第21章 专题特训四 二次函数中的几何图形存在性问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

34 专题特训四　二次函数中的几何图形存在性问题 ▶ “答案与解析”见P17 类型一 等腰三角形的存在性 1. 分类讨论思想 如图,关于x 的二次函数y= x2+bx+c的图象与x 轴相交于点A(1, 0)和点B,与y轴相交于点C(0,3). (1) 求二次函数的表达式. (2) 求线段BC 的长. (3) 在y轴上是否存在一点P,使△PBC 为 等腰三角形? 若存在,请写出点P 的坐标; 若不存在,请说明理由. (第1题) 类型二 直角三角形的存在性 2. 新考法·新定义题 在平面直角坐标系 中,把与x 轴交点相同的二次函数 图象称为“共根抛物线”.如图,抛物 线L1:y=- 1 4x 2-12x+2 交x 轴于点A, B(点A 在点B 左侧),交y 轴于点C.抛物 线L2与L1是“共根抛物线”,其顶点为P. (1) 若抛物线L2 经过点(1,-5),求抛物线 L2对应的函数表达式. (2) 当△BPC 的周长最小时,求抛物线 L2对应的函数表达式. (3) 是否存在以A,C,P 为顶点的三角形是 以AC 为直角边的直角三角形? 若存在,求 出抛物线L2 对应的函数表达式;若不存在, 请说明理由. (第2题) 类型三 平行四边形的存在性 3. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= ax2+bx-5交x 轴于A,C 两点,交y轴于 点B,5OA=OB=OC,连接BC. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 已知抛物线的对称轴上存在一点M,使 得△ABM 的周长最小,请求出点M 的坐标. (3) P 是线段BC 上一点,过点P 作y 轴的 平行线交抛物线于点Q,求当四边形OBQP 为平行四边形时点P 的坐标. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 35 类型四 矩形的存在性 4. 如图,抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直 线x=1,与x 轴交于点A,B(3,0),与y 轴 交于点C. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 已知E 是抛物线对称轴上的点,在平面 直角坐标系内是否存在点F,使以B,C,E, F 为顶点的四边形为矩形? 若存在,请写出 点F 的坐标;若不存在,请说明理由. (第4题) 类型五 菱形的存在性 5. (2024·泸州)如图,在平面直角坐标系中,抛 物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0),与 y轴交于点B,且关于直线x=1对称. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) C 是抛物线上位于第一象限的一个动 点,过点C 作x轴的垂线交直线AB 于点D, 在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E 为顶点的四边形是菱形? 若存在,求出该菱 形的边长;若不存在,请说明理由. (第5题) 类型六 正方形的存在性 6. (2024·大同模拟)如图,抛物线y= x2+bx+c经过点A(-1,-1)和点 B(3,3),P 是线段AB 上一动点(不 与点A,B 重合),直线l是抛物线的对称轴, 设点P 的横坐标为m. (1) 求抛物线对应的函数表达式及直线AB 对应的函数表达式. (2) 若E 是抛物线上一点,平面内是否存在 点F,使得以A,E,F,P 为顶点的四边形是 正方形? 若存在,请写出所有满足条件的点 F 的坐标.若不存在,请说明理由. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 ∴ 函数y=kx的图象经过第二、四象 限.∵ 函数y= 2 x 的图象分布在第 一、三象限.∴ 两个函数的图象没有 交点. 4. (1) ∵ 四边形 OABC 是矩形, D(4,1),且D 为AB 的中点, ∴ B(4,2). ∴ 点E 的纵坐标为2. ∵ 反比例函数y= k x (x>0)的图象 分别与AB,BC 交于点D(4,1)和 点E, ∴ k=4×1=4. ∴ 反比例函数的表达式为y= 4 x (x>0). 把y=2代入y= 4 x ,得2=4x ,解得 x=2. ∴ E(2,2). (2) -3≤m≤0. 解析:把D(4,1) 代入y=x+m,得1=4+m,解得 m=-3.把E(2,2)代入y=x+m, 得2=2+m,解得m=0.∴ m 的取值 范围是-3≤m≤0. 5. A 6. (1) 由题意,将B(-1,2)代入y= m x ,得2=m-1 ,解得m=-2. ∴ 双 曲 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=- 2 x. 又∵ 点A(2,a)在双曲线上, ∴ a=-1. ∴ A(2,-1). 将A(2,-1),B(-1,2)代入y= kx+b,得 2k+b=-1, -k+b=2, 解得 k=-1 , b=1. ∴ 直线y=kx+b对应的函数表达式 为y=-x+1. (2) 由题意,可分成两种情形. ① 点M,N 在双曲线的同一支上, ∵ 双曲线y=- 2 x ,在同一支上时函 数值y随x的增大而增大, ∴ 当x1<x2时,y1<y2. ② 点M,N 在双曲线的不同支上, ∵ x1<x2, ∴ x1<0<x2. ∴ 由图象,可得y1>0>y2,即当 x1<x2时,y1>y2. (3) 关于x的不等式kx+b>mx 的解 集为x<-1或0<x<2. 7. 16 解析:如图,连接AC,分别过 点A,C 作AE⊥x轴于点E,CD⊥x 轴于点D,则S△COD=S△AOE= 1 2|k|. ∴ S△AOC = S△COD + S梯形AEDC - S△AOE=S梯形AEDC.∵ 反比例函数y= k x 与正比例函数y=x 的图象交于 A,B 两点,∴ 点A,B 关于原点对称. ∴ OA=OB.∴ S△AOC=S△BOC=12. 设A(a,a)(a>0).∴ k=4m·m= a·a.∴ a=2m.∴ A(2m,2m). ∴ S梯形AEDC= 1 2 (CD+AE)·DE= 12,即12 (4m+2m)(2m-m)=12,解 得m=2(负值舍去).∴ k=4m· m=16. (第7题) 8. (1) 把A(1,4)分别代入反比例函 数y= k x ,一次函数y=x+b,得k= 1×4,1+b=4,解得k=4,b=3. ∵ 点B(-4,n)也在反比例函数y= 4 x 的图象上, ∴ n= 4-4=-1. (2) 设直线y=x+3与y 轴的交点 为C. ∵ 当x=0时,y=3, ∴ C(0,3). ∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC= 1 2×3× 1+12×3×4=7.5. 9. 5+1 2 解析:由x=kx ,得x= k(负值已舍去).∴ 点A 的坐标为 (k,k).∴ AB=k.∵ AB⊥x轴, ∴ 点B的坐标为(k,0).∵ 直线l由 直线y=x 平移得到,且经过点B, ∴ 直线l对应的函数表达式为y=x- k.由x-k=kx ,得x=1+52 k (负 值已舍去).∴ y= 1+5 2 k- k= 5-1 2 k.∴ C 1+52 k,5-12 k . ∵ CD⊥x 轴,∴ CD= 5-12 k. ∴ AB CD= k 5-1 2 k = 5+12 . 10. (1) ∵ 点A(-1,m)在一次函数 y=-2x+2的图象上, ∴ m=-2×(-1)+2=4. ∴ A(-1,4). ∵ 点A 在反比例函数y= k x (x<0) 的图象上, ∴ k=-4. ∴ 反比例函数的表达式为y=- 4 x (x<0). (2) ∵ 点 B(n,2)在反比例函数 y=- 4 x (x<0)的图象上, ∴ 2=-4n ,解得n=-2. ∴ B(-2,2). 将直线y=-2x+2向下平移h个单 位后得到的直线对应的函数表达式为 y=-2x+2-h. ∵ 点B(-2,2)在直线y=-2x+ 2-h上, ∴ 2=-2×(-2)+2-h,解得h=4. 根据函数图象及交点坐标可知,x<0 时,不等式 k x <ax+b 的解集为 x<-2. 专题特训四　二次函数中的 几何图形存在性问题 1. (1) 把A(1,0)和C(0,3)代入y= x2+bx+c,得 1+b+c=0, c=3, 解得 b=-4, c=3. ∴ 二次函数的表达式为y=x2- 4x+3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 (2) 令y=0,则x2-4x+3=0,解得 x1=1,x2=3. ∴ B(3,0). ∵ C(0,3), ∴ BC= (3-0)2+(0-3)2=32. (3) 存在. ∵ BC=3 2,点 P 在y 轴上,当 △PBC为等腰三角形时,分三种情况 进行讨论:如图. ① 当CP=CB 时,PC=32, ∵ C(0,3), ∴ P1(0,3+32),P2(0,3-32). ② 当BP=BC时,OP=OC=3, ∴ P3(0,-3). ③ 当PB=PC时, ∵ OC=OB=3, ∴ 此时点P 与点O 重合. ∴ P4(0,0). 综上所述,点P 的坐标为(0,3+32) 或(0,3-32)或(0,-3)或(0,0). (第1题) 2. (1) 在抛物线L1:y=- 1 4x 2- 1 2x+2 中,令y=0,则0=- 1 4x 2- 1 2x+2 ,解得x1=-4,x2=2. ∴ A(-4,0),B(2,0). 设抛物线L2 对应的函数表达式为 y=a(x+4)(x-2). 将(1,-5)代入y=a(x+4)(x-2), 得-5=a·(1+4)×(1-2),解得 a=1. ∴ 抛物线L2 对应的函数表达式为 y=(x+4)(x-2)=x2+2x-8. (2) 如图,连接 AC,交对称轴直线 x=-4+22 =-1 于点P,连接BP, 交y轴于点E,连接BC,此时△BPC 的周长最小. 令x=0,则y=2. ∴ C(0,2). 设直线AC对应的函数表达式为y= kx+2. 将A(-4,0)代入,得0=-4k+2,解 得k=12. ∴ 直线AC对应的函数表达式为y= 1 2x+2. 当x=-1时,y= 3 2. ∴ 点P 的坐标为 -1,32 . 由(1),知抛物线L2 对应的函数表达 式为y=a(x+4)(x-2). 将P -1,32 代入y=a(x+4) (x-2),得32=a ·(-1+4)×(-1- 2),解得a=-16. ∴ 抛物线L2 对应的函数表达式为 y=- 1 6 (x+4)(x-2). (3) 存在.设点P 的坐标为(-1,m). ∵ A(-4,0),C(0,2), ∴ AC = 22+42 =25,PC = (2-m)2+12,AP= m2+32. 当点P 在x 轴上方时,由题意,得 AC2+PC2 =AP2,即 (25)2 + [ (2-m)2+12]2=( m2+32)2, 解得m=4. ∴ 点P 的坐标为(-1,4). 将P(-1,4)代入y=a(x+4)(x- 2),得4=a·(-1+4)×(-1-2), 解得a=-49. ∴ 抛物线L2 对应的函数表达式为 y=- 4 9 (x+4)(x-2). 当点P 在x 轴下方时,由题意,得 AC2+AP2 =PC2,即 (25)2 + ( m2+32)2=[ (2-m)2+12]2, 解得m=-6. ∴ 点P 的坐标为(-1,-6). 将P(-1,-6)代入y=a(x+ 4)(x-2),得-6=a·(-1+4)× (-1-2),解得a=23. ∴ 抛物线L2 对应的函数表达式为 y= 2 3 (x+4)(x-2). 综上所述,抛物线L2 对应的函数表 达式为y= 2 3 (x+4)(x-2)或 y=- 4 9 (x+4)(x-2). (第2题) 3. (1) 由抛物线对应的函数表达式 知,令x=0,得y=-5. ∴ B(0,-5). ∴ OB=5. ∵ 5OA=OB=OC, ∴ OA=1,OC=5. ∴ 点 A,C 的坐标分别为(1,0), (-5,0). 设抛物线对应的函数表达式为y= a(x-1)(x+5)=a(x2+4x-5)= ax2+bx-5. ∴ a=1. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2+4x-5. (2) 点A 关于抛物线的对称轴直线 x=-2对称的点为C,则BC 交抛物 线的对称轴于点M,此时△ABM 的 周长最小. 由点B,C的坐标,易得直线BC 对应 的函数表达式为y=-x-5. 当x=-2时,y=-(-2)-5=-3, 则点M 的坐标为(-2,-3). (3) 设P(x,-x-5),则Q(x,x2+ 4x-5). ∴ PQ=(-x-5)-(x2+4x- 5)=-x2-5x. ∵ PQ∥OB, ∴ 当 PQ=OB 时,满 足 条 件,即 -x2-5x=5,解得x=-5±52 . ∴ 点P的坐标为 -5+5 2 ,-5-5 2 或 -5-5 2 ,-5+5 2 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 4. (1) ∵ 抛物线y=ax2+2x+c的 对称轴是直线x=1,与x 轴交于点 A,B(3,0), ∴ 易得A(-1,0). 将A (-1,0),B(3,0)代 入,得 a-2+c=0, 9a+6+c=0, 解得 a=-1 , c=3. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=-x2+2x+3. (2) 存在.设E(1,b),F(m,n). 将x=0代入y=-x2+2x+3,得 y=3. ∴ C(0,3). ∵ B(3,0),C(0,3), ∴ 易得BC=32. ① 如图①,当以 BC 为对角线时, BC2=CE2+BE2. ∴ (32)2=12+(b-3)2+b2+(3- 1)2,解得b1= 3+ 17 2 ,b2= 3- 17 2 . ∴ E 1,3+ 172 或 1,3- 172 . ∵ B(3,0),C(0,3), ∴ m+1=0+3,n+3+ 172 =0+3 或n+3- 172 =0+3. ∴ m=2,n=3- 172 或n=3+ 172 . ∴ 点F 的 坐 标 为 2,3- 172 或 2,3+ 172 . ② 如图②,当以BC 为边时,BE2= CE2+BC2或CE2=BE2+BC2. ∴ b2+(3-1)2=12+(b-3)2+ (32)2 或12+(b-3)2=b2+(3- 1)2+(32)2,解得b=4或b=-2. ∴ E(1,4)或(1,-2). ∵ B(3,0),C(0,3), ∴ m+0=1+3,n+3=0+4或m+ 3=1+0,n+0=3-2. ∴ m=4,n=1或m=-2,n=1. ∴ 点F 的坐标为(4,1)或(-2,1). 综 上 所 述,点 F 的 坐 标 为 2,3- 172 或 2,3+ 172 或(4, 1)或(-2,1). (第4题) 5. (1) ∵ A(3,0),抛物线的对称轴 为直线x=1, ∴ 抛物线和x 轴的另外一个交点为 (-1,0). ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)= ax2+bx+3,解得a=-1. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=-x2+2x+3. (2) 存在.令x=0,则y=3. ∴ B(0,3).如图. ① 当BC为菱形的对角线时,对应的 是菱形BDCE',则BD=CD. 由点A,B 的坐标,易得直线AB 对应 的函数表达式为y=-x+3. 设C(x,-x2+2x+3),D(x,-x+ 3),则CD=-x2+2x+3-(-x+ 3)=-x2+3x. 易得BD=2x,BC= x2+(-x2+2x)2. ∴ -x2+3x=2x. 解得x1=3-2,x2=0(舍去). ∴ BD= 2x=32-2,即菱形的边 长为32-2. ② 当BD 为菱形的对角线时,对应的 是菱形BCDE,则CD=BC. ∴ -x2+3x= x2+(-x2+2x)2. 解得x1=2,x2=0(舍去). ∴ CD=-x2+3x=-22+3×2=2, 即菱形的边长为2. 综上所述,菱形的边长为3 2-2 或2. (第5题) 6. (1) 将A(-1,-1),B(3,3)代入 y=x2+bx+c,得 1-b+c=-1, 9+3b+c=3, 解 得 b=-1, c=-3. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-x-3. 设直线AB 对应的函数表达式为y= kx+n. 将A(-1,-1),B(3,3)代入,得 -k+n=-1, 3k+n=3, 解得 k=1 , n=0. ∴ 直线AB 对应的函数表达式为 y=x. (2) 存在.如图①,当四边形AEPF 为正方形时, ∵ A(-1,-1), ∴ 易得∠1=45°. ∵ ∠BAE=45°, ∴ AE∥x轴. ∴ 点E 与点A(-1,-1)关于对称轴 直线x=12 对称. ∴ 易得E(2,-1). ∴ AE=2-(-1)=3. ∴ AF=AE=3. ∴ 点F 的坐标为(-1,2). 如图②,当四边形APFE 为正方形 时,设正方形的中心为点G. ∵ A(-1,-1), ∴ 易得∠2=∠3=45°. ∵ ∠PAG=45°,∠PGA=90°, ∴ ∠OHA=90°. ∴ PE∥y轴. ∴ 点P 的坐标为(m,m),点E 的坐 标为(m,m2-m-3). ∴ PG=m+1,GE=-1-m2+m+ 3=-m2+m+2. ∵ PG=GE, ∴ -m2+m+2=m+1,即m2=1, 解得m=1,m=-1(不符合题意, 舍去). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 ∴ 点P 的坐标为(1,1),点G 的坐标 为(1,-1). ∴ 点F 的坐标为(3,-1). 如图③,当四边形APEF 为正方形 时,显然点E 与点A(-1,-1)关于 对称轴直线x=12 对称, ∴ 点E 的坐标为(2,-1). ∴ PF=AE=3. ∵ P 12 ,1 2 , ∴ 点F 的坐标为 12 ,-52 . 综上所述,点F 的坐标为(-1,2)或 (3,-1)或 12 ,-52 . (第6题) 21.6　综合与实践 获取最大利润 1. D 2. 13 解析:设日均毛利润为w 元. 根据题意,得w=(x-9)y=(x-9)· (1360-80x)=-80x2+2080x- 12240=-80(x-13)2+1280. ∵ -80<0,10≤x≤14,∴ 当x=13 时,w 有最大值,最大值为1280. ∴ 当售价定为每瓶13元时,所得日 均毛利润最大. 3. (1) 设y 与x 之间的函数表达式 为y=kx+b. ∵ 函数图象过点(100,300),(120, 200), ∴ 100k+b=300, 120k+b=200, 解得 k=-5 , b=800. ∴ 这段时间内y与x 之间的函数表 达式为y=-5x+800. (2) 由题意,得 x≥100 , -5x+800≥220, 解 得100≤x≤116. 设商场获得的利润为w 元,则w= (x-80)(-5x+800)=-5x2+ 1200x-64000=-5(x-120)2+ 8000. 又∵ -5<0,100≤x≤116, ∴ 当x=116时,w 取得最大值,最大 值为7920. ∴ 当销售单价为116元时,商场获得 利润最大,最大利润是7920元. 4. B 解析:∵ 销售单价不低于成 本,且获得的利润不得高于成本的 45%,∴ 0≤x-60≤60×45%. ∴ 60≤x≤87.故①错误,不符合题 意.设该服装店销售这种服装可获得 的利润为 w 元,则 w=(x-60) (-x +120)= -x2 +180x - 7200=-(x-90)2+900.∵ -1< 0,∴ 当x<90时,w 随x的增大而增 大.∵ 60≤x≤87,∴ 当x=87时,w 取得最大值,最大值为-(87-90)2+ 900=891.故②正确,符合题意.当 w=500时,则(x-60)(-x+120)= 500,解得x1=70,x2=110(不合题 意,舍去).∴ 只有当销售单价为 70元时,满足该服装店销售这种服装 获得的利润为500元.故③错误,不符 合题意.∴ 正确的个数是1. 5. 1800 解析:设日销售量y与上市 时间t之间的函数表达式为y=kt.把 (30,60)代入,得30k=60,解得k=2. ∴ y=2t.当0≤t≤20时,设单件产 品的销售利润w 与上市时间t之间 的函数表达式为w=at.把(20,30)代 入,得20a=30,解得a=1.5.∴ 当 0≤t≤20时,w=1.5t.当20<t≤30 时,w=30.设日销售利润为W 元.当 0≤t≤20时,W=1.5t×2t=3t2, ∴ 当t=20时,W 取得最大值,此时 W=1200.当20<t≤30时,W=30× 2t=60t,∴ 当t=30时,W 取得最大 值,此时W=1800.∵ 1800>1200, ∴ 最大日销售利润是1800元. 6. (1) 设每件 A类特产的售价为 x元,则 每 件 B 类 特 产 的 售 价 为 (132-x)元. 根据题意,得3x+5(132-x)=540, 解得x=60. ∴ 132-x=72. ∴ A类特产的售价为60元/件,B类 特产的售价为72元/件. (2) ∵ 每件A类特产降价x元,每降 价1元,每天可多售出10件, ∴ y=60+10x=10x+60. ∵ 0≤x≤60-50, ∴ 0≤x≤10. ∴ y=10x+60(0≤x≤10). (3) 由题意,得 w=(60-50-x)· (10x+60)+100×(72-60)= -10x2+40x+1800=-10(x- 2)2+1840. ∵ -10<0, ∴ 当x=2时,w 有最大值1840,最 大值为1840. ∴ 每件A类特产降价2元时,总利润 最大,最大总利润为1840元. 7. (1) q与x 之间的函数表达式为 q=-x+14(2≤x≤10). (2) ① 当每天生产的半成品食材能 全部售出时,有p≤q,即 1 2x+8≤ -x+14,解得x≤4. 又∵ 2≤x≤10, ∴ 2≤x≤4. ② 由①,可知当2≤x≤4时,y= (x-2)p=(x-2) 12x+8 = 1 2x 2+7x-16. 当4<x≤10时,y=(x-2)q- 2(p-q)=(x-2)(-x+14)- 2 12x+8- (-x+14) = -x2 + 13x-16. 综上所述,该食品厂每天获得的利 润y(百元)与销售价格x(元/千克) 之 间 的 函 数 表 达 式 为 y = 1 2x 2+7x-16(2≤x≤4), -x2+13x-16(4<x≤10). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02