中点, ∴ EF,FG,GH,HE 分别是△ABC, △ABD,△BCD,△ACD 的中位线. ∴ EF=GH=12CB ,HE=FG= 1 2AD. 又∵ AD=CB, ∴ EF=FG=GH=HE. ∴ 四边形EFGH 是菱形. ∴ EG 与HF 互相垂直平分. ① 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 ② (第9题) 第3课时 菱形的性质 与判定的综合应用 1. C 2. D 3. 4 4. (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ ∠ABC=∠ADC. ∵ AE⊥BC,AF⊥CD, ∴ ∠AEB=∠AFD=90°. 又∵ BE=DF, ∴ △AEB≌△AFD. ∴ AB=AD. ∴ ▱ABCD 是菱形. (2) 如图,连接BD 交AC于点O. 由(1),知 四 边 形 ABCD 是 菱 形, AC=6, ∴ AC⊥BD,AO=OC= 12AC= 1 2×6=3 ,BD=2BO. ∴ 在Rt△AOB 中, BO= AB2-AO2= 52-32=4. ∴ BD=2BO=8. ∴ S▱ABCD= 1 2AC ·BD=24. (第4题) 5. A 解析:∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ AC⊥BD,AO=12AC=8cm , BO = 12BD =6cm.∴ AB = AO2+BO2=10cm.∵ S菱形ABCD= 1 2AC ·BD=AB·EF,∴ EF= AC·BD 2AB =9.6cm. 菱形面积问题的求解技巧 由菱形对角线互相垂直的性 质,可得菱形的面积等于对角线长 的乘积的一半,进一步地,对角线 互相垂直的四边形的面积都等于 对角线长的乘积的一半.此外,菱 形也是平行四边形,其面积也等于 底 乘 高,由 此 可 利 用 等 量 关 系 “底×高=12× 对角线长的乘积” 列方程巧解相关问题. 6. C 解析:∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ OA=OC,OB=OD,AC⊥ BD.∴ AC⊥EF.∵ E,F 分别是 OB,OD 的中点,∴ OE= 12OB , OF=12OD.∴ OE=OF.∴ 四边形 AECF 是菱形,故①正确.∵ 四边形 ABCD 是 菱 形,∴ AB ∥CD. ∴ ∠BAC = ∠DCA.同 理 可 证 ∠EAC = ∠FCA,∴ ∠BAE = ∠DCF,故 ② 正 确.无 法 证 明 ∠DAF=∠FAO 成立,故③不正确. ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形, ∴ S菱形ABCD= 1 2BD ·AC,OB=OD. ∵ E,F 分别是OB,OD 的中点, ∴ OB=2OE,OD=2OF.∴ BD= OB+OD=2(OE+OF)=2EF. ∴ S菱形ABCD=EF·AC,故④正确.综 上所述,正确的有3个. 7. 16 解析:设菱形两条对角线的长 分别为2a,2b,则12×2a×2b=28 , a2+b2=62,即ab=14,a2+b2=36. ∴ (a+b)2=a2+b2+2ab=36+2× 14=64=82.∴ a+b=8.∴ 2a+ 2b=16. 8. ①③④ 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=BC=CD=DA, AB∥CD,OA=OC,OB=OD,AC⊥ BD.∴ ∠BAG=∠EDG,△ABO≌ △CBO≌△CDO≌△ADO.∵ CD= DE,∴ AB =DE.在 △ABG 和 △DEG 中, ∠BAG=∠EDG, ∠AGB=∠DGE, AB=DE, ∴ △ABG≌△DEG.∴ AG=DG. ∴ OG 是△ACD 的中位线.∴ OG= 1 2CD= 1 2AB ,故①正确.∵ AB∥ CE,AB=DE,∴ 四边形ABDE 是平 行四边形.∵ ∠BCD=∠BAD=60°, ∴ △ABD,△BCD 是等边三角形. ∴ AB=BD=AD,∠ODC=60°. ∴ 易得OD=AG,四边形ABDE 是 菱形,故④正确.∴ AD⊥BE.由菱形 的 性 质,得 △BGA ≌ △BGD ≌ △EGD ≌ △EGA.在 △BGA 和 △COD 中, AG=DO, ∠BAG=∠CDO, AB=DC, ∴ △BGA ≌ △COD.∴ △AOB≌ △COB ≌ △COD ≌ △AOD ≌ △BGA ≌ △BGD ≌ △EGD ≌ △EGA,故②不正确.∵ OB=OD, ∴ S△BOG=S△DOG.∵ 四边形ABDE 是菱形,∴ S△ABG=S△DGE.∴ 四边形 ODEG与四边形OBAG 面积相等,故 ③正确.综上所述,正确的是①③④. 9. (1) 120°. (2) 连接AP,CP. ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AD=CD,∠ADP=∠CDP. 在△ADP 和△CDP 中, AD=CD, ∠ADP=∠CDP, PD=PD, ∴ △ADP≌△CDP. ∴ ∠APD=∠CPD. 又∵ ∠APB+∠APD=180°, ∴ ∠APB+∠CPD=180°,即P 为 菱形ABCD 的一个“互补点”. 10. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ CD∥AB,AD∥BC,AD=BC. ∵ 点 F 在 BC 的 延 长 线 上,且 CF=BC, ∴ AD∥CF,AD=CF. ∴ 四边形ACFD 是平行四边形. ∵ CD∥AB,FA⊥AB, ∴ ∠CEF=∠BAF=90°. ∴ FA⊥CD. ∴ 四边形ACFD 是菱形. (2) 在▱ABCD 中,CD=AB=5. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 ∵ 四边形ACFD 是菱形, ∴ DE=CE=12CD= 5 2 ,AE=FE. ∵ ∠DEF=90°,DF=132 , ∴ FE = DF2-DE2 = 13 2 2 - 52 2 =6. ∴ FA=2FE=12. ∴ S四边形ACFD= 1 2FA ·CD=12× 12×5=30. 11. (1) ∵ EF∥AB,PM∥AC, ∴ 四边形PFAM 为平行四边形. ∵ AD 是∠BAC的平分线, ∴ ∠CAD=∠BAD. ∵ EF∥AB, ∴ ∠BAD=∠FPA. ∴ ∠CAD=∠FPA. ∴ FA=FP. ∴ 四边形PFAM 为菱形. (2) AP=23AD. 过点F 作FH⊥BC 于点H,设 MF 与AD 交于点G. 由(1),知四边形PFAM 为菱形, ∴ AD⊥MF,AP=2GP. ∵ AB=AC,AD 是 ∠BAC 的 平 分线, ∴ AD⊥BC. ∴ MF∥BC. 又∵ EF∥AB, ∴ 四边形BEFM 为平行四边形. ∴ S四边形PFAM= 1 2MF ·AP=MF· GP,S四边形BEFM=MF·FH. 当S四边形PFAM= 1 2S四边形BEFM 时,GP= 1 2FH. ∵ 易得GD=FH, ∴ GP=12GD. ∴ AG=GP=PD. ∴ AP=23AD. 2　矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 1. C 2. 6 3. (1) ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=DC,∠B=∠C=90°. ∵ E 是BC的中点, ∴ BE=CE. 在△ABE 和△DCE 中, AB=DC, ∠B=∠C, BE=CE, ∴ △ABE≌△DCE. (2) ∵ △ABE≌△DCE, ∴ AE=DE. ∴ ∠EAD=∠EDA. 4. B 5. B 6. 7 5 解析:∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ AD∥BC,AD=BC=4,AB= CD =3,∠ABC =90°.∴ AC = AB2+BC2=5.∵ 将Rt△ADC沿 射线CA 方向平移,得到Rt△A'D'C', ∴ AC=A'C',AD=A'D',AD∥ A'D'.∴ A'D'∥BC.如图,过点B 作 BH⊥AC 于点 H,∴ 易得 BH = AB·BC AC = 12 5.∵ A'B =A'D', ∴ A'B=BC.∵ BH⊥AC,∴ CH= A'H= BC2-BH2=165.∴ A'C= 2CH=325.∴ AA'=A'C-AC=75. (第6题) 7. 1 4 解析:过点C 作CF⊥DE 于 点F.∵ 在Rt△ABC中,CA=CB,E 为AB 的 中 点,AB=2,∴ CE= 1 2AB=1 ,CE⊥AB.∵ 在Rt△ABD 中,E 为 AB 的 中 点,AB =2, ∴ DE = 12 AB = BE = 1. ∵ ∠ABD=60°,∴ △DEB 为等边 三 角 形. ∴ ∠DEB = 60°. ∴ ∠CED=90°-60°=30°.∴ CF= 1 2CE= 1 2.∴ S△ECD = 1 2DE · CF=12×1× 1 2= 1 4. 8. ∵ D,E 分别是 边 AC,AB 的 中点, ∴ DE 是△ABC的中位线. ∴ DE∥BC. ∵ FG∥AB, ∴ 四边形EFGB 是平行四边形. ∵ ∠AFB=90°,E 为AB 的中点, ∴ FE=12AB=BE. ∴ 四边形EFGB 是菱形. 9. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AC=BD,OA=OC= 12AC , OB=OD=12BD. ∴ OB=OD=OC=OA. ∵ E,F 分别是OA,OD 的中点, ∴ OE=12OA ,OF=12OD. ∴ OE=OF. 在△BOE 和△COF 中, OB=OC, ∠BOE=∠COF, OE=OF, ∴ △BOE≌△COF. ∴ BE=CF. (2) ∵ E,F 分别是OA,OD 的中点, EF=3, ∴ AD=2EF=6. 由(1),得OA=OD. ∴ ∠ODA=∠OAD. ∵ ∠EOF=120°, ∴ ∠ODA=12 (180°-∠AOD)=30°. ∴ 在Rt△ABD 中,BD=2AB. 设AB=x,则BD=2x. ∵ 在 Rt△ADB 中,AB2+AD2= BD2, ∴ x2+62=(2x)2,解得x=23(负 值舍去). ∴ AB=23. ∴ 矩 形 ABCD 的 周 长=2(AD+ AB)=2×(6+23)=12+43. 10. 7 8 或4 3 解析:设BE=x,则 EC=4-x.由翻折,得EC'=EC= 4-x.分情况讨论:① 当AE=EC' 时,AE=4-x.∵ 四边形ABCD 是 矩形,∴ ∠B=90°.∵ 在Rt△ABE 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4