第22章 相似形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

68 第22章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P36 数学(沪科版)九年级上 69 考点一 比例的性质 典例1 (2024·合肥瑶海期中)已知a2= b 3= c 5 ,且3a-2c=-8,求2c-3b+4a的值. 先设各比值为k,并用k 表示a,b,c,再把其代 入等式求k,然后回代求出a,b,c的值,进而求得代 数式的值. [变式](1) 已知2b+c a = 2c+a b = 2a+b c =m ,且 a+b+c≠0,则m 的值为 . (2) 若 c a+b= a b+c= b c+a=k ,则k 的值为 . 考点二 相似三角形的判定和性质 典例2 (2024·亳州涡阳期末)如图,在△ABC 中,高线CE,BD 交于点O. (1) 求证:△AED∽△ACB. (2) 若BA=BC,AE=2,AD=3,求S△BEO∶ S△DCO. (典例2图) [变式]如图,在△ABC 和△ACF 中,点D,E, G 分别是AB,AC,AF 上一点,已知DE∥BC, EG∥CF,连接DG,BF. (1) 求证:DG∥BF. (2) 若DE∶BC=2∶3,求 S△DEG S△BCF 的值. 考点三 位似图形 典例3 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与 △A1B1C1是以点P 为位似中心的位似图形. 其中点A 的坐标为(8,3),点B 的坐标为(5,0), 点C 的坐标为(7,0). (1) 在图中标出位似中心点P 的位置,并写出 点P 的坐标. (2) 以点O(0,0)为位似中心,将△A1B1C1 作 位似变换缩小为△A2B2C2,使它与△A1B1C1的 相似比为1∶2. (3) 在(2)的条件下,若点M(a,b)在△A1B1C1 上,直接写出点 M 在△A2B2C2 上的对应点 M2的坐标. (典例3图) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 70 [变式]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶 点坐标分别为A(1,-2),B(4,-1),C(3,-3). (1) 画出将△ABC 先向左平移5个单位,再向 上平移3个单位得到的△A1B1C1,并写出点B 的对应点B1的坐标. (2) 以原点O 为位似中心,在位似中心的同侧画 出△A1B1C1 的一个位似图形△A2B2C2,使它 与△A1B1C1的相似比为2∶1,并写出点B1的 对应点B2的坐标. (3) 若△A1B1C1 内部任意一点P1 的坐标为 (a-5,b+3),直接写出经过(2)的变换后点P1的 对应点P2的坐标(用含a,b的代数式表示). 考点四 相似三角形的实际应用 典例4 (2024·阜阳临泉期末)在《数书九章》 (宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题: 如图,AB 表示塔的高度,CD 表示竹竿顶端到 地面的高度,EF 表示人眼到地面的高度,AB, CD,EF在同一平面内,点A,C,E 在同一条水平 直线上.已知AC=20m,CE=10m,CD=7m, EF=1.4m,人从点F 远眺塔顶B,视线恰好经 过竹竿的顶端D.根据以上信息,求塔AB 的 高度. (典例4图) [变式](2025·宿州泗县期中)小南利用直角曲 尺DEF 测量大树AB 的高度.如图,通过不断 调整自己的姿势和直角曲尺的摆放位置,使斜边 DF 保持水平,并且边DE 与点B 在同一直线 上.已知直角曲尺的两条直角边EF=0.2m, DE=0.3m,小南的眼睛到地面的距离DM 为 1.6m,测得AM=21m,求树高AB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 71 1. 若x y= 3 4 ,则下列各式中不正确的是 ( ) A. x+y y = 7 4 B. x-y y = 1 4 C. 4x=3y D. x+2y x = 11 3 2. 如图,△ABC∽△DEF,AM 和DN 分别是 △ABC和△DEF 的角平分线.已知S△ABC= 16,S△DEF=9,则AM∶DN 为 ( ) (第2题) A. 4∶3 B. 3∶4 C. 16∶9 D. 9∶16 3. 如图,在正方形ABCD 中,E,M 是边AD, CD 上的点,BE,BM 与AC 分别交于点F, G.如果∠EBM=45°,那么下列结论中,错误 的是 ( ) A. △AEF∽△CBF B. △CMG∽△BFG C. △ABG∽△CFB D. △ABF∽△CBG (第3题) (第4题) 4. (2024·合肥包河期中)如图,点D, E,F 分别在△ABC 的边上,ADBD= 1 3 ,DE∥BC,EF∥AB,M 是DF 的中点,连接 CM 并延长交AB于点N,则MNCM 的值是 ( ) A. 1 5 B. 2 9 C. 1 6 D. 1 7 5. 将一张三角形彩纸ABC 按如图所示的方式 折叠,使点B 落在边AC 上,记为点F,折痕 为DE.已知AB=AC=6,BC=8,若以C, D,F 为顶点的三角形与△ABC 相似,则BD 的长是 ( ) (第5题) A. 12 7 B. 24 7 C. 12 7 或4D. 24 7 或4 6. 如图,点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上,EF⊥AB 于点F,连接DE 并延长,交边 BC 于点M,交边AB 的延长线于点G,若 AF=2,FB=1. (1) MC MB 的值为 . (2) 求MG 的长. (第6题) 7. (2024· 六安霍邱期中)如图,在 △ABC 中,AD 是高,矩形PQMN 的顶点P,N 分别在AB,AC 上, QM 在BC 上,AD 交PN 于点E,BC=48, AD=16. (1) 若PN=18,求DE 的长. (2) 若矩形 PQMN 的周长为80,求矩形 PQMN 的面积. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 点M 的坐标为(-4,2). (第10题) 11. (1) 由题意,得k=-2. 把(3,1)和k=-2代入y=kx+b,得 1=-2×3+b,解得b=7. (2) 在y=-2x+4中,令x=0,则 y=4;令y=0,则x=2. ∴ A(2,0),B(0,4). 根据相似比为1 2 ,可得一次函数y= kx+b的图象有两种情况(如图): ① 当图象不经过第三象限时,图象过 点(1,0)和点(0,2),易得这时一次函 数的表达式为y=-2x+2; ② 当图象不经过第一象限时,图象过 点(-1,0)和点(0,-2),易得这时一 次函数的表达式为y=-2x-2. 综上所述,符合题意的一次函数的表 达式为y=-2x+2或y=-2x-2. (第11题) 22.5　综合与实践 测量与误差 1. B 2. A 利用镜子的反射测量 物高时的隐含条件 在利用镜子的反射测量物体 的高度时,反射角与入射角相等是 判定两个三角形相似的隐含条件. 3. B 4. 18 5. B 6. C 解析:由题意,得AB∥MN, AE∥OF,AB∥CD,∴ 四边形ABOE 是平行四边形.∴ AE=OB=6cm. ∵ AE∥OF,∴ △CAE∽△COF. ∴ CA CO = AE OF. 又∵ OF=10cm, ∴ CA CO = 6 10= 3 5.∴ OA CO = 2 5. ∵ AB∥CD,∴ △OAB∽△OCD. ∴ AB CD = OA CO. 又∵ AB=5.4cm, ∴ 5.4 CD= 2 5 ,解得CD=13.5cm.故 选C. 7. 16.8 8. ∵ AD∥EG, ∴ ∠ADO=∠EGF. ∵ AO⊥OD,EF⊥FG, ∴ ∠AOD=∠EFG=90°. ∴ △AOD∽△EFG. ∴ AO EF = OD FG ,即AO 1.8= 20 2.4 ,解 得 AO=15米. ∵ AD∥BC, ∴ △BOC∽△AOD. ∴ BO AO= OC OD ,即BO 15= 16 20 ,解得BO= 12米. ∴ AB=AO-BO=15-12=3(米). 9. ∵ CD⊥PB,AB⊥PB, ∴ CD∥AB. ∴ △QCD∽△QAB. 同理可得,△PEF∽△PAB. ∴ CD AB= QD QB ,EF AB= PF PB. ∵ EF=CD, ∴ QD QB= PF PB. ∵ QD=4米,PF=6米,FD=28米, ∴ 4 4+BD= 6 6+28+BD ,解得BD= 56米. ∴ 3 AB= 4 4+56 ,解得AB=45米. ∴ 飞虹塔的大致高度AB 是45米. 第22章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 设a2= b 3= c 5=k (k≠0), 则a=2k,b=3k,c=5k. ∵ 3a-2c=-8, ∴ 6k-10k=-8,解得k=2. ∴ a=4,b=6,c=10. ∴ 2c-3b+4a=20-18+16=18. [变式] (1) 3 (2) 1 2 或-1 典例2 (1) ∵ 在△ABC 中,高线 CE,BD 交于点O, ∴ BD⊥AC,CE⊥AB. ∴ ∠AEC=∠ADB=90°. 又∵ ∠A=∠A, ∴ △AEC∽△ADB. ∴ AE AD= AC AB. ∴ AE AC= AD AB. 又∵ ∠A=∠A, ∴ △AED∽△ACB. (2) ∵ BA=BC,BD⊥AC,AE=2, AD=3, ∴ CD=AD=3,AC=6. ∵ △AED∽△ACB, ∴ AD AB= AE AC= 2 6= 1 3. ∴ AB=3AD=9. ∴ BE=AB-AE=9-2=7. ∵ BD⊥AC,CE⊥AB, ∴ ∠OEB=∠ODC=90°. 又∵ ∠EOB=∠DOC, ∴ △BEO∽△CDO. ∴ S△BEO∶S△DCO= BE CD 2 =499. [变式] (1) ∵ DE∥BC,EG∥CF, ∴ AD AB= AE AC ,AE AC= AG AF. ∴ AD AB= AG AF. 又∵ ∠DAG=∠BAF, ∴ △ADG∽△ABF. ∴ ∠ADG=∠ABF. ∴ DG∥BF. (2) ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC,∠AED=∠ACB. ∴ DE BC= AE AC. 同理可得,EG CF= AE AC ,∠AEG=∠ACF. ∴ DE BC = EG CF ,∠AED+∠AEG= ∠ACB+∠ACF. ∴ ∠DEG=∠BCF. ∴ △DEG∽△BCF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 ∴ S△DEG S△BCF= DE BC 2 . ∵ DE∶BC=2∶3, ∴ S△DEG S△BCF= 2 3 2 =49. 典例3 (1) 如图,点P 即为所求位 似中心,点P 的坐标为(8,-2). (2) 如图,△A2B2C2即为所作图形. (3) M2 1 2a ,1 2b . (典例3图) [变式] (1) 如图,△A1B1C1 即为 所求作,点B1的坐标为(-1,2). (2) 如图,△A2B2C2 即为所求作, 点B2的坐标为(-2,4). (3) 点P2的坐标为(2a-10,2b+6). 典例4 如图,过点F 作FG⊥CD,垂 足为G,延长FG 交AB 于点H. 由题意,得FH⊥AB,AH=CG= EF=1.4m,AC=GH=20m,CE= FG=10m,∠DGF=∠BHF=90°. ∵ CD=7m, ∴ DG=CD-CG=7-1.4=5.6(m). ∵ ∠DGF=∠BHF,∠DFG=∠BFH, ∴ △FDG∽△FBH. ∴ DG BH= FG FH. ∴ 5.6 BH= 10 10+20 ,解得BH=16.8m. ∴ AB=BH+AH=16.8+1.4= 18.2(m). ∴ 塔AB 的高度为18.2m. (典例4图) [变式] 根 据 题 意,得∠DEF= ∠BCD =90°,∠EDF = ∠CDB, DM=AC=1.6m. ∴ △DEF∽△DCB. ∴ EF CB= DE CD. ∵ EF=0.2m,DE=0.3m,AM= CD=21m, ∴ 0.2 BC= 0.3 21 ,解得BC=14m. ∴ AB =AC+BC=1.6+14= 15.6(m). ∴ 树高AB 为15.6m. ［综合素能提升］ 1. B 2. A 3. D 4. D 解析:如图,过点F 作FG∥CN 交AB 于点G.∵ M 是DF 的中点, ∴ 易得N 是DG 的中点.∴ MN 是 △DGF 的中位线.∴ GF=2MN. ∵ GF∥CN,EF∥AB,∴ 四边形 GFHN 是 平 行 四 边 形.∴ NH = GF=2MN.∴ MH=MN.设MH= MN=a,则NH=GF=2a.∵ DE∥ BC,∴ △ADE∽△ABC.∴ 易 得 DE BC = AD AB = 1 4.∴ BC =4DE. ∵ EF∥AB,DE∥BC,∴ 四边 形 DEFB 是平行四边形.∴ DE=BF. ∵ FG∥CN,∴ △BFG∽△BCN. ∴ BF BC = GF CN.∵ BF BC = DE BC = 1 4 , ∴ GF CN = 1 4.∴ CN =4GF=8a. ∴ CH=CN-NH=8a-2a=6a. ∴ CM=CH+MH=6a+a=7a. ∴ MN CM= a 7a= 1 7. 故选D. (第4题) 5. D 解析:∵ △ABC 沿DE 折叠, 点B 和点F 重叠,∴ BD=DF.设 BD=DF=x.∵ BC=8,∴ CD= 8-x.当△FDC∽△ABC 时,FDAB= DC BC.∵ AB=AC=6,∴ x 6= 8-x 8 , 解 得 x = 247 ,即 BD = 247 ;当 △FCD∽△ABC时,同理可得BD= 24 7 ;当△DCF∽△ABC 时,DCAB = DF AC.∵ AB=AC=6,∴ 8-x 6 = x 6 , 解得x=4,即BD=4;当△DFC∽ △ABC 时,同 理 可 得 BD =4.故 BD=247 或4.故选D. 6. (1) 1. (2) ∵ 四边形 ABCD 是正方形, EF⊥AB, ∴ 易得EF∥BC. ∴ AE EC= AF FB=2. ∵ AD∥BC, ∴ △ADE∽△CME. ∴ AD CM= AE CE=2. ∵ AD=BC, ∴ BC=2CM. ∴ M 为BC的中点. ∵ BC=AB=AF+FB=3, ∴ BM=32. 又∵ DC∥AB, ∴ △DCM∽△GBM. ∴ DC BG= CM BM=1. ∴ BG=DC=AB=3. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠CBA=∠MBG=90°. 在 Rt△MBG 中,由 勾 股 定 理 得, MG= BM2+BG2= 32 2 +32= 3 25. 7. (1) ∵ 四边形PQMN 是矩形, ∴ PN∥BC. ∴ △APN∽△ABC. ∴ AE AD= PN BC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 设DE=x,则AE=16-x. ∴ 16-x 16 = 18 48 ,解得x=10. ∴ DE=10. (2) ∵ 四边形PQMN 是矩形,AD 是高, ∴ 易得四边形PQDE 为矩形. ∴ DE=PQ. 设DE=PQ=y,则PN= 80-2y 2 = 40-y. 由(1),可知AEAD= PN BC. ∴ 16-y 16 = 40-y 48 ,解得y=4. ∴ PQ=4,PN=36. ∴ 矩形PQMN 的面积为4×36=144. 第23章　解直角三角形 23.1　锐角的三角函数 第1课时 正 切 1. C 2. A 3. B 4. 25 5 5. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠CDA=∠CDB=90°. ∵ BC=3,BD=2, ∴ CD= BC2-BD2= 32-22= 5. 又∵ AC=4, ∴ AD= AC2-CD2= 42-(5)2= 11. ∴ tanA =CDAD = 55 11 ,tanB = CD BD= 5 2. 6. B 7. A 解析:如图,连接BE 交CD 于 点F.∵ 四边形BCED 是正方形, ∴ CD=BE,CD⊥BE,DF=CF= 1 2CD ,BF=12BE.∴ BF=CF= DF.∵ BD ∥AC,∴ △BDP ∽ △ACP.∴ DP CP= DB AC= 1 3.∵ BF= CF=DF,∴ DP DF = 1 2.∴ DP= PF=12CF= 1 2BF. 在Rt△PBF 中, tan∠BPF=BFPF=2.∵ ∠APD= ∠BPF,∴ tan∠APD=2.故选A. (第7题) 8. C 解析:如图,过点P 作x 轴的 垂 线,垂 足 为 M.∵ OP ∥AB, ∴ △ABC∽△POC.∴ AC∶CP= BC∶CO.∵ OC∶BC=1∶2, ∴ AC∶CP=2∶1.∴ AC∶AP= 2∶3.∵ PM ⊥x 轴,CO⊥x 轴, ∴ PM∥CO.∴ AO∶AM=AC∶ AP=2∶3.∵ 点P 的坐标为(1,1), ∴ OM=PM=1.∴ AO AO+1= 2 3 ,解 得AO=2.∴ AM =2+1=3.在 Rt△PAM 中,tan∠OAP=PMAM = 1 3. 故选C. (第8题) 9. 3 4 解析:∵ 大正方形ABCD 的 面积是100,∴ AD=10.∵ 小正方形 EFGH 的 面 积 是4,∴ 小 正 方 形 EFGH 的边长为2.∴ 易得 DF- AF=2.设AF=x,则DF=x+2.由 勾股定理,得AF2+DF2=AD2,即 x2+(x+2)2=102,解得x1=6, x2=-8(负值舍去).∴ AF=6, DF=8.∴ tan ∠ADF =AFDF = 6 8= 3 4. 10. ∵ 在 Rt△ABC 中,∠C=90°, BC=8,tanB=12 , ∴ tanB=12= AC BC= AC 8. ∴ AC=4. 设DC=x. ∵ BC=8, ∴ BD=8-x. ∴ AD=BD=8-x. 在Rt△ADC 中,∠C=90°,AC=4, DC=x,AD=8-x,则由勾股定理, 得(8-x)2=x2+42,解得x=3,即 DC=3. ∴ tan∠ADC=ACDC= 4 3. 11. ∵ AD∥BC,∠DAB=90°, ∴ ∠ABC=180°-∠DAB=90°, ∠BAC+∠EAD=90°. ∵ AC⊥BD, ∴ ∠AED=90°. ∴ ∠ADB+∠EAD=90°. ∴ ∠BAC=∠ADB. ∴ △ABC∽△DAB. ∴ AB DA= BC AB. ∵ BC=12AD , ∴ AD=2BC. ∴ AB2=BC·AD=BC·2BC= 2BC2. ∴ AB=2BC. 在Rt△ABC 中,tan∠BAC=BCAB= BC 2BC = 22. 12. (1) 理 由:由 题 意,得 ∠A = ∠D=∠BEG=90°, ∴ ∠AEB + ∠ABE = ∠AEB + ∠DEH=90°. ∴ ∠ABE=∠DEH. ∴ △ABE∽△DEH. (2) 设AB=2x,则AD=4x. ∵ H 是 线 段CD 的 中 点,AB= CD=2x, ∴ DH=x. ∵ △ABE∽△DEH, ∴ AB DE= AE DH. ∴ 2x 4x-AE= AE x ,解得AE=(2+ 2)x或(2-2)x. 当AE=(2+ 2)x 时,tan∠ABE= AE AB= (2+2)x 2x = 2+2 2 ; 当AE=(2- 2)x 时,tan∠ABE= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83