23.1 锐角的三角函数&专题特训七 求锐角三角函数值的常用方法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

72 23.1　锐角的三角函数 第1课时 正 切 ▶ “答案与解析”见P38 1. (2024·云南)如图,在△ABC 中,若∠B= 90°,AB=3,BC=4,则tanA 的值是 ( ) (第1题) A. 4 5 B. 3 5 C. 4 3 D. 3 4 2. (2024·合肥包河期末)在Rt△ABC 中,已知 ∠ACB=90°,tanB=13 ,BC=3,则AC 的长 等于 ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 310 3. (2024·蚌埠期末)小明沿着坡比为1∶ 3的 山坡向上走了300m,则他升高了 ( ) A. 1003m B. 150m C. 1002m D. 100m 4. 在△ABC 中,∠C=90°,tanA=12 ,若c=2, 则a= . 5. 如图,在△ABC 中,AC=4,BC=3,CD⊥ AB 于点D,BD=2,求tanA,tanB 的值. (第5题) 6. (2024·池州青阳期末)如图,在△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD 是△ABC 的高,则tan∠BCD 的值是 ( ) A. 4 3 B. 3 4 C. 3 5 D. 4 5 (第6题) (第7题) 7. (2024·亳州涡阳期末)如图,在正方形网格 中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形 的顶点叫做格点,点A,B,C,D 都在格点上, AB与CD 相交于点P,则tan∠APD 的值为 ( ) A. 2 B. 5 C. 3 D. 6 8. (2024·阜阳临泉期末)如图,在平面直角坐 标系中,OC∶BC=1∶2,OP∥AB 交AC 的 延长线于点P.若点P 的坐标为(1,1),则 tan∠OAP 的值是 ( ) A. 3 3 B. 2 2 C. 1 3 D. 3 (第8题) (第9题) 9. 新考向·数学文化 我国古代著名的数 学家赵爽在为天文学著作《周髀算 经》作注解时,用四个全等的直角三 角形和中间的小正方形拼成一个大正方形, 这个图被称为“弦图”,它体现了我国古代数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 第23章　解直角三角形 73 学的成就.如图,大正方形ABCD 的面积是 100,小 正 方 形 EFGH 的 面 积 是4,那 么 tan∠ADF= . 10. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=8, tanB=12 ,点D 在BC 上,且BD=AD.求 AC 的长和tan∠ADC 的值. (第10题) 11. 如图,在四边形ABCD 中,∠DAB=90°, AD∥BC,BC=12AD ,AC 与BD 交于点E, AC⊥BD,求tan∠BAC 的值. (第11题) 12. 如图,在矩形 ABCD 中,AD= nAB(n>1),E 是AD 边上一动点 (点E 不与点A,D 重合),连接 BE,以BE 为边在直线BE 的右侧作矩形 EBFG,使得矩形EBFG∽矩形ABCD,EG 交直线CD 于点H. (1) 【尝试初探】 在点E 的运动过程中, △ABE 与△DEH 始终保持相似关系,请 说明理由. (2) 【深入探究】 若n=2,随着点E 位置的 变化,点H 的位置随之发生变化,当H 是 线段CD 的中点时,求tan∠ABE 的值. (3) 【拓展延伸】 连接BH,FH,当△BFH 是以 FH 为 腰 的 等 腰 三 角 形 时,求 tan∠ABE 的值(用含n的代数式表示). (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　解直角三角形 74 第2课时 正弦与余弦 ▶ “答案与解析”见P39 1. (2024·亳州蒙城期末)在△ABC 中,∠C= 90°,BC=8,AB=17,则sinA 的值是( ) A. 15 17 B. 8 17 C. 8 15 D. 15 8 2. (2024·滁州凤阳期末)如图,方格纸中的每 个小方格都是边长为1的小正方形,每个小 正方形的顶点叫格点,△ABC 的顶点都在格 点上,则cos∠BAC 的值为 ( ) (第2题) A. 1 2 B. 2 C. 55 2 D. 25 5 3. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,如果∠A=α, BC=a,那么 AB 等于 ( ) A. a·sinα B. a·cosα C. a sinα D. a cosα 4. (2024·滁州期末)在Rt△ABC 中,∠C= 90°,tanA=34 ,则cosA= . 5. 新考法·新定义题 我们将等腰三角形腰长与 底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长 正度值”.若等腰三角形的腰长为5,“边长正 度值”为3,则这个等腰三角形底角的余弦值 等于 . 6. 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D 在BC上, AD=BC=5,cos∠ADC=35. 求sinB的值. (第6题) 7. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3, AB=5,则cos∠ACD 的值为 ( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 (第7题) (第8题) 8. 在正方形网格中,∠AOB 按如图所示的方式 放置,则sin∠AOB 的值为 ( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 1 D. 3 3 9. 新考向·数学文化 (2024·资阳)第 14届国际数学教育大会(ICME- 14)会标如图①所示,会标中心的图 案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图 ②所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形 (△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小 正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD.若 EF∶AH=1∶3,则sin∠ABE的值为( ) (第9题) A. 5 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 25 5 (第10题) 10. 如图,点E 在矩形ABCD 的边CD 上,将△ADE 沿 AE 折叠,点D 恰好落在 边BC 上 的 点 F 处,若 BC=10,sin∠AFB=45 , 则DE= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 75 11. 如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,点A 的坐标为(10,0),点 B 在第一象限内, BO=5,sin∠BOA=35. 求: (1) 点B 的坐标. (2) cos∠BAO 的值. (第11题) 12. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是 AB 的中点,连接CD,过点B 作CD 的垂 线,交CD 的延长线于点E.已知AC=30, cosA=35. 求: (1) 线段CD 的长. (2) sin∠DBE 的值. (第12题) 13. 如图所示为由10个完全相同的等边三角形 构成的网格图,则cos(α+β)= . (第13题) 14. 我们学过了正弦、余弦的定义,请 利用正弦、余弦的定义解决下面的 问题: 如图,在任意三角形ABC 中,AD⊥BC,垂 足为D,∠BAD=α,∠CAD=β.设AB= c,AC=b,BC=a. (1) 用含b,c及α,β的式子表示△ABC 的 面积S. (2) 求 证:sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　解直角三角形 76 第3课时 30°,45°,60°角的三角函数值 ▶ “答案与解析”见P40 1. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,则 cosA+sinB 的值为 ( ) A. 1 B. 3 C. 3+1 2 D. 2 2. (2024· 亳 州 涡 阳 期 末)已知α 为锐角, cos(α-20°)=12 ,则α等于 ( ) A. 30° B. 50° C. 60° D. 80° 3. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,若sinA= 23 ,则 cosB 的值等于 ( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 1 4. 若∠A 是锐角,有sinA=cosA,则∠A 的度 数是 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 已知实数a=tan30°,b=cos60°,c=sin45°, 则下列判断正确的是 ( ) A. b>a>c B. c>a>b C. b>c>a D. a>c>b 6. 已知α为锐角,sin(90°-α)+cosα= 3,则 α= . 7. 在△ABC中,若sinA-12 + (3-3tanB)2= 0,则tanC2 的值为 . 8. 计算: (1) tan45°+sin60°tan60°-sin230°. (2) cos30°-1 3tan30°-4cos60°-3sin60°+2cos45°. 9. 若∠A,∠B,∠C 是△ABC 的三个内角,则 下列各式成立的是 ( ) A. sinA+B2 =sin C 2B. cosB+C2 =cos A 2 C. tanA+C2 =tan B 2D. sinA2=cos B+C 2 10. ★按如图所示的运算程序计算, 下列α,β能使输出的y 的值为 1 2 的是 ( ) (第10题) A. α=60°,β=45° B. α=30°,β=45° C. α=30°,β=30° D. α=45°,β=30° 11. 当α为锐角时,有cos(180°+α)=-cosα, 如cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°.由 此可知,cos210°的值为 ( ) A. -12 B. - 22 C. - 32 D. -3 12. 在锐角三角形ABC 中,AD⊥BC 于点D, 若tan∠BAD =12 ,tan∠CAD =13 ,则 ∠BAC 的度数是 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 13. 已知α 是锐角,2cosα= 2,则cos(α- 25°)-sin(α+25°)的值为 . 14. 已 知α 为 锐 角,当 21-tanα 无 意 义 时, tan(α+15°)-tan(α-15°)的值是 . 15. 定义一种运算:sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 77 2 2× 3 2+ 2 2× 1 2= 6+2 4 ,则sin15°的值 为 . 16. ★已知α,β 为锐角,且cos(90°-α)= 1 3 , cosβ= 1 4 ,求sin (90°-β) sinα 的值. 17. 在△ABC 中,∠C=90°,4b2+3c2=43bc, 能否求出∠A 的度数? 若能,请求出来;若 不能,请说明理由. 18. 已知α 为锐角,且tanα 是方程 x2+2x-3=0 的 一 个 根,求 2sin2α+cos2α- 3tan(α+15°) 的值. 19. 新考法·过程性学习 在学习《解直角三角形》 一章时,小华对一个角的倍角的三角函数值 是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一 般研究. (1) 初步尝试:我们知道,tan60°= , tan30°= ,发现结论:tanA 2tan12A (填“=”或“≠”). (2) 实践探究:在解决“如图①,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=1,求tan12A 的 值”这一问题时,小华想构造包含1 2∠A 的 直角三角形,延长CA 至点D,使DA=AB, 连接BD,得到∠D=12∠A ,即转化为求 ∠D 的正切值,请按小华的思路求tan12A 的值. (3) 拓展延伸:如图②,在 Rt△ABC 中, ∠C=90°,AC=3,tanA=13. 请模仿小华 的思路或者用你的新思路,试着求一求: ① tan2A 的值. ② tan3A 的值. (第19题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　解直角三角形 78 第4课时 一般锐角的三角函数值 ▶ “答案与解析”见P41 1. 若用我们数学课本上采用的计算器计算 sin36°18',则下列按键顺序正确的是 ( ) A.sin36+18= B. sin36D·M'S18= C. 2ndFsin36D·M'S18= D.sin36D·M'S18D·M'S= 2. 锐角A 满足cosA=12 ,利用计算器求∠A 时,依次按键2ndFcos-10 ·5=,则计算 器上显示的结果是 ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 3. 用计算器比较大小:5-1 2 sin37.5° (填“>”“<”或“=”). 4. 若3sinα= 3+1,则α= (精确 到0.1°). 5. 用计算器求下面各式的值(精确到0.0001): (1) sin15°18'+cos7°30'-tan54°42'. (2) sin48°25'-cos23°27'-tan48°. 6. 易错题 三角函数sin30°,cos16°,sin43°之间 的大小关系是 ( ) A. sin43°>cos16°>sin30° B. cos16°>sin30°>sin43° C. cos16°>sin43°>sin30° D. sin43°>sin30°>cos16° 7. (2024·淄博)如图,在综合与实践活动课上, 小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC 为35m,又在点C 处测得该楼的顶端A 的仰 角是29°(即∠ACB=29°),则用科学计算器 计算教学楼高度的按键顺序正确的是( ) (第7题) A.35×tan29= B. 35÷tan29= C. 35×sin29= D.35×cos29= 8. (1) 通过计算(可用计算器),比较下 列各对数的大小,并提出你的猜想. ① sin30° 2sin15°cos15°. ② sin36° 2sin18°cos18°. ③ sin45° 2sin22.5°cos22.5°. ④ sin60° 2sin30°cos30°. ⑤ sin80° 2sin40°cos40°. 猜想:已知0°<α<45°,则sin2α= . (2) 如图①②,在△ABC 中,AB=AC=1, ∠BAC=2α,请根据给出的图形,利用面积 方法验证(1)中的猜想. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 79 专题特训七　求锐角三角函数值的常用方法 ▶ “答案与解析”见P41 类型一 定义法 1. (2025·合肥包河期末)如图,在由边长为 1的小正方形组成的网格中,△ABC 的三个 顶点在格点上,则cosA 的值为 ( ) (第1题) A. 4 3 B. 3 4 C. 4 5 D. 3 5 2. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=9,AC=6, 则下列正确的是 ( ) A. tanA=23 B. sinB=31313 C. tanA=32 D. cosB=21313 类型二 设参法 3. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,若cosA=1213 ,则 tanB 的值为 ( ) A. 5 13 B. 13 5 C. 12 5 D. 5 12 4. (2023·常州)如图,在Rt△ABC 中,∠A= 90°,点D 在边AB 上,连接CD.若BD= CD,ADBD= 1 3 ,则tanB= . (第4题) 类型三 等角转化法 (第5题) 5. 如图,在矩形ABCD 中,M 是 AD 边的中点,BM ⊥AC,交 AC 于点N,则tan∠CAD 的值 为 . 6. 如图所示为由边长相同的小正方形 组成的网格,A,B,P,Q 四点均在 正方形网格的格点上,线段AB,PQ 相交于点E,则tan∠AEP= . (第6题) 类型四 构造直角三角形法 7. (2025·合肥瑶海期末)如图,在6×7的网格 中,每个小正方形的边长均为1.若点A,B, C 都在格点上,则cosB 的值为 ( ) (第7题) A. 213 13 B. 313 13 C. 2 3 D. 5 4 8. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=45°, BD 为AC 边上的中线,求sin∠ABD 和 tan∠ABD 的值. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　解直角三角形 设DE=x,则AE=16-x. ∴ 16-x 16 = 18 48 ,解得x=10. ∴ DE=10. (2) ∵ 四边形PQMN 是矩形,AD 是高, ∴ 易得四边形PQDE 为矩形. ∴ DE=PQ. 设DE=PQ=y,则PN= 80-2y 2 = 40-y. 由(1),可知AEAD= PN BC. ∴ 16-y 16 = 40-y 48 ,解得y=4. ∴ PQ=4,PN=36. ∴ 矩形PQMN 的面积为4×36=144. 第23章　解直角三角形 23.1　锐角的三角函数 第1课时 正 切 1. C 2. A 3. B 4. 25 5 5. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠CDA=∠CDB=90°. ∵ BC=3,BD=2, ∴ CD= BC2-BD2= 32-22= 5. 又∵ AC=4, ∴ AD= AC2-CD2= 42-(5)2= 11. ∴ tanA =CDAD = 55 11 ,tanB = CD BD= 5 2. 6. B 7. A 解析:如图,连接BE 交CD 于 点F.∵ 四边形BCED 是正方形, ∴ CD=BE,CD⊥BE,DF=CF= 1 2CD ,BF=12BE.∴ BF=CF= DF.∵ BD ∥AC,∴ △BDP ∽ △ACP.∴ DP CP= DB AC= 1 3.∵ BF= CF=DF,∴ DP DF = 1 2.∴ DP= PF=12CF= 1 2BF. 在Rt△PBF 中, tan∠BPF=BFPF=2.∵ ∠APD= ∠BPF,∴ tan∠APD=2.故选A. (第7题) 8. C 解析:如图,过点P 作x 轴的 垂 线,垂 足 为 M.∵ OP ∥AB, ∴ △ABC∽△POC.∴ AC∶CP= BC∶CO.∵ OC∶BC=1∶2, ∴ AC∶CP=2∶1.∴ AC∶AP= 2∶3.∵ PM ⊥x 轴,CO⊥x 轴, ∴ PM∥CO.∴ AO∶AM=AC∶ AP=2∶3.∵ 点P 的坐标为(1,1), ∴ OM=PM=1.∴ AO AO+1= 2 3 ,解 得AO=2.∴ AM =2+1=3.在 Rt△PAM 中,tan∠OAP=PMAM = 1 3. 故选C. (第8题) 9. 3 4 解析:∵ 大正方形ABCD 的 面积是100,∴ AD=10.∵ 小正方形 EFGH 的 面 积 是4,∴ 小 正 方 形 EFGH 的边长为2.∴ 易得 DF- AF=2.设AF=x,则DF=x+2.由 勾股定理,得AF2+DF2=AD2,即 x2+(x+2)2=102,解得x1=6, x2=-8(负值舍去).∴ AF=6, DF=8.∴ tan ∠ADF =AFDF = 6 8= 3 4. 10. ∵ 在 Rt△ABC 中,∠C=90°, BC=8,tanB=12 , ∴ tanB=12= AC BC= AC 8. ∴ AC=4. 设DC=x. ∵ BC=8, ∴ BD=8-x. ∴ AD=BD=8-x. 在Rt△ADC 中,∠C=90°,AC=4, DC=x,AD=8-x,则由勾股定理, 得(8-x)2=x2+42,解得x=3,即 DC=3. ∴ tan∠ADC=ACDC= 4 3. 11. ∵ AD∥BC,∠DAB=90°, ∴ ∠ABC=180°-∠DAB=90°, ∠BAC+∠EAD=90°. ∵ AC⊥BD, ∴ ∠AED=90°. ∴ ∠ADB+∠EAD=90°. ∴ ∠BAC=∠ADB. ∴ △ABC∽△DAB. ∴ AB DA= BC AB. ∵ BC=12AD , ∴ AD=2BC. ∴ AB2=BC·AD=BC·2BC= 2BC2. ∴ AB=2BC. 在Rt△ABC 中,tan∠BAC=BCAB= BC 2BC = 22. 12. (1) 理 由:由 题 意,得 ∠A = ∠D=∠BEG=90°, ∴ ∠AEB + ∠ABE = ∠AEB + ∠DEH=90°. ∴ ∠ABE=∠DEH. ∴ △ABE∽△DEH. (2) 设AB=2x,则AD=4x. ∵ H 是 线 段CD 的 中 点,AB= CD=2x, ∴ DH=x. ∵ △ABE∽△DEH, ∴ AB DE= AE DH. ∴ 2x 4x-AE= AE x ,解得AE=(2+ 2)x或(2-2)x. 当AE=(2+ 2)x 时,tan∠ABE= AE AB= (2+2)x 2x = 2+2 2 ; 当AE=(2- 2)x 时,tan∠ABE= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 AE AB= (2-2)x 2x = 2-2 2 . 综上所述,tan∠ABE 的值为2+22 或2-2 2 . (3) ∵ 矩形EBFG∽矩形 ABCD, AD=nAB(n>1), ∴ 易得EG=nBE. 分两种情况讨论:如图①,当FH= BH 时,∠BEH = ∠FGH =90°, BE=FG, ∴ Rt△BEH≌Rt△FGH. ∴ EH=GH=12EG. ∴ EH=n2BE. ∵ △ABE∽△DEH, ∴ DE AB= EH BE= n 2 ,即DE=n2AB. ∴ AE=AD-DE=n2AB. ∴ tan∠ABE=AEAB= n 2. 如图②,当FH=BF=EG=nBE= nFG时,在Rt△FGH 中,由勾股定理,得 HG= FH2-FG2= n2-1FG= n2-1BE, ∴ EH=EG-HG=(n- n2-1)BE. ∵ △ABE∽△DEH, ∴ DE AB= EH BE=n- n 2-1,即DE= (n- n2-1)AB. ∴ AE=AD-DE= n2-1AB. ∴ tan∠ABE=AEAB= n 2-1. ∴ tan∠ABE 的值是n2 或 n2-1. (第12题) 第2课时 正弦与余弦 1. B 2. D 3. C 4. 4 5 5. 1 5 或4 5 6. ∵ AD=BC=5,cos∠ADC=35 , ∴ CD =AD ·cos∠ADC=5× 3 5=3. 在Rt△ACD 中, ∵ AD=5,CD=3, ∴ AC= AD2-CD2= 52-32=4. 在Rt△ABC中, ∵ AC=4,BC=5, ∴ AB= AC2+BC2= 42+52= 41. ∴ sinB=ACAB= 4 41 =4 4141 . 7. B 8. B 解析:如图,连接AD,CD.设 每个小正方形的边长均为1,则根据 勾股定理,得OD=AD= 10,OC= AC= 5.∴ 在△ODA 中,∠OCD= 90°.∴ CD = OD2-OC2 = 5. ∴ sin∠AOB=CDOD= 5 10 = 22. 故 选B. (第8题) 9. C 10. 5 解析:∵ 四边形ABCD 是矩 形,BC=10,∴ ∠B=∠C=∠D= 90°,AD=BC=10.由折叠,得AF= AD=10,FE=DE.∴ sin∠AFB= AB AF= 4 5.∴ AB=45AF= 4 5×10= 8.∴ BF= AF2-AB2= 102-82= 6,CD=AB=8.∴ CF=BC-BF= 10-6=4.∵ FE=DE,CE=CD- DE=8-DE,CF2+CE2=FE2, ∴ 42 + (8-DE)2 =DE2,解 得 DE=5. 11. (1) 过点B 作BD⊥OA,垂足 为D, ∴ sin∠BOA=BDBO. ∵ BO=5,sin∠BOA=35 , ∴ BD =BO ·sin∠BOA =5× 3 5=3. ∴ OD= OB2-BD2= 52-32=4. ∴ 点B 的坐标为(4,3). (2) ∵ 点A 的坐标为(10,0), ∴ AO=10. 又∵ OD=4,AO=OD+AD, ∴ AD=6. ∴ AB= BD2+AD2= 32+62= 35. ∴ cos∠BAO=ADAB= 6 35 =255 . 12. (1) ∵ 在Rt△ABC中,∠ACB= 90°, ∴ cosA=ACAB. ∵ AC=30,cosA=35 , ∴ AB= ACcosA= 30 3 5 =50. ∵ D 是AB 的中点, ∴ CD=12AB=25. (2) 过点C作CF⊥AB 于点F. ∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, AC=30,AB=50, ∴ BC= AB2-AC2= 502-302= 40. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 ∵ S△ABC= 1 2CF ·AB=12AC ·BC, ∴ CF=AC ·BC AB = 30×40 50 =24. ∴ DF= CD2-CF2= 252-242=7. 又∵ CD=25, ∴ sin∠DCF=DFCD= 7 25. ∵ BE⊥CD, ∴ ∠E=90°. ∴ ∠DCF + ∠CDF = ∠DBE + ∠BDE=90°. ∵ ∠CDF=∠BDE, ∴ ∠DBE=∠DCF. ∴ sin∠DBE=sin∠DCF=725. 13. 21 7 解析:如图,给图中各点标 上字母,并连接 DE.在△ABC 中, ∵ ∠ABC=60°×2=120°,BA=BC, ∴ α=30°.同 理,可 得 ∠CDE = ∠CED=30°=α.又∵ ∠AEC=60°, ∴ ∠AED=∠AEC+∠CED=90°. 设等边三角形的边长为a(a>0),则 AE=BD=2a,DE= BD2-BE2= 3a.∴ AD= AE2+DE2= 7a. ∴ cos(α+β)=cos∠ADE= DE AD = 21 7 . (第13题) 14. (1) 过点C 作CE⊥AB 于点E, 则CE=AC·sin(α+β)=bsin(α+β). ∴ S=12AB ·CE=12c ·bsin(α+ β)= 1 2bcsin (α+β). (2) ∵ S△ABC=S△ABD+S△ACD, ∴ 1 2AB ·CE= 12BD ·AD+ 1 2CD ·AD. ∴ CE=BD ·AD+CD·AD AB . 又∵ CE=AC·sin(α+β), ∴ sin (α + β) = CE AC = BD·AD+CD·AD AB·AC = BD AB ·AD AC+ AD AB ·CD AC=sinαcosβ+cosαsinβ. 第3课时 30°,45°,60°角的 三角函数值 1. B 2. D 3. C 4. B 5. B 6. 30° 7. 1 8. (1) 原式=1+ 32×3- 1 2 2 = 1+32- 1 4= 9 4. (2) 原式= 3 2-1 3× 33-4× 1 2 - 3× 3 2+2× 2 2= 1 2× (3-2) 3-2 -32+ 1=12- 3 2+1=0. 9. D 10. C 巧记特殊角的三角函数值 30°,45°,60°角的三角函数值 要记牢,正弦、余弦值为 m 2 的形 式,正切值为 m 3 的形式,m 的值 分别为1,2,3;3,2,1;3,9,27.正弦 正切都递增,余弦递减恰相反. 11. C 12. B 解析:在△ABC 中,设AD= x.∵ tan∠BAD=12 ,tan∠CAD= 1 3 ,∴ BD = 12x ,CD = 13x. ∴ BC = BD +CD = 56 x. 在 Rt△ABD 中,AB= AD2+BD2= x2+ 12x 2 = 52x. 同理可得, AC= 103 x. 如图,过点C 作CE⊥ AB 于点E,则12AB ·CE=12BC · AD.∴ 5 2x ·CE = 56x ·x. ∴ CE = 53x. 在 Rt△ACE 中, sin∠BAC =CEAC = 5 3x 10 3 x = 22. ∴ ∠BAC=45°.故选B. (第12题) 13. 0 14. 23 3 15. 6-2 4 解 析:sin15°= sin(45°-30°)=sin45°cos30°- cos45°sin30°= 22× 3 2- 2 2× 1 2= 6 4- 2 4= 6-2 4 . 16. ∵ cos(90°-α)=13 , ∴ sinα=cos(90°-α)=13. 又∵ cosβ= 1 4 , ∴ sin(90°-β) sinα = cosβ sinα= 3 4. 运用互余两角三角函数的关系 求含有三角函数式子的值 当α,β是某直角三角形的两个 锐角,即α+β=90°时,α的正弦可 以转化为β的余弦,α的余弦可以 转化为β的正弦,即sinα=cosβ, cosα=sinβ,利用这个公式可以简 化含有三角函数符号的式子,以达 到计算求值的目的. 17. 能. ∵ 4b2+3c2=43bc, ∴ 4b2-43bc+3c2=0,即(2b- 3c)2=0. ∴ 2b=3c. ∴ b c= 3 2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 04 ∵ ∠C=90°, ∴ cosA=bc= 3 2. ∴ ∠A=30°. 18. 解方程x2+2x-3=0,得x1=1, x2=-3. ∵ tanα>0, ∴ tanα=1. ∴ α=45°. ∴ 2sin2α+cos2α- 3tan(α+15°)= 2sin245°+cos245°- 3tan60°=2× 2 2 2 + 2 2 2 -3× 3=1+12- 3=-32. 19. (1) 3;33 ;≠. (2) 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 2,BC=1, ∴ AB= AC2+BC2=5. 如图①,延长CA至点D,使DA=AB, ∴ AD=AB=5. ∴ ∠D=∠ABD. ∴ ∠BAC=2∠D,CD=AD+AC= 2+5. ∴ tan12A=tanD= BC CD=5-2. (3) ① 如图②,作AB 的垂直平分线 交AC于点E,连接BE,则易得AE= BE,∠A=∠ABE,∠BEC=2∠A. ∵ 在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC= 3,tanA=13 , ∴ 易得BC=1,AB= 10. 设AE=BE=x,则EC=3-x. 在Rt△EBC 中,BE2=EC2+BC2, 即x2=(3-x)2+1,解得x=53. ∴ AE=BE=53 ,EC=43. ∴ tan2A=tan∠BEC=BCEC= 3 4. ② 如图③,作BM 交AC 于点M,使 ∠MBE = ∠EBA,则 ∠BMC = ∠A+∠MBA=3∠A. 设EM=y,则MC=EC-EM= 4 3-y. ∵ ∠MBE=∠EBA,设点E 到AB, BM 的距离均为d,则 1 2AB ·d 1 2BM ·d = 1 2AE ·BC 1 2EM ·BC , ∴ AB BM= AE EM ,即 10 BM = 5 3 y . ∴ BM=3 105 y. 在Rt△MBC 中,BM2=CM2+BC2, 即 3 10 5 y 2 = 43-y 2 +12.整 理,得117y2+120y-125=0,解得 y1= 25 39 ,y2=- 5 3 (不合题意,舍去). ∴ EM=2539 ,MC=43- 25 39= 9 13. ∴ tan3A =tan∠BMC =BCMC = 1 9 13 =139. (第19题) 第4课时 一般锐角的三角函数值 1. D 2. C 3. > 4. 65.6° 5. (1) -0.1570. (2) -1.2800. 6. C 忽略锐角三角函数的 增减性而致错 在比较两个锐角三角函数值 的大小时,要熟记:正弦、正切值随 着角度的增大而增大,余弦值随着 角度的增大而减小;一个锐角的正 弦、余弦值都小于1,而当一个锐角 大于45°时,其正切值大于1. 7. A 8. (1) ① =. ② =. ③ =. ④ =. ⑤ =. 2sinαcosα. (2) 由题图①,得S△ABC= 1 2AC · BE,BE=AB·sin2α, ∴ S△ABC= 1 2AB ·AC·sin2α. 由题图②,得S△ABC=2× 1 2BD · AD,BD=AB·sinα,AD=AC· cosα, ∴ S△ABC=2× 1 2AB ·sinα·AC· cosα=AB·AC·sinα·cosα. ∴ 1 2AB ·AC·sin2α=AB·AC· sinα·cosα. ∴ sin2α=2sinαcosα. 专题特训七　求锐角三角 函数值的常用方法 1. D 2. C 3. C 4. 2 2 解析:设AD=t.∵ BD= CD,ADBD = 1 3 ,∴ BD=CD=3t. ∵ ∠A=90°,∴ AC= CD2-AD2= 22t,AB=AD+BD=4t.∴ tanB= AC AB= 22t 4t = 2 2. 5. 2 2 解析:∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ AD∥BC,AD=BC,∠ABC= 90°.∵ AD ∥BC,∴ ∠CAD = ∠BCA,△AMN∽△CBN.∴ AM BC= AN CN.∵ M 是 AD 边 的 中 点, ∴ AM=12AD= 1 2BC.∴ AN CN = AM BC= 1 2.∵ BM⊥AC,∴ ∠BNA= ∠CNB=∠ABC=90°.∴ ∠ABN+ ∠NBC=90°,∠BCN +∠NBC= 90°.∴ ∠ABN=∠BCN.∴ △ABN∽ △BCN.∴ BN CN = AN BN.∴ BN2= AN·CN.设AN=x,则CN=2x. ∴ BN = 2x.∴ tan∠CAD = tan∠BCA=BNCN= 2 2. 6. 1 2 解析:连接BP.由题意,得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 AP∥BQ,AP=BQ.∴ ∠PAE= ∠QBE, ∠APE = ∠BQE. ∴ △PAE≌△QBE.∴ PE=QE.设 BQ=a,则PQ= 2a,EQ=12PQ= 2 2a.∴ EQ BQ= 2 2a a = 2 2 ,BQ PQ= a 2a = 2 2.∴ EQ BQ = BQ PQ. 又∵ ∠EQB= ∠BQP, ∴ △EQB ∽ △BQP. ∴ ∠QEB=∠QBP.∴ tan∠QEB= tan∠QBP=12.∵ ∠AEP=∠QEB, ∴ tan∠AEP=tan∠QEB=12. 7. B 解析:如图,连接AD.由题意, 得AD2=22+22=8,BD2=32+32= 18,AB2=12+52=26.∴ AD2+ BD2=AB2.∴ △ABD 是直角三角 形,且∠ADB=90°.在Rt△ABD 中, BD = 18 =32,AB = 26. ∴ cosB=BDAB = 32 26 =3 1313 . 故 选B. (第7题) 8. 如图,过点D 作DE⊥AB 于点E. 设BC=2a,则易得AC=2a,AD= CD=a,BD= (2a)2+a2= 5a, AB= (2a)2+(2a)2=22a. ∵ ∠A=∠B=45°,∠DEA=90°, ∴ 易得AE=DE= 22a. ∵ 在Rt△BED 中,由勾股定理,得 BE= BD2-DE2=322a , ∴ sin∠ABD=DEBD= 2 2a 5a = 1010 , tan∠ABD=DEBE= 2 2a 32 2a =13. (第8题) 23.2　解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三角形 1. B 2. C 3. B 4. 2或 3 解析:当∠A=90°时, tanB=ACAB.∴ AC=AB·tanB= 23×tan30°=2 3× 33 =2 ;当 ∠C=90°时,sinB=ACAB.∴ AC= AB·sinB=23×sin30°=23× 1 2=3.∴ AC的长为2或3. 5. (1) ∠A=90°-∠B=90°-60°= 30°.由tanB=ba ,得b=a·tanB= 5×tan60°=53.由cosB=ac ,得 c= acosB= 5 cos60°= 5 1 2 =10. (2) 由tanB=ba = 3-3 3-1 = 3,得 ∠B=60°.∴ ∠A=90°-∠B= 90°-60°=30°.由cosB=ac ,得c= a cosB= 3-1 cos60°= 3-1 1 2 =23-2. 6. B 解析:过点A 作AD⊥BC于点 D.∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.又 ∵ ∠BAC+∠B+∠C=6∠B= 180°,∴ ∠B=30°.设AD=a,则易得 AB=2a,BD= 3a.∵ AB=AC, AD⊥BC,∴ BC=2BD=2 3a. ∴ sad ∠BAC=BCAB= 23a 2a = 3 , cosB=BDAB= 3a 2a = 3 2.∴ cosB· sad ∠BAC= 32×3= 3 2. 7. A 解析:∵ 在△ABC 中,∠C= 90°,AC=BC=5,∴ ∠A=45°.∴ 在 Rt△ABC 中,AB= AC2+BC2= 52+52 =5 2.如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点E,则∠AED=90°. ∵ ∠A=45°,∴ ∠ADE =90°- ∠A=45°.∴ △ADE 是等腰直角三 角形.∴ AE=DE.在Rt△BDE 中, ∵ tan∠DBA=DEBE = AE BE = 1 4 , ∴ BE=4AE.∵ AB=AE+BE= 52,∴ AE= 2.∴ DE=AE= 2. ∴ 在 Rt△ADE 中, AD = AE2+DE2 = (2)2+(2)2 = 2.故选A. (第7题) 8. A 解析:在Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC = 5,tanA =BCAC = 1 2 , ∴ AC = 2BC = 25,AB = AC2+BC2= (25)2+(5)2= 5.如图,过点D 作DE⊥AB 于点E. ∵ tanA=12 ,tan∠ABD=13 ,∴ 在 Rt△ADE 中,DEAE= 1 2 ;在Rt△BDE 中,DE BE= 1 3.∴ DE=12AE ,DE= 1 3BE.∴ 1 2AE= 1 3BE.∴ BE= 3 2AE.∵ AE +BE =AB =5, ∴ AE+32AE=5 ,解得 AE=2. ∴ DE=1.在Rt△ADE 中,由勾股 定 理,得 AD = AE2+DE2 = 22+12=5.∴ CD=AC-AD= 25-5=5.故选A. (第8题) 9. 23或63 解析:如图.∵ 点A 的坐标为(6,0),点B 的坐标为(0, 6),∴ OA=OB=6.∴ △AOB 是等 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24