第21章 专题特训三 反比例函数与一次函数的综合-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

32 专题特训三　反比例函数与一次函数的综合 ▶ “答案与解析”见P16 类型一 反比例函数和一次函数图象综合 1. (2024·萧县模拟)已知一次函数y=x+ 2的图象经过点P(a,b),其中a≠0,则在同 一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b 和反比例函数y= a-b x 的图象可能是( ) A. B. C. D. 2. 已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上,对称 轴为直线x=-12 ,且与x 轴的一个交点的 横坐标在0到1之间,则在同一平面直角坐 标系中,一次函数y=(2a+c)x+ 2b a 和反比 例函数y= a-2b x 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 类型二 反比例函数和一次函数图象的交点问题 3. (2024·泸州)已知关于x 的一元二次方程 x2+2x+1-k=0无实数根,则函数y=kx 与函数y= 2 x 的图象交点个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. (2023·贵州)如图,在平面直角坐 标系中,四边形OABC 是矩形,反比 例函数y= k x (x>0)的图象分别与 AB,BC 交于点D(4,1)和点E,且D 为AB 的中点. (1) 求反比例函数的表达式和点E 的坐标. (2) 若一次函数y=x+m 与反比例函数y= k x (x>0)的图象相交于点M,当点M 在反比 例函数图象上点D,E之间的部分时(点M 可 与点D,E 重合),直接写出m 的取值范围. (第4题) 类型三 反比例函数值与一次函数值的大小比较 5. (2024·惠州模拟)已知一次函数y1=x+ 2和反比例函数y2= 3 x ,当y1>y2 时,x 的 取值范围是 ( ) A. -3<x<0或x>1 B. -3<x<1 C. x<-3或0<x<1 D. x>1 6. (2023·滨州)如图,直线y=kx+b(k,b为 常数)与双曲线y= m x (m 为常数)相交于 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 33 A(2,a),B(-1,2)两点. (1) 求直线y=kx+b对应的函数表达式. (2) 在双曲线y= m x 上任取两点 M(x1, y1)和N(x2,y2),若x1<x2,试确定y1 和 y2的大小关系,并写出判断过程. (3) 请直接写出关于x的不等式kx+b>mx 的解集. (第6题) 类型四 反比例函数与一次函数背景下的图形 面积问题 (第7题) 7. 转换法 如图,反比例函数y= k x 与正比例函数y=x 的图象 交于A,B 两点,点C 在反比 例函数第一象限的图象上且 坐标为(m,4m).若△BOC 的面积为12,则k 的值为 . 8. 如图,反比例函数y= k x 的图象与一次函数y= x+b的图象交于点A(1,4),B(-4,n).求: (1) n和b的值. (2) △AOB 的面积. (第8题) 类型五 反比例函数与一次函数平移综合问题 9. (2024·合肥庐阳模拟)如图,正比例函数 y=x 与反比例函数y= k x (x>0)的图象有 一个交点A,过点A 作AB⊥x轴于点B,平 移直线y=x,使其经过点B,得到直线l,直 线l与反比例函数y= k x (x>0)的图象相交 于点C,过点C 作CD⊥x 轴于点D,则ABCD 的值为 . (第9题) 10. (2024· 德 阳)如 图,一 次 函 数 y=-2x+2与反比例函数y= k x (x<0)的图象交于点A(-1,m). (1) 求m 的值和反比例函数y= k x (x< 0)的表达式. (2) 将直线y=-2x+2向下平移h个单 位(h>0)后得直线y=ax+b,若直线y= ax+b与反比例函数y= k x (x<0)的图象 的交点为B(n,2),求h 的值,并结合图象 求x<0时,不等式kx<ax+b 的解集. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 ∴ S△OAB= 1 2×3×2=3. 11. (1) 把A(1,6)代入y2= m x ,得 m=6, ∴ 反比例函数的表达式为y2= 6 x (x>0). 把B(3,n)代入y2= 6 x (x>0),得 n=2, ∴ 点B 的坐标为(3,2). 把A(1,6),B(3,2)代入y1=kx+b, 得 k+b=6, 3k+b=2, 解得 k=-2 , b=8. ∴ 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y1 = -2x+8. (2) 根据图象可知,当y1>y2 时,x 的取值范围是1<x<3. (3) ∵ 一次函数y1=-2x+8的图 象与x轴交于点 C, ∴ 点C的坐标为(4,0). ∵ 点A 的坐标为(1,6),点P 在x轴 上,且△APC的面积为12, ∴ 1 2CP ·|yA|= 1 2CP×6=12. ∴ CP=4. ∴ 点P 的坐标为(0,0)或(8,0). 12. (1) -1.函数图象如图所示. (2) 答案不唯一,如① 图象是中心对 称图形;② 当x>-1时,y随x的增 大而减小. (3) 左;1;(-1,0). (4) -1<x≤3. (第12题) 第3课时 反比例函数的应用 1. C 2. A 3. 4 4. (1) 设反比例函数的表达式为p= k V. 由题意,知200=k30 , ∴ k=6000. ∴ 反比例函数的表达式为p= 6000 V . (2) 当p=800时,V= 6000 800=7.5. ∵ 在第一象限,p 随V 的增大而 减小, ∴ 当p≤800时,V≥7.5. ∴ 为了安全起见,气体的体积应不小 于7.5mL. 5. B 解析:描述(1)班和(4)班两个 班级情况的点恰好在同一个反比例函 数的图象上,设反比例函数的表达式 为y= k x ,(1)班(x1,y1),(2)班(x2, y2),(3)班(x3,y3),(4)班(x4,y4). 如图,过(2)班,(3)班点分别作y 轴 的平行线交反比例函数的图象于点 A,B,设A(x2,y2'),B(x3,y3').由 图象可知,y2>y2',y3'>y3.由题意, 易得x1y1,x2y2,x3y3,x4y4 分别为 (1)班,(2)班,(3)班,(4)班的优秀人 数.∵ (1)班(x1,y1),A(x2,y2'), B(x3,y3'),(4)班(x4,y4)在y= k x 的图象上,∴ k=x1y1=x2y2'= x3y3'=x4y4.∴ x2y2>x2y2'=k, x3y3<x3y3'=k.∴ x2y2>x1y1= x4y4>x3y3.∴ 成绩优秀人数最多 的是八年级(2)班. (第5题) 6. 5 解析:∵ 每个台阶的高和宽分 别是 1 和 2,∴ T1 (-16,1), T2(-14,2),T3(-12,3),T4(-10, 4),T5(-8,5),T6(-6,6),T7(-4, 7),T8 (-2,8).∵ L 过 点 T4, ∴ k=-10×4=-40.∴ 反比例函 数的表达式为y=- 40 x. 当x=-8 时,y=5,∴ 点T5 在反比例函数的 图象上.∴ m=5. 7. (1) 反比例;R=1 β . (2) 当R=0.3时,1 β =0.3,解得 β= 10 3. ∴ 该家用燃油汽车尾气中一氧化碳 的含量为10 3mg /m3. (3) 当β=0.1时,R= 1 β = 10.1=10. 由函数的性质可知,当β≤0.1时, R≥10. ∴ 该家用燃油汽车的气敏电阻R 应 控制在R≥10. 8. (1) 函数图象如图所示. (2) 观察图象可知,y 与x 之间成反 比例关系. 设y 与x 之 间 的 函 数 表 达 式 为 y= k x. 将(10,30)代入,得30=k10 ,解得 k=300. ∴ y 与x 之 间 的 函 数 表 达 式 为 y= 300 x . (3) 当y=24时,24= 300 x ,解 得 x=12.5, ∴ 当托盘B 中的砝码质量为24g 时,拖盘B 与点O 的距离是12.5cm. (4) 应往托盘B 中添加砝码. 根据反比例函数y= 300 x 的增减性,可 知当x变小时,y变大, ∴ 当托盘B 与点O 的距离不断减小 时,即x变小,此时y变大. ∴ 应往托盘B 中添加砝码. (第8题) 专题特训三　反比例函数 与一次函数的综合 1. B 2. A 3. A 解析:∵ 关于x的一元二次方 程x2+2x+1-k=0无实数根, ∴ Δ=4-4(1-k)<0,解得k<0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 ∴ 函数y=kx的图象经过第二、四象 限.∵ 函数y= 2 x 的图象分布在第 一、三象限.∴ 两个函数的图象没有 交点. 4. (1) ∵ 四边形 OABC 是矩形, D(4,1),且D 为AB 的中点, ∴ B(4,2). ∴ 点E 的纵坐标为2. ∵ 反比例函数y= k x (x>0)的图象 分别与AB,BC 交于点D(4,1)和 点E, ∴ k=4×1=4. ∴ 反比例函数的表达式为y= 4 x (x>0). 把y=2代入y= 4 x ,得2=4x ,解得 x=2. ∴ E(2,2). (2) -3≤m≤0. 解析:把D(4,1) 代入y=x+m,得1=4+m,解得 m=-3.把E(2,2)代入y=x+m, 得2=2+m,解得m=0.∴ m 的取值 范围是-3≤m≤0. 5. A 6. (1) 由题意,将B(-1,2)代入y= m x ,得2=m-1 ,解得m=-2. ∴ 双 曲 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=- 2 x. 又∵ 点A(2,a)在双曲线上, ∴ a=-1. ∴ A(2,-1). 将A(2,-1),B(-1,2)代入y= kx+b,得 2k+b=-1, -k+b=2, 解得 k=-1 , b=1. ∴ 直线y=kx+b对应的函数表达式 为y=-x+1. (2) 由题意,可分成两种情形. ① 点M,N 在双曲线的同一支上, ∵ 双曲线y=- 2 x ,在同一支上时函 数值y随x的增大而增大, ∴ 当x1<x2时,y1<y2. ② 点M,N 在双曲线的不同支上, ∵ x1<x2, ∴ x1<0<x2. ∴ 由图象,可得y1>0>y2,即当 x1<x2时,y1>y2. (3) 关于x的不等式kx+b>mx 的解 集为x<-1或0<x<2. 7. 16 解析:如图,连接AC,分别过 点A,C 作AE⊥x轴于点E,CD⊥x 轴于点D,则S△COD=S△AOE= 1 2|k|. ∴ S△AOC = S△COD + S梯形AEDC - S△AOE=S梯形AEDC.∵ 反比例函数y= k x 与正比例函数y=x 的图象交于 A,B 两点,∴ 点A,B 关于原点对称. ∴ OA=OB.∴ S△AOC=S△BOC=12. 设A(a,a)(a>0).∴ k=4m·m= a·a.∴ a=2m.∴ A(2m,2m). ∴ S梯形AEDC= 1 2 (CD+AE)·DE= 12,即12 (4m+2m)(2m-m)=12,解 得m=2(负值舍去).∴ k=4m· m=16. (第7题) 8. (1) 把A(1,4)分别代入反比例函 数y= k x ,一次函数y=x+b,得k= 1×4,1+b=4,解得k=4,b=3. ∵ 点B(-4,n)也在反比例函数y= 4 x 的图象上, ∴ n= 4-4=-1. (2) 设直线y=x+3与y 轴的交点 为C. ∵ 当x=0时,y=3, ∴ C(0,3). ∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC= 1 2×3× 1+12×3×4=7.5. 9. 5+1 2 解析:由x=kx ,得x= k(负值已舍去).∴ 点A 的坐标为 (k,k).∴ AB=k.∵ AB⊥x轴, ∴ 点B的坐标为(k,0).∵ 直线l由 直线y=x 平移得到,且经过点B, ∴ 直线l对应的函数表达式为y=x- k.由x-k=kx ,得x=1+52 k (负 值已舍去).∴ y= 1+5 2 k- k= 5-1 2 k.∴ C 1+52 k,5-12 k . ∵ CD⊥x 轴,∴ CD= 5-12 k. ∴ AB CD= k 5-1 2 k = 5+12 . 10. (1) ∵ 点A(-1,m)在一次函数 y=-2x+2的图象上, ∴ m=-2×(-1)+2=4. ∴ A(-1,4). ∵ 点A 在反比例函数y= k x (x<0) 的图象上, ∴ k=-4. ∴ 反比例函数的表达式为y=- 4 x (x<0). (2) ∵ 点 B(n,2)在反比例函数 y=- 4 x (x<0)的图象上, ∴ 2=-4n ,解得n=-2. ∴ B(-2,2). 将直线y=-2x+2向下平移h个单 位后得到的直线对应的函数表达式为 y=-2x+2-h. ∵ 点B(-2,2)在直线y=-2x+ 2-h上, ∴ 2=-2×(-2)+2-h,解得h=4. 根据函数图象及交点坐标可知,x<0 时,不等式 k x <ax+b 的解集为 x<-2. 专题特训四　二次函数中的 几何图形存在性问题 1. (1) 把A(1,0)和C(0,3)代入y= x2+bx+c,得 1+b+c=0, c=3, 解得 b=-4, c=3. ∴ 二次函数的表达式为y=x2- 4x+3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71