第22章 专题特训五 相似三角形的常考模型-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

60 专题特训五　相似三角形的常考模型 ▶ “答案与解析”见P32 类型一 “A”型 1. 如图,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为 E,AD 与BE 相交于点F,连接DE.求证: DE AB= CE CB. (第1题) 2. (2025·黄山徽州期中)如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AC,BD 交于点O,过点O 作 AD 的平行线交AB 于点M,交CD 于点N. 若AD=3cm,BC=5cm,求ON 的长. (第2题) 类型二 “X”型 3. (2024·合肥一模)如图,在△DAB 和△EBC 中,DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC, 且点A,B,C 在同一条直线上,连接AE, ED,AE 与BD 交于点F. (1) 求证:DF·BC=BF·AB. (2) 若DF=CE,求DFBD 的值. (第3题) 类型三 “母子”型 4. ★如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥ AB 于点D. (1) 求证:△ACD∽△CBD. (2) 若CD=3,BD=1,求AD 的长. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 61 5. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥ BC 于点D,E 为边AC 的中点,过点D,E 作 直线交AB 的延长线于点F. (1) 若AB=6,AC=8,求BD 的长. (2) 求证:AB·AF=AC·DF. (第5题) 类型四 “手拉手”型 6. (2024·银川二模)图形的旋转变换 是研究数学相关问题的重要手段之 一.小华和小芳对等腰直角三角形 的旋转变换进行了研究.如图①,△ABC 和 △ADE 均为等腰直角三角形,点D,E 分别 在线段AB,AC 上,且∠C=∠AED=90°. (1) 小华将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋 转,连接BD,CE,设BD 的延长线交CE 于 点F,如图②,当点E 与点F 重合时. ① BD CE 的值为 . ② ∠BFC 的度数为 . (2) 如图③,小芳在小华的基础上继续旋转 △ADE,连接BD,CE,设BD 的延长线交 CE 于点F,则(1)中的两个结论是否仍然成 立? 请说明理由. (3) 若AE=DE= 2,AC=BC= 10,CE 所在的直线垂直于AD,求BD 的长. (第6题) 类型五 “一线三等角”型 7. (2024·安庆期末)(1) 【问题】 如图 ①,在四边形ABCD 中,P 为AB 上 一点,当∠DPC=∠A=∠B=90° 时,求证:AD·BC=AP·BP. (2) 【探究】 若将90°角改为锐角,如图②,其 他条件不变,上述结论还成立吗? 请说明 理由. (3) 【应用】 如图③,在△ABC 中,AB=22, ∠B=45°,以A 为直角顶点作等腰直角三角 形ADE,点D 在BC 上,点E 在AC 上,点F 在BC 上,且∠EFD=45°.若CE= 5,求 CD 的长. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 ∴ AB GD=k. ∴ CD GD=k. ∴ CG GD=k-1. 10. (1) ∵ ∠ACD=∠BCA,∠CAD= ∠B, ∴ △ACD∽△BCA. ∴ AC BC= CD CA. ∴ AC2=CD·BC. ∵ CF·CE=CD·BC, ∴ AC2=CF·CE. ∴ AC EC= CF CA. ∵ ∠ACF=∠ECA, ∴ △ACF∽△ECA. (2) ∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠ACE=∠DCH. ∵ ∠CAD=∠B, ∴ ∠B + ∠DCH = ∠CAD + ∠ACE,即∠CEA=∠CHD. ∴ △ACE∽△DCH. ∴ S△CDH S△CAE= CD AC 2 =CD 2 AC2. 由(1)知,AC2=CD·BC, ∴ S△CDH S△CAE= CD BC. 11. 图①的剪法较为合理.理由: 如图①,设DE=CD=EF=CF=x. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ACB. ∴ DE BC= AD AC. ∴ x 6= 8-x 8 ,解得x=247. 如图②,过点C作CM⊥AB 于点M, 交DE 于点N. 设正方形DEFG 的边长为y,则易得 MN=y. 在Rt△ABC中, ∵ AC=8,BC=6, ∴ AB= AC2+BC2=10. ∴ 易得CM=AC ·BC AB =4.8. ∵ DE∥AB, ∴ △CDE∽△CAB. ∴ DE AB= CN CM. ∴ y 10= 4.8-y 4.8 ,解得y= 120 37. ∵ x>y, ∴ 图①中正方形的面积大. ∴ 图①的剪法较为合理. (第11题) 12. (1) 如图①,过点P 作PE⊥QR, 垂足为E,则∠PEQ=90°. ∵ PQ=PR, ∴ QE=RE=12QR=4cm. 在 Rt△PEQ 中,由 勾 股 定 理,得 PE= PQ2-QE2 = 52-42 = 3(cm). 当t=3时,QC=3cm,设PQ 与DC 交于点G. 易知PE∥DC, ∴ △QCG∽△QEP. ∴ S△QCG S△QEP= QC QE 2 = 34 2 . ∵ S△QEP= 1 2×4×3=6 (cm2), ∴ S△QCG= 3 4 2 ×6=278 (cm2),即 S的值为278. (2) 当t=5时,QC=5cm,CR= 3cm,此时点Q 与点B 重合. 如图②,设PR 与DC交于点M. 易知△RCM∽△REP, ∴ CM EP= CR ER ,即CM 3 = 3 4. ∴ CM=94cm. ∴ S△RCM= 1 2×3× 9 4= 27 8 (cm2). ∴ S重合部分=S△PQR-S△RCM = 1 2× 8×3-278= 69 8 (cm2),即S的值为698. (第12题) 专题特训五　相似三角形的 常考模型 1. ∵ AD⊥BC,BE⊥AC, ∴ ∠ADC=∠BEC=90°. 又∵ ∠C=∠C, ∴ △BEC∽△ADC. ∴ CE CD= BC AC ,即CE CB= CD CA. 又∵ ∠C=∠C, ∴ △CDE∽△CAB. ∴ DE AB= CE CB. 2. ∵ MN∥AD,AD∥BC, ∴ MN∥AD∥BC. ∵ ON∥AD, ∴ △CON∽△CAD. ∴ ON AD= CN CD①. ∵ ON∥BC, ∴ △DON∽△DBC. ∴ ON BC= DN DC②. ①+②,得ONAD+ ON BC= CN CD+ DN CD=1. ∵ AD=3cm,BC=5cm, ∴ ON 3 + ON 5 =1 ,解得ON=158cm. 3. (1) ∵ DA=DB,EB=EC, ∴ DA EB= DB EC. 又∵ ∠ADB=∠BEC, ∴ △DAB∽△EBC. ∴ ∠DAB=∠EBC,DAEB= AB BC. ∴ AD∥EB. ∴ ∠DAF=∠AEB,∠ADF=∠DBE. ∴ △ADF∽△EBF. ∴ AD EB= DF BF. ∴ AB BC= DF BF. ∴ DF·BC=BF·AB. (2) 由(1),得△DAB∽△EBC, ∴ ∠DBA=∠ECB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 ∵ ∠FAB=∠EAC, ∴ △ABF∽△ACE. ∴ AB AC= BF CE ,即AC AB= CE BF. ∵ DF=CE, ∴ AC AB= DF BF. 由(1),得ABBC= DF BF. ∴ AB BC= AC AB. ∴ AB BC= AB+BC AB =1+ BC AB. ∴ 易得AB BC= 5+1 2 . ∴ AC AB= DF BF= 5+1 2 . 设DF=(5+1)x,则BF=2x. ∴ DF BD= DF BF+DF= (5+1)x 2x+(5+1)x = 5+1 5+3 = 5-12 . ∴ DF BD 的值为 5-1 2 . 4. (1) 在Rt△ABC中, ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠A+∠B=90°. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠ADC=∠CDB=90°. ∴ ∠B+∠BCD=90°. ∴ ∠A=∠BCD. ∴ △ACD∽△CBD. (2) ∵ △ACD∽△CBD, ∴ CD BD= AD CD. 又∵ CD=3,BD=1, ∴ AD=CD 2 BD=3. 直角三角形及其斜边上的高 组成的基本图形 直角三角形斜边上的高把直 角三角形分成的两个小三角形与 原三角形相似.该基本图形中含有 公共边、公共角的两个相似三角 形,公共边的平方等于同一条直线 上的两边的乘积. 5. (1) ∵ ∠BAC =90°,AB =6, AC=8, ∴ BC= 62+82=10. ∵ ∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴ ∠CAB=∠ADB=90°. ∵ ∠CBA=∠ABD, ∴ △CBA∽△ABD. ∴ BA BD= CB AB ,即 6 BD= 10 6. ∴ BD=3.6. (2) 由(1),知△CBA∽△ABD. ∴ 易得BD∶AD=AB∶AC①. ∵ AD⊥BC,E 为边AC的中点, ∴ ED=AE=EC. ∴ ∠C=∠EDC=∠BDF. 又∵ 由(1),知△CBA∽△ABD, ∴ ∠C=∠BAD. ∴ ∠BDF=∠DAF. 又∵ ∠F=∠F, ∴ △DBF∽△ADF. ∴ BD∶AD=DF∶AF②. 由①②,得AB∶AC=DF∶AF. ∴ AB·AF=AC·DF. 6. (1) ① 2. ② 45°. (2) 仍然成立. 理由:如图①,设AC交BF 于点O. ∵ △ABC 和△ADE 均为等腰直角 三角形, ∴ ∠CAB= ∠EAD =45°,AB= 2AC,AD=2AE. ∴ ∠DAB=∠EAC,ABAC= AD AE=2. ∴ △DAB∽△EAC. ∴ BD CE= AD AE=2 ,∠ABD=∠ACE. ∵ ∠AOB=∠FOC, ∴ ∠BAO = ∠CFO = 45°,即 ∠BFC=45°. (3) 如图②,当CE⊥AD 于点O 时, ∵ AE=DE= 2,AC=BC= 10, ∠AED=∠ACB=90°, ∴ AD=2AE=2. ∵ EO⊥AD, ∴ OD=OA=OE=1. ∴ 在 Rt△AOC 中, OC = AC2-AO2=3. ∴ EC=OE+OC=4. 由(2),得BD=2EC, ∴ BD=42. 如图③,当EC⊥AD 时,延长CE 交 AD 于点O. 同理,可得OD=OA=OE=1,OC= 3,则EC=3-1=2. ∴ BD=2EC=22. 综上所述,BD 的长为42或22. (第6题) 7. (1) ∵ ∠DPC=90°, ∴ ∠BPC+∠APD=90°. ∵ ∠A=90°, ∴ ∠ADP+∠APD=90°. ∴ ∠ADP=∠BPC. 又∵ ∠A=∠B=90°, ∴ △ADP∽△BPC. ∴ AD∶BP=AP∶BC. ∴ AD·BC=AP·BP. (2) 成立.理由: ∵ ∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD= ∠A+∠ADP, ∴ ∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP. ∵ ∠DPC=∠A, ∴ ∠BPC=∠ADP. 又∵ ∠A=∠B, ∴ △ADP∽△BPC. ∴ AD∶BP=AP∶BC. ∴ AD·BC=AP·BP. (3) ∵ △ADE 是等腰直角三角形, ∴ ∠ADE=45°. 又∵ ∠B=∠ADE=45°, ∴ ∠ADE=∠B=∠EFD. ∵ ∠ADF=∠ADE+∠EDF=∠B+ ∠BAD, ∴ ∠BAD=∠EDF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 ∴ △ABD∽△DFE. ∴ AB∶DF=AD∶DE. ∵ △ADE 是等腰直角三角形, ∴ AD∶DE=1∶2. ∴ AB∶DF=1∶2. ∵ AB=22, ∴ DF=4. ∵ △ADE 是等腰直角三角形, ∴ ∠AED=45°. ∵ ∠EFD=45°, ∴ ∠DEC=∠EFC=180°-45°=135°. 又∵ ∠C=∠C, ∴ △DEC∽△EFC. ∴ DC∶EC=EC∶FC,即EC2= DC·FC. ∴ EC2=(DF+FC)·FC. ∵ EC=5,DF=4, ∴ 5=FC(4+FC),解得FC=1(负 值舍去). ∴ CD=5. 专题特训六　与相似三角形 有关的证明和计算 1. (1) ∵ △ABC为等边三角形, ∴ ∠B=∠C=60°. ∴ ∠BDF+∠DFB=180°-∠B= 120°. ∵ ∠DFE=60°, ∴ ∠CFE+∠DFB=180°-60°=120°. ∴ ∠BDF=∠CFE. ∴ △DBF∽△FCE. (2) ∵ △DBF∽△FCE, ∴ BF CE= DF EF. ∵ DE⊥EF,∠DFE=60°, ∴ ∠EDF=30°. ∴ DF=2EF. ∴ DF EF=2. ∴ BF CE=2. ∵ EC=1, ∴ BF=2. 2. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠C. ∵ AD2=CD·AC,AD=BC, ∴ BC2=CD·AC,即BCAC= CD BC. 又∵ ∠C=∠C, ∴ △BCD∽△ACB. ∴ ∠BDC=∠ABC=∠C,∠DBC= ∠A. ∴ BD=BC=AD. ∴ ∠A=∠ABD. 设∠A=x°,则∠ABD=∠DBC= x°,∠C=∠BDC=∠ABC=2x°. ∵ ∠DBC+∠BDC+∠C=180°, ∴ x+2x+2x=180,解得x=36. ∴ ∠ABD=36°. 3. (1) 3 2. (2) 如图,过点A 作AF∥DB,交BE 的延长线于点F. ∵ CD BC= 1 2 , ∴ 设 DC=k,则 BC=2k,DB= DC+BC=3k. ∵ E 是AC的中点, ∴ AE=CE. ∵ AF∥DB, ∴ ∠F=∠EBC. 在△AEF 和△CEB 中, ∠F=∠EBC, ∠AEF=∠CEB, AE=CE, ∴ △AEF≌△CEB. ∴ AF=BC=2k. ∵ AF∥DB, ∴ △APF∽△DPB. ∴ PA PD= AF DB= 2k 3k= 2 3. (第3题) 4. (1) ∵ AD∥BC,∠BCD=90°, ∴ ∠ADC=180°-∠BCD=90°. 又∵ AC⊥BD, ∴ ∠BEC=90°. ∴ ∠ACD + ∠ACB = ∠CBD + ∠ACB=90°. ∴ ∠ACD=∠CBD. 又∵ ∠CDA=∠BCD=90°, ∴ △ACD∽△DBC. ∴ AD CD= CD BC ,即CD2=BC·AD. (2) ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADB=∠DBF. ∵ ∠BAF=∠DBF, ∴ ∠ADB=∠BAF. 又∵ ∠ABG=∠DBA, ∴ △ABG∽△DBA. ∴ AG AD= AB BD. ∴ AG2 AD2= AB2 BD2. ∵ △ABG∽△DBA, ∴ BG AB= AB BD. ∴ AB2=BG·BD. ∴ AG2 AD2= AB2 BD2= BG·BD BD2 = BG BD. 5. ∵ ∠ACP=∠CBP,∠CDP= ∠BDC, ∴ △CDP∽△BDC. ∴ CD BD= DP CD. ∴ CD2=DP·DB. ∵ ∠APB=90°+∠CBA, ∴ ∠APD=180°-(90°+∠CBA)= 90°-∠CBA. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠CAB=90°-∠CBA. ∴ ∠DPA=∠DAB. 又∵ ∠ADP=∠BDA, ∴ △ADP∽△BDA. ∴ AD DB= DP AD. ∴ AD2=DP·DB. 又∵ CD2=DP·DB, ∴ AD=CD. 6. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠D=∠C=90°,AD=CD=BC. ∵ BF=3FC,E 是DC的中点, ∴ FC=14BC ,DE=CE=12CD. ∴ CF DE= 1 2= CE DA. ∴ △ADE∽△ECF. (2) 由(1),知△ADE∽△ECF, ∴ ∠AED=∠EFC. ∵ ∠EFC+∠CEF=90°, ∴ ∠AED+∠CEF=90°. ∴ ∠AEF=90°. ∴ AE⊥EF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43