22.1 比例线段-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

42 22.1　比例线段 第1课时 相似多边形与成比例线段 ▶ “答案与解析”见P23 1. (2024·连云港)下列网格中各个小正方形的 边长均为1,涂色部分图形分别记作甲、乙、 丙、丁,其中是相似形的为 ( ) (第1题) A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 2. 下列说法正确的是 ( ) A. 所有的矩形都是相似形 B. 所有的等腰直角三角形都相似 C. 对应角相等的两个多边形相似 D. 对应边成比例的两个多边形相似 3. (2024·滁州全椒期中)若线段a=8cm,b= 4dm,则ba 的值为 ( ) A. 1 5 B. 5 C. 1 2 D. 2 4. (2024·合肥瑶海期中)下列四条线段a,b, c,d中,不是成比例线段的为 ( ) A. a=1,b=2,c=4,d=8 B. a=1,b=3,c=5,d= 15 C. a=2,b=4,c=5,d=15 D. a=2,b=2,c=7,d= 14 5. (2024·六安期中)线段AB 是线段MN,CD 的比例中项,且AB=3cm,MN=4cm,则 CD 的长为 . 6. 如图,四边形ABCD 与四边形EFGH 相似, ∠A=80°,∠F=70°,∠G=90°,则∠D= . (第6题) 7. 如图,C 是AB 的中点,点D 在BC 上,AB= 24,BD=5,分别求BCBD ,CD AB ,AD CD 的值. (第7题) 8. 数形结合思想 (2024·安庆期末)已知AB= 4,点C 在线段AB 上,AC 是AB,BC 的比 例中项,则AC 的长为 ( ) A. 5-1 B. 25-2 C. 3-5 D. 6-23 9. (2024·安庆期末)如图,把一张矩 形纸片ABCD 沿着AD 和BC 边的 中 点 连 线 EF 对 折,要 使 矩 形 AEFB 正好与原矩形相似,则原矩形长与宽 的比为 ( ) (第9题) A. 2∶1 B. 2∶2 C. 2∶1 D. 3∶2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 第22章　相 似 形 43 10. 易错题 已知1,3,2三个数,请再添一个 数,使它与这三个数成比例,则这个数可以 是 . 11. ★如图,在矩形ABCD 和矩形A'B'C'D'中, AB=16,AD=10,A'D'=6.如果矩形 A'B'C'D'的面积为57,那么这两个矩形相 似吗? (第11题) 12. 方程思想 书画装裱是指为书画配上衬纸、卷 轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有民族 传统的一门特殊艺术.如图,一幅书画在装 裱前的大小是1.2m×0.8m.装裱后,上、 下、左、右边衬的宽度分别是am,bm,cm, dm.若装裱后AB 与AD 的比是8∶5,且 a=b,c=d,c=2a,求四周边衬的宽度. (第12题) 13. 新考法·操作实践题 如 图 ①,将 A4折叠两次后,发现第一次的折 痕与 A4纸 较 长 的 边 重 合;如 图②,将1张A4纸对折,使其较长的边一 分为二,沿折痕剪开,可得2张A5纸. (1) A4纸较长边与较短边的比为 . (2) A4纸与A5纸是否为相似图形? 请说 明理由. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 44 第2课时 比例的性质与线段的黄金分割 ▶ “答案与解析”见P24 1. (2024·蚌埠期中)已知2a=3b(ab≠0),则 下列比例式成立的是 ( ) A. a 2= 3 b B. a 3= b 2 C. a b= 2 3 D. b a= 3 4 2. 若C可看作是线段AB 的黄金分割点(AC< CB),AB=10cm,则BC 的长为 ( ) A. (55-5)cm B. (15-5)cm C. (15+5)cm D. (55+5)cm 3. (2024·六安霍邱期中)已知ab= c d= e f= 1 2 , 则a-3c+2e b-3d+2f 的值为 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 4. 某平面图的比例尺为1∶3000000,若平面图 上甲、乙两地的距离为3cm,则甲、乙两地的 实际距离为 km. 5. (2024·蚌埠期中)已知a3= b 4= c 5. (1) 求代数式3a-b+c a+3b-c 的值. (2) 若a-b+c=24,求a的值. 6. 已知x y= 2 3. 给出下列结论:① x+y y = 5 3 ; ② y-x y = 1 3 ;③ x 2y= 1 3 ;④ x+1 y+1= 3 4. 其 中,正确的是 ( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 新考向·数学文化 在欧几里得的《几 何原本》中给出一个找线段的黄金 分割点的方法.如图,以线段AB 为 边作正方形ABCD,取AD 的中点E,连接 BE,延长DA 至点F,使得EF=BE,以AF 为边作正方形AFGH,则 H 即是线段AB 的黄金分割点.若记正方形AFGH 的面积为 S1,矩形BCIH 的面积为S2,则S1与S2的 比值是 ( ) (第7题) A. 5+1 2 B. 5-1 2 C. 2 2 D. 1 8. 易错题 已知a+b+c d = a+b+d c = a+c+d b = b+c+d a =m ,则m 的值为 . 9. 我们知道,若a b= c d ,且b+d≠0,则ab= c d= a+c b+d. (1) 若b+d=0,则a,c满足什么关系? (2) 若b+c a = a+c b = a+b c =t ,求t2-t- 2的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 45 10. 新考法·操作实践题 (2024·蚌 埠 期中)一个矩形如果切掉一个正方 形后,剩下的小矩形与原来的矩形 相似,这样的矩形叫做黄金矩形,其两边长 的比值就是黄金数.某数学兴趣小组发现可 通过折纸得到黄金矩形. 【操作过程】 请根据操作完成填空(设矩形 纸片的宽 MN 为2). 步 骤 图 示 操作说明 步骤一 (第10题) 把一张矩形纸片的一 端按如图①所示的方 法折出一个正方形, 然后把纸片展平,则 NC=MN=2; 步骤二 (第10题) 如图②,把这个正方 形对折成两个相同的 矩形,再把纸片展平, 则AC=1; 步骤三 (第10题) 折出内侧矩形的对角线 AB,并把AB 折到图 ③中所示的AD 处,则 AD=AB= ; 步骤四 (第10题) 如图④,展平纸片,按 照所得到的点D 折出 DE,得到矩形BCDE, 则CD= . 结论 ∵ CD BC= ,∴ 矩形 BCDE 是一 个黄金矩形. 【探究证明】 求证:矩形MNDE是黄金矩形. 11. 新考法·新定义题 小明同学遇到两个数学 问题: 问题一:一个数x 加上这个数的倒数,和为 1,试求这个数. 问题二:一个数y 减去这个数的倒数,差为 1,试求这个数. (1) 在探索问题一时,进行了以下操作: 依题意,列出方程x+1x=1. 化简,得x2-x+1=0. 于是小明认为这个数不存在,请帮小明证明 这个数不存在. (2) 在探索问题二时,进行了以下操作: 依题意,列出方程y- 1 y=1. 变形,得 y=1+ 1 y =1+ 1 1+1y =1+ 1 1+ 1 1+1y =1+ 1 1+ 1 1+ 11+… .这样的数,我 们称之为连分数. 如果设一条线段AB 的长度为1,M 是这条 线段的黄金分割点,设其中较短的线段的长 度为z,试将z表示为连分数的形式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 46 第3课时 平行线分线段成比例及其推论 ▶ “答案与解析”见P24 1. (2024·蚌埠期中)如图,直线a∥b∥c,下列 比例式不成立的是 ( ) A. AC CE= BD DF B. AE AC= BF BD C. AC BD= CE DF D. AC DF= BD CE (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC 中,点D,E 分别在AB,AC 边上,且DE∥BC.若AB=6,AD=4,则AEEC 的值为 ( ) A. 3 2 B. 1 2 C. 3 D. 2 3. 新趋势·跨学科 如图,五线谱是由等距离、等 长度的五条平行横线组成的,同一条直线上 的三个点A,B,C 都在横线上.若线段AB= 6,则线段AC 的长是 . (第3题) 4. (2024·合肥庐阳期中)如图,E 为▱ABCD 的边BA 的延长线上一点,连接CE,交BD 于点O,交AD 于点F.求证:OCOE= OF OC. (第4题) 5. 新趋势·跨学科 (2024·沈阳浑南期末)小明 用地理中所学的等高线的知识在某地进行 野外考察,他根据当地地形画出了“等高线 示意图”,如图所示(注:若某地在等高线上, 则其海拔就是其所在等高线的数值;若不在 等高线上,则其海拔在相邻两条等高线的数 值范围内).若A,B,C 三点均在相应的等 高线上,且三点在同一直线上,则AB AC 的值为 ( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 3 5 D. 2 (第5题) (第6题) 6. 转换法 (2024·蚌埠期中)如图,直 线l1∥l2∥l3,直线AC 分别交l1, l2,l3 于点A,B,C,直线DF 分别 交l1,l2,l3于点D,E,F,直线AC 与DF 相 交于点G.若AG=2BG,BCAG= 5 2 ,则ED EF 的 值为 ( ) A. 1 B. 2 3 C. 3 5 D. 2 5 7. (2024·庐阳期中)如图,在△ABC 中,D,E 分别是BC,AC 上的点,AD 与BE 相交于点 G.若AG∶GD=4∶1,BD∶DC=2∶3,则 AE EC 的值是 . (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 47 8. (2024·合肥包河期末)如图,DE∥BC,EF∥ CG,AD∶AB=1∶3,AE=3. (1) 求EC 的长. (2) 求证:AD·AG=AF·AB. (第8题) 9. 对于平行线,我们有这样的结论:如图①, AB∥CD,AD,BC 交于点O,则AODO= BO CO. 请利用该结论解答下面的问题: 如图②,在△ABC 中,点D 在线段BC 上, ∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD= 2DC,求AC 的长. (第9题) 10. (2024·合肥期中)在△ABC 中,点 D 在BC 边上,点E 在AC 边上, AD 与BE 交于点F. (1) 如图①,D 是BC 的中点,F 是AD 的中 点,DG∥BE 交AC 于点G,求证:AEEC= 1 2. (2) 如图②,若BD∶DC=1∶4,AF∶FD= 3∶2,求AEEC 的值. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　相 似 形 2. B 解析:关于x的方程x2+2x- 3-m=0的解为抛物线y=x2+ 2x-3与直线y=m 的交点的横坐 标,关于x的方程x2+2x-3-n=0 的解为抛物线y=x2+2x-3与直线 y=n的交点的横坐标.∵ m>n>0, ∴ 画出它们的大致图象如图所示.由 图,可知x1<x3<x4<x2. (第2题) 3. 4 解析:∵ 直线y= 1 2x-1 与 x轴交于点B,∴ 当y=0时,x=2. ∴ 点B 的坐标为(2,0).又∵ 过点B 作x轴的垂线,与反比例函数y= k x (x>0)的图象交于点C,∴ 点C的坐 标为 2,k2 .∵ AB=AC,∴ 点A 在线段BC的垂直平分线上.∴ 点A 的纵坐标为k 4.∵ 点A 在反比例函 数y= k x (x>0)的图象上,∴ k 4= k x ,解得x=4.∴ A 4,k4 .又∵ 点 A 4,k4 在直线y= 12x-1上, ∴ k 4= 1 2×4-1 ,解得k=4. 4. ②⑤⑥ 解析:∵ 二次函数图象 的对称轴在y 轴的右侧,且图象与 y轴交于正半轴,∴ ab<0,c>0,即 abc<0.故①不正确;∵ 二次函数y= ax2+bx+c 图象的对称轴为直线 x=1,∴ 顶点坐标为(1,a+b+c). ∵ 函数图象开口向下,∴ 二次函数 的最大值为a+b+c.故②正确; ∵ 抛物线过点 B(-1,0),∴ 当 x=-1时,y=0,即a-b+c=0.故 ③不正确;∵ 抛物线与x轴有两个交 点,∴ b2-4ac>0.故④不正确;∵ 对 称轴为直线x=1,B(-1,0),∴ 易得 A(3,0).由图象可知,当-1<x<3 时,y>0.故⑤正确;∵ 对称轴为直线 x=-b2a=1 ,即b=-2a,且a-b+ c=0,∴ a+2a+c=0.∴ 3a+c=0. 故⑥正确.综上,正确的有②⑤⑥. 5. (1) (1,2) (2) a≥2 解析:当x=m 时,yP= 2m-2,则点P 的坐标为(m,2m- 2),yQ=m2-2am+a2+2a,则点Q 的坐标为(m,m2-2am+a2+2a). ∴ yQ-yP=m2-2am+a2+2a- (2m-2)=(a-m)2+2(a-m)+ 2=(a-m+1)2+1>0.∴ 点Q 恒在 点P 的上方.∴ PQ=yQ -yP = [m-(a+1)]2+1.∵ 1>0,∴ 当 m<a+1时,PQ 的长度随m 的增大 而减小.∵ 当m<3时,PQ 的长度随 m 的增大而减小,∴ a+1≥3,解得 a≥2. 6. (1) 设销售A种产品所获利润y (万元)与销售产品x(吨)之间的函数 表达式为y=ax2+bx(a≠0). 将 (1,1.4),(3,3.6)代 入,得 a+b=1.4, 9a+3b=3.6, 解得 a=-0.1 , b=1.5. ∴ 销售A种产品所获利润y(万元) 与销售产品x(吨)之间的函数表达式 为y=-0.1x2+1.5x. (2) 设购进A种产品m 吨,则购进 B种产品(10-m)吨,销售A,B两种 产品获得的利润之和为W 万元. 根据题意,得W=-0.1m2+1.5m+ 0.3(10-m)=-0.1m2+1.2m+ 3=-0.1(m-6)2+6.6. ∵ -0.1<0, ∴ 当m=6时,W 取得最大值,最大 值为6.6.此时,10-m=4. ∴ 当购进A种产品6吨,B种产品 4吨时,销售A,B两种产品获得的利 润之和最大,最大利润是6.6万元. 第22章　相 似 形 22.1　比例线段 第1课时 相似多边形 与成比例线段 1. D 2. B 3. B 4. C 5. 9 4cm 6. 120° 7. ∵ C是AB 的中点,AB=24, ∴ AC=BC=12. ∵ 点D 在BC上,BD=5, ∴ CD=BC-BD=7,AD=AB- BD=19. ∴ BC BD= 12 5 ,CD AB= 7 24 ,AD CD= 19 7. 8. B 9. C 解析:设AD=x,AB=y,则易 得AE=12x.∵ 矩形AEFB 与矩形 ABCD 相似,∴ AE AB= AB AD.∴ 1 2x y = y x ,即y2= 1 2x 2.∴ x2 y2 =2,即xy = 2(负值舍去).∴ x∶y= 2∶1.故 选C. 10. 3 2 或23或233 解析:设添加 的数是x.当x∶1= 3∶2或x∶ 3=1∶2时,x= 32 ;当x∶ 3=2∶ 1或x∶2= 3∶1时,x=23;当 x∶1=2∶3或x∶2=1∶3时,x= 23 3 . 故这个数是 3 2 或23或233 . 忽略线段成比例的顺序 而导致错误 四条线段或四个数成比例时, 因其内外项的位置的顺序不同,所 列的比例式也不同,解得的结果有 可能不同,应分不同情况分类讨论 求解. 11. 这两个矩形不相似. ∵ A'D'=6,矩形A'B'C'D'的面积 为57, ∴ A'B'=576= 19 2. 又∵ AB=16,AD=10, ∴ A'D' AD = 3 5 ,A'B' AB = 19 32. ∴ A'D' AD ≠ A'B' AB . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 ∴ 这两个矩形不相似. 判定两个多边形相似的方法 判定两个边数相同的多边形 相似,必 须 同 时 具 备 两 个 条 件: ① 对应角分别相等;② 对应边成 比例.如两个矩形,虽然各角分别 相等,但各边不一定对应成比例, 因此两个矩形不一定相似.两个菱 形,虽然各边对应成比例,但各角 不一定分别相等,因此两个菱形不 一定相似. 12. 由题意,得AB=(1.2+c+d)m, AD=(0.8+a+b)m. ∵ a=b,c=d,c=2a, ∴ AB=1.2+c+d=(1.2+4a)m, AD=0.8+a+b=(0.8+2a)m. ∵ AB 与AD 的比是8∶5, ∴ (1.2+4a)∶(0.8+2a)=8∶5, 解得a=0.1. 经检验,a=0.1是原方程的解,且符 合题意. ∴ b=0.1,c=d=0.2. ∴ 上、下、左、右边衬的宽度分别是 0.1m,0.1m,0.2m,0.2m. 13. (1) 2∶1 解析:如图,由折叠 过程可知,第一次折叠后,点A 与点 D 重合,四边形ABDC 为正方形,折 痕BC 为对角线.由勾股定理,得 BC=2AB.第二次折叠后,第一次的 折痕与A4纸较长的边重合,即BC 与 较长边重合.∴ A4纸较长边=2AB. ∴ A4纸较长边与较短边的比为 2∶1. (2) A4纸与A5纸是相似图形.理由: ∵ A4纸较长边与较短边的比为2∶1, ∴ 设A4纸较短边的长为a,则较长 边的长为2a. ∵ A5纸的较长边与A4纸的较短边 重合,较短边等于A4纸的较长边的 一半, ∴ A5纸的较长边的长为a,较短边 的长为 2 2a. ∴ A5纸的较长边与较短边的比为 a∶ 22a=2∶1. ∴ A4纸较长边与较短边的比=A5 纸较长边与较短边的比. 又∵ A4纸与 A5纸的四个角均为 直角, ∴ A4纸与A5纸是相似图形. (第13题) 第2课时 比例的性质 与线段的黄金分割 1. B 2. A 3. A 4. 90 5. (1) 设a 3= b 4= c 5=k (k≠0),则 a=3k,b=4k,c=5k. ∴ 3a-b+c a+3b-c = 3·3k-4k+5k 3k+3·4k-5k = 10k 10k=1. (2) ∵ a-b+c=24, ∴ 3k-4k+5k=24,解得k=6. ∴ a=3k=3×6=18. 6. A 7. D 解析:∵ H 是线段AB 的黄金 分割点,∴ AH2=BH·AB.∵ 正方 形AFGH 的面积为S1,矩形BCIH 的面积为S2,∴ S1=AH2,S2= BH·BC=BH·AB.∴ S1=S2. ∴ S1 S2=1. 故选D. 8. 3或-1 解析:分两种情况:当 a+b+c+d≠0时,根据等比性质,得 m=3 (a+b+c+d) a+b+c+d =3 ;当a+b+ c+d=0时,a+b+c=-d,∴ m= a+b+c d = -d d =-1.∴ m 的值为3 或-1. 忽略等比性质成立的 条件而导致漏解 运用等比性质的前提是各个 分母的和不能等于0,如果题目中 没有此条件,那么在运用等比性质 时应分类讨论,如本题要分a+b+ c+d=0和a+b+c+d≠0两种 情况讨论. 9. (1) ∵ a b= c d ,b+d=0, ∴ b=-d. ∴ a=-c. ∴ a+c=0. (2) ① 当a+b+c≠0时,b+ca = a+c b = a+b c =t= 2(a+b+c) a+b+c =2 , ∴ t2-t-2=22-2-2=0. ② 当a+b+c=0时,b+c=-a,a+ c=-b,a+b=-c, ∴ b+c a = a+c b = a+b c =t=-1. ∴ t2-t-2=(-1)2-(-1)-2=0. 10. 5;5-1;5-12 . ∵ MN=2,ND=NC+CD=2+ 5-1=5+1, ∴ MN ND= 2 5+1 = 5-12 . ∴ 矩形MNDE 是黄金矩形. 11. (1) ∵ Δ=b2-4ac=(-1)2- 4×1×1=-3<0, ∴ 这个方程无解. ∴ 这个数不存在. (2) 依据题意,得 z 1-z= 1-z 1 . 变形, 得(1-z)2=z.展开,得z2=3z-1. ∵ z≠0, ∴ 两边同时除以z,得z=3-1z. ∴ z=3- 1 3-1z =3- 1 3- 13-… . 第3课时 平行线分线段成 比例及其推论 1. D 2. D 3. 9 4. ∵ 四边形ABCD 为平行四边形, ∴ CD∥BE,AD∥BC. ∴ CO EO= DO BO ,FO CO= DO BO. ∴ OC OE= OF OC. 5. B 6. C 7. 8 5 解析:过点D 作DH∥AC 交 BE 于 点 H,∴ DH AE = DG AG = 1 4 , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 DH CE = BD BC= BD BD+DC= 2 2+3= 2 5. ∴ AE=4DH,CE=52DH.∴ AE EC= 4DH 5 2DH =85. 8. (1) ∵ DE∥BC, ∴ AD AB= AE AC. 又∵ AD AB= 1 3 ,AE=3, ∴ 3 AC= 1 3 ,解得AC=9. ∴ EC=AC-AE=9-3=6. (2) ∵ DE∥BC,EF∥CG, ∴ AD AB= AE AC= AF AG. ∴ AD·AG=AF·AB. 9. 如图,过点C作CE∥AB 交AD 的 延长线于点E,则BDDC= AD DE. 又∵ BD=2DC,AD=2, ∴ DE=1. ∴ AE=AD+DE=3. ∵ CE∥AB, ∴ ∠E=∠BAD=75°. 又∵ ∠CAD=30°, ∴ ∠ACE=180°-30°-75°=75°. ∴ AC=AE=3. (第9题) 10. (1) ∵ D 是BC的中点,F 是AD 的中点, ∴ BD=CD,AF=FD. ∵ DG∥BE, ∴ CD BD= CG EG=1 ,AE EG= AF FD=1. ∴ CG=EG,AE=EG. ∴ AE=CG=EG. ∴ AE EC= AE EG+CG= 1 2. (2) 如图,过点D 作DH∥BE 交AC 于点H. ∵ BD∶DC=1∶4,DH∥BE, ∴ HE CH= BD DC= 1 4. ∴ CH=4HE. ∵ AF∶FD=3∶2,DH∥BE, ∴ AE HE= AF DF= 3 2. ∴ AE=32HE. ∴ AE EC= 3 2HE EH+HC= 3 2HE HE+4HE= 3 10. (第10题) 22.2　相似三角形的判定 第1课时 用平行线判定 三角形相似 1. B 2. A 3. C 4. 26 5. ∵ EG∥BC, ∴ △AEG∽△ABC. ∴ EG BC= AE AB. 又∵ BC=10,AE=9,AB=12, ∴ EG 10= 9 12. ∴ EG=152. ∵ EF∥AD, ∴ △BEF∽△BAD. ∴ EF AD= EB AB. 又∵ AD=5,AE=9,AB=12, ∴ EF 5= 12-9 12 . ∴ EF=54. ∴ FG=EG-EF=152- 5 4= 25 4. 6. C 7. C 解析:设 MN=x.∵ HM= 2MN,∴ HM=2x.延长NM 交AC 于点D.∵ MN⊥AB,∴ ∠MNA= 90°.又∵ ∠ABC=90°,∴ ∠DNA= ∠CBA.∴ DN∥CB.∴ △ADN∽ △ACB.∴ AN AB= DN CB ,即AN 4 = DN 3 . ∴ AN = 43 DN.∵ HM ∥AB, ∴ △DMH∽△DNA.∴ DM DN= HM AN , 即DM DN = 2x AN.∵ AN = 43 DN , ∴ DM=32x.∴ DN=DM+MN= 3 2x+x= 5 2x.∴ AN=43 ·5 2x= 10 3x.∵ MN∥FB,∴ △AMN ∽ △AFB.∴ MN FB = AN AB ,即x FB= AN 4 . ∴ x FB= 10 3x 4 .∴ BF=4×310=1.2. 故选C. 8. B 解析:如图,过点E 作EH⊥ AB 于点 H,延长 CD 至点 M,使 DM=CD,连接 BM.∵ ∠ACB= 90°,AC=16,BC=12,∴ AB = AC2+BC2 =20.∵ BF 平 分 ∠ABC,∠ACB =90°,EH ⊥AB, ∴ EH=EC.∵ △ABC 的面积= △ABE 的 面 积+△BCE 的 面 积, ∴ 1 2AC ·BC= 12AB ·EH + 1 2BC ·CE.∴ 16×12=20CE+ 12CE,解得CE=6.∵ AD=BD, DM = CD,∠ADC = ∠BDM, ∴ △BDM≌△ADC.∴ BM=AC= 16,∠M = ∠ECF.∴ CE∥MB. ∴ △CEF∽△MBF.∴ EF BF= CE MB= 6 16= 3 8. 故选B. (第8题) 9. (1) 1 解析:∵ BD=2CD=4, ∴ CD=2.∵ AE⊥BD,∴ ∠BFE= 90°.又∵ ∠BDC=90°,∴ AE∥CD. ∴ BF FD= BE EC.∵ E 是BC 的中点, ∴ BE=EC.∴ BF=FD=12BD= 2,即 F 是 BD 的 中 点.∴ EF 是 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52