21.5 反比例函数-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

∵ a+2≤30-2x+a+2≤10, ∴ 1 2a+11≤x≤15. ∵ 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x= - 32+a2×(-2)= 32+a 4 < 32+3 4 <11 , ∴ 当x=12a+11 时,S=124, 即-2 12a+11 2 +(32+a) 12a+ 11 =124,解得a=2.8. 3. (1) ∵ 三块矩形区域的面积相等, ∴ 矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 面积的2倍. ∴ AE=2BE. 设BE=FC=am,则AE=HG= DF=2am. ∴ 3×2a+2a+2x=80,即8a+ 2x=80. ∴ a=-14x+10. ∴ y =3ax = -34x+30 x = -34x 2+30x. ∵ x>0,-14x+10>0 , ∴ 0<x<40. ∴ y=- 3 4x 2+30x(0<x<40). (2) ∵ y=- 3 4x 2+30x=-34 (x- 20)2+300(0<x<40),且-34<0 , ∴ 当x=20时,y 有最大值,最大值 是300. 4. (1) ∵ 培植的盆景比第一期增加 x盆, ∴ 第二期培植的盆景有(50+x)盆, 培植的花卉有(50-x)盆. ∴ w1= (50+x)(160-2x)= -2x2+60x+8000,w2=19(50- x)=-19x+950. (2) 根据题意,得 w=w1+w2= -2x2+60x+8000-19x+950= -2x2+41x+8950=-2x-414 2 + 73281 8 . ∵ -2<0,且x为整数, ∴ 当x=10时,w=9160;当x=11 时,w=9159. ∵ 9159<9160, ∴ 当x=10时,w 取得最大值,最大 值为9160. ∴ 当x=10时,第二期培植的盆景与 花卉售完后获得的总利润w 最大,最 大总利润是9160元. 5. (1) ∵ 安排70名工人加工一批夏 季服装,安排x 名工人加工“雅”服 装,y名工人加工“风”服装, ∴ 安排(70-x-y)名工人加工“正” 服装. ∵ “正”服装的总件数和“风”服装的 总件数相等, ∴ (70-x-y)×1=2y,整理,得 y=- 1 3x+ 70 3. (2) 根据题意,得“雅”服装每天获利 x[100-2(x-10)]元. ∴ w=2y×24+(70-x-y)×48+ x[100-2(x-10)],整理,得 w= (-16x+1 120)+(-32x+2 240)+ (-2x2+120x). ∴ w=-2x2+72x+3 360(x≥10). (3) 由(2),得 w=-2x2+72x+ 3 360=-2(x-18)2+4 008. ∴ 当x=18时,获得最大利润,此时 y=- 1 3×18+ 70 3= 52 3 ,则x≠18. ∵ 该二次函数的图象开口向下, ∴ 取x=17或x=19.当x=17时, y= 53 3 ,不符合题意;当x=19时,y= 17,符合题意. ∴ 70-x-y=34. 综上所述,安排19名工人加工“雅”服 装,17名工人加工“风”服装,34名工 人加工“正”服装,即可获得最大利润. 6. (1) 由题意知,H(0,1.5),A(2, 2),且上边缘抛物线的顶点为A. 设上边缘抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-2)2+2. 将H(0,1.5)代入y=a(x-2)2+2, 得4a+2=1.5,解得a=-18. ∴ 上边缘抛物线对应的函数表达式 为y=- 1 8 (x-2)2+2. 令y=0,则- 1 8 (x-2)2+2=0,解 得x1=-2 (舍去),x2=6. ∴ C(6,0). ∴ 喷出水的最大射程OC为6m. (2) 由(1)知,上边缘抛物线对应的函 数表达式为y=- 1 8 (x-2)2+2. ∴ 抛物线的对称轴为直线x=2. ∴ 易得点H 关于对称轴对称的点的 坐标为(4,1.5). ∵ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线 向左平移得到的, ∴ 上边缘抛物线向左平移4个单位 后,得到下边缘抛物线,即下边缘抛物 线对应的函数表达式为y=- 1 8 (x+ 2)2+2. 令y=0,则- 1 8 (x+2)2+2=0,解 得x1=-6(舍去),x2=2. ∴ B(2,0). (3) ∵ EF=0.5m, ∴ 点F 的纵坐标为0.5. ∴ 0.5=-18 (x-2)2+2,解得x1= 2+23,x2=2-23(舍去). ∵ DE=3,要使灌溉车行驶时喷出的 水能浇灌到整个绿化带, ∴ d的最大值为2+23-3=23-1. ∵ 下边缘抛物线喷出的水能浇灌到 绿化带底部的条件是d≥OB, ∴ d的最小值为2. 综上所述,d 的取值范围是2≤d≤ 23-1. 21.5　反比例函数 第1课时 反比例函数 1. B 反比例函数的三种表示形式 (1) y= k x (k为常数,且k≠0); (2) y=kx-1(k 为 常 数,且 k≠0); (3) xy=k(k为常数,且k≠0). 2. A 3. -3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 忽视反比例函数成立的 条件导致错误 反比例函数成立的条件是k≠ 0,在利用反比例函数定义解题时, 容易忽略k≠0导致出现错误. 4. (1) y= 1500 x ,是反比例函数. (2) y=8.75x,不是反比例函数. 5. C 6. C 7. B 8. y= 4 x 9. 2 解析:由题意,得y1=- 1 2 3 = -32 ;把x=-32+1=- 1 2 代入 y=- 1 x ,得y2=- 1 -12 =2;把x= 2+1=3代入y=- 1 x ,得y3= -13 ;把x=-13+1= 2 3 代入y= -1x ,得y4=- 1 2 3 =-32 ……如此继 续下去,每三个循环一次.又∵ 2024÷ 3=674……2,∴ y2024=y2=2. 10. (1) 由题意,得xy=1600×0.5, 则y= 800 x ,即y关于x的函数表达式 为y= 800 x . (2) ∵ y= 800 x , ∴ 当x=2时,y= 800 2 =400. ∴ 当动力臂长为2m时,撬动石头至 少需要400N的力. (3) 他不能撬动这块石头. 理由:当动力臂长最大为2.5m,即当 x=2.5时,y= 800 2.5=320 ,此时动力 最小,为320N. ∵ 300N<320N, ∴ 他不能撬动这块石头. 11. (1) ∵ y1与(x-1)成正比例,y2 与(x+1)成反比例, ∴ 设y1=k1(x-1),y2= k2 x+1. ∵ y=y1+y2=k1(x-1)+ k2 x+1 ,当 x=0 时,y= -3,当 x=1 时, y=-1, ∴ -3=-k1+k2, -1=12k2 , 解得 k1=1,k2=-2. ∴ y=x-1- 2 x+1. (2) 当x=-2时,y=x-1- 2 x+1= -2-1- 2-2+1=-1. 12. (1) 设y1 与x 之间的函数表达 式为 y1= k x. 把(2,12)代 入,得 12=k2 ,解 得 k=24. ∴ y1与x之间的函数表达式为y1= 24 x (2≤x≤5,且x为整数). (2) 把(2,6),(4,4)代入 y2=ax2+ bx+4,得 4a+2b+4=6, 16a+4b+4=4, 解 得 a=-12 , b=2. ∴ y2 与x 之间的函数表达式为 y2=- 1 2x 2+2x+4(2≤x≤5,且x 为整数). (3) 设甲、乙两种水果获得的总利润 为w 元,则w=w甲+w乙=(y1-3- 0.2)·P+(y2-3.5-0.2)×160= 24 x-3-0.2 ·20x+ -12x2+ 2x+4-3.5-0.2 ×160=-64x+ 480-80x2+320x+48=-80x2+ 256x+528. ∵ -80<0,对称轴为 直 线 x= - 2562×(-80)=1.6 , ∴ 当x>1.6时,w 随x 的增大而 减小. ∵ 2≤x≤5,且x为整数, ∴ 当x=2时,w 有最大值,最大值 为-80×22+256×2+528=720. ∴ 该水果店2月份销售甲、乙两种水 果获得的总利润最大,最大利润是 720元. 第2课时 反比例函数的 图象和性质 1. A 2. A 3. 5 4. 四 5. (1) ∵ 反比例函数的图象位于第 二、四象限, ∴ 2a+8<0,解得a<-4. ∴ a的取值范围是a<-4. (2) ∵ 当x>0时,y 随x 的增大而 减小, ∴ 2a+8>0,解得a>-4. ∴ a的取值范围是a>-4. 6. C 7. B 8. 3 解析:由题意,易知S1+S3= S2+S3,∴ S1=S2.∵ S1+S2=4, ∴ S1=S2=2.∵ S3=1,∴ S1+ S3=1+2=3.∴ k=3. 9. -6 解析:∵ y1,y2 的图象均在 第一象限,∴ k1>0,k2>0.∵ 点M, N 均在反比例函数y1= k1 x 的图象上, ∴ 易得S△AOM=S△CON= 1 2k1.∵ 矩 形OABC 的顶点B 在反比例函数 y2= k2 x 的图象上,∴ S矩形OABC=k2. ∴ S四边形OMBN =S矩形OABC -S△OAM - S△OCN=6.∴ k2-k1=6.∴ k1- k2=-6. 10. (1) 8 3 解析:∵ 点A 在一次函 数y= 3 2x+3 的图象上,点A 的坐 标为(a,4),∴ 4=32a+3 ,解得a= 2 3.∴ A 23 ,4 .∵ 点A 23,4 在 反比例函数y= k x (k>0,x>0)的图 象上,∴ k=23×4= 8 3. (2) 3 解析:若k=12,则反比例函数 的表达式为y= 12 x. 联立 方 程 组 y= 12 x , y= 3 2x+3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=2, y=6 或 x=-4 , y=-3. ∴ A(2,6).在一次函数y= 3 2x+3 中,令x=0,则y=3.∴ B(0,3). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 ∴ S△OAB= 1 2×3×2=3. 11. (1) 把A(1,6)代入y2= m x ,得 m=6, ∴ 反比例函数的表达式为y2= 6 x (x>0). 把B(3,n)代入y2= 6 x (x>0),得 n=2, ∴ 点B 的坐标为(3,2). 把A(1,6),B(3,2)代入y1=kx+b, 得 k+b=6, 3k+b=2, 解得 k=-2 , b=8. ∴ 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y1 = -2x+8. (2) 根据图象可知,当y1>y2 时,x 的取值范围是1<x<3. (3) ∵ 一次函数y1=-2x+8的图 象与x轴交于点 C, ∴ 点C的坐标为(4,0). ∵ 点A 的坐标为(1,6),点P 在x轴 上,且△APC的面积为12, ∴ 1 2CP ·|yA|= 1 2CP×6=12. ∴ CP=4. ∴ 点P 的坐标为(0,0)或(8,0). 12. (1) -1.函数图象如图所示. (2) 答案不唯一,如① 图象是中心对 称图形;② 当x>-1时,y随x的增 大而减小. (3) 左;1;(-1,0). (4) -1<x≤3. (第12题) 第3课时 反比例函数的应用 1. C 2. A 3. 4 4. (1) 设反比例函数的表达式为p= k V. 由题意,知200=k30 , ∴ k=6000. ∴ 反比例函数的表达式为p= 6000 V . (2) 当p=800时,V= 6000 800=7.5. ∵ 在第一象限,p 随V 的增大而 减小, ∴ 当p≤800时,V≥7.5. ∴ 为了安全起见,气体的体积应不小 于7.5mL. 5. B 解析:描述(1)班和(4)班两个 班级情况的点恰好在同一个反比例函 数的图象上,设反比例函数的表达式 为y= k x ,(1)班(x1,y1),(2)班(x2, y2),(3)班(x3,y3),(4)班(x4,y4). 如图,过(2)班,(3)班点分别作y 轴 的平行线交反比例函数的图象于点 A,B,设A(x2,y2'),B(x3,y3').由 图象可知,y2>y2',y3'>y3.由题意, 易得x1y1,x2y2,x3y3,x4y4 分别为 (1)班,(2)班,(3)班,(4)班的优秀人 数.∵ (1)班(x1,y1),A(x2,y2'), B(x3,y3'),(4)班(x4,y4)在y= k x 的图象上,∴ k=x1y1=x2y2'= x3y3'=x4y4.∴ x2y2>x2y2'=k, x3y3<x3y3'=k.∴ x2y2>x1y1= x4y4>x3y3.∴ 成绩优秀人数最多 的是八年级(2)班. (第5题) 6. 5 解析:∵ 每个台阶的高和宽分 别是 1 和 2,∴ T1 (-16,1), T2(-14,2),T3(-12,3),T4(-10, 4),T5(-8,5),T6(-6,6),T7(-4, 7),T8 (-2,8).∵ L 过 点 T4, ∴ k=-10×4=-40.∴ 反比例函 数的表达式为y=- 40 x. 当x=-8 时,y=5,∴ 点T5 在反比例函数的 图象上.∴ m=5. 7. (1) 反比例;R=1 β . (2) 当R=0.3时,1 β =0.3,解得 β= 10 3. ∴ 该家用燃油汽车尾气中一氧化碳 的含量为10 3mg /m3. (3) 当β=0.1时,R= 1 β = 10.1=10. 由函数的性质可知,当β≤0.1时, R≥10. ∴ 该家用燃油汽车的气敏电阻R 应 控制在R≥10. 8. (1) 函数图象如图所示. (2) 观察图象可知,y 与x 之间成反 比例关系. 设y 与x 之 间 的 函 数 表 达 式 为 y= k x. 将(10,30)代入,得30=k10 ,解得 k=300. ∴ y 与x 之 间 的 函 数 表 达 式 为 y= 300 x . (3) 当y=24时,24= 300 x ,解 得 x=12.5, ∴ 当托盘B 中的砝码质量为24g 时,拖盘B 与点O 的距离是12.5cm. (4) 应往托盘B 中添加砝码. 根据反比例函数y= 300 x 的增减性,可 知当x变小时,y变大, ∴ 当托盘B 与点O 的距离不断减小 时,即x变小,此时y变大. ∴ 应往托盘B 中添加砝码. (第8题) 专题特训三　反比例函数 与一次函数的综合 1. B 2. A 3. A 解析:∵ 关于x的一元二次方 程x2+2x+1-k=0无实数根, ∴ Δ=4-4(1-k)<0,解得k<0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 26 21.5　反比例函数 第1课时 反比例函数 ▶ “答案与解析”见P14 1. ★有下列函数:① y=x-2;② y=- 1 11x ; ③ y= 1 x-1 ;④ y= 2 x+1. 其中,y是x的反 比例函数的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 新趋势·跨学科 某数学跨学科学习小组在研 究中学习到:当压力一定时,压强p(Pa)与受 力面积S(m2)存在反比例函数关系.下表是 他们实验的几组数据: S/m2 10 20 30 40 p/Pa 60 30 20 15 则压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数 表达式为 ( ) A. p= 600 S B. p=600S C. p= S 600 D. p= 120 S 3. 易错题 若函数y=(m2-3m)x|m|-4为反比 例函数,则m= . 4. 写出下面的问题中的函数表达式,并判断它 们是否为反比例函数. (1) 某农场的粮食总量为1500t,则该农场 的人数y 与平均每人占有粮食量x(t)之间 的函数表达式. (2) 在加油站,加油机显示器上显示的某一 种油的价格为每升8.75元,总价从0元开始 随着加油量的变化而变化,则总价y(元)与加 油量x(L)之间的函数表达式. 5. 已知反比例函数的表达式为y= |a|-2 x ,则 a的取值范围是 ( ) A. a≠2 B. a≠-2 C. a≠±2 D. a=±2 6. 若三角形底边是a,底边上的高是h,则三角 形面积S=12ah. 下列说法错误的是 ( ) A. 当a为定长时,S是h的一次函数 B. 当h为定长时,S是a的一次函数 C. 当S确定时,a是h的一次函数 D. 当S确定时,h是a的反比例函数 7. (2024·德阳期中)已知y与x成正比例,z与 y成反比例,则z与x之间的关系是 ( ) A. 成正比例 B. 成反比例 C. 有可能成正比例,也有可能成反比例 D. 无法确定 8. 新考法·新定义题 在平面直角坐标系中,我们 不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之 点”.例如:(-1,-1),(0,0),(2,2),…, 都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数 个.应用:若P(2,m)是反比例函数y= n x (n 为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,则这个 反比例函数的表达式为 . 9. 已知反比例函数y=- 1 x ,将x=23 代入函数 表达式,所得函数值记为y1,再将x=y1+ 1代入函数表达式,所得函数值记为y2,然后 将x=y2+1代入函数表达式,所得函数值 记为 y3…… 如 此 继 续 下 去,则 y2024= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 27 10. 如图,小明想要用撬棍撬动一块石头,阻力 为1600N,阻力臂长为0.5m.设动力为 y(N),动力臂长为x(m)(杠杆平衡时,动 力×动力臂=阻力×阻力臂,图中撬棍本身 所受的重力忽略不计). (1) 求y关于x的函数表达式. (2) 当动力臂长为2m时,撬动石头至少需 要多大的力? (3) 小明若想使动力不超过300N,在动力 臂长最大为2.5m的条件下,他能否撬动这 块石头? 请说明理由. (第10题) 11. 已知y=y1+y2,y1 与(x-1)成 正比例,y2与(x+1)成反比例,当 x=0时,y=-3,当x=1时, y=-1.求: (1) y的函数表达式. (2) 当x=-2时,y的值. 12. 某水果店去年2月份至5月份销售 甲、乙两种新鲜水果,已知甲种水 果每月售价y1(元/千克)与月份x 之间存在的反比例函数关系如下表所示. 月份x 2 3 4 5 售价y1/(元/千克) 12 8 6 4.8 甲种水果进价为3元/千克,销售量P(千 克)与x之间满足表达式P=20x;乙种水果 每月售价y2(元/千克)与月份x 之间满足 y2=ax2+bx+4,对应的图象如图所示.乙 种水果进价为3.5元/千克. (1) 求y1与x之间的函数表达式. (2) 求y2与x之间的函数表达式. (3) 若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/ 千克的税费,且乙种水果每月销售量均为 160千克,则该水果店哪个月份销售甲、乙 两种水果获得的总利润最大? 最大利润是 多少? (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 28 第2课时 反比例函数的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P15 1. 已知矩形的面积为10,则它的长y与宽x之 间的关系用图象表示大致为 ( ) A. B. C. D. 2. (2024·安徽)已知反比例函数y= k x (k≠ 0)与一次函数y=2-x 的图象的一个交点 的横坐标为3,则k的值为 ( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 3. (2024·云南)已知点P(2,n)在反比例函数 y= 10 x 的图象上,则n= . 4. (2024·遂宁)若反比例函数y= k-1 x 的图象 在第一、三象限,则点(k,-3)在第 象限. 5. (2025·亳州涡阳期末)已知反比例函数y= 2a+8 x (a为常数). (1) 若该反比例函数的图象位于第二、四象 限,求a的取值范围. (2) 当x>0时,y 随x 的增大而减小,求a 的取值范围. 6. 如图,在平面直角坐标系中,函数y= 3 x (x> 0)与y=x-1的图象交于点P(a,b),则代 数式1 a- 1 b 的值为 ( ) A. -14 B. 1 4 C. -13 D. 1 3 (第6题) (第7题) 7. (2024·安庆模拟)反比例函数y= 4 x (x>0)与y=- 3 x (x>0)的图象 如图所示,B 为x轴正半轴上一动点,过点B 作AC∥y轴,分别交反比例函数y= 4 x (x> 0)与y=- 3 x (x>0)的图象于点A,C,点 D,E(点E 在点D 的上方)在y 轴上,且 DE=AC,则四边形ACDE 的面积为( ) A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8 8. 如图,A,B 是双曲线y= k x (x>0)上的点,分 别过A,B两点作x轴、y轴的垂线段,S1,S2, S3分别表示图中三个矩形的面积.若S3=1, 且S1+S2=4,则k= . (第8题) (第9题) 9. 如图,矩形OABC与反比例函数y1= k1 x (k1是 非零常数,x>0)的图象交于点M,N,与反比例 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 29 函数y2= k2 x (k2是非零常数,x>0)的图象交 于点B,连接OM,ON.若四边形OMBN 的面 积为6,则k1-k2的值为 . 10. 如图,一次函数y= 3 2x+3 的图象 与y 轴交于点B,与反比例函数 y= k x (k>0,x>0)的图象交于点A. (1) 若点A的坐标为(a,4),则k= . (2) 若 k =12,则 △OAB 的 面 积 为 . (第10题) 11. 如图,一次函数y1=kx+b与反比例函数 y2= m x (x>0)的图象交于A(1,6),B(3, n)两点,与x轴交于点C. (1) 求一次函数和反比例函数的表达式. (2) 根据图象,直接写出当y1>y2时,x 的 取值范围. (3) 若点P 在x 轴上,且△APC 的面积为 12,求点P 的坐标. (第11题) 12. 我们知道反比例函数y= k x (k≠0)的图象 是双曲线,那么函数y= k x+m+n (k,m,n 为常数,且k≠0)的图象还是双曲线吗? 它 与反比例函数y= k x (k≠0)的图象有怎样 的关系呢? 我们可以借鉴学过的研究函数的方法,探索 函数y= 4 x+1 的图象. (1) 将下面的表格补充完整,并在如图所示 的平面直角坐标系中画出该函数的图象. x … -5 -3 -2 0 1 3 … y … -2 -4 4 2 1 … (第12题) (2) 观察图象,写出该函数图象的两条不同 类型的特征: ① ; ② . (3) 函数y= 4 x+1 的图象是由函数y= 4 x 的 图象向 平移 个单位得到 的,其对称中心的坐标为 . (4) 根据上述画函数图象的经验,想一想函 数y= 4 x+1+2 图象的大致位置,则当y≥ 3时,x的取值范围是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 30 第3课时 反比例函数的应用 ▶ “答案与解析”见P16 1. 一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万 册)与它的使用时间x(年)成反比例关系,当 x=2时,y=20,则y与x的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. (第2题) 2. 一个亮度可调节的台灯,其灯 光亮度的改变,可以通过调节 总电阻控制电流的变化来实 现.如图所示为该台灯的电流 I(A)与电阻R(Ω)成反比例 函数的图象,该图象经过点P(1100,0.2). 根据图象可知,下列说法正确的是 ( ) A. I与R 的函数表达式为I=220R (R>0) B. 当R=100时,I=5 C. 当R>1100时,I>0.2 D. 当电阻 R(Ω)越大时,该台灯的电流 I(A)也越大 3. 新情境·新科技 机器狗是一种模拟真实犬只 形态和部分行为的机器装置,其最快移动速 度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例 函数.已知一款机器狗载重后总质量m= 60kg时,它的最快移动速度v=6m/s;当其 载重后总质量m=90kg时,它的最快移动速 度v= m/s. 4. 为检测一种玩具气球的质量情况,需往气球 里充满一定质量的气体,当温度不变时,气球 内气体的压强p(kPa)是气体体积V(mL)的 反比例函数,其图象如图所示. (1) 求反比例函数的表达式(不用写自变量 的取值范围). (2) 若气球内气体的压强不能超过800kPa, 为了安全起见,则其体积要控制在什么范围? (第4题) 5. (2024·合肥瑶海期中)某校举行数 学文化竞赛,如图所示的四个点分 别描述了八年级的四个班级竞赛成 绩的优秀率y(班级优秀人数占班级参加竞 赛人数的百分率)与该班参加竞赛人数x 的 情况,其中描述(1)班和(4)班两个班级情况 的点恰好在同一个反比例函数的图象上,则 成绩优秀人数最多的是 ( ) A. 八年级(1)班 B. 八年级(2)班 C. 八年级(3)班 D. 八年级(4)班 (第5题) (第6题) 6. 如图所示为8个台阶的示意图,每个台阶的 高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 31 点记作Tm(m 为1~8的整数).函数y= k x (x<0)的图象为曲线L.若L 过点T4,则它 必定还过另一点Tm,则m= . 7. 新情境·新科技 某汽车监测站用一种一氧化 碳检测仪测量家用燃油汽车尾气中一氧化碳 的含量,这种检测仪的电路图如图①所示,其 工作原理为当尾气中一氧化碳的浓度增加, 气敏电阻的阻值变小,电流随之增大,即所显 示的 一 氧 化 碳 含 量 就 越 高.气 敏 电 阻 R(Ω)的阻值随着尾气中一氧化碳的含量 β(mg/m3)变化的关系图象如图②所示, R0(Ω)为定值电阻,电源电压恒定不变. (1) 根据图②可以判断气敏电阻R(Ω)与尾 气中一氧化碳的含量β(mg/m3)之间成 函数,其函数表达式为 . (2) 若某家用燃油汽车的气敏电阻为0.3Ω, 求该家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量. (3) 若家用燃油汽车尾气中一氧化碳的含量 不超过0.1mg/m3 方可达到环保标准,求出 该家用燃油汽车的气敏电阻R 应控制在什 么范围. (第7题) 8. 新趋势·跨学科 如图①,在左边托盘 A(固定)中放置一个重物,在右边托 盘B(可左右移动)中放置一定质量 的砝码,可使得仪器左右平衡.改变托盘B 与点O 的距离,记录相应的托盘B 中的砝码 质量,得到相关数据如下表: 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 (1) 把表中x,y 的各组对应值作为点的坐 标,在如图②所示的平面直角坐标系中描出 这些点,并用一条光滑曲线连接起来. (2) 观察所画的图象,猜测y 与x 之间的函 数关系,求出该函数表达式. (3) 当托盘B 中的砝码质量为24g时,求托 盘B 与点O 的距离. (4) 当托盘B向左移动(不能移动到点O)时, 应往托盘B 中添加砝码还是减少砝码? 为 什么? (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数