21.3 二次函数与一元二次方程 课件 2024-2025学年沪科版数学九年级上册

第二十一章 二次函数与反比例函数 九年级上册 21.3二次函数与一元二次方程 课前小测 b2－4ac 有两个不同的实数根 1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△ = . 当△﹥0方程根的情况是： ；当△=0时，方程 ； 当△﹤0时，方程 . 2.若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 坐标是 . 3.抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图所示，回答： （1）一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解是 ． （2）根据图象回答：当x满足 时，y＞0； 当x满足 时，y<0. 有两个相等的实数根 没有实数根 （-2,0） ， （3,0） x1＝－1，x2＝5 －1＜x＜5 x＜－1或x＞5 观察一次函数y＝2x－3的图象 (1)一次函数y＝2x－3的图象与x轴的交点为 , 一元一次方程2x－3 ＝0的根为________. (2)当x ，y＞0； 当x 时，y=0； 当x 时，y<0.                 情境引入 （1.5,0） =1.5 ＞1.5 =1.5 <1.5 合作探究 二次函数①y= x2+2x, ②y=x2-2x+1, ③y= x2-2x+2的图象如下图所示. (1)每个图象与x轴有几个交点? (2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 问题1： 归纳小结 二次函数与一元二次方程 合作探究 问题2： 用图像法求一元二次方程x2+2x-1=0的解（精确到0.1）. 下图是函数y=x2+2x-1的图象. （1）从图象上来看,二次函数y=x2+2x-1的图象与x轴交点的横坐标一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间,所以方程x2+2x-1=0的两个根一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间 （2）有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根在-2与-3之间,那这个根一定是负2点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-2.1,-2.2,…,-2.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根). x … -2.4 -2.5 … y … -0.04 0.25 … （3）从图象上看,可以估计x的取值是-2.4或-2.5 ,利用计算器进行探索,如下表： 从上表可知,当x取-2.4或-2.5时,对应y的值由负变正,可见在-2.4和-2.5之间一定有一个x得值使y=0，即有方程x2+2x-1=0的一个根.由于题目只要求精确到0.1，所以这是去x=-2.4或x=-2.5作为根都符合要求.但是当x=-2.4时，y=-0.04比y=0.25（x=-2.5）更接近0.所以选x=-2.4. 因此，方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4,另一根为x=0.4. 合作探究 问题3： 如图所示，还有没有其他的解决办法？ 函数y=x2和y=-2x+1交于A、B两点，这两点的横坐标就是我们要求的根. 归纳小结 将方程变形为x2=2x-1，从而将问题转化为求函数y= x2和y=-2x+1的交点横坐标，培养学生利用数形结合解题的思想. 合作探究 问题4： 你能否结合二次函数的图像，求出使y=x2+2x-1>0和y=x2+2x-1<0时，x的取值范围？ 由图像可知，y=x2+2x-1>0的图像位于x轴上方，图像位于x轴上方的自变量x取值范围是x<-2.4或x>0.4；y=x2+2x-1<0的图像位于x轴下方，图像位于轴下方的自变量x取值范围是-2.4<x<0.4. 归纳小结 二次函数与一元二次不等式 （1）确定抛物线对应的自变量的取值范围 （2）利用抛物线解一元二次不等式 典例分析 【解】 因为抛物线经过点(3，0)，所以x＝3，y＝0是该函数的一组对值．将 x＝3，y＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m，解得m＝3.所 以一元二次方程为－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. [例1 ]已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为________． 【思路点拨】本题先求出m的值，从而写出一元二次方程，然后解 这个一元二次方程得出其解．也可以由图象得抛物线 的对称轴为直线x＝1， 抛物线与x轴的一个交点为(3， 0)．根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点 为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐 标就是所 求方程的根，即x1＝－1，x2＝3. 典例分析 [例2]利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(精确到0.1)． 【思路点拨】用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根． 【解】在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间． x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 (2)另一个根可以类似地求出： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 (1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索： x≈3.4是方程的另一个实数根． 因此x≈－1.4是方程的一个实数根； 典例分析 [例3 ]已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1，0)， 与y轴的交点坐标为(0，3)． (1)求出b，c的值，并写出此二次函数的关系式； (2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围． 【思路点拨】用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数关系式,即可 求出b，c的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的 另一个交点坐标，由图象法求得函数值y为正数时，自变量x 的取值范围． 【解】(1)由题意得解得方程， 故所求关系式为y＝－x2＋2x＋3； (2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个 交点坐标为(3，0)． ∴由图象可知函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3. 随堂检测 二次函数与一元二次方程 课堂评价测试 同学们要认真答题哦！ 随堂检测 D 1. 下列函数的图象与x轴只有一个交点的是(　　) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1 2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋ c＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 D 随堂检测 3.如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)， (3，0)两点，则它的对称轴为 . 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数值y 在x轴下方时，x的取值范围是 . x＝2 －1＜x＜3 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.二次函数与一元二次方程的关系有哪些? 3.用图象法解一元二次方程要注意哪些问题? 4.在本节课过程中,你感受到了哪些研究问题的思想方法? 作业布置 自主完成课本P33 练习T1~T4 谢 谢 $$