第22章 专题特训六 与相似三角形有关的证明和计算-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

62 专题特训六　与相似三角形有关的证明和计算 ▶ “答案与解析”见P34 类型一 求线段的长 1. 如图,点D,E,F 分别在等边三角形ABC 的 边AB,AC,BC 上,DE⊥EF,∠DFE=60°. (1) 求证:△DBF∽△FCE. (2) 若EC=1,求BF 的长. (第1题) 类型二 求角度 2. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点D 在AC 上,且满足AD2=CD·AC.若AD=BC,连 接BD,求∠ABD 的度数. (第2题) 类型三 求线段的比 3. (2024· 六 安 金 安 期 中)在 △ABC 中, ∠ACB=90°,BE 是AC 边上的中线,点D 在射线BC 上. (1) 如图①,点D 在边BC 上,CDBD= 1 2 ,AD 与BE 相交于点P,过点A 作AM∥BC,交 BE 的延长线于点M,则APPD= . (2) 如图②,点D 在边BC 的延长线上,AD 与BE 的延长线交于点P,CDBC= 1 2 ,求PA PD 的值. (第3题) 类型四 证明线段等积或成比例 4. 如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC, ∠BCD=90°,对角线AC,BD 相交 于点E,且AC⊥BD. (1) 求证:CD2=BC·AD. (2) F是边BC上一点,连接AF,与BD 交于 点G,若∠BAF=∠DBF,求证:AG 2 AD2= BG BD. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 63 类型五 证明线段相等 5. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P 为△ABC 内部一点且始终满足∠ACP=∠CBP,延长 BP交AC于点D,若∠APB=90°+∠CBA, 求证:AD=CD. (第5题) 类型六 证明线段垂直 6. 如图,F 是正方形ABCD 的边BC 上一点,且 BF=3FC,E 是DC 的中点.求证: (1) △ADE∽△ECF. (2) AE⊥EF. (第6题) 类型七 证明线段平行 7. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC 交BC 于点D.过点B 作AD 的垂线,垂足为E,过 点C 作AD 的垂线,交AD 的延长线于点F, 连接CE 并延长,交FB 的延长线于点P,连 接AP.求证: (1) AB·AF=AC·AE. (2) CF∥AP. (第7题) 类型八 证明线段倍分 8. 如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E 是边BC 上 的 两 个 点,且 BD = DE=EC,过点C 作CF∥AB,交 AE 的延长线于点F,连接FD 并延长,交 AB 于点G. (1) 求证:AB=4BG. (2) 连接 AD,如果∠ADG=∠B,求证: AC2=2CD2. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 ∴ △ABD∽△DFE. ∴ AB∶DF=AD∶DE. ∵ △ADE 是等腰直角三角形, ∴ AD∶DE=1∶2. ∴ AB∶DF=1∶2. ∵ AB=22, ∴ DF=4. ∵ △ADE 是等腰直角三角形, ∴ ∠AED=45°. ∵ ∠EFD=45°, ∴ ∠DEC=∠EFC=180°-45°=135°. 又∵ ∠C=∠C, ∴ △DEC∽△EFC. ∴ DC∶EC=EC∶FC,即EC2= DC·FC. ∴ EC2=(DF+FC)·FC. ∵ EC=5,DF=4, ∴ 5=FC(4+FC),解得FC=1(负 值舍去). ∴ CD=5. 专题特训六　与相似三角形 有关的证明和计算 1. (1) ∵ △ABC为等边三角形, ∴ ∠B=∠C=60°. ∴ ∠BDF+∠DFB=180°-∠B= 120°. ∵ ∠DFE=60°, ∴ ∠CFE+∠DFB=180°-60°=120°. ∴ ∠BDF=∠CFE. ∴ △DBF∽△FCE. (2) ∵ △DBF∽△FCE, ∴ BF CE= DF EF. ∵ DE⊥EF,∠DFE=60°, ∴ ∠EDF=30°. ∴ DF=2EF. ∴ DF EF=2. ∴ BF CE=2. ∵ EC=1, ∴ BF=2. 2. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠C. ∵ AD2=CD·AC,AD=BC, ∴ BC2=CD·AC,即BCAC= CD BC. 又∵ ∠C=∠C, ∴ △BCD∽△ACB. ∴ ∠BDC=∠ABC=∠C,∠DBC= ∠A. ∴ BD=BC=AD. ∴ ∠A=∠ABD. 设∠A=x°,则∠ABD=∠DBC= x°,∠C=∠BDC=∠ABC=2x°. ∵ ∠DBC+∠BDC+∠C=180°, ∴ x+2x+2x=180,解得x=36. ∴ ∠ABD=36°. 3. (1) 3 2. (2) 如图,过点A 作AF∥DB,交BE 的延长线于点F. ∵ CD BC= 1 2 , ∴ 设 DC=k,则 BC=2k,DB= DC+BC=3k. ∵ E 是AC的中点, ∴ AE=CE. ∵ AF∥DB, ∴ ∠F=∠EBC. 在△AEF 和△CEB 中, ∠F=∠EBC, ∠AEF=∠CEB, AE=CE, ∴ △AEF≌△CEB. ∴ AF=BC=2k. ∵ AF∥DB, ∴ △APF∽△DPB. ∴ PA PD= AF DB= 2k 3k= 2 3. (第3题) 4. (1) ∵ AD∥BC,∠BCD=90°, ∴ ∠ADC=180°-∠BCD=90°. 又∵ AC⊥BD, ∴ ∠BEC=90°. ∴ ∠ACD + ∠ACB = ∠CBD + ∠ACB=90°. ∴ ∠ACD=∠CBD. 又∵ ∠CDA=∠BCD=90°, ∴ △ACD∽△DBC. ∴ AD CD= CD BC ,即CD2=BC·AD. (2) ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADB=∠DBF. ∵ ∠BAF=∠DBF, ∴ ∠ADB=∠BAF. 又∵ ∠ABG=∠DBA, ∴ △ABG∽△DBA. ∴ AG AD= AB BD. ∴ AG2 AD2= AB2 BD2. ∵ △ABG∽△DBA, ∴ BG AB= AB BD. ∴ AB2=BG·BD. ∴ AG2 AD2= AB2 BD2= BG·BD BD2 = BG BD. 5. ∵ ∠ACP=∠CBP,∠CDP= ∠BDC, ∴ △CDP∽△BDC. ∴ CD BD= DP CD. ∴ CD2=DP·DB. ∵ ∠APB=90°+∠CBA, ∴ ∠APD=180°-(90°+∠CBA)= 90°-∠CBA. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠CAB=90°-∠CBA. ∴ ∠DPA=∠DAB. 又∵ ∠ADP=∠BDA, ∴ △ADP∽△BDA. ∴ AD DB= DP AD. ∴ AD2=DP·DB. 又∵ CD2=DP·DB, ∴ AD=CD. 6. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠D=∠C=90°,AD=CD=BC. ∵ BF=3FC,E 是DC的中点, ∴ FC=14BC ,DE=CE=12CD. ∴ CF DE= 1 2= CE DA. ∴ △ADE∽△ECF. (2) 由(1),知△ADE∽△ECF, ∴ ∠AED=∠EFC. ∵ ∠EFC+∠CEF=90°, ∴ ∠AED+∠CEF=90°. ∴ ∠AEF=90°. ∴ AE⊥EF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 7. (1) ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAE=∠CAF. ∵ BE⊥AD,CF⊥AD, ∴ ∠AEB=∠AFC=90°. ∴ △ABE∽△ACF. ∴ AB AC= AE AF. ∴ AB·AF=AC·AE. (2) ∵ BE⊥AD,CF⊥AD, ∴ BE∥CF. ∴ △PEB∽△PCF. ∴ BE CF= PE PC. 由(1),知△ABE∽△ACF, ∴ BE CF= AE AF. ∴ PE PC= AE AF. ∴ 易得PE CE= AE EF. 又∵ ∠AEP=∠FEC, ∴ △AEP∽△FEC. ∴ ∠APE=∠FCE. ∴ CF∥AP. 8. (1) ∵ BD=DE=EC, ∴ BE=2CE,CD=2BD. ∵ CF∥AB, ∴ △ABE∽△FCE,△BGD∽△CFD. ∴ AB FC= BE CE=2 ,BG CF= BD CD= 1 2. ∴ AB=2FC,CF=2BG. ∴ AB=4BG. (2) 如图. ∵ ∠ADG=∠B,∠DAG=∠BAD, ∴ △DAG∽△BAD. ∴ ∠AGD=∠ADB. ∴ ∠B+∠2=∠1+∠DAC. 又∵ AB=AC,∠2=∠3, ∴ ∠B=∠1,∠3=∠DAC. ∵ CF∥AB, ∴ ∠4=∠B. ∴ ∠4=∠1. ∴ △ACD∽△DCF. ∴ CD CF= AC DC ,即CD2=AC·CF. 由(1),知AB=2CF, ∴ AC=AB=2CF. ∴ CD2=AC·AC2. ∴ AC2=2CD2. (第8题) 22.4　图形的位似变换 1. D 2. A 3. B 4. (-1,1) 5. (1) 如图①所示. (2) 如图②,连接CF,BE,则CF 与 BE 的交点O 即为位似中心. ∵ OC=3.6cm,OF=2.4cm, ∴ 它们的相似比为3.6 2.4= 3 2. ① ② (第5题) 6. B 7. A 解析:∵ 等腰直角三角形 ABC与等腰直角三角形CDE 关于原 点 O 成 位 似 关 系,∴ △ACB ∽ △CED.∵ 相似比为 1 3 ,∴ BC DE= 1 3 ,即 2 DE = 1 3.∴ DE = 6. ∵ △CED 为 等 腰 直 角 三 角 形, ∴ CE = DE =6.∵ ∠ACB = ∠CED=90°,∴ BC∥DE.∴ △OCB∽ △OED.∴ OC OE= BC DE ,即 OC OC+6= 1 3. ∴ OC=3.∴ OE=OC+CE=3+ 6=9.∴ 点D 的坐标是(9,6). 8. 3 解析:∵ △OAB 与△OCD 是 以点O 为位似中心的位 似 图 形, ∴ △OAB∽△OCD.∴ OA OC= OB OD. ∵ AE,CB 分别是△OAB,△OCD 的 中线,∴ OE=12OB ,OB=12OD. ∴ OE OB= OB OD= 1 2.∴ OE OB= OA OC. 又 ∵ ∠O=∠O,∴ △OAE∽△OCB. ∵ △OAE 与△OCB 对应点的连线都 经过同一点,对应边平行或在同一条 直线上,∴ △OAE 与△OCB 是位似 图形.同理可知,△ABE 与△CDB 是 位似图形.∴ 题图中的位似三角形共 有3对. 判断两个图形是否是 位似图形的思路 两个图形是位似图形,必须同 时满足下面的条件:首先,两个图 形必须相似;其次,每组对应顶点 的连线交于一点.这两个条件缺一 不可. 9. (8,0),(2,23) 解析:如图,过点 C作CF⊥x 轴于点F.∵ △OAB 与 △OCD 是以点O 为位似中心的位似 图形,∴ △OAB∽△OCD.∴ ∠OAB= ∠OCD =90°,∠OBA = ∠ODC= 90°-∠AOB=30°.∵ 点B 的坐标为 (6,0),∴ OB=6.∵ 相似比为3 4 , ∴ OB OD= 3 4.∴ OD=8.∴ 点D 的坐 标 为 (8,0).在 Rt△OCD 中, ∵ ∠CDO=30°,∴ OC=12OD= 4.在 Rt△OCF 中,∠OCF=90°- ∠AOB=30°,∴ OF= 12OC=2. ∴ CF= OC2-OF2=23.∴ 点C 的坐标为(2,23). (第9题) 10. (1) 如图,△OA1B1 即为所作 图形. (2) 如图,△O2A2B2即为所作图形. (3) △OA1B1 和△O2A2B2 是位似 图形,如图,点M 即为所求位似中心, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53