22.3 相似三角形的性质-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

若 BP 为 斜 边, 则 Rt△PQB ∽Rt△AOB. 由(1)可知,点Q 与点C 重合,此时 q=3.6. 若 BQ 为 斜 边,则 Rt△QPB ∽ Rt△AOB. ∴ BP BO= BQ BA ,即10-6 6 = BQ 10. ∴ BQ=203. ∵ OB=6, ∴ q=6- 20 3=- 2 3. 综上所述,点 Q 的坐标为(3.6,0) 或 -23 ,0 . (第9题) 10. (1) E 是四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”.理由: ∵ ∠DEC=45°, ∴ ∠AED+∠BEC=135°. ∵ ∠A=45°, ∴ ∠ADE+∠AED=135°. ∴ ∠ADE=∠BEC. 又∵ ∠A=∠B, ∴ △ADE∽△BEC. ∴ E 是四边形ABCD 的边AB 上的 “相似点”. (2) 由题意可知,DM=EM,EC= CD =AB =2 3,∠A = ∠B = ∠MEC=90°. 在 Rt△BEC 中,由 勾 股 定 理,得 BE= CE2-BC2= (23)2-32= 3,则AE=AB-BE=3. ∵ ∠A=∠MEC=90°, ∴ ∠AEM + ∠AME = 90°, ∠AEM+∠BEC=90°. ∴ ∠AME=∠BEC. 又∵ ∠A=∠B, ∴ △AEM∽△BCE. ∴ AM BE= AE BC ,即AM 3 = 33. ∴ AM=1. 在Rt△AEM 中,由勾股定理,得EM= AE2+AM2= (3)2+12=2. ∵ AE AM=3 ,EC EM=3 , ∴ AE AM= EC EM ,即AE EC= AM EM. 又∵ ∠A=∠CEM, ∴ △AEM∽△ECM. 又∵ △AEM∽△BCE, ∴ △AEM∽△BCE∽△ECM. ∴ E 是四边形ABCM 的边AB 上的 “强相似点”. 22.3　相似三角形的性质 1. B 2. B 3. 24 4. 12 5. (1) ∵ AB∥DC, ∴ ∠ABD=∠BDC,∠ABC+∠C= 180°. ∵ ∠ABC+∠ADB=180°, ∴ ∠C=∠ADB. ∴ △ABD∽△BDC. (2) ∵ BF=2AE, ∴ AE BF= 1 2. 又∵ △ABD ∽ △BDC,AE 平 分 ∠DAB,BF 平分∠DBC, ∴ S△ABD S△BDC= AE BF 2 = 12 2 =14. ∵ S△ABD=3, ∴ S△BDC=4S△ABD=12. 6. D 7. D 解析:∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AB∥DC,AD∥BC, AB =CD =6,AD =BC =9. ∴ ∠BAF=∠F,∠DAF=∠AEB. ∵ ∠BAD 的平分线交BC于点E,交 DC的延长线于点F,∴ ∠BAF= ∠DAF.∴ ∠DAF = ∠F = ∠AEB = ∠BAF.∴ AB =BE, AD =DF.∵ ∠AEB = ∠FEC, ∴ ∠FEC = ∠F.∴ EC =FC. ∵ AB=CD =6,AD =BC =9, ∴ BE=6,DF=9.∴ EC=FC= DF-DC=9-6=3.∴ CE BE= 1 2. ∵ 在△ABG 中,BG⊥AE,AB=6, BG=42,∴ 由勾股定理,得AG= AB2-BG2 = 62-(42)2 =2. ∵ AB=BE,BG⊥AE,∴ AE= 2AG=4.∴ △BEA 的周长为16. ∵ AB∥DC,∴ △CEF∽△BEA.又 ∵ 相似比CE BE= 1 2 ,∴ △CEF的周长 △BEA的周长= 1 2 ,即 △CEF 的周长 16 = 1 2 ,解 得 △CEF 的周长为8.故选D. 8. 4∶25或9∶25 解析:如图,① 当 AE∶ED =2∶3时,∵ 四 边 形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, AD=BC.∴ AE ∶BC=2∶5, △AEF ∽ △CBF.∴ S△AEF ∶ S△CBF=4∶25.② 当AE'∶E'D=3∶ 2时,同理,可得S△AE'F'∶S△CBF'= 9∶25.综上所述,S△AEF∶S△CBF=4∶ 25或9∶25. (第8题) 三角形面积比的规律总结 (1) 相似三角形的面积比等于 相似比的平方. (2) 同(等)高三角形的面积之 比等于底之比. (3) 同(等)底三角形的面积之 比等于高之比. 9. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB∥CD,AB=CD,∠ABC= ∠ADC. ∴ ∠BAE=∠DGA. ∴ △ABE∽△GDA. ∵ CG∶GD=1∶2, ∴ GD∶CD=2∶3. ∴ AB∶GD=CD∶GD=3∶2. ∴ △ABE 与△GDA 的 周 长 比 为 3∶2. (2) 由 (1),知 △ABE ∽ △GDA, ∴ AB GD= BE DA. ∵ △ABE 与△GDA 的面积比是k∶ 1(k>1), ∴ S△ABE S△GDA= AB GD 2 =k. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 ∴ AB GD=k. ∴ CD GD=k. ∴ CG GD=k-1. 10. (1) ∵ ∠ACD=∠BCA,∠CAD= ∠B, ∴ △ACD∽△BCA. ∴ AC BC= CD CA. ∴ AC2=CD·BC. ∵ CF·CE=CD·BC, ∴ AC2=CF·CE. ∴ AC EC= CF CA. ∵ ∠ACF=∠ECA, ∴ △ACF∽△ECA. (2) ∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠ACE=∠DCH. ∵ ∠CAD=∠B, ∴ ∠B + ∠DCH = ∠CAD + ∠ACE,即∠CEA=∠CHD. ∴ △ACE∽△DCH. ∴ S△CDH S△CAE= CD AC 2 =CD 2 AC2. 由(1)知,AC2=CD·BC, ∴ S△CDH S△CAE= CD BC. 11. 图①的剪法较为合理.理由: 如图①,设DE=CD=EF=CF=x. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ACB. ∴ DE BC= AD AC. ∴ x 6= 8-x 8 ,解得x=247. 如图②,过点C作CM⊥AB 于点M, 交DE 于点N. 设正方形DEFG 的边长为y,则易得 MN=y. 在Rt△ABC中, ∵ AC=8,BC=6, ∴ AB= AC2+BC2=10. ∴ 易得CM=AC ·BC AB =4.8. ∵ DE∥AB, ∴ △CDE∽△CAB. ∴ DE AB= CN CM. ∴ y 10= 4.8-y 4.8 ,解得y= 120 37. ∵ x>y, ∴ 图①中正方形的面积大. ∴ 图①的剪法较为合理. (第11题) 12. (1) 如图①,过点P 作PE⊥QR, 垂足为E,则∠PEQ=90°. ∵ PQ=PR, ∴ QE=RE=12QR=4cm. 在 Rt△PEQ 中,由 勾 股 定 理,得 PE= PQ2-QE2 = 52-42 = 3(cm). 当t=3时,QC=3cm,设PQ 与DC 交于点G. 易知PE∥DC, ∴ △QCG∽△QEP. ∴ S△QCG S△QEP= QC QE 2 = 34 2 . ∵ S△QEP= 1 2×4×3=6 (cm2), ∴ S△QCG= 3 4 2 ×6=278 (cm2),即 S的值为278. (2) 当t=5时,QC=5cm,CR= 3cm,此时点Q 与点B 重合. 如图②,设PR 与DC交于点M. 易知△RCM∽△REP, ∴ CM EP= CR ER ,即CM 3 = 3 4. ∴ CM=94cm. ∴ S△RCM= 1 2×3× 9 4= 27 8 (cm2). ∴ S重合部分=S△PQR-S△RCM = 1 2× 8×3-278= 69 8 (cm2),即S的值为698. (第12题) 专题特训五　相似三角形的 常考模型 1. ∵ AD⊥BC,BE⊥AC, ∴ ∠ADC=∠BEC=90°. 又∵ ∠C=∠C, ∴ △BEC∽△ADC. ∴ CE CD= BC AC ,即CE CB= CD CA. 又∵ ∠C=∠C, ∴ △CDE∽△CAB. ∴ DE AB= CE CB. 2. ∵ MN∥AD,AD∥BC, ∴ MN∥AD∥BC. ∵ ON∥AD, ∴ △CON∽△CAD. ∴ ON AD= CN CD①. ∵ ON∥BC, ∴ △DON∽△DBC. ∴ ON BC= DN DC②. ①+②,得ONAD+ ON BC= CN CD+ DN CD=1. ∵ AD=3cm,BC=5cm, ∴ ON 3 + ON 5 =1 ,解得ON=158cm. 3. (1) ∵ DA=DB,EB=EC, ∴ DA EB= DB EC. 又∵ ∠ADB=∠BEC, ∴ △DAB∽△EBC. ∴ ∠DAB=∠EBC,DAEB= AB BC. ∴ AD∥EB. ∴ ∠DAF=∠AEB,∠ADF=∠DBE. ∴ △ADF∽△EBF. ∴ AD EB= DF BF. ∴ AB BC= DF BF. ∴ DF·BC=BF·AB. (2) 由(1),得△DAB∽△EBC, ∴ ∠DBA=∠ECB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 58 22.3　相似三角形的性质 ▶ “答案与解析”见P31 1. 若两个相似三角形对应中线的比为2 3 ,则它 们对应边上的高之比为 ( ) A. 4 9 B. 2 3 C. 1 3 D. 6 3 2. 新趋势·跨学科 如图所示为小孔成像原理的 示意图,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在 暗盒中所成的像CD 的长是 ( ) A. 1 6cm B. 1cm C. 1 2cm D. 1 3cm (第2题) (第4题) 3. 如果△ABC∽△DEF,且△ABC 的三边长 分别为3,4,5,△DEF 的最短边长为6,那么 △DEF 的周长等于 . 4. (2024·辽宁)如图,AB∥CD,AD 与BC 相 交于点O,且△AOB 与△DOC 的面积比是 1∶4,若AB=6,则CD 的长为 . 5. 如图,AB∥DC,∠ABC+∠ADB=180°. (1) 求证:△ABD∽△BDC. (2) 若AE 平分∠DAB,BF 平分∠DBC,且 BF=2AE,S△ABD=3,求S△BDC 的值. (第5题) 6. 如图,在△ABC 中,D,E 和F,G 分别是边 AB,AC 的三等分点,△ABC 的面积为27, 则四边形DEGF 的面积为 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 (第6题) (第7题) 7. (2024· 滁州期末)如图,在▱ABCD 中, AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交BC 于 点E,交DC 的延长线于点F,BG⊥AE 于点 G,BG=42,则△CEF 的周长为 ( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 8. ★在▱ABCD 中,E 是AD 上一点,且点E 将 AD 分为2∶3的两部分,连接BE,AC 相交 于点F,则S△AEF∶S△CBF= . 9. 如图,E 为▱ABCD 的边BC 的延长线上一 点,AE 与BD 交于点F,与DC 交于点G. (1) 若CG∶GD=1∶2,求△ABE 与△GDA 的周长比. (2) 若△ABE 与△GDA 的面积比是k∶1 (k>1),求CGGD 的值. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 59 10. 如图,在 △ABC 中,点 D 在 边 BC 上, ∠CAD=∠B,点E 在边AB 上,连接CE 交AD 于点 H,点 F 在CE 上,且满足 CF·CE=CD·BC,连接AF,DF. (1) 求证:△ACF∽△ECA. (2) 当CE 平分∠ACB 时,求证: S△CDH S△CAE = CD BC. (第10题) 11. 已知直角三角形铁片ABC 的两条 直角边BC,AC 的长分别为6和 8,分别采用如图①②所示的两种 方法,剪出一块正方形铁片,为使剪去正方 形铁片后剩下的边角料较少,试比较哪种剪 法较为合理,并说明理由. (第11题) 12. 如图,有一边长为5cm的正方形 ABCD 和等腰三角形PQR,PQ= PR=5cm,QR=8cm,点B,C, Q,R 在同一条直线l上.当C,Q 两点重合 时,等腰三角形PQR 以1cm/s的速度沿直 线l按箭头方向开始匀速运动.设ts后正 方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分 的面积为Scm2. (1) 当t=3时,求S的值. (2) 当t=5时,求S的值. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形