22.2 相似三角形的判定-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

DH CE = BD BC= BD BD+DC= 2 2+3= 2 5. ∴ AE=4DH,CE=52DH.∴ AE EC= 4DH 5 2DH =85. 8. (1) ∵ DE∥BC, ∴ AD AB= AE AC. 又∵ AD AB= 1 3 ,AE=3, ∴ 3 AC= 1 3 ,解得AC=9. ∴ EC=AC-AE=9-3=6. (2) ∵ DE∥BC,EF∥CG, ∴ AD AB= AE AC= AF AG. ∴ AD·AG=AF·AB. 9. 如图,过点C作CE∥AB 交AD 的 延长线于点E,则BDDC= AD DE. 又∵ BD=2DC,AD=2, ∴ DE=1. ∴ AE=AD+DE=3. ∵ CE∥AB, ∴ ∠E=∠BAD=75°. 又∵ ∠CAD=30°, ∴ ∠ACE=180°-30°-75°=75°. ∴ AC=AE=3. (第9题) 10. (1) ∵ D 是BC的中点,F 是AD 的中点, ∴ BD=CD,AF=FD. ∵ DG∥BE, ∴ CD BD= CG EG=1 ,AE EG= AF FD=1. ∴ CG=EG,AE=EG. ∴ AE=CG=EG. ∴ AE EC= AE EG+CG= 1 2. (2) 如图,过点D 作DH∥BE 交AC 于点H. ∵ BD∶DC=1∶4,DH∥BE, ∴ HE CH= BD DC= 1 4. ∴ CH=4HE. ∵ AF∶FD=3∶2,DH∥BE, ∴ AE HE= AF DF= 3 2. ∴ AE=32HE. ∴ AE EC= 3 2HE EH+HC= 3 2HE HE+4HE= 3 10. (第10题) 22.2　相似三角形的判定 第1课时 用平行线判定 三角形相似 1. B 2. A 3. C 4. 26 5. ∵ EG∥BC, ∴ △AEG∽△ABC. ∴ EG BC= AE AB. 又∵ BC=10,AE=9,AB=12, ∴ EG 10= 9 12. ∴ EG=152. ∵ EF∥AD, ∴ △BEF∽△BAD. ∴ EF AD= EB AB. 又∵ AD=5,AE=9,AB=12, ∴ EF 5= 12-9 12 . ∴ EF=54. ∴ FG=EG-EF=152- 5 4= 25 4. 6. C 7. C 解析:设 MN=x.∵ HM= 2MN,∴ HM=2x.延长NM 交AC 于点D.∵ MN⊥AB,∴ ∠MNA= 90°.又∵ ∠ABC=90°,∴ ∠DNA= ∠CBA.∴ DN∥CB.∴ △ADN∽ △ACB.∴ AN AB= DN CB ,即AN 4 = DN 3 . ∴ AN = 43 DN.∵ HM ∥AB, ∴ △DMH∽△DNA.∴ DM DN= HM AN , 即DM DN = 2x AN.∵ AN = 43 DN , ∴ DM=32x.∴ DN=DM+MN= 3 2x+x= 5 2x.∴ AN=43 ·5 2x= 10 3x.∵ MN∥FB,∴ △AMN ∽ △AFB.∴ MN FB = AN AB ,即x FB= AN 4 . ∴ x FB= 10 3x 4 .∴ BF=4×310=1.2. 故选C. 8. B 解析:如图,过点E 作EH⊥ AB 于点 H,延长 CD 至点 M,使 DM=CD,连接 BM.∵ ∠ACB= 90°,AC=16,BC=12,∴ AB = AC2+BC2 =20.∵ BF 平 分 ∠ABC,∠ACB =90°,EH ⊥AB, ∴ EH=EC.∵ △ABC 的面积= △ABE 的 面 积+△BCE 的 面 积, ∴ 1 2AC ·BC= 12AB ·EH + 1 2BC ·CE.∴ 16×12=20CE+ 12CE,解得CE=6.∵ AD=BD, DM = CD,∠ADC = ∠BDM, ∴ △BDM≌△ADC.∴ BM=AC= 16,∠M = ∠ECF.∴ CE∥MB. ∴ △CEF∽△MBF.∴ EF BF= CE MB= 6 16= 3 8. 故选B. (第8题) 9. (1) 1 解析:∵ BD=2CD=4, ∴ CD=2.∵ AE⊥BD,∴ ∠BFE= 90°.又∵ ∠BDC=90°,∴ AE∥CD. ∴ BF FD= BE EC.∵ E 是BC 的中点, ∴ BE=EC.∴ BF=FD=12BD= 2,即 F 是 BD 的 中 点.∴ EF 是 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 △DBC的中位线.∴ EF=12CD=1. (2) 5-1 2 解 析:∵ ∠BAC = ∠BDC=90°,∴ ∠ABG+∠AGB= 90°,∠DCG + ∠DGC = 90°. ∵ ∠AGB= ∠DGC,∴ ∠ABF = ∠DCG.由(1),得F 是BD 的中点, ∴ BD =2BF.∵ BD =2CD, ∴ BF=CD =2.又 ∵ ∠AFB = ∠GDC=90°,∴ △ABF≌△GCD. ∴ AF=DG.设 AF=DG=a,则 FG=2-a.∵ AE∥CD,∴ △AGF∽ △CGD.∴ FG DG= AF CD ,即2-a a = a 2 , 解得a=5-1(负值舍去).∴ AF= 5-1.∴ FG DG= AF CD= 5-1 2 . 10. (1) ∵ AC∥EF, ∴ △BEF∽△BCA. ∴ EF CA= BF BA. ∵ EF∥BD, ∴ △AFE∽△ABD. ∴ EF DB= AF AB. ∴ EF CA+ EF DB= BF BA+ AF AB=1. ∴ 1 AC+ 1 BD= 1 EF. (2) 当AC=3,EF=2时, 由(1),可知13+ 1 BD= 1 2 , ∴ BD=6. 利用成比例线段求线段长的方法 对于被平行线所截形成“A”型 或“X”型的图形,当所求的线段或 已知线段在平行的边上时,通常考 虑证三角形相似,再利用相似三角 形的对应边的比相等构建包含已 知与未知线段的比例式求线段的 长;当所求的线段或已知线段不在 平行的边上时,考虑直接用平行线 分线段成比例定理求线段的长. 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AD=BC,AD∥BC. ∴ △ADN∽△PCN. ∴ AD CP= DN CN. ∴ BC CP= DN CN. 又∵ BC CP= 3 2 , ∴ DN CN= 3 2. ∴ CN DN= 2 3. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AB∥CD. ∴ △ADM ∽ △PBM,△ABM ∽ △NDM. ∴ AM PM= DM BM ,AM MN= BM DM. ∴ BM DM= PM AM. ∴ AM MN= PM AM. ∴ AM2=MN·MP. 12. (1) ∵ DE∥BC, ∴ ∠ADE=∠B,∠A'DE=∠DMB. 由翻折可知,∠ADE=∠A'DE, ∴ ∠B=∠DMB. ∴ DB=DM. (2) 由翻折可知,A'D=AD. ∵ AD DB=2 ,DB=DM, ∴ A'D DM=2. ∴ A'M A'D= 1 2. ∵ DE∥BC, ∴ △A'MN∽△A'DE. ∴ MN DE= A'M A'D= 1 2. ∵ DE=6, ∴ MN=12DE=3. (3) 由翻折可知,A'D=AD. ∵ AD DB=n ,DB=DM, ∴ A'D DM=n. 当n>1时,A'MA'D= n-1 n . ∵ DE∥BC, ∴ △A'MN∽△A'DE. ∴ MN DE= A'M A'D= n-1 n . ∵ DE=a, ∴ MN=n-1n DE=a- a n . 同理,当0<n<1时,此时MNDE = A'M A'D= 1-n n . ∴ MN=an-a. 综上所述,线段 MN 的长为a-an (n>1)或an-a (0<n<1). 第2课时 相似三角形的 判定定理1 1. A 2. C 3. 3 4. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠A+∠B=90°. ∵ DE⊥AB, ∴ ∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°. ∵ CD=CA, ∴ ∠A=∠ADC. ∴ ∠CDE=∠B. 又∵ ∠DCE=∠BCD, ∴ △CDE∽△CBD. 5. D 解析:∵ ∠CPD=∠A=∠B, 且∠APD=∠B+∠PFB=∠APC+ ∠CPD,∴ ∠APC = ∠PFB,即 ∠APG=∠BFP.∴ △APG∽△BFP, 故选项B不合题意;∵ ∠A=∠CPD, ∠D=∠D,∴ △APD∽△PGD,故 选项A不合题意;∵ ∠B=∠CPD, ∠C=∠C,∴ △PCF∽△BCP,故选 项C不合题意;由 条 件 无 法 证 明 △CGE∽△CBP,故选项D符合题 意.故选D. 6. D 解析:由 题 意 可 得,∠C= ∠B = 60°.∵ ∠ADE = 60°, ∴ ∠ADC+∠BDE=120°.∵ ∠B= 60°,∴ ∠BDE + ∠DEB =120°. ∴ ∠ADC=∠DEB.又∵ ∠C= ∠B,∴ △ADC∽△DEB.∴ CD BE= AC BD.∵ △ABC 是 等 边 三 角 形, ∴ AC=BC.又∵ CD=6,BE=4, ∴ 6 4 = BC BC-6 ,解 得 BC=18.故 选D. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 7. A 解析:∵ AB∶BC=3∶4,∴ 设 AB=3x,BC=4x.∵ ∠ABC=90°, ∴ AC= AB2+BC2 =5x.∵ BD⊥ AC,∴ ∠ADB=∠ABC=90°.又 ∵ ∠BAD=∠CAB,∴ △ABD∽ △ACB.∴ AB AC= AD AB.∴ 3x 5x= AD 3x. ∴ AD=95x.∵ AE 平分∠BAC, ∴ ∠BAF=∠DAF.∴ ∠AEB= ∠AFD.∵ ∠AFD = ∠BFE, ∴ ∠BEF=∠BFE.∴ BE=BF. ∵ ∠ABE=∠ADF=90°,∠BAE= ∠DAF,∴ △ABE ∽ △ADF. ∴ BE DF= AB AD.∴ BF DF= AB AD= 3x 9 5x = 5 3 ,即BF∶FD=5∶3.故选A. 8. D 解析:连接BG,设GC=x. ∵ 点G 恰在边CD 的四等分点处, ∴ DG=3x,DC=4x.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BDG=45°, ∠C=90°,BC=DC=4x.∴ 在 Rt△BCD 中,由勾股定理,得BD= CD2+BC2=42x.在Rt△BGC 中,由 勾 股 定 理,得 BG = CG2+BC2 = 17x.∵ 四边 形 BFGE 是正方形,∴ ∠BGH=45°. ∴ ∠BGH=∠BDG.又∵ ∠GBH= ∠DBG,∴ △BGH ∽ △BDG. ∴ BH BG= BG BD.∴ BH 17x = 17x 42x ,解 得BH =172x8 .∴ DH =BD - BH =42x -172x8 = 152x 8 . ∴ DH BH = 152x 8 172x 8 =1517 ,即 DH ∶ BH=15∶17.故选D. 9. 23cm或26cm 解析:∵ ∠ACP=∠B,∠A=∠A, ∴ △ACP∽△ABC.∴ AC AB= AP AC ,即 AC2=AP·AB.分两种情况:① 当 AP = 13AB = 2cm 时,AC = AP·AB = 12 = 23(cm). ② 当AP=23AB=4cm 时,AC= AP·AB= 24=26(cm).故 AC的长是23cm或26cm. 忽略三等分点的两种情况 而导致错误 在没有特殊说明的情况下,若 某一点是一条线段的一个三等分 点,则该点在线段上的位置有两种 可能,应通过分类讨论确定,不能 从一而论. 10. (1) ∵ ∠A=∠CED,∠A+ ∠ACE=∠CEB=∠CED+∠BED, ∴ ∠BED=∠ACE. 又∵ ∠A=∠B, ∴ △CAE∽△EBD. (2) ∵ CE 平分∠ACD, ∴ ∠ACE=∠DCE. 由(1),知∠DEB=∠ACE, ∴ ∠DCE=∠DEB. 又∵ ∠B=∠CED, ∴ △CDE∽△EDB. ∴ CD ED= ED BD ,即 6 ED= ED 3 . ∴ ED=32. 11. (1) ∵ BD 是角平分线, ∴ ∠ABD=∠CBD. ∵ DE⊥BD, ∴ ∠BDE=90°. ∵ ∠C=90°,∠ADB=∠CBD + ∠C,∠AED=∠ABD+∠BDE, ∴ ∠ADB=∠AED. 又∵ ∠A=∠A, ∴ △ABD∽△ADE. ∴ AD AE= AB AD. ∴ AD2=AE·AB. (2) ∵ AD2=AE·AB,AE=6, AD=62, ∴ AB=AD 2 AE = (62)2 6 =12. ∴ BE=AB-AE=12-6=6. ∵ △ABD∽△ADE, ∴ AD AB= DE BD= 62 12= 2 2. ∴ BD=2DE. ∵ 易得DE2+BD2=BE2=36, ∴ DE2+(2DE)2=36,解得DE= 23或DE=-23(舍去). ∴ DE 的长是23. 12. (1) ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABD=∠CBD. ∵ BD=CD, ∴ ∠C=∠CBD. ∴ ∠ABD=∠C. 又∵ ∠A=∠A, ∴ △ABD∽△ACB. ∴ AD AB= AB AC. 又∵ AB=4,AC=6, ∴ AD 4 = 4 6 ,解得AD=83. ∴ CD=AC-AD=6-83= 10 3. (2) ① 由(1)知,∠ABD=∠C. ∵ ∠AEF = ∠ABC,∠AEF + ∠CEF=∠AEC=∠ABC+∠BAG, ∴ ∠CEF=∠BAG. ∴ △ABG∽△ECF. ② ∵ △ABG∽△ECF, ∴ AB EC= BG CF. ∵ BG=2CF, ∴ EC=12AB=2. 由已知及(1)可知,BD=CD=103 , △ABD∽△ACB. ∴ BD CB= AB AC. ∴ BC=AC ·BD AB = 6×103 4 =5. ∴ BE=BC-EC=5-2=3. 如图,过点D 作DM∥BC 交AE 于 点M,则△ADM∽△ACE,△BEG∽ △DMG. ∴ DM CE= AD AC ,BG DG= BE DM. 由(1)知,AD=83. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 ∴ DM=AD ·CE AC = 8 3×2 6 = 8 9. ∴ BG DG= BE DM= 3 8 9 =278. (第12题) 第3课时 相似三角形的 判定定理2 1. C 2. D 3. 答案不唯一,如 AB AD= AC AE 4. ∵ ∠1=∠2,∠3=∠4, ∴ △ABD∽△CBE. ∴ AB CB= BD BE. ∴ AB BD= CB BE. ∵ ∠1=∠2, ∴ ∠1+∠DBC=∠2+∠DBC. ∴ ∠ABC=∠DBE. ∴ △ABC∽△DBE. 5. A 6. A 解析:在△CED 和△BDC 中, ∵ CD2=DE·BD,∴ CD DB= DE DC. 又 ∵ ∠EDC=∠CDB,∴ △CDE∽ △BDC.∴ ∠DEC=∠DCB=90°. ∴ ∠BEC=180°-∠DEC=90°.如 图,取BC 的中点Q,连接FQ,EQ. ∵ BC=2,∴ EQ= 12BC=1. 又 ∵ F 为AB 的中点,∴ FQ 是△ABC 的中位线.∴ FQ=12AC.∵ ∠ACB= 90°,∠A=30°,∴ AB=2BC=4. ∴ 易得AC=23.∴ FQ= 3.当且 仅当E,F,Q 三点共线时,EF 的值最 小,∴ EF 的最小值为 3-1.故 选A. (第6题) 7. △DEB 8. 8.4或2或12 解析:设DP=x, 则BP=BD-DP=14-x.∵ AB⊥ BD,CD⊥BD,∴ ∠B=∠D=90°. 当AB CD = BP DP 时,△ABP∽△CDP. ∴ 6 4= 14-x x ,解得x=285.∴ BP= 14-285 =8.4 ;当 AB DP = BP DC 时, △ABP∽△PDC.∴ 6 x= 14-x 4 . 整 理,得x2-14x+24=0,解得x1=2, x2=12.∴ BP=14-2=12或BP= 14-12=2.∴ 当以P,C,D 为顶点的 三角形与△ABP 相似时,PB 的长为 8.4或2或12. 9. (1) ∵ ∠AED=∠B,∠DAE= ∠CAB, ∴ ∠ADF=∠C. ∵ AD AC= DF CG , ∴ △ADF∽△ACG. (2) ∵ △ADF∽△ACG, ∴ AD AC= AF AG. 又∵ AD AC= 1 2 , ∴ AF AG= 1 2. ∴ AF FG=1. 用边角关系判定两个 三角形相似的方法 先找出两个三角形中相等的 那个角,再分别找出两个三角形中 夹这个角的两条边,并且按大小排 列找出对应边,最后看这两组对应 边是否成比例.若成比例,则这两 个三角形相似;否则不相似. 10. (1) 相似.理由: 当t=1时,OE=1.5cm,OF=2cm. ∵ AB=3cm,OB=4cm, ∴ OE BA= 1.5 3 = 1 2 ,OF BO= 2 4= 1 2. ∴ OE BA= OF BO. 又∵ ∠EOF=∠ABO=90°, ∴ △EOF∽△ABO. (2) 在点E,F 运动的过程中,OE= 1.5tcm,OF=2tcm. ∵ AB=3cm,OB=4cm, ∴ OE BA= OF BO= t 2. 又∵ ∠EOF=∠ABO=90°, ∴ △EOF∽△ABO. ∴ ∠EFO=∠AOB. ∵ ∠AOB+∠FOC=∠MON=90°, ∴ ∠EFO+∠FOC=90°. ∴ ∠OCF=90°. ∴ EF⊥OA. 11. (1) ∵ AQ∥PC, ∴ ∠AQE=∠CPD. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB∥CD,AB=CD. ∴ ∠AEQ=∠CDP. ∴ △AEQ∽△CDP. ∴ AQ PC= AE CD. ∵ E 是AB 的中点, ∴ AE=12AB= 1 2CD. ∴ AQ PC= AE CD= 1 2. ∴ PC=2AQ. (2) ∵ AD2=PD·DE, ∴ AD DE= PD AD. 又∵ ∠ADP=∠EDA, ∴ △ADP∽△EDA. ∴ ∠DAP=∠DEA. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠DAP=∠AFB. ∴ ∠DEA=∠AFB. 又∵ 在矩形 ABCD 中,∠DAE= ∠ABF=90°, ∴ △DAE∽△ABF. ∴ AD AB= AE BF. ∵ AB=10,AD=12,AE=12AB=5 , ∴ 12 10= 5 BF ,解得BF=256. (3) 延长DE 交CB 的延长线于点G. ∵ E 是AB 的中点, ∴ AE=BE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADE=∠BGE. 又∵ ∠AED=∠BEG, ∴ △ADE≌△BGE. ∴ AD=BG. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AD=BC. ∴ GC=BG+BC=2AD. ∵ F 为BC的中点, ∴ BC=2BF. ∴ AD=2BF,BG=2BF. ∴ GF=BG+BF=3BF. ∴ AD GF= 2BF 3BF= 2 3. ∵ AD∥GC, ∴ △APD∽△FPG. ∴ AP PF= AD GF= 2 3. 第4课时 相似三角形的 判定定理3 1. C 2. A 3. 答案不唯一,如 BC CD=k 4. (1) ∵ BC∶DE=40∶24=5∶3, AB∶AD=25∶15=5∶3,AC∶ AE=20∶12=5∶3, ∴ BC∶DE=AB∶AD=AC∶AE. ∴ △ABC∽△ADE. (2) 由(1),知△ABC∽△ADE, ∴ ∠DAE=∠BAC=125°. 又∵ ∠EAC=70°, ∴ ∠CAD = ∠DAE - ∠EAC = 125°-70°=55°. 5. B 解析:∵ ∠APD =90°,且 ∠PAB≠∠PCA,∠PBA≠∠PAC, ∴ 无法判定△PAB 与△PCA 相似, 故选 项 A 错 误;同 理,无 法 判 定 △PAB 与△PDA,△ABC 与△DCA 相似,故选项C,D错误;∵ ∠APD= 90°,AP=PB=BC=CD,∴ 易得 AB= 2PA,AC= 5PA,AD = 10PA,BD =2PA.∴ AB DB = 2PA 2PA = 2 2 ,BC BA= PA 2PA = 22 ,AC AD= 5PA 10PA = 22.∴ AB DB= BC BA= AC DA. ∴ △ABC∽△DBA.故选B. 6. D 解析:(1) 以30cm长的一根 为边,① 当30cm长的边与△ABC中 的20cm长的边对应时,根据相似三 角形的判定定理3,可求得另两边长 是75cm 和90cm,它们的和大于 60cm,应舍去;② 当30cm长的边与 △ABC中的50cm长的边对应时,根 据相似三角形的判定定理3,可求得 另两边长是12cm和36cm,它们的和 小于60cm,符合条件;③ 当30cm长 的边与△ABC 中的60cm长的边对 应时,根据相似三角形的判定定理3, 可求得另两边长是10cm和25cm,它 们的和小于60cm,符合条件.(2) 以 60cm长的一根为边,不论与哪条边 对应都不满足条件.故选D. 7. 15,18或485 ,72 5 或8,10 解析:设 另一个三角形框架的另外两边长分别 为x,y(x<y).∵ 对应关系不确定, ∴ 应分类讨论.当另一个三角形框架 长为12的边的对应边的长为4时,则 12 4= x 5= y 6 ,解得x=15,y=18;当 另一个三角形框架长为12的边的对 应边的长为5时,则125= x 4= y 6 ,解 得x=485 ,y= 72 5 ;当另一个三角形框 架长为12的边的对应边的长为6时, 则12 6= x 4= y 5 ,解得x=8,y=10. ∴ 另一个三角形框架的另外两边长 分别为15,18或485 ,72 5 或8,10. 忽略三角形相似的对应关系 而导致错误 两个三角形相似,由于对应关 系的不同,其三边满足的比例式也 不同,当题中没有说明对应关系 时,应分类讨论确定边长. 8. ∵ A(3,0),B(0,4),C(4,2), ∴ AB = 32+42 = 5,BC = 42+(4-2)2 = 25,AC = (4-3)2+22=5. ∵ CD⊥x轴, ∴ AD=4-3=1,CD=2. ∵ AB AC= 5 5 = 5,BCCD= 25 2 = 5 , AC AD= 5 1=5 , ∴ AB AC= BC CD= AC AD. ∴ △ABC∽△ACD. 9. (1) ∵ AB AD= BC DE= AC AE , ∴ △ABC∽△ADE. ∴ ∠BAC=∠DAE. ∴ ∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF, 即∠BAD=∠CAE. ∵ AB AD= AC AE , ∴ AB AC= AD AE. ∴ △ABD∽△ACE. (2) 由(1),知△ABC∽△ADE, ∴ ∠ABC=∠ADE. ∵ ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC, ∠ADE=∠ABE+∠BAD, ∴ ∠EBC=∠BAD=21°. 10. (1) 相似.理由: ∵ 易得 AB=2,BC=2 2,AC= 25,DE=2,EF=2,DF= 10, ∴ AB DE= BC EF= AC DF=2. ∴ △ABC∽△DEF. (2) 如图,△D'E'F'即为所求作. S△D'E'F'= 1 2×52×2=5. (第10题) 利用三边成比例判定两个 三角形相似的方法 先把两个三角形的边分别按 照从小到大的顺序排列,找出两个 三角形的对应边;再分别计算小、 中、大三组对应边的比;最后看三 个比是否相等.若相等,则两个三 角形相似;否则不相似. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 11. (1) ∵ 在△AOB 中,D,E 分别 是OA,OB 的中点, ∴ DE 是△AOB 的中位线. ∴ DE=12AB. 同理,可得EF=12BC ,DF=12AC. ∴ DE AB= EF BC= DF AC= 1 2. ∴ △DEF∽△ABC. (2) 画图如图①所示.如果点O 在 AB 上,(1)中的结论仍成立. ∵ 在△AOC中,D,F 分别是OA,OC 的中点, ∴ DF 是△AOC的中位线. ∴ DF=12AC. 同理,可得EF=12BC. 又∵ D,E 分别是OA,OB 的中点, ∴ 易得DE=12AB. ∴ DE AB= EF BC= DF AC= 1 2. ∴ △DEF∽△ABC. (3) 画图如图②所示.如果点O 在 △ABC外,(1)中的结论仍成立. ∵ 在△AOC中,D,F 分别是OA,OC 的中点, ∴ DF 是△AOC的中位线. ∴ DF=12AC. 同理,可得EF=12BC ,DE=12AB. ∴ DE AB= EF BC= DF AC= 1 2. ∴ △DEF∽△ABC. (第11题) 第5课时 直角三角形 相似的判定 1. A 2. C 3. D 4. 40 3 5. ∵ 在 Rt△ACD 中,∠C=90°, CD=1,AD=5, ∴ 易得CA=2. ∴ AD BA= 5 25 =12 ,CD CA= 1 2. ∴ AD BA= CD CA= 1 2. ∴ Rt△ADC∽Rt△BAC. 6. A 解析:∵ 在BD 的同侧作等腰 直角三角形ABC 和等腰直角三角形 ADE,∴ AC= 2AB= 2CB,AD= 2AE.∴ AC AB= AD AE=2.∵ ∠BAC= ∠EAD=45°,∴ ∠BAC+∠CAE= ∠EAD + ∠CAE,即 ∠BAE = ∠CAD.∴ △BAE∽△CAD.故①正 确.∵ △BAE∽△CAD,∴ ∠BEA= ∠CDA.∵ ∠PME = ∠AMD, ∴ △PME∽△AMD.∴ MP MA= ME MD. ∴ MP·MD=MA·ME.故②正确. ∵ MP MA = ME MD ,∴ MP ME = MA MD. 又 ∵ ∠PMA=∠EMD,∴ △PMA∽ △EMD.∴ ∠APD=∠AED=90°. ∵ ∠CAE = 180° - ∠BAC - ∠EAD=90°,∴ 易得 Rt△CAP∽ Rt△CMA.∴ CA CM = CP CA ,即CA2= CP·CM.∵ CA=2CB,∴ 2CB2= CP·CM.故③正确.综上所述,①② ③正确. 7. 6或758 解析:∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=9,BC=12, ∴ 易得AB=15.∵ D 是AB 边的中 点,∴ CD=BD=12AB=7.5.∵ 以 D,C,P 为顶点的三角形与△ABC 相 似,∴ ∠DPC=90°或∠CDP=90°. ① 若 ∠DPC=90°,则 DP∥AC. ∴ BD AB= BP BC= 1 2.∴ BP=12BC= 6,则PC=6.② 若∠CDP=90°,则 △CDP∽△BCA.∴ CD BC = PC AB ,即 7.5 12= PC 15.∴ PC=758. 综上所述,线 段PC的长为6或758. 8. (1) ∵ △ABC 与△ADB 都是直 角三角形, ∴ ∠ABC=∠ADB=90°. ∵ AB2=AC·AD, ∴ AC AB= AB AD. ∴ △ABC∽△ADB. (2) ∵ △ABC∽△ADB, ∴ ∠C=∠ABD. ∵ ∠ADB=∠ABC=90°, ∴ ∠BDE=∠ABE=90°. ∴ ∠E+∠DBE=90°,∠ABD+ ∠DBE=90°. ∴ ∠E=∠ABD. ∴ ∠C=∠E. ∴ AE=AC=10. ∵ ∠E=∠E,∠BDE=∠ABE, ∴ △BDE∽△ABE. ∴ BE AE= DE BE. ∴ DE=BE 2 AE. 又∵ BE=6, ∴ DE=6 2 10= 18 5. 9. (1) 如图,过点P 作PC⊥x 轴于 点C,作PD⊥y轴于点D. ∵ A(0,8),B(6,0), ∴ OA=8,OB=6. ∴ AB= OA2+OB2=10. 设点P 的坐标为(x,y),则PD=x, PC=y. 由题意,易得AP AB= x OB ,AB-AP AB = y OA. 又∵ AP=6, ∴ 6 10= x 6 ,10-6 10 = y 8 ,解得x= 3.6,y=3.2. ∴ 点P 的坐标为(3.6,3.2). (2) 存在.设点Q 的坐标为(q,0).易 知点Q 在点B 的左侧. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 若 BP 为 斜 边, 则 Rt△PQB ∽Rt△AOB. 由(1)可知,点Q 与点C 重合,此时 q=3.6. 若 BQ 为 斜 边,则 Rt△QPB ∽ Rt△AOB. ∴ BP BO= BQ BA ,即10-6 6 = BQ 10. ∴ BQ=203. ∵ OB=6, ∴ q=6- 20 3=- 2 3. 综上所述,点 Q 的坐标为(3.6,0) 或 -23 ,0 . (第9题) 10. (1) E 是四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”.理由: ∵ ∠DEC=45°, ∴ ∠AED+∠BEC=135°. ∵ ∠A=45°, ∴ ∠ADE+∠AED=135°. ∴ ∠ADE=∠BEC. 又∵ ∠A=∠B, ∴ △ADE∽△BEC. ∴ E 是四边形ABCD 的边AB 上的 “相似点”. (2) 由题意可知,DM=EM,EC= CD =AB =2 3,∠A = ∠B = ∠MEC=90°. 在 Rt△BEC 中,由 勾 股 定 理,得 BE= CE2-BC2= (23)2-32= 3,则AE=AB-BE=3. ∵ ∠A=∠MEC=90°, ∴ ∠AEM + ∠AME = 90°, ∠AEM+∠BEC=90°. ∴ ∠AME=∠BEC. 又∵ ∠A=∠B, ∴ △AEM∽△BCE. ∴ AM BE= AE BC ,即AM 3 = 33. ∴ AM=1. 在Rt△AEM 中,由勾股定理,得EM= AE2+AM2= (3)2+12=2. ∵ AE AM=3 ,EC EM=3 , ∴ AE AM= EC EM ,即AE EC= AM EM. 又∵ ∠A=∠CEM, ∴ △AEM∽△ECM. 又∵ △AEM∽△BCE, ∴ △AEM∽△BCE∽△ECM. ∴ E 是四边形ABCM 的边AB 上的 “强相似点”. 22.3　相似三角形的性质 1. B 2. B 3. 24 4. 12 5. (1) ∵ AB∥DC, ∴ ∠ABD=∠BDC,∠ABC+∠C= 180°. ∵ ∠ABC+∠ADB=180°, ∴ ∠C=∠ADB. ∴ △ABD∽△BDC. (2) ∵ BF=2AE, ∴ AE BF= 1 2. 又∵ △ABD ∽ △BDC,AE 平 分 ∠DAB,BF 平分∠DBC, ∴ S△ABD S△BDC= AE BF 2 = 12 2 =14. ∵ S△ABD=3, ∴ S△BDC=4S△ABD=12. 6. D 7. D 解析:∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AB∥DC,AD∥BC, AB =CD =6,AD =BC =9. ∴ ∠BAF=∠F,∠DAF=∠AEB. ∵ ∠BAD 的平分线交BC于点E,交 DC的延长线于点F,∴ ∠BAF= ∠DAF.∴ ∠DAF = ∠F = ∠AEB = ∠BAF.∴ AB =BE, AD =DF.∵ ∠AEB = ∠FEC, ∴ ∠FEC = ∠F.∴ EC =FC. ∵ AB=CD =6,AD =BC =9, ∴ BE=6,DF=9.∴ EC=FC= DF-DC=9-6=3.∴ CE BE= 1 2. ∵ 在△ABG 中,BG⊥AE,AB=6, BG=42,∴ 由勾股定理,得AG= AB2-BG2 = 62-(42)2 =2. ∵ AB=BE,BG⊥AE,∴ AE= 2AG=4.∴ △BEA 的周长为16. ∵ AB∥DC,∴ △CEF∽△BEA.又 ∵ 相似比CE BE= 1 2 ,∴ △CEF的周长 △BEA的周长= 1 2 ,即 △CEF 的周长 16 = 1 2 ,解 得 △CEF 的周长为8.故选D. 8. 4∶25或9∶25 解析:如图,① 当 AE∶ED =2∶3时,∵ 四 边 形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, AD=BC.∴ AE ∶BC=2∶5, △AEF ∽ △CBF.∴ S△AEF ∶ S△CBF=4∶25.② 当AE'∶E'D=3∶ 2时,同理,可得S△AE'F'∶S△CBF'= 9∶25.综上所述,S△AEF∶S△CBF=4∶ 25或9∶25. (第8题) 三角形面积比的规律总结 (1) 相似三角形的面积比等于 相似比的平方. (2) 同(等)高三角形的面积之 比等于底之比. (3) 同(等)底三角形的面积之 比等于高之比. 9. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB∥CD,AB=CD,∠ABC= ∠ADC. ∴ ∠BAE=∠DGA. ∴ △ABE∽△GDA. ∵ CG∶GD=1∶2, ∴ GD∶CD=2∶3. ∴ AB∶GD=CD∶GD=3∶2. ∴ △ABE 与△GDA 的 周 长 比 为 3∶2. (2) 由 (1),知 △ABE ∽ △GDA, ∴ AB GD= BE DA. ∵ △ABE 与△GDA 的面积比是k∶ 1(k>1), ∴ S△ABE S△GDA= AB GD 2 =k. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 48 22.2　相似三角形的判定 第1课时 用平行线判定三角形相似 ▶ “答案与解析”见P25 1. 如 图,△ABC ∽ △ACP,若 ∠A =60°, ∠APC=75°,则∠B 的度数为 ( ) A. 40° B. 45° C. 60° D. 75° (第1题) (第2题) 2. (2024·亳州期末)如图,D,E 两点分别在 △ABC 的AB,BC 边上,DE∥AC,AB=5, AC=4,DE=3,则AD 的长为 ( ) A. 5 4 B. 6 5 C. 15 7 D. 20 7 3. 如图,AC 与BD 相交于点O,AB∥CD,E,H 是BD 上的点,F,G 是AC 上的点,且EF∥ CD,GH∥AB,则图中与△OEF 相似的三角 形(不含△OEF)共有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第3题) (第4题) 4. (2024· 六 安 金 安 期 末)如图,△ABC∽ △CBD,AB=4,BD=6,则BC= . 5. (2024·合肥瑶海期中)如图,AD∥EG∥BC, EG 分别交AB,DB,AC 于点E,F,G,已知 AD=5,BC=10,AE=9,AB=12.求EG, FG 的长. (第5题) 6. 如图,D 为△ABC 边AB 上任一点,DE∥BC 交AC 于点E,连接BE,CD 相交于点F,则 下列等式中,不成立的是 ( ) A. AD DB= AE EC B. DE BC= DF FC C. DE BC= AE EC D. EF BF= AE AC (第6题) (第7题) 7. (2024·合肥包河期末)如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,F 为BC 上一点,连接AF,M 为线段AF 上一点,过 点M 作MN⊥AB,作HM∥AB,若HM= 2MN,则BF 的长为 ( ) A. 0.8 B. 1 C. 1.2 D. 1.5 8. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,角平 分线BE 与中线CD 交于点F,若 AC=16,BC=12,则EFBF 的值为( ) A. 5-1 2 B. 3 8 C. 1 3 D. 9 25 (第8题) (第9题) 9. (2024·天长期中)如图,在 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中,∠BAC=∠BDC=90°,E 是 BC 的中点,AC 与BD 相交于点G,BD= 2CD=4,AE⊥BD 于点F. (1) EF= . (2) FG DG= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 49 10. ★如图,AC∥EF∥BD. (1) 求证:1 AC+ 1 BD= 1 EF. (2) 若AC=3,EF=2,求BD 的长. (第10题) 11. 转换法 (2024·合肥瑶海期中)如图,P 是 ▱ABCD 的边BC 的延长线上任意一点, AP 分别交BD 和CD 于点M 和点N. (1) 若BC CP= 3 2 ,求CN DN 的值. (2) 求证:AM2=MN·MP. (第11题) 12. 分类讨论思想 如图,在△ABC 中, 点D 在边AB 上(不与点A,B 重 合),DE∥BC 交AC 于点E,将 △ADE 沿直线DE 翻折,得到△A'DE,直 线DA',EA'分别交直线BC 于点M,N. (1) 求证:DB=DM. (2) 若AD DB=2 ,DE=6,求线段MN 的长. (3) 若AD DB=n (n≠1),DE=a,求线段MN 的长(用含n的代数式表示). (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 50 第2课时 相似三角形的判定定理1 ▶ “答案与解析”见P26 1. 下列两个三角形不一定相似的是 ( ) A. 有一个内角是30°的两个等腰三角形 B. 有一个内角是60°的两个等腰三角形 C. 有一个内角是90°的两个等腰三角形 D. 有一个内角是120°的两个等腰三角形 2. (2024·合肥肥西期末)如图,在△ABC 中, 高BD,CE 相交于点F,图中与△BEF 相似 的三角形(不含△BEF)共有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第2题) (第3题) 3. 如图,在△ABC 中,延长 AC 至点D,使 CD=CA,过点D 作DE∥CB,且DE=DC, 连接AE 交BC 于点F.若∠CAB=∠CFA, CF=1,则BF= . 4. (2024·六安金安期中)如图,在△ABC 中, ∠ACB=90°,D 为边AB 上一点,且CD= CA,过点D 作DE⊥AB 交BC 于点E.求 证:△CDE∽△CBD. (第4题) 5. 如图,P 为线段AB 上一点,AD 与BC 交于 点E,∠CPD=∠A=∠B,BC 与PD 交于 点F,AD 交PC 于点G,则下列结论错误 的是 ( ) A. △APD∽△PGDB. △APG∽△BFP C. △PCF∽△BCP D. △CGE∽△CBP (第5题) (第6题) 6. 如图,在等边三角形ABC 中,D 为BC 边上 一点,E 为AB 边上一点,且∠ADE=60°, CD=6,BE=4,则BC 的长为 ( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. (2024·德州)如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,BD⊥AC,垂足为D,AE 平分∠BAC, 分别交BD,BC 于点F,E.若AB∶BC= 3∶4,则BF∶FD 为 ( ) A. 5∶3 B. 5∶4 C. 4∶3 D. 2∶1 (第7题) (第8题) 8. 有公共顶点的正方形ABCD 和正方 形BFGE 按如图所示的方式摆放, 其中点G 恰在边CD 的四等分点处 (CG<DG),连接 BD 交EG 于点 H,则 DH∶BH 为 ( ) A. 2∶3 B. 2∶2 C. 22∶ 17 D. 15∶17 9. 易错题 在△ABC 中,AB=6cm,点P 在AB 上,且∠ACP=∠B,若P 是AB 的三等分 点,则AC 的长是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 51 10. 如图,E 为AB 上一点,∠A=∠CED= ∠B,连接CD. (1) 求证:△CAE∽△EBD. (2) 若CE 平分∠ACD,CD=6,BD=3,求 ED 的长. (第10题) 11. (2024· 淮 北 期 中)如图,在△ABC 中, ∠C=90°,BD 是角平分线,DE⊥BD 交 AB 于点E. (1) 求证:AD2=AE·AB. (2) 若AE=6,AD=62,求DE 的长. (第11题) 12. 如 图①,在△ABC 中,BD 平 分 ∠ABC,BD=CD,AB=4,AC=6. (1) 求CD 的长. (2) 如图②,在(1)的条件下,E 为BC 上的 点,作∠AEF=∠ABC,交 AC 于点F, AE,BD 相交于点G. ① 求证:△ABG∽△ECF. ② 若BG=2CF,求BGDG 的值. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 52 第3课时 相似三角形的判定定理2 ▶ “答案与解析”见P28 1. 新情境·科学发明 如图,比例规是伽利略发明 的一种画图工具,使用它可以把线段按一定 比例伸长或缩短,它是由长度相等的两脚 AD 和BC 交叉构成的.如果把比例规的两 脚合上,用螺丝钉固定点O 的位置,使OA= 3OD,OB=3OC,然后张开两脚,使点A,B 两个尖端分别在线段l的两个端点上,若 CD=5cm,则AB 的长是 ( ) A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm (第1题) (第3题) 2. (2024·马鞍山期中)四边形ABCD 的两条 对角线相交于点O,下列条件中,不一定能推 得△AOB 与△COD 相似的是 ( ) A. ∠DAC=∠DBC B. ∠BAC=∠ACD C. OA OD= OB OC D. OA OC= OD OB 3. 新考法·条件开放题 如 图,∠1=∠2,要 使 △ABC∽△ADE,还需要添加一个条件: . 4. 如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:△ABC∽ △DBE. (第4题) 5. 如图,在锐角三角形ABC 中,边AB,AC 上 的高CE,BF 交于点D,连接EF,图中的相 似三角形共有 ( ) A. 8对 B. 7对 C. 6对 D. 5对 (第5题) (第6题) 6. (2024·合肥包河期末)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,D 为 AC 上任一点,F 为AB 的中点,连接BD,E 在BD 上,且满足CD2=DE·BD,连接 EF,则EF 的最小值为 ( ) A. 3-1B. 1 C. 3 2 D. 1 2 7. (2024·合肥庐阳期末)如图,在边长为1的 正方形网格中,A,B,C,D,E 都是小正方形 的顶点,则图中所形成的三角形中,与△ABC 相似的是 . (第7题) 8. 分类讨论思想 (2024·六安霍邱期中)如图, AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD= 14.点P 在BD 上移动,当以P,C,D 为顶点 的三角形与△ABP 相似时,则PB 的长为 . (第8题) 9. ★如图,在△ABC 中,点D,E 分别在边AB, AC 上,∠AED=∠B,点F 在DE 上,连接 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 53 AF 并延长,交BC 于点G,且ADAC= DF CG. (1) 求证:△ADF∽△ACG. (2) 若AD AC= 1 2 ,求AF FG 的值. (第9题) 10. 如图,∠MON=90°,A 是∠MON 内部的一点,过点A 作AB⊥ON, 垂足为B,AB=3cm,OB=4cm, 动点 E,F 同 时 从 点 O 出 发,点 E 以 1.5cm/s的速度沿ON 方向运动,点F 以 2cm/s的速度沿OM 方向运动,EF 与OA 交于点C,连接AE.当点E 到达点B 时, 点F随之停止运动.设运动时间为ts(t>0). (1) 当t=1时,△EOF 与△ABO 是否相 似? 请说明理由. (2) 在点E,F 运动的过程中,不论t取何 值,总有EF⊥OA.为什么? (第10题) 11. (2024·合肥肥东期末)如图,E 是 矩形ABCD 的边AB 的中点,F 是 BC 边上一动点,线段DE 和AF 相交于点P,连接PC,过点A 作AQ∥PC 交PD 于点Q. (1) 求证:PC=2AQ. (2) 已知AD2=PD·DE,AB=10,AD= 12,求BF 的长. (3) 当F 为BC 的中点时,求APPF 的值. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 54 第4课时 相似三角形的判定定理3 ▶ “答案与解析”见P29 1. (2024·郑州期中)在△ABC与△A1B1C1中, 有下列条件:① AB A1B1= BC B1C1 ;② BC B1C1= AC A1C1 ;③ ∠A=∠A1;④ ∠C=∠C1.如果 从中任取两个条件组成一组,那么能判定 △ABC∽△A1B1C1的共有 ( ) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 2. 如图,小正方形的边长均为1,则下列选项中 的三角形(涂色部分)与△ABC 相似的是 ( ) A. B. C. D. (第2题) (第3题) 3. 如图,AB AC= AC AD=k ,请再添加一个条件,使 △ABC∽△ACD,你添加的条件是 (写出一个即可). 4. 如图,在△ABC 和△AED 中,AB=25,BC= 40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24. (1) 求证:△ABC∽△ADE. (2) 若∠BAC=125°,∠EAC=70°,求∠CAD 的度数. (第4题) 5. 如图,∠APD=90°,AP=PB=BC=CD,则 下列结论成立的是 ( ) (第5题) A. △PAB∽△PCA B. △ABC∽△DBA C. △PAB∽△PDA D. △ABC∽△DCA 6. 分类讨论思想 已知△ABC 的三边长分别为 20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为 30cm和60cm的细木条各一根,做一个三角 形木架与△ABC 相似,要求以其中一根为一 边,将另一根截成两段(允许有余料)作为另外 两边,那么另外两边的长度(单位:cm)分别为 ( ) A. 10,25 B. 10,36或12,36 C. 12,36 D. 10,25或12,36 7. 易错题 要制作两个形状相同的三角形框架, 其中一个三角形框架的三边长分别为4,5, 6,另一个三角形框架的一边长为12,则另外 两边长分别为 . 8. 数形结合思想 如图,点A,B,C 的坐标分别为 (3,0),(0,4),(4,2),过点C 作CD⊥x 轴于 点 D,连 接 AB,BC,AC.求 证:△ABC∽ △ACD. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 55 9. 如图,点B,D,E 在同一条直线上, BE 与AC 相交于点F,ABAD= BC DE= AC AE ,连接EC. (1) 求证:△ABD∽△ACE. (2) 若∠BAD=21°,求∠EBC 的度数. (第9题) 10. ★如图①,在由边长为1的小正方形组成的 网格中,△ABC 和△DEF 都是格点三角形 (三角形的各顶点都在小正方形的顶点上). (1) △ABC 与△DEF 是否相似? 请说明 理由. (2) 在如图②所示的正方形网格(每个小正 方形的边长均为1)中,画出与△DEF 相似 且面积最大的格点三角形,并直接写出其 面积. (第10题) 11. 已知△ABC 与点O,连接 OA, OB,OC,分别取OA,OB,OC 的中 点D,E,F,连接DE,EF,FD. (1) 如图①,如果点O 在△ABC 内,求证: △DEF∽△ABC. (2) 如果点O 在AB 上,请在图②中按题中 的叙述画图,再探讨(1)中的结论是否仍 成立. (3) 如果点O 在△ABC 外,请在图③中按 题中的叙述画图,再探讨(1)中的结论是否 仍成立. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 56 第5课时 直角三角形相似的判定 ▶ “答案与解析”见P30 1. 若两个直角三角形的一条直角边和斜边长分别 为1,3和4,12,则这两个直角三角形 ( ) A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 以上都不对 2. 有下列判断:① 所有的直角三角形都相似; ② 所有的等腰直角三角形都相似;③ 有一个 锐角相等的两个直角三角形相似;④ 有两边 对应成比例的两个直角三角形相似.其中,正 确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图,在△ABC 和△ADE 中,∠C=∠AED= 90°,点E 在AB 上,那么添加下列一个条件 后,仍然不能判定△ABC 与△DAE 相似 的是 ( ) A. ∠CAB=∠D B. AD∥BC C. AB AC= AD DE D. BC AC= AD AE (第3题) (第4题) 4. 如图,AB⊥CB 于点B,AC⊥CD 于点C, AB=6,AC=10,当 CD= 时, △ABC∽△ACD. 5. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,D 是BC 上 一点.已知CD=1,AD= 5,AB=25,求 证:Rt△ADC∽Rt△BAC. (第5题) 6. 如图,点A 在线段BD 上,在BD 的同侧作等 腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE,连接CD,BE,CD 与BE,AE 分别交 于点 P,M,连 接 AP.给 出 下 列 结 论: ① △BAE∽△CAD;② MP·MD=MA· ME;③ 2CB2=CP·CM.其中,正确的是 ( ) A. ①②③B. ① C. ①② D. ②③ (第6题) (第7题) 7. 分类讨论思想 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC=9,BC=12,D 是AB 边的中点,P 是BC 边上一动点(点P 不与点B,C 重合). 若以D,C,P 为顶点的三角形与△ABC 相 似,则线段PC 的长为 . 8. (2024·安庆期中)如图,在Rt△ABC 中, ∠ABC=90°,以△ABC 的一条直角边AB 为斜边,向外作Rt△ABD,延长AD 交CB 的延长线于点E,已知AB2=AC·AD. (1) 求证:△ABC∽△ADB. (2) 若AC=10,BE=6,求DE 的长. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 57 9. 在平面直角坐标系中,Rt△AOB 的 位置如图所示,O 为原点,点A,B 的坐标分别为(0,8),(6,0),点P 在 线段AB 上,且AP=6. (1) 求点P 的坐标. (2) 在x轴上是否存在点Q,使得以B,P,Q 为顶点的三角形与△AOB 相似? 若存在,请 求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. (第9题) 10. 新考法·新定义题 在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E(点E 不与 点A,B 重合),分别连接ED,EC, 可以把四边形ABCD 分成三个三角形,如 果其中有两个三角形相似,我们就把E 叫 做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”; 如果这三个三角形都相似,我们就把E 叫做 四边形ABCD 的边AB上的“强相似点”. (1) 如图①,∠A=∠B=∠DEC=45°,试 判断E 是不是四边形ABCD 的边AB 上的 “相似点”,并说明理由. (2) 如图②,在矩形ABCD 中,AB=23, BC=3,M 是边AD 上的一点,将矩形 ABCD 沿CM 折叠,点D 恰好落在边AB 上的点E 处.求证:E 是四边形ABCM 的边 AB 上的“强相似点”. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形