21.1 二次函数&21.2 二次函数的图象和性质-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

第21章　二次函数 与反比例函数 21.1　二次函数 1. D 2. A 3. -1 0 4. S=-3x2+24x 143≤x<6 5. (1) 由题意,得m2-m=0且m- 1≠0,∴ m=0. (2) 由题意,得m2-m≠0,∴ m≠1 且m≠0. 忽略一次函数和二次函数 成立的条件导致错误 考虑二次函数时,容易忽略二 次项系数不为0;考虑一次函数时, 满足二次项系数为0的同时,容易 忽略一次项系数不为0. 6. D 7. y=-20x+1800 W=-20x2+ 3000x-108000 解析:由题意,知平 均每月的销售量y(件)与每件的售价 x(元)之间的函数表达式为y=200+ 20(80-x).整理,得y=-20x+ 1800.平均每月的销售利润W(元)与 每件的售价x(元)之间的函数表达式 为W=(x-60)(-20x+1800).整 理,得W=-20x2+3000x-108000. 8. 由题意可知,y=(20-x)(35- 2x)=2x2-75x+700. 由题意,得 x>0, 20-x>0, 35-2x>0, 解得0<x< 17.5. ∴ y 关于x 的函数表达式为y= 2x2-75x+700,自变量x 的取值范 围是0<x<17.5. 21.2　二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2 的 图象和性质 1. A 2. C 3. B 4. < 5. (1) 根据题意,得 m+2≠0,且 m2+m-4=2,解得m1=2,m2=-3. (2) 当m=2时,抛物线有最低点,此 时抛物线对应的函数表达式为y= 4x2. ∴ 抛物线的最低点为(0,0). 当x>0时,y随x的增大而增大. (3) 当m=-3时,函数有最大值,此 时函数的表达式为y=-x2. ∴ 函数的最大值是0. 当x>0时,y随x的增大而减小. 6. B 7. D 8. 3 9. 3- 3 解析:设点A 的坐标为 (0,a)(a>0),则易得点B 的坐标为 (a,a),点C 的坐标为( 3a,a). ∴ AB= a.∵ CD∥y轴,∴ 点D 的 横坐标为 3a.将x= 3a代入y1= x2,得y1=(3a)2=3a.∴ 点D 的 坐标 为( 3a,3a).∵ DE∥AC, ∴ 点E 的纵坐标为3a.将y2=3a代 入y2= x2 3 ,得x 2 3=3a ,解得x=3a (负值舍去).∴ 点E 的坐标为(3a, 3a).∴ DE=3a- 3a.∴ DE AB= 3a- 3a a =3-3. 10. 1 解析:如图,分别过点A,B,C 作AD⊥x 轴于点D,BE⊥x 轴于点 E,CF⊥x轴于点F.∵ A,B,C 三点 的横坐标依次为a+1,a,a-1,∴ 易 得AD=(a+1)2=a2+2a+1,BE= a2,CF=(a-1)2=a2-2a+1. ∴ S△ABC =S梯形ADFC -S梯形ADEB - S梯形BEFC= 1 2 (a2+2a+1+a2-2a+ 1)×2-12 (a2+2a+1+a2)×1- 1 2 (a2+a2-2a+1)×1=1.∴ △ABC 的面积是个定值,这个定值为1. (第10题) 11. 42 12. (1) 过点P 作PB⊥y轴于点B. 设点P 的坐标为 a,14a 2 . ∴ PM=PF=14a 2+1. ∵ PB=|a|, ∴ 在Rt△PBF中,BF= PF2-PB2= 1 4a 2+1 2-|a|2= 14a2-1 . ∵ OB=14a 2,F 为定点, ∴ 易得点F 的坐标为(0,1). (2) ∵ PM=PF, ∴ QP+PF 的最小值为QP+PM 的 最小值. ∴ 当Q,P,M 三点共线时,QP+PM 有最小值,最小值为点Q 的纵坐标的 绝对值加点M 的纵坐标的绝对值. ∴ QP+PF 的最小值为6. 13. (1) 2;2;15;15. 解析:当m=1, n=2时,A(1,0),B(2,0),C(1,1), D(2,4).易得直线OC 对应的函数表 达式为y=x,直线OD 对应的函数表 达式为y=2x.∴ F(1,2),E(2,2). ∴ yE=yF=2.同理,当m=3,n=5 时,yE=yF=15. (2) yE=yF. ∵ A(m,0),B(n,0)(n>m>0),且 C,D 两点在抛物线y=x2上, ∴ 易得C(m,m2),D(n,n2). 设直线OC对应的函数表达式为y= kx(k≠0). 将C(m,m2)代入,得km=m2,解得 k=m. ∴ 直线 OC 对应的函数表达式为 y=mx. 同理,直线OD 对应的函数表达式为 y=nx. ∴ E(n,mn),F(m,mn),即yE=yF. (3) yE=yF. 第2课时 二次函数y=ax2+ k的图象和性质 1. A 2. D 3. 答案不唯一,如y= x2-1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 4. y=x2 二次函数y=ax2+k与y=ax2 图象之间的关系 二次函数y=ax2+k 与y= ax2 的图象形状相同,只是位置不 同.抛物线y=ax2+k可由抛物线 y=ax2 沿 y 轴 向 上(下)平 移 k 个单位得到.当k>0时,抛物 线y=ax2 沿y轴向上平移k个单 位得到抛物线y=ax2+k;当k<0 时,抛物线y=ax2 沿y 轴向下平 移 k 个 单 位 得 到 抛 物 线y= ax2+k. 5. 如图,抛物线y= 1 3x 2+1与 y=- 1 3x 2-1即为所求作. (1) 这两个函数图象的相同点:形状 都是抛物线,对称轴都是y 轴.不同 点:抛物线y= 1 3x 2+1的开口向上, 顶点 坐 标 是(0,1),抛 物 线 y= -13x 2-1的开口向下,顶点坐标是 (0,-1). (2) 这两个函数的性质的相同点:抛 物线的开口程度相同.不同点:对于 y= 1 3x 2+1,当x>0时,y随x的增 大而增大,当x<0时,y随x 的增大 而减小;对于y=- 1 3x 2-1,当x>0 时,y随x的增大而减小,当x<0时, y随x的增大而增大. (第5题) 6. D 7. B 8. A 9. B 解析:如图,过点A 作AH⊥ x轴于点H.∵ 四边形OABC是正方 形,点B 在y 轴上,∴ ∠AOB=45°. ∴ ∠AOH =45°.∵ AH ⊥x 轴, ∴ 易得∠OAH=45°.∴ AH=OH. 设A(m,m),则易得B(0,2m).∵ 点 A,B 在 抛 物 线y=ax2 +c 上, ∴ m=am2+c, 2m=c, 解 得 a=- 1 m , c=2m. ∴ ac的值为-2. (第9题) 10. 5 2 11. 4 12. a>0,c<0 解析:∵ 抛物线y= ax2+c的对称轴是y 轴,∴ A(m, 0),B(n,0)两点关于y 轴 对 称. ∴ mn<0.又∵ △ABC 为“倒抛物三 角形”,即mnc>0,∴ c<0,即抛物线 与y轴的负半轴相交.又∵ 抛物线 y=ax2+c与x 轴交于点A(m,0), B(n,0),∴ 抛物线开口向上.∴ a> 0.∴ a,c应分别满足的条件是a>0, c<0. 13. (1) 把(m,3)代入y=2x-1,得 2m-1=3,解得m=2. ∴ 交点坐标为(2,3). 把(2,3)代入y=2x2+n,得8+n= 3,解得n=-5. (2) 由(1),知抛物线对应的函数表达 式为y=2x2-5. ∴ 抛物线的顶点坐标为(0,-5),对 称轴为y轴. (3) 当x<0时,二次函数y=2x2+n 中y随x的增大而减小. (4) 存在. 联 立 y=2x2-5, y=2x-1, 解 得 x1=2 , y1=3, x2=-1, y2=-3. ∴ 还存在一个交点,其坐标为(-1, -3). 14. (1) ∵ CO=4, ∴ 顶点C的坐标为(0,4). ∴ 设杯体ACB 所在抛物线对应的函 数表达式为y=ax2+4. ∵ AB=4,点A,B 关于y轴对称, ∴ AD=DB=2. ∵ DO=8, ∴ A(-2,8),B(2,8). 将B(2,8)代入y=ax2+4,得8= a×22+4,解得a=1. ∴ 杯体ACB 所在抛物线对应的函数 表达式为y=x2+4. (2) 由题意,得CD' OD'= 3 5 ,CO=4, ∴ CD' 4+CD'= 3 5. ∴ CD'=6. ∴ OD'=OC+CD'=4+6=10. 又∵ 杯体A'CB'所在抛物线的形状 不变,且杯口直径A'B'∥AB, ∴ 设B'(x1,10),A'(x2,10). 将y=10代入y=x2+4,得10= x2+4,解得x1=6,x2=-6. ∴ A'B'=26. 第3课时 二次函数y=a(x+ h)2 的图象和性质 1. D 2. B 3. A 二次函数y=a(x+h)2 与y=ax2 图象之间的关系 二次函数y=a(x+h)2 与 y=ax2 的图象形状相同,只是位 置不同.抛物线y=a(x+h)2 可由 抛物线y=ax2 沿x轴向左(右)平 移 h 个单位得到.当h>0时,抛 物线y=ax2 沿x轴向左平移h个 单位得到抛物线y=a(x+h)2;当 h<0时,抛物线y=ax2 沿x 轴向 右平移 h 个单位得到抛物线y= a(x+h)2. 4. y2>y3>y1 5. y= 1 2 (x-2)2 6. (1) ∵ 二次函数y=a(x+m)2的 图象的顶点坐标为(-1,0), ∴ m=1. ∴ y=a(x+1)2. 把 -2,-12 代 入,得 - 12 = a(-2+1)2,解得a=-12. ∴ 这个二次函数的表达式为y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 -12 (x+1)2. (2) 把x=2代入y=- 1 2 (x+1)2, 得y=- 1 2× (2+1)2=-92. ∵ -92≠-2 , ∴ 点B(2,-2)不在这个函数的图象上. (3) 能. 设平移后的图象对应的函数表达式为 y=- 1 2 (x+1+n)2. 把(2,-2)代入,得-2=-12 (2+ 1+n)2,解得n1=-1,n2=-5. ∴ 将该函数图象向右平移1个单位 或5个单位,即可经过点B. 7. C 解析:① 当a>0时,抛物线的 开口向上,则y1+y2>0.∴ a(y1+ y2)>0.∵ |x1-2|>|x2-2|, ∴ y1>y2,即y1-y2>0.∴ a(y1- y2)>0.② 当a<0时,抛物线的开口 向下,则y1+y2<0.∴ a(y1+y2)> 0.∵ |x1-2|>|x2-2|,∴ y1<y2, 即y1-y2<0.∴ a(y1-y2)>0.综 上所述,选项C正确. 8. D 解析:∵ AB=7,BC=3, CD=3,∴ AC=AB+BC=7+3= 10,BD=BC+CD=3+3=6.∴ xC- xA=10,xD-xB=6.∴ xN-xB= 3,xC-xM=5.∴ MN=xN-xM= (xN-xB)+(xC -xM)-(xC - xB)=3+5-3=5. 9. D 解析:画出y1,y2,y3 的函数 图象如图所示.选项A,由图象可知, 若m<1,则c1<c2<c3.故选项错误, 不符合题意.选项B,由图象可知,若 1<m<2,则c2≤c1<c3 或c1≤c2< c3.故选项错误,不符合题意.选项C, 由图象可知,若2<m<3,则c3≤ c2<c1或c2≤c3<c1.故选项错误,不 符合题意.选项 D,由图象可知,若 m>3,则c3<c2<c1.故选项正确,符 合题意. (第9题) 10. 0或7 解析:∵ 二次函数y= -(x-h)2 的图象开口向下,对称轴 为直线x=h,∴ 当x<h时,y 随x 的增大而增大,当x>h时,y随x 的 增大而减小.若h<2,则当x=2时, 函数取得最大值-4,即-4=-(2- h)2,解得h1=0,h2=4(舍去);若2≤ h≤5,则当x=h时,函数的最大值为 0,不符合题意;若h>5,则当x=5 时,函数取得最大值-4,即-4= -(5-h)2,解得h3=7,h4=3(舍 去).综上所述,h的值为0或7. 11. 4 解析:∵ 抛物线y=(x-2)2 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B, ∴ A(2,0),B(0,4).∵ 抛物线y= (x-2)2的对称轴为直线x=2,BC∥ x轴,AD∥y 轴,∴ 直线AD 就是抛 物线y=(x-2)2的对称轴.∴ 点B, C关于直线AD 对称.∴ BD=CD= 2.∵ 在BC下方的抛物线上,顶点A 到BC的距离最大,∴ 当点P 与点A 重合时,△PCD 的面积最大,最大值 为1 2CD ·AD=12×2×4=4. 12. 1≤m≤3 解析:画出函数y= (x-1)2(x<2), -x+3(x≥2) 的图象如图所示. ∵ 当自变量x≤m 时,函数的最小值 为0,∴ 由图象可知,m 的取值范围 是1≤m≤3. (第12题) 13. (1) ∵ OA=AB=1,∠OAB= 90°, ∴ A(1,0),B(1,1). 由平移的性质,得A1(2,0),B1(2,1). ∵ 抛物线的顶点为A(1,0), ∴ 可设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-1)2. 把B1(2,1)代入y=a(x-1)2,得 a=1. ∴ 以A 为顶点,且经过点B1 的抛物 线对应的函数表达式为y=(x-1)2. (2) 设直线OB 对应的函数表达式为 y=kx. 把B(1,1)代入y=kx,得k=1. ∴ 直线OB对应的函数表达式为y=x. 联立 y=x, y=(x-1)2, 解得 x=3-52 , y= 3-5 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 或 x=3+52 , y= 3+5 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (不合题意,舍去). ∴ 点C 的坐标为 3-5 2 ,3-5 2 . 在y=(x-1)2中,当x=0时,y=1, ∴ 点D 的坐标为(0,1). 14. (1) ∵ 抛物线的顶点坐标为 (2,0), ∴ 可设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-2)2. ∵ 抛物线经过点(0,1), ∴ a(0-2)2=1,解得a=14. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= 1 4 (x-2)2. (2) 存在. 联立 y= 1 4x , y= 1 4 (x-2)2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x1=1, y1= 1 4 , x2=4, y2=1. ∴ 点A 的坐标为 1,14 ,点B 的坐 标为(4,1). 作点B 关于直线l的对称点B',连接 AB'交直线l于点P,此时PA+PB 取得最小值. 易知点B'的坐标为(4,-3). 设直线AB'对应的函数表达式为y= kx+b(k≠0). 将A 1,14 ,B'(4,-3)代入y=kx+ b,得 k+b=14 , 4k+b=-3, 解得 k=-1312 , b=43. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线 AB'对应的函数表达式为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 y=- 13 12x+ 4 3. 在y=- 13 12x+ 4 3 中,当y=-1时, 有-1312x+ 4 3=-1 ,解得x=2813. ∴ 当点 P 的坐标为 2813 ,-1 时, PA+PB 取得最小值. (3) ∵ 点M 到直线l的距离与点M 到点F 的距离总是相等, ∴ (m-x0)2+(n-y0)2=(n+1)2. ∴ m2-2x0m+x20-2y0n+y20= 2n+1. ∵ M(m,n)为抛物线上一动点, ∴ n=14 (m-2)2. ∴ m2-2x0m+x20-2y0· 1 4 (m- 2)2+y20=2· 1 4 (m-2)2+1. 整理,得 1 2- 1 2y0 m2+(2-2x0+ 2y0)m+x20+y20-2y0-3=0. ∵ 对于任意的m,该等式始终成立, ∴ 1 2- 1 2y0=0 , 2-2x0+2y0=0, x20+y20-2y0-3=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 x0=2, y0=1. ∴ 定点F 的坐标为(2,1). 第4课时 二次函数y=a(x+ h)2+k的图象和性质 1. D 2. C 3. D 4. y=2(x+1)2-2 解析:∵ 一条 抛物线的开口方向和形状与抛物线 y=2x2+3的开口方向和形状都相 同,∴ a=2.∵ 抛物线y=- 1 2 (x+ 1)2-2的顶点坐标是(-1,-2), ∴ 这条抛物线的顶点坐标是(-1, -2).∴ 这条抛物线对应的函数表达 式为y=2(x+1)2-2. 5. (1) 对称轴为直线x=3,顶点坐标 为(3,2). (2) ∵ 抛物线y=a(x-3)2+2经过 点(1,-2), ∴ -2=a(1-3)2+2. ∴ a=-1. (3) 由(2),知y=-(x-3)2+2. ∵ -1<0, ∴ 抛物线开口向下,当x<3时,y随 x的增大而增大,当x>3时,y 随x 的增大而减小. ∵ 点A(m,y1),(n,y2)(m<n<3) 都在该抛物线上, ∴ y1<y2. 6. D 7. A 解析:根据二次函数图象的开 口向上,得a>0,根据-c是二次函数 图象顶点的纵坐标,得c>0,∴ 一次 函数y=ax+c的图象经过第一、二、 三象限.故选项A符合题意. 8. D 解析:y=a(x-1)2-a 的对 称轴为直线x=1,顶点坐标为(1, -a).① 当a>0时,在-1≤x≤4 中,函数有最小值,为-a.∵ y 的最 小值为-4,∴ -a=-4,解得a=4. ② 当a<0时,在-1≤x≤4中,当 x=4时,函数有最小值.∴ 9a- a=-4,解得a=-12. 综上所述,a 的值为4或-12. 忽略二次函数图象开口方向 判断最值导致错误 在二次函数图象的对称轴确 定,而开口方向不确定时,判断二 次函数最值应分开口向上和开口 向下两种情况讨论,容易忽略其中 一种情况而导致错误. 9. 6 解析:如图,设抛物线y=a(x+ 1)2+b 的对称轴与线段BC 交于 点E,抛物线y=a(x-2)2+b+1的 对称轴与线段BC 交于点F.由抛物 线的对称性,可知BE=AE,CF= AF.∴ BC=BE+AE+AF+CF= 2(AE+AF)=2×[2-(-1)]=6. (第9题) 10. 5或1 解析:∵ 抛物线y=a(x- h)2+k与x轴有两个交点A(-1,0), B(3,0),当(4,0)与A(-1,0)为对应 点时,4-(-1)=5,∴ 抛物线y= a(x-h-m)2+k 是由抛物线y= a(x-h)2+k 向右平移5个单位得 到的.∴ m=5.当(4,0)与B(3,0)为 对应点时,4-3=1,∴ 抛物线y= a(x-h-m)2+k 是由抛物线y= a(x-h)2+k 向右平移1个单位得 到的.∴ m=1.综上所述,m 的值是5 或1. 11. (1) 直线x=3 (2) -1<k<3 12. (1) 1 解析:∵ (a2+1,-2a)是 “完美点”,∴ a2+1+(-2a)=0,即 (a-1)2=0,解得a=1. (2) ∵ 某“完美函数”图象的顶点在 直线y=x-2上, ∴ 设该函数图象的顶点坐标为(x, x-2). ∵ 该函数为“完美函数”, ∴ x+x-2=0,解得x=1. ∴ x-2=1-2=-1. ∴ 该函数图象的顶点坐标为(1,-1). 设该“完美函数”的表达式为y= a(x-1)2-1.令x=0,则y=a-1. ∵ 该“完美函数”图象与y 轴的交点 到原点的距离为2, ∴ |a-1|=2,解得a=-1或a=3. ∴ y=-(x-1)2-1=-x2+2x-2 或y=3(x-1)2-1=3x2-6x+2. ∴ 该“完美函数”的表达式为y= -x2+2x-2或y=3x2-6x+2. 13. (1) ∵ 抛物线y=a(x-1)2+ 1-a经过点A(3,10), ∴ 10=a(3-1)2+1-a,解得a=3. (2) y1>y2.理由: 由(1),知y=3(x-1)2-2, ∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 x=1. ∵ 点B(x1,y1),C(x2,y2)都在该抛 物线上,且-1<x1<0,1<x2<2, ∴ 点B 到对称轴的距离大于点C 到 对称轴的距离. ∴ y1>y2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 (3) ∵ 抛物线y=3(x-1)2-2, ∴ 顶点D 的坐标为(1,-2). 设E(m,3(m-1)2-2)(m≠1),则 EF=3(m-1)2-2-(-2)=3(m- 1)2,DF=|m-1|. ∴ EF DF2= 3(m-1)2 (m-1)2=3. 14. (1) 当m=0时,二次函数的表达 式为y=-x2+2,其函数图象如图① 所示. ∵ 当x=0时,y=2;当x=1时,y= 1;当x=2时,y=-2, ∴ 抛 物 线 经 过 点(0,2),(1,1), (2,-2). 观察图象,可知“好点”有(0,0),(0, 1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个. (2) 当m=3时,二次函数的表达式 为y=-(x-3)2+5,其函数图象如 图②所示. ∵ 当x=1时,y=1;当x=2时,y= 4;当x=3时,y=5;当x=4时, y=4, ∴ 抛物线经过点(1,1),(2,4),(3, 5),(4,4). 根据图象,可知抛物线上存在3个“好 点”,坐标分别为(1,1),(2,4),(4,4). (3) 当m=1时,如图③,易知有10个 “好点”,不符合题意. 显然当m>1时,“好点”的个数大于 8,故考虑m<1的情况. ∵ 抛物线的顶点P 的坐标为(m, m+2), ∴ 抛物线的顶点P 在直线y=x+ 2上. ∵ 点 P 在正方形OABC 内部,且 m<1, ∴ 易得0<m<1. 在y=-(x-m)2+m+2中,令x= 0,则y=-m2+m+2= - m- 1 2 2 +94 , ∴ 2<y≤ 9 4. ∴ 点(0,2)在抛物线下方. 如图④,点E 的坐标为(2,1),点F 的 坐标为(2,2). 观察图象,可知当点 P 在正方形 OABC内部,且该抛物线下方(包括边 界)恰好存在8个“好点”时,抛物线与 线段EF 有交点(点F 除外). 当抛物线经过点E 时,-(2-m)2+ m+2=1,解得m1= 5- 13 2 ,m2= 5+ 13 2 (不合题意,舍去);当抛物线 经过点F 时,-(2-m)2+m+2=2,解 得m3=1,m4=4(均不合题意,舍去). ∴ 当5- 13 2 ≤m<1 时,点P 在正方 形OABC内部,且该抛物线下方(包 括边界)恰好存在8个“好点”. ① ② (第14题) 第5课时 二次函数y=ax2+ bx+c的图象和性质 1. B 2. B 3. B 4. -2 5. < 比较二次函数值大小的方法 (1) 代入比较法:若已知二次 函数的表达式,可将几个点的横坐 标分别代入二次函数的表达式,求出 对应的函数值,再比较函数值的 大小. (2) 增减性比较法:当点都在 对称轴的同侧时,可直接根据函数 的增减性比较大小;当点不在对称 轴的同侧时,可利用二次函数图象 的对称性,将点转化到对称轴的同 侧,再 根 据 函 数 的 增 减 性 比 较 大小. (3) 根据点到对称轴的距离比 较大小:当抛物线开口向上时,点 到对称轴的距离越大,相应的函数 值越大;当抛物线开口向下时,点 到对称轴的距离越大,相应的函数值 越小. 6. (1) 画出的抛物线如图所示. (2) ∵ y=-x2+4x-3=-(x- 2)2+1, ∴ 抛物线的对称轴为直线x=2,顶 点坐标为(2,1). (3) 由图象,可知A(1,0),B(3,0), C(0,-3). (4) 当x<2时,y随x的减小而减小. (第6题) 7. D 8. C 解析:∵ y=x2-2x=(x- 1)2-1,∴ 函数图象开口向上,对称 轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-1). ∵ 1-(-1)=3-1,∴ x=-1和 x=3时的函数值相等.∵ -1≤x≤ t-1,当x=-1时,函数取得最大值, ∴ t-1≤3.又∵ 当x=1时,函数取 得最小值,∴ t-1≥1.∴ 1≤t-1≤ 3,解得2≤t≤4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 9. C 解析: ① ∵ 函数图象开口向 下,∴ a<0.∵ 对称轴在y 轴的右 侧,∴ a,b异号,则b>0.∵ 函数图 象与y 轴的交点在x 轴的上方, ∴ c>0.∴ abc<0.故①正确,符合题 意.② 当x=-1时,图象在x 轴下 方,则y=a-b+c<0,即a+c<b. 故②不正确,不符合题意.③ 函数图 象的对称轴为直线x=1,且当x=0 时,图象在x轴上方,则易得当x=2 时,图象在x轴上方,即y=4a+2b+ c>0.故③正确,符合题意.④ ∵ 函数 图象的对称轴为直线x=-b2a=1 ,则 a=-12b ,而a-b+c<0,∴ -12b- b+c<0.∴ 2c<3b.故④正确,符合 题意.⑤ ∵ 函数图象开口向下,∴ 当 x=1时,y有最大值,为a+b+c.当 x=m(m≠1)时,y=am2+bm+c,则 a+b+c>am2+bm+c,即a+b> m(am+b)(m≠1).故⑤不正确,不符 合题意.综上所述,正确的有3个. 10. 4 11. a+4 12. (1) (1,2) (2) -1 13. (1) 联立 y=x-1, y=x2-2x-1, 解得 x1=0, y1=-1, x2=3 , y2=2. ∴ 点 A,C 的坐标分别为(3,2), (0,-1). (2) 由题意,知点A 与点B 关于抛物 线C1的对称轴对称. ∵ 易知抛物线C1 的对称轴为直线 x=1, ∴ B(-1,2). ∴ AB=3+1=4. 设直线AB与y轴交于点D,则D(0,2). ∵ C(0,-1), ∴ CD=2+1=3. ∴ S△ABC= 1 2AB ·CD=12×4× 3=6. (3) 如图,把A(3,2)代入y=ax2,得 a=29 ;把B(-1,2)代入y=ax2,得 a=2. ∴ a的取值范围是29≤a<2. (第13题) 14. (1) 把A(3,0)代入y=-x2+ 2mx+3m,得-9+6m+3m=0,解得 m=1. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=-x2+2x+3. (2) ∵ y=-x2+2mx+3m = -x2+m(2x+3), ∴ 当2x+3=0,即x=- 32 时, y=- 9 4. ∴ 抛物线必过定点D -32,-94 . (3) 存在.如图,连接OP.设P(a, -a2+2a+3),直线PD 对应的函数 表达式为y=kx+b. ∴ -32k+b=- 9 4 , ka+b=-a2+2a+3, 解得 k=-12 (2a-7), b=-32a+3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ ON=-32a+3. ∵ S=S△PAM-S△BMN, ∴ S = (S△PAM +S四边形AONM )- (S四边形AONM+S△BMN)=S四边形AONP- S△AOB. 将x=0代入y=-x2+2x+3,得 y=3. ∴ 点B 的坐标为(0,3). ∴ OB=3. ∵ S四边形AONP =S△AOP +S△PON = 1 2OA ·yP+ 1 2ON ·xP= 1 2×3 · (-a2+2a+3)+12a -32a+ 3 =-94a2+92a+92,S△AOB= 1 2×3 2=92 , ∴ S=-94a 2+92a=- 9 4 (a- 1)2+94. ∴ 当a=1时,S最大值=94. 当a=1时,-a2+2a+3=-12+ 2×1+3=4, ∴ 点P 的坐标为(1,4). (第14题) * 第6课时 二次函数表达式的 确定 1. C 2. B 3. 答案不唯一,如y=x2-5x+6 4. y=x2-2 5. (1) 3 (2) y=x2-4x+3 根据所给点的坐标,设二次 函数表达式的方法 (1) 已知任意三点,设一般式. (2) 已知点中有两点的纵坐标 都为0时,设交点式. (3) 已 知 顶 点 的 坐 标,设 顶 点式. (4) 已知点中有两点的纵坐标 相等,此时可利用抛物线的对称性 求得顶点的横坐标,设顶点式. 6. (1) 把A(-2,0),C(0,-2)代入 y=x2+bx+c,得 4-2b+c=0, c=-2, 解 得 b=1, c=-2. ∴ 二次函数的表达式为y=x2+ x-2. (2) 由题意,设点P 的坐标为(m, m2+m-2)(m<0). ∵ △PDB 的面积是△CDB 的面积 的2倍, ∴ S△PDB S△CDB=2 , 即 1 2BD ·(m2+m-2) 1 2BD ·2 =2. ∴ m2+m-2=4,解得 m1=-3, m2=2(舍去). ∴ 点P 的坐标为(-3,4). 7. A 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 8. D 解析:∵ 图 象 开 口 向 下, ∴ a<0.将x=1,y=1;x=6,y=6 代入,得 1=a(1-h)2+k, 6=a(6-h)2+k. 整理,得 5=a(6-h)2-a(1-h)2.∴ a[(6- h)2-(1-h)2]=5.∴ a(7-2h)· 5=5.∴ a= 17-2h.∵ a<0,∴ 7- 2h<0,解得h>3.5.∴ h 的值可能 为9 2. 9. C 解析:∵ 抛物线y=x2+bx+ c 过 点 A (-1,0),B (5,0), ∴ 1-b+c=0, 25+5b+c=0, 解 得 b=-4 , c=-5. ∴ y=x2-4x-5.当x=0时,y= -5,∴ C(0,-5).易知AP=BP, ∴ PA+PC=BP+PC≥BC.当P, B,C 三点共线时,PA+PC=BC, ∴ (PA+PC)最小值=BC= 52+52= 52. 10. y= 1 6 (x-3)2+4 或 y= 1 6 (x-3)2-2 解析:由题意知,抛 物线y= 1 2 (x-3)2+1的顶点坐标 为(3,1),抛物线y=ax2-x+c的对 称轴为直线x=12a.∵ 两抛物线为 “同向共轴抛物线”,且顶点相距3个 单位,∴ 1 2a=3 ,y=ax2-x+c的顶 点坐标为(3,4)或(3,-2).∴ a=16 , 该抛物线对应的函数表达式为y= 1 6 (x-3)2 +4 或 y= 1 6 (x- 3)2-2. 11. -10 解析:∵ y=x2+bx+c= x+b2 2 +c-b 2 4 ,∴ 当x=-b2 时,y有最小值,为c- b2 4.∵ a>0, b>0,c<0,∴ 函数图象的顶点在第 三象限.∵ 当-5≤x≤0时,-11≤ y≤5,∴ 易得当x=-5时,y=5;当 x=-b2 时,y 有最小值,为-11. ∴ 25-5b+c=5, c-b 2 4=-11 , 解得 b=2,c=-10 或 b=18, c=70 (舍去).∴ c的值为-10. 12. y=- 1 6x 2+56x+4 解析:∵ 抛物线y=ax2+bx+4与 y轴交于点C,∴ C(0,4).∴ OC= 4.∵ A(-3,0),∴ OA=3.∴ AC= OA2+OC2=5.∵ AB 平分∠CAO, ∴ ∠BAC=∠BAO.∵ CB∥x 轴, ∴ ∠CBA=∠BAO.∴ ∠BAC= ∠CBA.∴ BC=AC=5.∴ B(5,4). 把A(-3,0),B(5,4)代入y=ax2+ bx +4,得 9a-3b+4=0, 25a+5b+4=4, 解 得 a=-16 , b=56. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛物线对应的函数表 达式为y=- 1 6x 2+56x+4. 13. (1) ∵ 二次函数为y=x2+ bx+c, ∴ 图 象 的 对 称 轴 为 直 线 x = -b2=- 1 2. ∴ b=1. 又∵ 图象经过点A(-2,5), ∴ 4-2+c=5. ∴ c=3. ∴ 二次函数的表达式为y=x2+ x+3. (2) ∵ 点B(1,7)先向上平移2个单 位,再向左平移m(m>0)个单位, ∴ 平移后的点的坐标为(1-m,9). 又∵ 点(1-m,9)在y=x2+x+3的 图象上, ∴ 9=(1-m)2+(1-m)+3,解得 m1=4,m2=-1(舍去). ∴ m 的值为4. (3) ∵ y=x2 +x+3= x+ 1 2 2 +114 , ∴ 图 象 开 口 向 上,顶 点 坐 标 为 -12 ,11 4 . ① 当 n<-12 时,y 随x 的增大而 减小, ∴ 当x=n 时,ymin= n+ 1 2 2 + 11 4 ;当x=-2时,ymax=5. ∴ 最 大 值 与 最 小 值 的 差 为 5- n+12 2 +114 = 94,解得n1= n2=- 1 2 ,不符合题意,舍去. ② 当-12≤n≤1 时,ymin= 11 4 ,当 x=-2或x=1时,ymax=5. ∴ 最大值与最小值的差为5-114= 9 4 ,符合题意. ③ 当n>1时,ymin= 11 4 ,当x=n时, ymax= n+ 1 2 2 +114. ∴ 最 大 值 与 最 小 值 的 差 为 n+12 2 +114- 11 4= 9 4 ,解得 n1= 1,n2=-2,不符合题意,舍去. 综上所述,n 的取值范围是-12≤ n≤1. 14. (1) ∵ 抛物线y=x2+mx-2m 经过点A(1,0), ∴ 0=1+m-2m,解得m=1. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2+x-2. ∵ y=x2+x-2= x+12 2 -94 , ∴ 抛物线的顶点P 的坐标为 -12, -94 . (2) 易知抛物线y=x2+mx-2m 的顶 点P的坐标为 -m2,-m 2+8m 4 . 由点 A(1,0)在x 轴的正半轴上, 点P 在x轴的下方,∠AOP=45°,知 点P 在第四象限. 过点 P 作 PQ⊥x 轴 于 点 Q,则 ∠POQ=∠OPQ=45°. ∴ PQ=OQ,即m 2+8m 4 =- m 2 ,解 得m1=0,m2=-10. 当m=0时,点 P 不在第四象限, 舍去, ∴ m=-10. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-10x+20. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 (3) 由y=x2+mx-2m=x2+ m(x-2),可知当x=2时,无论m 取 何值,y都等于4. ∴ 定点H 的坐标为(2,4). 如图,当点H 在抛物线的对称轴的左 侧时,过点A 作AD⊥AH,交HP 的 延长线于点D,分别过点D,H 作x轴 的垂线,垂足分别为E,G. ∴ ∠HAD =∠DEA=∠AGH = 90°,HG=4,OG=2. ∵ 点A 的坐标为(1,0), ∴ OA=1. ∴ AG=OG-OA=1. ∵ ∠HAD=90°,∠AHD=45°, ∴ ∠ADH=45°. ∴ AH=AD. ∵ ∠DAE+ ∠HAG= ∠AHG+ ∠HAG=90°, ∴ ∠DAE=∠AHG. ∴ 易得△ADE≌△HAG. ∴ DE=AG=1,AE=HG=4. ∴ OE=OA+AE=5. ∴ 点D 的坐标为(5,-1). 同理,当点H 在抛物线的对称轴的右 侧时,点D 的坐标为(-3,1). ① 当点D 的坐标为(5,-1)时,易得 直线DH 对应的函数表达式为y= -53x+ 22 3. ∵ 点 P -m2 ,-m 2+8m 4 在直线 y=- 5 3x+ 22 3 上, ∴ -m 2+8m 4 =- 5 3 · -m2 + 22 3 ,解得m1=-4,m2=- 22 3. ∵ 当m=-4时,点P 的坐标为(2, 4),与点H 重合, ∴ m1=-4不合题意,舍去. ② 当点D 的坐标为(-3,1)时,易得 直线DH 对应的函数表达式为y= 3 5x+ 14 5. ∵ 点 P -m2 ,-m 2+8m 4 在直线 y= 3 5x+ 14 5 上, ∴ -m 2+8m 4 = 3 5 · -m2 +145, 解得 m3=-4(不合题意,舍去), m4=- 14 5. 综上所述,m 的值为-145 或-223. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-145x+ 28 5 或y=x2- 22 3x+ 44 3. (第14题) 专题特训一　二次函数中的 最值问题 1. (1) ∵ 抛物线y=- 2 3x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于 点C,点A 的坐标为(-1,0),点B 的 坐标为(3,0), ∴ y= - 2 3 (x+1)(x-3)= -23x 2+43x+2. (2) 有最大值. 当x=0时,y=- 2 3x 2+43x+ 2=2, ∴ C(0,2). 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+2. 将B(3,0)代入,得3k+2=0,解得 k=-23. ∴ 直线 BC 对应的函数表达式为 y=- 2 3x+2. 由题意,设P x,-23x 2+43x+2 (0<x<3). ∴ 易得D x,-23x+2 . ∴ 2PD+PE=2 -23x2+43x+ 2+23x-2 +x=-43x2+5x. ∴ 当 x= - 5 2× -43 =158 时, 2PD+PE 有最大值,最大值为7516 ,此 时P 158 ,69 32 . 2. (1) 设直线l对应的函数表达式为 y=mx+n(m≠0). ∵ 直线l与x 轴交于点A(6,0),与 y轴交于点B(0,-6), ∴ 6m+n=0, n=-6, 解得 m=1 , n=-6. ∴ 直线l对应的函数表达式为y= x-6. (2) 设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-h)2+k(a≠0). ∵ 抛物线的对称轴是直线x=1, ∴ y=a(x-1)2+k. ∵ 抛物线经过点A,B, ∴ 25a+k=0, a+k=-6, 解得 a=14 , k=-254. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= 1 4 (x-1)2-254. (3) ∵ A(6,0),B(0,-6), ∴ OA=OB=6. 在△AOB 中,∠AOB=90°, ∴ ∠OAB=∠OBA=45°. ∵ PC⊥x轴,PM⊥直线l, ∴ ∠PCA=∠PMD=90°. 在Rt△ADC中, ∵ ∠PCA=90°,∠OAB=45°, ∴ ∠ADC=45°. ∴ ∠PDM=∠ADC=45°. ∴ ∠DPM=45°. 由勾股定理,易得PM= 22PD. ∵ y= 1 4 (x-1)2-254= 1 4x 2- 1 2x-6 , ∴ 设Pt,14t 2-12t-6 (0<t<6). ∴ D(t,t-6). ∴ PD=t-6- 14t 2-12t-6 = -14t 2+32t=- 1 4 (t-3)2+94. ∵ -14<0 , ∴ 当t=3时,PD 长的最大值是94 , 此时PM 最大,PM= 22PD= 2 2× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 1 21.1　二次函数 ▶ “答案与解析”见P1 1. 下列函数中,一定是关于x的二次函数的为 ( ) A. y=ax2+bx+c B. y=-x-4 C. y=2x2- 5 x D. y=3x2+x-2 2. 为方便市民进行垃圾分类投放,某环保公司 第一个月投放1000个垃圾桶,计划第三个月 投放y个垃圾桶,设该公司第二、三两个月投 放垃圾桶数量的月平均增长率为x,那么y 与x之间的函数表达式为 ( ) A. y=1000(1+x)2B. y=1000(1-x)2 C. y=(1-x)2+1000D. y=x2+1000 3. 二次函数y=(x-2)(1-x)-3x 的二次项 系数是 ,一次项系数是 . 4. 如图,用长为21m的篱笆,一面利用墙(墙的 最大可用长度为10m),围成中间隔有一道 篱笆的矩形花圃,为便于进出,开了3道宽为 1m的门.设花圃的宽AB 为xm,面积为 Sm2,则S与x之间的函数表达式为 ;自变量x的取值范围是 . (第4题) 5. 易错题 已知函数y=(m2-m)x2+(m- 1)x-2(m 为常数). (1) 若它是关于x的一次函数,求m 的值. (2) 若它是关于x的二次函数,求m 的取值 范围. 6. 下列关系中,属于二次函数关系的是 ( ) A. 在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体 的质量x之间的关系 B. 当速度v一定时,汽车行驶的距离s与时 间t之间的关系 C. 正方形的周长C 与边长a之间的关系 D. 正方体的表面积S与棱长x之间的关系 7. 某商场销售某种品牌的童装,每件的进价为 60元,市场调研表明:在一个阶段内销售这 种童装,当售价为每件80元时,平均每月售 出200件;每件的售价每降低1元,平均每月 多售出20件.设每件的售价为x 元,则这种 童装在这个阶段内,平均每月的销售量 y(件)与每件的售价x(元)之间的函数表达 式为 ;平均每月的销售利 润W(元)与每件的售价x(元)之间的函数表 达式为 . 8. 转换法 如图(单位:m),在一块长为 35m、宽为20m的矩形空地上修建 两条倾斜的小路,剩余部分修建花 坛,其中一条小路的出入口宽度是另一条的 两倍.设较窄的一条小路的出入口宽度为 xm,花坛面积为ym2,求y 关于x 的函数 表达式,并写出自变量x的取值范围. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次 第21章　二次函数与反比例函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”,标“易错题”的设有“易错警示”,详见“答案与解析”. 2 21.2　二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2 的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P1 1. 二次函数y=5x2的图象一定经过 ( ) A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 2. (2024·广州期中)已知二次函数y=(2- a)xa 2-3,在其图象对称轴的左侧,y 随x 的 增大而减小,则a的值为 ( ) A. 5 B. ±5 C. -5 D. 0 3. 抛物线y= 1 2x 2,y=x2,y=-x2 有以下共 同特点:① 都是开口向上;② 都以(0,0)为顶 点;③ 都以y轴为对称轴;④ 都关于x轴对 称.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 y=- 2 3x 2上,若x1<x2<0,则y1 y2(填“>”“<”或“=”). 5. 已知函数y=(m+2)xm 2+m-4是关于x的二 次函数. (1) 求实数m 的值. (2) 当m 为何值时,抛物线有最低点? 请求 出这个最低点,并写出当x 为何值时,y随x 的增大而增大. (3) 当m 为何值时,函数有最大值? 最大值 是多少? 请写出当x 为何值时,y 随x 的增 大而减小. 6. 函数y=ax2 与y=-ax+b在同一平面直 角坐标系中的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 7. 有下列二次函数:① y=2x2;② y=-x2; ③ y= 1 2x 2.将它们按图象开口从大到小排 列正确的是 ( ) A. ③①② B. ②③① C. ②①③ D. ③②① 8. 如图,正方形的边长为6,以正方形的中心为 原点建立平面直角坐标系,作出函数y= 3x2与y=-3x2的图象,则图中涂色部分的 面积是 . (第8题) (第9题) 9. 如图,平行于x轴的直线AC分别交函数y1= x2(x≥0)与y2= x2 3 (x≥0)的图象于B,C 两点,过点C 作y轴的平行线交y1的图象于 点D,直线DE∥AC,交y2的图象于点E,则 DE AB= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 3 10. 如图,A,B,C 是函数y=x2图象上的动点, 且三点的横坐标依次为a+1,a,a-1.小华 用软件对△ABC 的几何特征进行了探究, 发现△ABC 的面积是个定值,则这个定值 为 . (第10题) (第11题) 11. 如图,在平面直角坐标系中,点A,E 在抛物 线y=ax2 上,过点A,E 分别作y 轴的垂 线,交抛物线于点B,F,过点E,F 分别作 x轴的垂线,交线段AB 于点C,D.当点E 的坐标为(2,4),四边形CDFE 为正方形 时,线段AB 的长为 . 12. P 为抛物线y= 1 4x 2上一动点,直 线l经过y轴上一点N,且平行于 x轴,点N 的坐标为(0,-1),过点P 作 PM⊥l于点M. (1) 如图①,在对称轴上存在一定点F,使 得PM=PF 恒成立,求点F 的坐标. (2) 如图②,在(1)的条件下,若点Q 的坐标 为(1,5),求QP+PF 的最小值. (第12题) 13. 新考法·探究题 如 图,在 x 轴 上 有 两 点 A(m,0),B(n,0)(n>m>0),分别过 点A,B 作x轴的垂线,交抛物线y=x2于 点C,D.直线OC 交直线BD 于点E,直线 OD 交直线AC 于点F,点E,F 的纵坐标 分别记作yE,yF. (1) 【特例探究】 当m=1,n=2时,yE= ,yF= ;当 m =3,n =5 时,yE = ,yF= . (2) 【归纳证明】 对于任意实数m,n(n>m>0),猜想yE 与 yF 的大小关系,并证明你的猜想. (3) 【拓展应用】 若将抛物线y=x2改为抛物线y=ax2(a> 0),其他条件不变,请直接写出yE 与yF 的 大小关系. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 4 第2课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P1 1. 下列图象中,有可能是函数y=ax2+a(a≠ 0)的图象的是 ( ) A. B. C. D. 2. 对于二次函数y=3x2-2,下列说法中错误 的是 ( ) A. 其图象开口向上 B. 其图象关于y轴对称 C. 有最小值为-2 D. 当x>0时,y随x的增大而减小 3. 新考法·结论开放题 请写出一个开口向上,并 且与y轴交于点(0,-1)的抛物线对应的函 数表达式: . 4. ★把函数y=x2-1的图象沿y 轴向上平移 1个单位,可以得到函数 的图象. 5. 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 y= 1 3x 2+1与y=- 1 3x 2-1的图象. (1) 从开口方向、形状、对称轴、顶点等方面, 说出这两个函数图象的相同点与不同点. (2) 说出这两个函数的性质有何相同点与不 同点. (第5题) 6. (2024·阜阳太和期中)在同一平面直角坐标 系中,一次函数y=ax+b(a≠0)和二次函 数y=ax2+b(a≠0)的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 7. 已知A(m,y1),B(-m-1,y2)是抛物线 y=x2-1上的两点,其中|m|>1,下列判断 正确的是 ( ) A. m(y1-y2)>0 B. m(y1-y2)<0 C. y1-y2>0 D. y1-y2<0 8. 转化法 如图,两条抛物线y1=- 1 2x 2+1, y2=- 1 2x 2-1与分别经过点(-2,0),(2, 0)且平行于y轴的两条平行线围成的涂色部 分的面积为 ( ) A. 8 B. 6 C. 10 D. 4 (第8题) (第9题) 9. (2023·广东)如图,抛物线y=ax2+c经过 正方形OABC 的三个顶点A,B,C,点B 在 y轴上,则ac的值为 ( ) A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 10. 如图所示为一个半圆和抛物线的一部分围 成的“杧果”,A,B,C,D 分别是“杧果”与坐 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 5 标轴的交点,AB 是半圆的直径,抛物线对 应的函数表达式为y= 3 2x 2-32 ,则CD 的 长为 . (第10题) (第11题) 11. 数形结合思想 函数y=|x2-4|的大致图象 如图所示,对于方程|x2-4|=m(m 为实 数),若该方程恰有3个不相等的实数根,则 m 的值是 . 12. 新考法·新定义题 若 抛 物 线y= ax2+c与x 轴交于点A(m,0), B(n,0),与y 轴交于点C(0,c), 则称△ABC 为“抛物三角形”.当mnc<0 时,称△ABC 为“正抛物三角形”;当mnc> 0时,称△ABC 为“倒抛物三角形”.那么, 当△ABC 为“倒抛物三角形”时,a,c应分 别满足的条件是 . 13. 已知抛物线y=2x2+n 与直线y=2x- 1交于点(m,3). (1) 求m 和n的值. (2) 写出抛物线y=2x2+n的顶点坐标和 对称轴. (3) 当x 为何值时,二次函数y=2x2+n 中y随x的增大而减小? (4) 抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1是 否还存在其他交点? 若存在,请求出交点坐 标;若不存在,请说明理由. 14. 新情境·日常生活 小聪设计奖杯,从 抛物线形状上获得灵感,在平面直 角坐标系中画出截面示意图,如图 ①,杯体ACB 是抛物线的一部分,抛物线的 顶点C 在y 轴上,杯口直径AB=4,且点 A,B 关于y 轴对称,杯脚高CO=4,杯高 DO=8,杯底MN 在x轴上. (1) 求杯体ACB 所在抛物线对应的函数表 达式(不必写出x的取值范围). (2) 为使奖杯更加美观,小敏提出了改进方 案,如图②,杯体A'CB'所在抛物线的形状 不变,杯口直径A'B'∥AB,杯脚高CO 不 变,杯深CD'与杯高OD'之比为3∶5.求 A'B'的长. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 6 第3课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P2 1. 在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x- h)2(a≠0)的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 2. 对于二次函数y=-2(x+3)2,下列说法正 确的是 ( ) A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线x=-3 C. 当x>-4时,y随x的增大而减小 D. 其图象的顶点坐标为(-2,-3) 3. ★抛物线y=x2+1经过平移得到抛物线y= (x+1)2的方法是 ( ) A. 向左平移1个单位,向下平移1个单位 B. 向右平移1个单位,向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位,向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位,向上平移1个单位 4. 已知点(-7,y1),(-3,y2),(4,y3)都在二次 函数y=a(x+1)2(a<0)的图象上,则y1, y2与y3的大小关系为 (用“>” 连接). 5. 一个二次函数y=a(x-k)2的图象,有以下 特点:① 开口向上;② 对称轴是直线x=2; ③ 与y轴的交点到原点的距离为2.该二次 函数的表达式为 . 6. 已知二次函数y=a(x+m)2(a≠0)的图象 的 顶 点 坐 标 为 (- 1,0),且 经 过 点A -2,-12 . (1) 求这个二次函数的表达式. (2) 点B(2,-2)在这个函数的图象上吗? (3) 你能通过左右平移该函数图象,使它经 过点B 吗? 若能,请写出平移方案. 7. 已知二次函数y=a(x-2)2,当x=x1 时, 函数值为y1;当x=x2 时,函数值为y2.若 |x1-2|>|x2-2|,则下列选项正确的是 ( ) A. y1+y2>0 B. y1-y2>0 C. a(y1-y2)>0 D. a(y1+y2)<0 8. (2024·常州溧阳模拟)两个二次函数的图象如 图所示,其顶点M,N 皆在x轴上,且有一水平 线与两图象相交于A,B,C,D 四点.若AB=7, BC=3,CD=3,则MN 的长度是 ( ) (第8题) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 数形结合思想 已知a>0,设函数y1=a(x- 1)2,y2=a(x-2)2,y3=a(x-3)2.直线 x=m 与函数y1,y2,y3 的图象分别交于 点A(m,c1),B(m,c2),C(m,c3),下列说法 正确的是 ( ) A. 若m<1,则c2<c3<c1 B. 若1<m<2,则c1<c2<c3 C. 若2<m<3,则c3<c2<c1 D. 若m>3,则c3<c2<c1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 7 10. 已知二次函数y=-(x-h)2(h 为常数), 当2≤x≤5时,函数的最大值为-4,则h 的值为 . 11. 如图,在平面直角坐标系中,抛物 线y=(x-2)2 与x 轴交于点A, 与y轴交于点B.过点B 作BC∥ x轴,交抛物线于点C,过点 A 作AD∥ y轴,交BC 于点D,点P 在BC 下方的抛 物线上(点P 不与点B,C 重合),连接PC, PD,则△PCD 面积的最大值为 . (第11题) 12. 已知函数y= (x-1)2(x<2), -x+3(x≥2), 当自变量 x≤m 时,函数的最小值为0,则m 的取值 范围是 . 13. 如图,在Rt△OAB 中,∠OAB=90°,O 为 坐标原点,边OA 在x 轴上,OA=AB=1. 现把△OAB 沿x轴的正方向平移1个单位 后得到△AA1B1. (1) 求以A 为顶点,且经过点B1的抛物线 对应的函数表达式. (2) 若(1)中的抛物线与OB 交于点C,与 y轴交于点D,求点C,D 的坐标. (第13题) 14. 新考法·探究题 如图,在平面直角坐 标系中,抛物线的顶点坐标为(2, 0),且经过点(0,1).直线y= 1 4x 与抛物线交于A,B 两点(点A 在点B 的左 侧),直线l对应的函数表达式为y=-1. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 在直线l 上是否存在一点P,使得 PA+PB 取得最小值? 若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 若 F (x0,y0)为 平 面 内 一 定 点, M(m,n)为抛物线上一动点,且点 M 到直 线l的距离与点M 到点F 的距离总是相 等,求定点F 的坐标. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 8 第4课时 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P4 1. 对于二次函数y=(x+3)2+6的图象,下列 说法不正确的是 ( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线x=-3 C. 顶点坐标为(-3,6) D. 当x<-3时,y随x的增大而增大 2. (2025·蚌埠五河期末)将二次函数y=(x- 1)2+2的图象先向下平移3个单位,再向左 平移2个单位,得到的抛物线对应的函数表 达式为 ( ) A. y=(x+2)2-1 B. y=(x-3)2+5 C. y=(x+1)2-1 D. y=(x-1)2+5 3. (2024·凉山)已知抛物线y= 2 3 (x-1)2+c 经过(-2,y1),(0,y2), 5 2 ,y3 三点,则y1, y2,y3的大小关系正确的是 ( ) A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y3>y1>y2 D. y1>y3>y2 4. 已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线 y=2x2+3的开口方向和形状都相同,与另 一条抛物线y=- 1 2 (x+1)2-2的顶点坐标 相同,这条抛物线对应的函数表达式为 . 5. 已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2). (1) 请写出该抛物线的对称轴和顶点坐标. (2) 求a的值. (3) 若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都 在该抛物线上,试比较y1与y2的大小. 6. 若抛物线y=2(x-m-1)2+2m+4的顶点 在第二象限,则m 的取值范围是 ( ) A. m>1 B. m<2 C. 1<m<2 D. -2<m<-1 7. 二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所 示,则一次函数y=ax+c的图象可能是 ( ) (第7题) A. B. C. D. 8. 易错题 已知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠ 0),当-1≤x≤4时,y的最小值为-4,则a 的值为 ( ) A. 1 2 或4 B. 4 3 或-12 C. -43 或4 D. -12 或4 9. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x+ 1)2+b与y=a(x-2)2+b+1交于点A.过 点A 作y轴的垂线,分别交两条抛物线于点 B,C(点B 在点A 左侧,点C 在点A 右侧), 则线段BC 的长为 . (第9题) 10. 分类讨论思想 已知抛物线y=a(x-h)2+k 与x轴有两个交点A(-1,0),B(3,0),抛 物线y=a(x-h-m)2+k与x 轴的一个 交点是(4,0),则m 的值是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 9 11. 已知函数y= (x-1)2-1(x≤3), (x-5)2-1(x>3). (1) 此函数图象的对称轴是 . (2) 若使y=k成立的x 的值恰好有四个, 则k的取值范围是 . 12. 新考法·新定义题 规定:在平面直角坐标系 中,把横、纵坐标互为相反数的点称为“完美 点”,把图象顶点是“完美点”的二次函数称 为“完美函数”. (1) 若(a2+1,-2a)是“完美点”,则a= . (2) 已知某“完美函数”图象的顶点在直线 y=x-2上,且与y 轴的交点到原点的距 离为2,求该“完美函数”的表达式. 13. 已知抛物线y=a(x-1)2+1-a 经过点A(3,10). (1) 求a的值. (2) 若点B(x1,y1),C(x2,y2)都在该抛物 线上,且-1<x1<0,1<x2<2.试比较y1, y2的大小关系,并说明理由. (3) 设D 为抛物线y=a(x-1)2+1-a的 顶点,在该抛物线上任取一点E(不与点D 重合),过点D 作x 轴的平行线,过点E 作 y 轴的平行线,两条直线交于点 F,求 EF DF2 的值. 14. 新考法·新定义题 如图,在平面直角 坐标系中,正方形OABC 的边长为 4,边OA,OC 分别在x 轴、y 轴的 正半轴上,把正方形OABC 的内部及边上 横、纵坐标均为整数的点称为“好点”.P 为 抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点. (1) 当m=0时,求该抛物线下方(包括边 界)的“好点”个数. (2) 当m=3时,求该抛物线上的“好点” 坐标. (3) 若点P 在正方形OABC 内部,且该抛 物线下方(包括边界)恰好存在8个“好点”, 求m 的取值范围. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 10 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ▶ “答案与解析”见P5 1. (2025·鞍山期末)已知二次函数y=ax2+ bx+c,其中a<0,b>0,c<0,则这个函数的 图象大致是 ( ) A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中,若抛物线y=2(x+ 5)(x-3)经一次变换后得到抛物线y= 2(x+3)(x-5),则这个变换可以是 ( ) A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移8个单位 D. 向下平移8个单位 3. (2025·合肥瑶海期末)已知抛物线y=x2- 4x+5,下列结论错误的是 ( ) A. 抛物线开口向上 B. 当x<2时,y随x的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线x=2 D. 抛物线与y轴的交点坐标为(0,5) 4. (2024·怀化期末)若抛物线y=x2+mx- 3的对称轴是直线x=1,则m= . 5. ★(2024·内江)已知二次函数y=x2-2x+ 1的图象向左平移两个单位得到抛物线C, 点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C 上,则 y1 y2(填“>”或“<”). 6. 已知抛物线y=-x2+4x-3. (1) 在如图所示的平面直角坐标系中画出该 抛物线. (2) 求出该抛物线的对称轴和顶点坐标. (3) 设抛物线与x 轴的两个交点为A,B(点 A 在点B 左侧),与y轴的交点为C,请根据 图象直接写出A,B,C 三点的坐标. (4) 当x取何值时,y随x的减小而减小? (第6题) 7. (2024·合肥瑶海期中)直线y=ax+b与抛 物线y=ax2+bx+b在同一平面直角坐标 系中的位置大致正确的是 ( ) A. B. C. D. 8. (2024·乐山)已知二次函数y=x2-2x (-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最 大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取 值范围是 ( ) A. 0<t≤2 B. 0<t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2 9. (2024·甘南)二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下 列5个结论:① abc<0;② b<a+ c;③ 4a+2b+c>0;④ 2c<3b;⑤ a+b< m(am+b)(m≠1).其中,正确的有 ( ) (第9题) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 11 10. 若二次函数y=x2-2x-3的图象上有且 只有三个点到x 轴的距离为m,则m 的值 为 . (第11题) 11. 如图,点A 在第二象限,以 A 为顶点的抛物线经过原 点,与x 轴的负半轴交于点 B,对称轴为直线x=-2, 点C 在抛物线上,且位于点 A,B 之间(点C 不与点A,B 重合).若 △ABC 的周长为a,则四边形AOBC 的周 长为 (用含a的代数式表示). 12. (2024·蚌埠模拟)已知二次函数y=-x2+ mx+n. (1) 当m=2,n=1时,该函数图象的顶点 坐标为 . (2) 当x<0时,y 的最大值为7;当x≥0 时,y的最大值为3,则m+n= . 13. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=x- 1与抛物线C1:y=x2-2x-1相交于A,C 两点,过点 A 作AB∥x 轴,交抛物线于 点B. (1) 求点A,C 的坐标. (2) 连接BC,求△ABC 的面积. (3) 若抛物线C2:y=ax2(a≠0)与线段 AB 恰有一个公共点,结合函数图象,求a 的取值范围. (第13题) 14. 新考法·探究题 如图,在平面直角坐 标系中,抛物线y=-x2+2mx+ 3m,点A 的坐标为(3,0). (1) 当抛物线过点A 时,求抛物线对应的函 数表达式. (2) 求证:无论m 为何值,抛物线必过定 点D,并求出点D 的坐标. (3) 在(1)的条件下,抛物线与y 轴交于 点B,P 是抛物线上位于第一象限的点,连 接AB,PD 交于点M,PD 与y轴正半轴交 于点N,连接AP.设S=S△PAM-S△BMN, 则是否存在点P,使得S 有最大值? 若存 在,请求出点P 的坐标,并求出S 的最大 值;若不存在,请说明理由. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 12 * 第6课时 二次函数表达式的确定 ▶ “答案与解析”见P6 1. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线y= 1 2x 2-4x+3相同,顶点坐标为(-2,1),则 此抛物线对应的函数表达式为 ( ) A. y= 1 2 (x-2)2+1 B. y= 1 2 (x+2)2-1 C. y= 1 2 (x+2)2+1 D. y= 1 2 (x-2)2-1 2. 如图所示的抛物线对应的函数表达式为( ) (第2题) A. y=x2-2x+3 B. y=x2-2x-3 C. y=x2+2x+3 D. y=x2+2x-3 3. 新考法·结论开放题 写一个经过点(2,0),(3, 0)的抛物线对应的函数表达式: . 4. 抛物线y=x2-mx+m-2的顶点在y 轴 上,则此抛物线对应的函数表达式为 . 5. ★已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x 和y的部分对应值如下表: x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 -1 0 m 8 … (1) m 的值为 . (2) 这个二次函数的表达式为 . 6. (2024·福建)如图,二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于 点C,其中A(-2,0),C(0,-2). (1) 求二次函数的表达式. (2) 若P是二次函数图象上的一点,且点P在 第二象限,线段PC 交x轴于点D,△PDB 的 面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标. (第6题) 7. 已知抛物线y=x2-2x+c的顶点A 在直线 y=x-5上,则该抛物线对应的函数表达 式为 ( ) A. y=x2-2x-3 B. y=x2+2x+3 C. y=x2-2x-4 D. y=x2+6x+4 8. (2024·泰州模拟)二次函数y=a(x-h)2+ k(a≠0,h,k 为常数)的图象开口向下,当 x=1时,y=1;当x=6时,y=6,则h的值 可能为 ( ) A. 2 B. 3 C. 7 2 D. 9 2 9. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴 交于A(-1,0)与B(5,0)两点,与y轴交于 点C.若点P 在该抛物线的对称轴上,则 PA+PC 的最小值为 ( ) A. 6 B. 3+ 29 C. 52 D. 41 10. 新考法·新定义题 我们把对称轴和开口方向 都相同的抛物线称为“同向共轴抛物线”.例 如:抛物线y=-3(x-2)2+3与y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 13 -13 (x-2)2-1的对称轴都是直线x=2, 且开口方向都向下,则这两条抛物线为“同向 共轴抛物线”.若抛物线y=ax2-x+c与 y= 1 2 (x-3)2+1是“同向共轴抛物线”,且 两抛物线的顶点相距3个单位,则该抛物线对 应的函数表达式为 . 11. (2024·海宁模拟)已知二次函数 y=x2+bx+c(b,c为常数且b> 0,c<0),当-5≤x≤0时,-11≤ y≤5,则c的值为 . (第12题) 12. 如 图,抛 物 线 y=ax2+ bx+4经过点A(-3,0),与 y轴交于点C,点B 在抛物 线上,CB∥x 轴,且AB 平 分∠CAO,则抛物线对应的函数表达式为 . 13. (2024·浙江)已知二次函数y=x2+ bx+c(b,c为常数)的图象经过点 A(-2,5),对称轴为直线x=-12. (1) 求二次函数的表达式. (2) 若点B(1,7)先向上平移2个单位,再 向左平移m(m>0)个单位后,恰好落在 y=x2+bx+c的图象上,求m 的值. (3) 当-2≤x≤n 时,二次函数y=x2+ bx+c的最大值与最小值的差为94 ,求n的 取值范围. 14. 在平面直角坐标系中,点O 的坐标为(0,0), 点A 的坐标为(1,0).已知抛物线y=x2+ mx-2m(m 是常数)的顶点为P. (1) 当抛物线经过点A 时,求顶点P 的 坐标. (2) 连接 OP,若点 P 在x 轴下方,当 ∠AOP=45°时,求抛物线对应的函数表 达式. (3) 无论 m 取何值,该抛物线都经过定 点H.连接AH,HP,当∠AHP=45°时,求 抛物线对应的函数表达式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数