21.3 二次函数与一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

9 4= 92 8 . 当t=3时,14t 2-12t-6= 1 4×9- 1 2×3-6=- 21 4 , ∴ P 3,-214 . ∴ PM 长的最大值是928 ,此时点P 的坐标为 3,-214 . 3. (1) 当x=0时,y=-x+5=5;当 x=4时,y=-x+5=1. ∴ A(0,5),B(4,1). 将A(0,5),B(4,1)代入y=x2+ bx +c,得 c=5, 16+4b+c=1, 解 得 c=5, b=-5. (2) 由(1),得y=x2-5x+5. ∴ 设P(m,m2-5m+5)(0<m<4). 如图,作PE∥OA,交AB 于点E,则 E(m,-m+5). ∴ PE=4m-m2. ∴ S△PAB = 1 2 (4m-m2)×(4- 0)=-2(m-2)2+8. ∴ 当m=2时,S△PAB 取得最大值,最 大值为8. (第3题) 4. (1) 在y=ax2+bx+2中,令x= 0,得y=2. ∴ C(0,2). 由题意,得y=a(x+1)(x-4)= a(x2-3x-4). 把C(0,2)代入,得-4a=2,解得 a=-12. ∴ 抛物线c 对应的函数表达式为 y=- 1 2x 2+32x+2=- 1 2 x- 3 2 2 +258. ∴ 顶点坐标为 3 2 ,25 8 . (2) 由B(4,0),C(0,2),易得直线BC 对应的函数表达式为y=- 1 2x+2. ∵ M(m,0), ∴ 易得F m,-12m+2 , E m,-12m 2+32m+2 . ∵ MF=EF, ∴ -12m+2=- 1 2m 2+32m+2- -12m+2 ,解 得 m1 =1,m2 = 4(舍去). ∴ m 的值为1. (3) 由(2),知 M(m,0),则F m, -12m+2 ,E m,-12m2+32m+2 . ∴ S四边形CMBE =S△BCE +S△BMC = 1 2FE ·BO+12BM ·CO=12× -12m 2+32m+2+ 1 2m-2 ×4+ 1 2× (4-m)×2=-m2+3m+ 4=-(m-1.5)2+254≤ 25 4. ∴ 四 边 形 CMBE 面 积 的 最 大 值 为25 4. 5. (1) 二次函数可化为y=k(x-1)· (x-5), ∴ 该函数图象恒过点(1,0),(5,0). ∴ 定点A 的坐标为(1,0),定点B 的 坐标为(5,0). (2) ∵ 直线AB 就是x轴, ∴ 翻折前与翻折后的图象关于x 轴 对称. ∴ 向上翻折部分对应的函数表达式 为y=-kx2+6kx-5k(1≤x≤5). (3) ① ∵ A(1,0),B(5,0), ∴ 对称轴为直线x=1+52 =3. 将x=3代入y=kx2-6kx+5k,得 y=-4k. ∵ △ABP 的面积为8, ∴ (5-1)×|-4k|×12=8. ∴ k=±1. ∵ k>0, ∴ k=1. ∴ 图象W 向上翻折部分对应的函数表 达式为y=-x2+6x-5(1≤x≤5). ∵ 1≤x≤4,顶点在AB 之间的图象 W 上,该段图象开口向下,对称轴为 直线x=3, ∴ 当x=3时,y最大值=4;当x=1时, y最小值=0. ∴ 当1≤x≤4时,图象W 中y 的取 值范围是0≤y≤4. ② ∵ 直线y=m 与图象W 从左到右 依次交于C,D,E,F 四点, ∴ y=x2-6x+5的图象与直线y= m 交于点C,F,可得x2-6x+5=m. ∴ x1+x2=- -6 1=6 ,x1x2=5-m. ∴ CF=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= 62-4(5-m). ∵ y=-x2+6x-5的图象与直线 y=m 交于点D,E, ∴ -x2+6x-5=m,易得 DE= 62-4(5+m). ∵ CD=DE=EF, ∴ CF=3DE,即 62-4(5-m)= 3× 62-4(5+m).两边同时平方, 解得m=165. 21.3　二次函数与一元 二次方程 1. D 2. D 3. C 4. D 5. -1≤x≤4 根据图象确定不等式ax2+ bx+c>mx+n解集的方法 先画出函数y1=ax2+bx+c 与y2=mx+n 的图象,并确定(计 算)两个图象交点的横坐标,再根 据图象的上下关系(图象在上方即 函数值较大),得出不等式的解集. 6. (1) 由图象可知,与x 轴交于点 (-1,0),(3,0). ∴ 方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1=-1,x2=3. (2) 由图象可知,不等式ax2+bx+ c<0的解集为-1<x<3. (3) 由图象可知,当0≤x≤3时,函数 值y的取值范围是-4≤y≤0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 (4) 由图象可知,若方程ax2+bx+ c=k有一正一负两个不相等的实数 根,则k 必须大于抛物线y=ax2+ bx+c与y轴交点的纵坐标-3. ∴ k的取值范围是k>-3. 7. A 解析:如图,二次函数y=(x- a)(x-b)的图象与x 轴的交点的横 坐标分别为a,b,将图象向上平移 2个单位可得到二次函数y=(x-a) (x-b)+2的图象.观察图象,可知 a<m<n<b. (第7题) 8. A 解析: ∵ y=ax2-2ax+a+ 2(a<0)化为顶点式为y=a(x- 1)2+2(a<0),∴ 抛物线的对称轴为 直线x=1.∴ M,N 两点关于直线 x=1对称.根据题意,知抛物线在点 M,N 之间的部分与线段MN 所围的 区域(包括边界)恰有5个整点,即这 些整点是 (0,0),(1,0),(1,1),(1, 2),(2,0)(如图).当x=0时,y=a+ 2;当 x = -1 时,y =4a +2, ∴ 0≤a+2<1, 4a+2<0, 解得-2≤a<-1. (第8题) 9. b≤-14 解析:∵ 对于任意实数 a,抛物线y=x2+2ax+a+b 与 x轴都有公共点,∴ (2a)2-4×1× (a+b)≥0.整理,得b≤a2-a. ∵ a2-a= a-12 2 -14 ,∴ a2-a 的最小值为-14.∴ b≤-14. 10. (1) (4,0) 解析:∵ y1=kx- 4k=k(x-4),∴ 直线y1=kx-4k 经过定点(4,0).∵ y2=ax2-4ax= ax(x-4),∴ 抛物线y2=ax2-4ax (a≠0)经过定点(4,0).∴ 直线y1 与 抛物线y2都经过同一个定点(4,0). (2) 2<x<4 解析:∵ y2=ax2- 4ax=a(x-2)2-4a,∴ 抛物线的顶 点坐标为(2,-4a).∵ 直线y1= kx-4k 经过抛物线y2=ax2-4ax (a≠0)的顶点,∴ 直线y1 与抛物线 y2的交点为(2,-4a),(4,0).∵ 当 x<2时,y1>y2,∴ a<0,k<0.画出 如图所示的大致图象.∴ 当y2>y1 时,x的取值范围是2<x<4. (第10题) 11. (1) 在y=mx+3中,令x=0,则 y=3. ∴ C(0,3). 将C(0,3)代入y=a(x-1)2+4,得 3=a+4,解得a=-1. ∴ y=-(x-1)2+4=-x2+ 2x+3. (2) 令y=-x2+2x+3=0,解得 x1=-1,x2=3. ∴ B(3,0). 由图象可知,a(x-1)2+4>mx+3 的x的取值范围是0<x<3. (3) 联立一次函数和二次函数,得 -x2+2x+3=mx+3.整理,得x2+ (m-2)x=0. ∵ 二次函数图象与一次函数图象只 有唯一公共点C, ∴ Δ=(m-2)2=0,解得m=2. 12. (1) 函数图象如图所示. (2) 答案不唯一,如函数的最小值为 -1;当x>1时,y随x的增大而增大. (3) ① x1=-2,x2=0,x3=2. ② 2. ③ -1<a<0. (第12题) 21.4　二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决 最优化问题 1. B 2. 450 3. 9 4cm 2 4. (1) ∵ AB=xm, ∴ BC=(28-x)m. ∴ S=AB·BC=x(28-x)= -x2+28x. ∴ S=-x2+28x(0<x<28). (2) 由题意,可知 x≥6 , 28-x≥15, 解得 6≤x≤13. 由(1)知,S=-x2+28x=-(x- 14)2+196. ∵ 当6≤x≤13时,S 随x 的增大而 增大, ∴ 当x=13时,S最大值=195. ∴ 花园的最大面积为195m2. 5. C 解析:方案1:如图①,设矩形 菜园的面积为S1平方米,AD=x米, 则AB=(8-2x)米.∴ S1=x(8- 2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8. ∴ 当x=2时,S1 有最大值,为8.方 案2:如图②,过点A 作AD⊥BC 于 点D.设等腰三角形菜园的面积为S2 平方米,CD=x 米,AD=y 米,则 x2+y2=16.∴ S2= 1 2BC ·AD= 1 2 ·2x·y=xy.∵ (x-y)2=x2+ y2-2xy≥0,∴ 16-2xy≥0. ∴ xy≤8.∴ 当且仅当x=y=22 时,S2有最大值,为8.方案3:∵ 半圆 的半径=8π 米,∴ 此时菜园的最大面 积 = π× 8π 2 2 = 32 π (平 方 米). ∵ 32 π>8 ,∴ 最佳方案是方案3. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 16 21.3　二次函数与一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P9 1. (2025·安庆期末)抛物线y=x2+3x-1与 x轴交点的情况是 ( ) A. 有三个交点 B. 没有交点 C. 有一个交点 D. 有两个交点 2. (2024·合肥模拟)已知二次函数y=x2+ (k-1)x+1的图象与x轴只有一个交点,则 k的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. 2或-2D. 3或-1 3. 已知二次函数y=ax2+bx+c的变量x, y的部分对应值如下表: x … -3 -2 -1 0 1 … y … -11 -5 -1 1 1 … 根据表中信息,可得一元二次方程ax2+bx+ c=0的一个近似解x1的取值范围是 ( ) A. -3<x1<-2 B. -2<x1<-1 C. -1<x1<0 D. 0<x1<1 4. 如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的部 分图象,由图象可知,关于x的不等式ax2+ bx+c<0的解集是 ( ) A. -1<x<5 B. x>5 C. x<-1且x>5 D. x<-1或x>5 (第4题) (第5题) 5. ★(2024·芜湖无为期中)如图,抛物线y= ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p), B(4,q)两点,则不等式ax2-mx+c≤n的 解集是 . 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 根据图象解答下列问题: (1) 写出方程ax2+bx+c=0的两个根. (2) 写出不等式ax2+bx+c<0的解集. (3) 当0≤x≤3时,写出函数值y 的取值 范围. (4) 若方程ax2+bx+c=k有一正一负两个 不相等的实数根,求k的取值范围. (第6题) 7. (2024·江油期中)二次函数y=(x-a)· (x-b)+2(a<b)的图象与x轴的两个交点 的横坐标分别为m 和n,且m<n,下列结论 正确的是 ( ) A. a<m<n<b B. a<m<b<n C. m<a<b<n D. m<a<n<b 8. 新考法·新定义题 定义:(1) 在平面 直角坐标系中,若点A 满足横、纵坐 标都为整数,则把A 叫做“整点”.例 如:B(3,0),C(-1,3)都是“整点”.(2) 抛物 线y=ax2+bx+c与x 轴的交点的横坐标 即方程ax2+bx+c=0的解.已知抛物线 y=ax2-2ax+a+2(a<0)与x轴交于M, N 两点,若该抛物线在点M,N 之间的部分 与线段 MN 所围的区域(包括边界)恰有 5个整点,则a的取值范围是 ( ) A. -2≤a<-1 B. -1≤a<0 C. -1≤a<-12 D. -2≤a<0 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 17 9. 若对于任意实数a,抛物线y=x2+2ax+ a+b与x轴都有公共点,则b的取值范围是 . 10. 已知直线y1=kx-4k 经过抛物线y2= ax2-4ax(a≠0)的顶点,且当x<2时, y1>y2. (1) 直线y1 与抛物线y2 都经过同一个定 点,这个定点的坐标是 . (2) 当y2>y1 时,x 的取值范围是 . 11. 如图①,在平面直角坐标系中,二 次函数y=a(x-1)2+4(a 为常 数,且a≠0)的图象与x 轴交于点 A,B(点A 在点B 的左侧),与一次函数 y=mx+3(m 为常数,且m≠0)的图象相 交于y轴,交点为C. (1) 求二次函数的表达式. (2) 如图②,若一次函数图象也经过点B, 且a(x-1)2+4>mx+3,根据图象,写出 x的取值范围. (3) 若二次函数图象与一次函数图象只有 唯一公共点C,求m 的值. (第11题) 12. 某班数学兴趣小组对函数y=x2-2|x|的 图象和性质进行了探究,探究过程如下,请 补充完整. x … -3 -52 -2 -1 0 y … 3 54 0 -1 0 x 1 2 52 3 … y -1 0 54 3 … (1) 根据上表中的数据,在如图所示的平面 直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一 部分,请画出该函数图象的另一部分. (2) 观察函数图象,写出2条函数的性质: . (3) 进一步探究函数图象发现: ① 方程x2-2|x|=0的实数根为 . ② 方程x2-2|x|=2有 个实 数根. ③ 若关于x的方程x2-2|x|=a有4个实 数根,请直接写出a的取值范围. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数