22.5 综合与实践 测量与误差-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

66 22.5　综合与实践　测量与误差 ▶ “答案与解析”见P36 1. (2025·郑州期中)如图,利用标杆测量学校 宿舍楼的高度.已知标杆PQ 的高是1.5m, 测得AP=1.8m,PC=10.2m,则宿舍楼 BC 的高是 ( ) A. 8.5m B. 10m C. 10.2mD. 12m (第1题) (第2题) 2. ★如图,数学活动课上,为测量学校旗杆的高 度,某同学在脚下水平放置一平面镜,然后向 后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上), 直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知 该同学的眼睛离地面的高度为1.6m,同时量 得她与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的 水平距离为10m,则旗杆的高度为 ( ) A. 8m B. 6.4m C. 9.6m D. 12.5m 3. (2025·杭州西湖期末)如图,小明在A 时测 得某树的影长为8m,B 时又测得该树的影 长为2m.若两次日照的光线互相垂直,则树 的高度为 ( ) A. 2m B. 4m C. 6m D. 8m (第3题) (第4题) 4. (2024·黄山徽州期中)如图,工人师傅用卡 钳 测 量 某 个 零 件 的 内 孔 直 径 AB AD=BC,OCOB= OD OA= 1 3 ,测得CD 的长度 为6cm,则零件的内孔直径AB 的长度为 cm. 5. 学完《相似形》一章后,某中学数学实践小组 决定利用所学知识去测量河的宽度.如图,这 条河的两岸是平行的,小丽站在离南岸20米 (即PE=20米)的点P 处看北岸,小军、小 强站在南岸边,调整小军、小强两人的位置, 当小军、小强两人分别站在C,D 两点处时, 小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小 军、小强遮挡(即A,C,P 三点共线,B,D,P 三点共线).已知电线杆A,B 之间的距离为 75米,小军、小强两人之间的距离CD 为 30米,则这条河的宽度为 ( ) A. 25米 B. 30米 C. 45米 D. 50米 (第5题) (第6题) 6. 新趋势·跨学科 如图所示为凸透镜成像示意 图,CD 是蜡烛AB 通过凸透镜MN 所成的 虚像.已知蜡烛的高AB 为5.4cm,蜡烛AB 离凸透镜MN 的水平距离OB 为6cm,该凸 透镜的焦距OF 为10cm,AE∥OF,则虚像 CD 的高为 ( ) A. 15cm B. 14.4cm C. 13.5cm D. 9cm 7. 新考向·数学文化 《周髀算经》中记载了“偃矩 以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角 的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意 思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图 所示为用“矩”测量一个5G信号塔高度的示 意图,点A,B,N 在同一水平线上,∠ABC 和∠ANM 均为直角,AM 与BC 交于点D, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 67 测得AB=40cm,BD=30cm,BN=22m, 则信号塔MN 的高度为 m. (第7题) 8. (2024·亳州利辛期中)小明和小华 利用阳光下的影子来测量一建筑物 顶部旗杆的高.如图,在某一时刻, 他们在阳光下,分别测得该建筑物OB 的影 长OC 为16米,OA 的影长OD 为20米,小 明的影长FG 为2.4米,其中O,C,D,F,G 五点在同一直线上,A,B,O 三点在同一直线 上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高 EF 为1.8米,求旗杆的高AB. (第8题) 9. 新考法·操作实践题 飞虹塔是山西具 有代表性的古建筑之一(如图①). 某实践小组欲测量飞虹塔的高度, 过程见下表. 主 题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 (第9题) 测量步骤 步骤1:如图②,把长为3米的标杆垂 直立于地面点D 处,塔尖点A 和标杆 顶端C 确定的直线交直线BD 于点 Q,测得QD=4米. 步骤2:将标杆沿着BD 的方向平移到 点F 处,塔尖点A 和标杆顶端E 确定 的直线交直线BD 于点P,测得PF= 6米,FD=28米(以上数据均为近 似值). 根据表格信息,求飞虹塔的大致高度AB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 点M 的坐标为(-4,2). (第10题) 11. (1) 由题意,得k=-2. 把(3,1)和k=-2代入y=kx+b,得 1=-2×3+b,解得b=7. (2) 在y=-2x+4中,令x=0,则 y=4;令y=0,则x=2. ∴ A(2,0),B(0,4). 根据相似比为1 2 ,可得一次函数y= kx+b的图象有两种情况(如图): ① 当图象不经过第三象限时,图象过 点(1,0)和点(0,2),易得这时一次函 数的表达式为y=-2x+2; ② 当图象不经过第一象限时,图象过 点(-1,0)和点(0,-2),易得这时一 次函数的表达式为y=-2x-2. 综上所述,符合题意的一次函数的表 达式为y=-2x+2或y=-2x-2. (第11题) 22.5　综合与实践 测量与误差 1. B 2. A 利用镜子的反射测量 物高时的隐含条件 在利用镜子的反射测量物体 的高度时,反射角与入射角相等是 判定两个三角形相似的隐含条件. 3. B 4. 18 5. B 6. C 解析:由题意,得AB∥MN, AE∥OF,AB∥CD,∴ 四边形ABOE 是平行四边形.∴ AE=OB=6cm. ∵ AE∥OF,∴ △CAE∽△COF. ∴ CA CO = AE OF. 又∵ OF=10cm, ∴ CA CO = 6 10= 3 5.∴ OA CO = 2 5. ∵ AB∥CD,∴ △OAB∽△OCD. ∴ AB CD = OA CO. 又∵ AB=5.4cm, ∴ 5.4 CD= 2 5 ,解得CD=13.5cm.故 选C. 7. 16.8 8. ∵ AD∥EG, ∴ ∠ADO=∠EGF. ∵ AO⊥OD,EF⊥FG, ∴ ∠AOD=∠EFG=90°. ∴ △AOD∽△EFG. ∴ AO EF = OD FG ,即AO 1.8= 20 2.4 ,解 得 AO=15米. ∵ AD∥BC, ∴ △BOC∽△AOD. ∴ BO AO= OC OD ,即BO 15= 16 20 ,解得BO= 12米. ∴ AB=AO-BO=15-12=3(米). 9. ∵ CD⊥PB,AB⊥PB, ∴ CD∥AB. ∴ △QCD∽△QAB. 同理可得,△PEF∽△PAB. ∴ CD AB= QD QB ,EF AB= PF PB. ∵ EF=CD, ∴ QD QB= PF PB. ∵ QD=4米,PF=6米,FD=28米, ∴ 4 4+BD= 6 6+28+BD ,解得BD= 56米. ∴ 3 AB= 4 4+56 ,解得AB=45米. ∴ 飞虹塔的大致高度AB 是45米. 第22章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 设a2= b 3= c 5=k (k≠0), 则a=2k,b=3k,c=5k. ∵ 3a-2c=-8, ∴ 6k-10k=-8,解得k=2. ∴ a=4,b=6,c=10. ∴ 2c-3b+4a=20-18+16=18. [变式] (1) 3 (2) 1 2 或-1 典例2 (1) ∵ 在△ABC 中,高线 CE,BD 交于点O, ∴ BD⊥AC,CE⊥AB. ∴ ∠AEC=∠ADB=90°. 又∵ ∠A=∠A, ∴ △AEC∽△ADB. ∴ AE AD= AC AB. ∴ AE AC= AD AB. 又∵ ∠A=∠A, ∴ △AED∽△ACB. (2) ∵ BA=BC,BD⊥AC,AE=2, AD=3, ∴ CD=AD=3,AC=6. ∵ △AED∽△ACB, ∴ AD AB= AE AC= 2 6= 1 3. ∴ AB=3AD=9. ∴ BE=AB-AE=9-2=7. ∵ BD⊥AC,CE⊥AB, ∴ ∠OEB=∠ODC=90°. 又∵ ∠EOB=∠DOC, ∴ △BEO∽△CDO. ∴ S△BEO∶S△DCO= BE CD 2 =499. [变式] (1) ∵ DE∥BC,EG∥CF, ∴ AD AB= AE AC ,AE AC= AG AF. ∴ AD AB= AG AF. 又∵ ∠DAG=∠BAF, ∴ △ADG∽△ABF. ∴ ∠ADG=∠ABF. ∴ DG∥BF. (2) ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC,∠AED=∠ACB. ∴ DE BC= AE AC. 同理可得,EG CF= AE AC ,∠AEG=∠ACF. ∴ DE BC = EG CF ,∠AED+∠AEG= ∠ACB+∠ACF. ∴ ∠DEG=∠BCF. ∴ △DEG∽△BCF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63