21.6 综合与实践 获取最大利润-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

36 21.6　综合与实践　获取最大利润 ▶ “答案与解析”见P20 1. 便民商店销售一种商品,在销售过程中,发现 一周利润y(元)与每件售价x(元)之间的关 系满足y=-2(x-20)2+1558.由于某种原 因,每件售价x(元)只能在15≤x≤22范围 内,则一周可获得的最大利润是 ( ) A. 20元 B. 1508元 C. 1550元 D. 1558元 2. 某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元.经市 场调查表明,当售价在10元和14元之间(含 10元,14元)浮动时,日均销售量y(瓶)与每 瓶售价x(元)之间满足函数表达式y= 1360-80x.当售价定为每瓶 元时, 所得日均毛利润最大(每瓶毛利润=每瓶售 价-每瓶进价). 3. (2024·济宁)某商场以每件80元的价格购 进一种商品,在一段时间内,销售量y(单位: 件)与销售单价x(单位:元)之间是一次函数 关系,其部分图象如图所示. (1) 求这段时间内y与x之间的函数表达式. (2) 在这段时间内,若销售单价不低于100元, 且商场还要完成不少于220件的销售任务, 当销售单价为多少时,商场获得利润最大? 最大利润是多少? (第3题) 4. (2024·天津模拟)某服装店试销一种成本为 每件60元的服装,规定试销期间每件服装的 销售单价不低于成本,且获得的利润不得高 于成本的45%.经试销发现,销售量y(件)与 销售单价x(元)符合一次函数关系y= -x+120.有下列结论: ① 销售单价可以是90元; ② 该服装店销售这种服装可获得的最大利 润为891元; ③ 销售单价有两个不同的值满足该服装店 销售这种服装获得的利润为500元. 其中,正确的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 某公司新产品上市30天全部售完,如图①所 示为该产品的市场日销售量y(件)与上市时 间t(天)之间的关系,如图②所示为单件产品 的销售利润w(元)与上市时间t(天)之间的 关系,则最大日销售利润是 元. (第5题) 6. (2024·南充)2024年“五一”假期期 间,阆中古城景区某特产店销售A, B两类特产.A类特产进价50元/ 件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A 类特产和1件B类特产需132元,购买3件 A类特产和5件B类特产需540元. (1) A类特产和B类特产每件的售价各是多 少元? (2) A类特产供货充足,按原价销售每天可 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 37 售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每 天可多售出10件(每件售价不低于进价).设 每件A类特产降价x 元,每天的销售量为 y件,求y与x之间的函数表达式,并写出自 变量x的取值范围. (3) 在(2)的条件下,由于B类特产供货紧 张,每天只能购进100件且能按原价售完.设 该店每天销售这两类特产的总利润为w 元, 求w 与x 之间的函数表达式,并求出每件 A类特产降价多少元时总利润最大,最大总 利润是多少元(利润=售价-进价). 7. 易错题 某食品厂生产一种半成品食 材,成本为2元/千克,每天的产量 p(百千克)与销售价格x(元/千 克)满足p= 1 2x+8. 物价部门规定:销售价 格不低于2元/千克且不高于10元/千克.从 市场反馈的信息中发现,该半成品食材每天 的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/ 千克)之间满足一次函数关系,部分数据如 下表: 销售价格x/(元/千克) 2 4 … 10 市场需求量q/百千克 12 10 … 4 (1) 直接写出q与x 之间的函数表达式,并 注明自变量x的取值范围. (2) 当每天的产量小于或等于市场需求量 时,这种半成品食材能全部售出,而当每天的 产量大于市场需求量时,只能售出符合市场 需求量的半成品食材,剩余的食材由于保质 期短而只能废弃. ① 当每天生产的半成品食材能全部售出时, 求x的取值范围. ② 求该食品厂每天获得的利润y(百元)与销 售价格x(元/千克)之间的函数表达式. (3) 在(2)的条件下,当x= 时,y有 最大值.若要使每天的利润不低于2400元, 并尽可能地减少半成品食材的浪费,则x 应 定为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 ∴ 点P 的坐标为(1,1),点G 的坐标 为(1,-1). ∴ 点F 的坐标为(3,-1). 如图③,当四边形APEF 为正方形 时,显然点E 与点A(-1,-1)关于 对称轴直线x=12 对称, ∴ 点E 的坐标为(2,-1). ∴ PF=AE=3. ∵ P 12 ,1 2 , ∴ 点F 的坐标为 12 ,-52 . 综上所述,点F 的坐标为(-1,2)或 (3,-1)或 12 ,-52 . (第6题) 21.6　综合与实践 获取最大利润 1. D 2. 13 解析:设日均毛利润为w 元. 根据题意,得w=(x-9)y=(x-9)· (1360-80x)=-80x2+2080x- 12240=-80(x-13)2+1280. ∵ -80<0,10≤x≤14,∴ 当x=13 时,w 有最大值,最大值为1280. ∴ 当售价定为每瓶13元时,所得日 均毛利润最大. 3. (1) 设y 与x 之间的函数表达式 为y=kx+b. ∵ 函数图象过点(100,300),(120, 200), ∴ 100k+b=300, 120k+b=200, 解得 k=-5 , b=800. ∴ 这段时间内y与x 之间的函数表 达式为y=-5x+800. (2) 由题意,得 x≥100 , -5x+800≥220, 解 得100≤x≤116. 设商场获得的利润为w 元,则w= (x-80)(-5x+800)=-5x2+ 1200x-64000=-5(x-120)2+ 8000. 又∵ -5<0,100≤x≤116, ∴ 当x=116时,w 取得最大值,最大 值为7920. ∴ 当销售单价为116元时,商场获得 利润最大,最大利润是7920元. 4. B 解析:∵ 销售单价不低于成 本,且获得的利润不得高于成本的 45%,∴ 0≤x-60≤60×45%. ∴ 60≤x≤87.故①错误,不符合题 意.设该服装店销售这种服装可获得 的利润为 w 元,则 w=(x-60) (-x +120)= -x2 +180x - 7200=-(x-90)2+900.∵ -1< 0,∴ 当x<90时,w 随x的增大而增 大.∵ 60≤x≤87,∴ 当x=87时,w 取得最大值,最大值为-(87-90)2+ 900=891.故②正确,符合题意.当 w=500时,则(x-60)(-x+120)= 500,解得x1=70,x2=110(不合题 意,舍去).∴ 只有当销售单价为 70元时,满足该服装店销售这种服装 获得的利润为500元.故③错误,不符 合题意.∴ 正确的个数是1. 5. 1800 解析:设日销售量y与上市 时间t之间的函数表达式为y=kt.把 (30,60)代入,得30k=60,解得k=2. ∴ y=2t.当0≤t≤20时,设单件产 品的销售利润w 与上市时间t之间 的函数表达式为w=at.把(20,30)代 入,得20a=30,解得a=1.5.∴ 当 0≤t≤20时,w=1.5t.当20<t≤30 时,w=30.设日销售利润为W 元.当 0≤t≤20时,W=1.5t×2t=3t2, ∴ 当t=20时,W 取得最大值,此时 W=1200.当20<t≤30时,W=30× 2t=60t,∴ 当t=30时,W 取得最大 值,此时W=1800.∵ 1800>1200, ∴ 最大日销售利润是1800元. 6. (1) 设每件 A类特产的售价为 x元,则 每 件 B 类 特 产 的 售 价 为 (132-x)元. 根据题意,得3x+5(132-x)=540, 解得x=60. ∴ 132-x=72. ∴ A类特产的售价为60元/件,B类 特产的售价为72元/件. (2) ∵ 每件A类特产降价x元,每降 价1元,每天可多售出10件, ∴ y=60+10x=10x+60. ∵ 0≤x≤60-50, ∴ 0≤x≤10. ∴ y=10x+60(0≤x≤10). (3) 由题意,得 w=(60-50-x)· (10x+60)+100×(72-60)= -10x2+40x+1800=-10(x- 2)2+1840. ∵ -10<0, ∴ 当x=2时,w 有最大值1840,最 大值为1840. ∴ 每件A类特产降价2元时,总利润 最大,最大总利润为1840元. 7. (1) q与x 之间的函数表达式为 q=-x+14(2≤x≤10). (2) ① 当每天生产的半成品食材能 全部售出时,有p≤q,即 1 2x+8≤ -x+14,解得x≤4. 又∵ 2≤x≤10, ∴ 2≤x≤4. ② 由①,可知当2≤x≤4时,y= (x-2)p=(x-2) 12x+8 = 1 2x 2+7x-16. 当4<x≤10时,y=(x-2)q- 2(p-q)=(x-2)(-x+14)- 2 12x+8- (-x+14) = -x2 + 13x-16. 综上所述,该食品厂每天获得的利 润y(百元)与销售价格x(元/千克) 之 间 的 函 数 表 达 式 为 y = 1 2x 2+7x-16(2≤x≤4), -x2+13x-16(4<x≤10). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 (3) 13 2 ;5. 解析:当2≤x≤4时, y= 1 2x 2+7x-16,∴ 其图象的对称 轴为直线x=- 7 2×12 =-7.∴ 当 2≤x≤4时,y 随x 的增大而增大. ∴ 当 x=4 时,y 取 得 最 大 值, y最大值= 1 2×4 2+7×4-16=20.当 4<x≤10时,y=-x2+13x-16= - x-132 2 +1054 .∵ -1<0,4< 13 2<10 ,∴ 当x=132 时,y 取得最大 值,y最大值= 105 4 .∵ 20<1054 ,∴ 当 x=132 时,y有最大值.要使每天的利 润不低于2400元,则当2≤x≤4时, 显然不符合,故令y=-x2+13x- 16=24,解得x=5或x=8,结合图 象,知 要 使 每 天 的 利 润 不 低 于 2400元,则5≤x≤8.又∵ 要尽可能地 减少半成品食材的浪费,∴ x应定为5. 因忽略自变量的取值范围 求最值时导致错误 求商品最大利润问题时,要注 意实际问题中自变量的取值范围, 有时根据二次函数图象的顶点坐 标求出的最大值并不一定是函数 在实际问题中的最大值,实际问题 中的最大值应在自变量的取值范 围内取得. 第21章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 D 解析: ① ∵ 抛物线的对 称轴为直线x=12 ,即对称轴在y轴 的右侧,∴ ab<0.∵ 抛物线与y 轴 交于负半轴,∴ c<0.∴ abc>0.故① 正确;② ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=12 ,∴ -b2a= 1 2.∴ -2b=2a. ∴ a+b=0.故②不正确;③ ∵ 抛物 线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且 a≠0)经过点(2,0),∴ 4a+2b+c= 0.∵ c<0,∴ 4a+2b+3c<0.故③ 正确;④ 由对称性知,抛物线与x 轴 的另 一 交 点 的 坐 标 为 (-1,0). ∵ a+b=0, 4a+2b+c=0, ∴ c= -2a. ∴ c 2a=-1.∴ 无论a,b,c取何值, 抛物线一定经过点 c 2a ,0 .故④正 确;⑤ ∵ b=-a,∴ 4am2+4bm- b=4am2-4am+a=a(4m2-4m+ 1)=a(2m-1)2.∵ a>0,∴ a(2m- 1)2≥0,即4am2+4bm-b≥0.故⑤ 正确.综上所述,正确的有4个. [变式] A 解析: ① ∵ 抛物线开 口向下,对称轴为直线x=1,与y 轴 交于正半轴,∴ a<0,-b2a=1 ,c>0. ∴ b=-2a>0.∴ ac<0.结论①错 误;② ∵ 抛物线与x轴有两个交点, ∴ Δ=b2-4ac>0.结论②正确; ③ 由①知,b=-2a,∴ 2a+b=0.结 论③错误;④ ∵ 抛物线的对称轴为 直线x=1,∴ 易得当x=3或-1时, y=0.∴ 当x=-1时,y=a-b+ c=0.结论④正确;⑤ 由④知,抛物线 与x轴的交点为(3,0),(-1,0).观 察图象,当x=-2时,y<0,即4a- 2b+c<0.结论⑤错误.综上所述,正 确的有2个. 典例2 (1) ∵ x2+4x+3=0, ∴ x1=-1,x2=-3. ∵ m,n 是一元二次方程x2+4x+ 3=0的两个实数根,且|m|<|n|, ∴ m=-1,n=-3. ∵ 抛物线y=x2+bx+c经过点A(m, 0),B(0,n), ∴ 1-b+c=0, c=-3, 解得 b=-2 , c=-3. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-2x-3. (2) 由(1)知,A(-1,0),B(0,-3), C(3,0), ∴ S△ABC= 1 2AC ·OB=12×4× 3=6. ∵ △PBC的面积等于△ABC面积的 一半, ∴ S△PBC=3. ∵ P 是直线BC 下方抛物线上的一 个动点, ∴ 设P(t,t2-2t-3)(0<t<3). 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+a(k≠0).把B(0,-3),C(3,0) 代入,得 3k+a=0, a=-3, 解得 k=1 , a=-3. ∴ 直线BC对应的函数表达式为y= x-3. 如图,过点P 作PG∥y轴,交直线BC 于点G,则G(t,t-3), ∴ PG=t-3-(t2-2t-3)= -t2+3t. ∴ S△PBC=S△PBG+S△PGC= 1 2PG · OC=12 (-t2+3t)×3=3. ∴ t1=1,t2=2.当t=1时,t2-2t- 3=-4;当t=2时,t2-2t-3=-3. ∴ 点P 的坐标为(1,-4)或(2,-3). (典例2图) [变式] (1) (3,0) 解析:令y= -12x 2+12x+3=0 ,解得x1=3, x2=-2.∵ 点B 在x 轴的正半轴 上,∴ B(3,0). (2) 1 2 ,7 2 或 12,32 解析:在 y=- 1 2x 2+12x+3 中,令x=0,得 y=3,即C(0,3).设直线AB 对应的 函数表达式为y=kx+b.把B(3,0), A(-1,2)代入,得 3k+b=0, -k+b=2, 解得 k=-12 , b=32. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线AB 对应的函数表 达式为y=- 1 2x+ 3 2. 设直线AB 交y轴于点D,抛物线对称轴交x轴 于点E,连接BP,CP.在y=- 1 2x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12