3.3 由三视图描述几何体&3.4 简单几何体的表面展开图-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

146 3.3　由三视图描述几何体 ▶ “答案与解析”见P79 1. 如图所示为某几何体的三视图,则该几何 体是 ( ) A. 四棱柱B. 四棱锥C. 三棱柱D. 三棱锥 (第1题) (第2题) 2. 如图所示为某几何体的三视图,主视图和左 视图是两个全等的矩形.若主视图的相邻两 边长分别为2和3,俯视图是直径为2的圆, 则这个几何体的体积为 . 3. ★一个几何体的三视图如图所示. (1) 请描述该几何体的形状. (2) 求该几何体的体积. (第3题) 4. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何 体是 ( ) A. B. C. D. (第4题) (第5题) 5. 如图所示为某几何体的三视图,则 这个几何体的体积是 . 6. 用大小相同的小正方体搭一个几何 体,使它的主视图和俯视图如图所示,俯视图 中小正方形上的字母或数字表示该位置上小 正方体的个数,试回答下列问题(x,y,z均为 非零整数). (1) x,z各表示多少? (2) y可能是多少? 这个几何体最少由几个 小正方体搭成? 最多呢? (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 147 3.4　简单几何体的表面展开图 第1课时 直棱柱的表面展开图 ▶ “答案与解析”见P79 1. 下列图形中,不属于正方体的表面展开图 的是 ( ) A. B. C. D. 2. (2024·广安)将“共建平安校园”六个汉字分 别写在某正方体的表面上,如图所示为它的 一种展开图,则在原正方体上,与“共”字所在 面相对的面上的汉字是 ( ) (第2题) A. “校” B. “安” C. “平” D. “园” 3. 一个底面为正方形的直棱柱的侧面展开图是 一个边长为4的正方形,则它的表面积为 ,体积为 . 4. 如图所示为一个食品包装盒的表面展开图. (1) 这个包装盒的几何体名称是 . (2) 请根据图中所标的尺寸,计算这个包装 盒的侧面积. (第4题) 5. 有一个正方体如图所示,下列图形 中,属于该正方体的平面展开图 的是 ( ) A. B. C. D. (第5题) (第6题) 6. 如图,将一张边长为6cm的正方形纸片按虚 线裁剪后,恰好围成底面是正六边形的棱柱, 则这个六棱柱的侧面积为 cm2. 7. 如图所示为一个三级台阶(点P 在 墙脚,BP 侧靠墙),它的每一级的 长、宽、高 分 别 为5dm,3dm 和 1dm.A 和B 是这个台阶的两个相对端点, 点A 处有一只蚂蚁,想到点B 处去吃可口的 食物,求这只蚂蚁所爬行的最短路线的长. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　三视图与表面展开图 148 第2课时 圆柱的表面展开图 ▶ “答案与解析”见P79 1. 如图,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=2.将 矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周,所得 圆柱的侧面积为 ( ) A. 10π B. 4π C. 2π D. 2 (第1题) (第2题) 2. 一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形, 则其底面圆的面积为 . 3. 有一段树干可以近似地看成圆柱,其底面积 为9πm2,高为15m.若将此树干分为两段圆 柱,且体积比为2∶1,则体积较大的树干的 侧面积为 . 4. 如图所示为一个几何体的三视图. (1) 请写出这个几何体的名称. (2) 求这个几何体的侧面积. (第4题) 5. 如图①,一只很薄的封闭的圆柱形玻璃水桶 内盛了半桶水,现将该水桶水平放置(如图 ②).若该圆柱的底面直径与母线长相等,图 ①、图②中水所形成的几何体的表面积分别 为S1,S2,则S1与S2的大小关系是 ( ) A. S1≤S2 B. S1<S2 C. S1>S2 D. S1≥S2 (第5题) (第6题) 6. 如图,一个圆柱形花瓶上下底面圆 上有相对的A,B 两点,现要用一根 金色铁丝装饰花瓶,金色铁丝沿侧 面缠绕花瓶一圈,并且经过A,B 两点.若花 瓶高16cm,其底面圆的周长为24cm,则需 要金色铁丝的长度最少为 cm. 7. 如图,在一个长8cm、宽5cm、高6cm的长方 体中,挖掉一个底面半径是2cm的圆柱,此 时这个长方体上、下底面形成一个能透光的 孔洞(π取3). (1) 挖掉的圆柱的侧面积是多少平方厘米? (2) 挖掉圆柱后,与原来长方体的表面积相 比,剩下几何体的表面积增加了还是减少了? 如果增加了,约增加了百分之几? 如果减少 了,约减少了百分之几(结果精确到0.1%)? (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 149 第3课时 圆锥的表面展开图 ▶ “答案与解析”见P80 1. (2024·云南)某校九年级学生参加社会实 践,学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母 线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则 该圆锥的侧面积为 ( ) A. 700π平方厘米 B. 900π平方厘米 C. 1200π平方厘米 D. 1600π平方厘米 2. 如图所示为一个废弃的扇形统计图,小华利 用它的阴影部分来制作一个圆锥,则这个圆 锥的底面半径是 . (第2题) (第3题) 3. 如图,圆锥的底面半径为5cm,侧面积为 65πcm2,设圆锥的母线与高的夹角为θ,则 sinθ的值为 . 4. 如图①,圆锥的母线长l=16cm,若以顶点O 为中心,将此圆锥按图②所示的方式放置在 平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆 心角θ=270°.求: (1) 此圆锥的底面半径. (2) 此圆锥的全面积. (第4题) 5. ★如图,在矩形纸片ABCD 中,AD= 12cm,把 它 分 割 成 正 方 形 纸 片 ABFE 和矩形纸片EFCD 后,分别 裁出扇形ABF 和半径最大的圆,恰好能作为 同一个圆锥的侧面和底面,则AB 的长为 ( ) A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm (第5题) (第6题) 6. 如图,☉O 是△ABC 的外接圆,∠ABO= ∠ACO=22.5°,BC=8.若扇形OBC(图中 涂色部分)正好是一个圆锥的侧面展开图,则 该圆锥的高为 . 7. 如图①,两同心圆的圆心为O,大圆 的弦AB 与小圆相切于点P,两圆的 半径分别为2和1. (1) 用涂色部分的扇形围成一个圆锥(OA 与 OB 重合),求该圆锥的底面半径. (2) 用余下部分再围成一个圆锥(如图②), 若一只小虫从圆锥底面圆上一点A 出发,绕 圆锥的侧面爬行一周后又回到点A,请直接 写出小虫爬行的最短路线的长. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　三视图与表面展开图 10(cm),∴ AO=12cm,即这个圆锥 的高为12cm. 7. 由给出的这种茶叶罐的主视图和 俯视图,可知这种茶叶罐的底面圆直 径为100mm,高为150mm, ∴ 这种茶叶罐的容积为π×502× 150÷1000=375π(cm3). ∵ 375π÷14×10≈841(g), ∴ 一个这种茶叶罐大约可以盛放 841g该种茶叶. 第3课时 组合体的三视图 1. A 2. 左视图 3. 如图所示. (第3题) 4. B 5. S3<S2<S1 解析:该几何体的 三视图如图所示,∵ 主视图、左视图 和俯视图的面积分别为S1,S2,S3, ∴ S3<S2<S1. (第5题) 6. (1) 如图所示. (2) 1;2;3. (3) 最多可以再添加3个小正方体. (第6题) 3.3　由三视图描述几何体 1. B 2. 3π 3. (1) 由三视图,可知该几何体是一 个内半径是2、外半径是4、高为15的 空心圆柱体. (2) 该几何体的体积为(π×42-π× 22)×15=180π. 根据三视图描述几何体 (或实物原型)的一般步骤 (1) 想象———根据各视图想象 几何体的形状. (2) 定形状———综合确定几何 体的形状. (3) 定大小———根据视图“长 对正、高平齐、宽相等”的关系,确 定轮廓线的位置及各方向的尺寸. 4. D 解析:由三视图,可知从正面和 侧面看都是上半部分为梯形,下半部 分为矩形,从上面看为圆环,可以想象 到该几何体的上半部分是圆台,下半 部分是圆柱. 5. 542 解析:∵ 由三视图,可知这 个几何体可看成是由两个长方体组成 的,∴ 这个几何体的体积是4×(3- 1)×62+1×1×62=542. 6. (1) 由题图,可知x=3,z=1. (2) y=1或2. 这个几何体最少由3+2+2+1+1+ 1+1=11(个)小正方体搭成;最多由 3+2+2+2+1+1+1=12(个)小正 方体搭成. 3.4　简单几何体的 表面展开图 第1课时 直棱柱的表面展开图 1. D 2. A 3. 18 4 解析:由四棱柱四个侧面 和上下两个底面的特征,结合题意,可 知直棱柱的上下两个底面是边长为1 的正方形,侧面展开图是一个边长为 4的正方形,∴ 它的表面积=1+1+ 4×4=18,体积=1×1×4=4. 4. (1) 直三棱柱. (2) ∵ AB= 32+42 =5,AD= AC=3,BE=BC=4,DF=6, ∴ 这个包装盒的侧面积为3×6+5× 6+4×6=18+30+24=72. 5. C 解析:A选项中,折叠后所得到 的正方体中,三个面的线段交于一个 顶点,与题图不符;B选项中,折叠后 所得到的正方体中,三个面的线段中 有一条与其他两条无公共点,与题图 不符;C选项中,折叠后所得到的正方 体中,三个面的线段组成一个三角形, 与题图相符;D选项中,折叠后所得到 的正方体中,三个面的线段中有一条 与其他两条无公共点,与题图不符. 6. (36-123) 解析:∵ 将一张边 长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪 后,恰好围成底面是正六边形的棱柱, ∴ 易得这个正六边形的底面边长为 1cm,高为3cm.∴ 这个六棱柱的侧 面展开图是长为6cm、宽为(6-23)cm 的矩形.∴ 这个六棱柱的侧面积为 6×(6-23)=(36-123)cm2. 7. 如图,将台阶展开,连结AB. ∵ AC=3×3+1×3=12(dm),BC= 5dm, ∴ AB= AC2+BC2=13dm. ∴ 这只蚂蚁所爬行的最短路线的长 为13dm. (第7题) 第2课时 圆柱的表面展开图 1. B 2. 4π或π 解析:① 当底面圆的周 长为4π时,半径为4π÷π÷2=2,此 时底面圆的面积为π×22=4π;② 当 底面圆的周长为2π时,半径为2π÷ π÷2=1,此时底面圆的面积为π× 12=π.故其底面圆的面积为4π或π. 3. 60πm2 4. (1) 圆柱. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 97 (2) 这个几何体的侧面积为2π×3= 6π(cm2). 5. B 解析:设圆柱的底面半径为r. ∵ 该圆柱的底面直径与母线长相等, ∴ 该圆柱的母线长为2r.题图①中水 所形成的几何体的母线长为r,底面 半径为r,∴ S1=2S底 +S侧 =2× πr2+2πr·r=4πr2.题图②中水所形 成的几何体的侧面由一个矩形和一个 曲面组成.∵ 矩形的长是母线长2r, 宽是底面直径2r,∴ 这个矩形的面积 是4r2.∵ 这个曲面展开后为矩形,其 长是πr,宽是2r,∴ 这个曲面的面积 是2πr2.∴ S2=2S底 +S侧 =2× 1 2πr 2+ (4r2+2πr2)=(4+3π)· r2.∵ S1-S2=4πr2-(4+3π)r2= 4πr2-4r2-3πr2=(π-4)r2,π<4, r2>0,∴ (π-4)r2<0,即S1-S2< 0.∴ S1<S2. 6. 40 解析:如图,把圆柱的侧面展 开,连结AB,则用金色铁丝沿侧面缠 绕花瓶一圈,并且经过A,B 两点,这 根铁丝的最小长度是矩形的对角线 AB 的长的2倍,花瓶的底面圆的周 长是24cm,高是16cm,∴ AC=16cm, BC=12cm.∴ AB= AC2+BC2= 20cm.∴ 需要金色铁丝的长度最少 为20×2=40(cm). (第6题) 7. (1) 2×3×2×6=72(cm2), ∴ 挖掉的圆柱的侧面积约是72cm2. (2) 挖掉圆柱体,剩下的几何体的表 面积约为2×8×6+2×5×6+2× (8×5-3×22)+2×3×2×6=96+ 60+56+72=284(cm2). 原来长方体的表面积为2×(8×5+ 6×5+8×6)=236(cm2). ∵ 284>236, ∴ 剩下几何体的表面积比原来长方 体表面增加了. ∵ 284-236 236 ×100%≈20.3% , ∴ 与原来长方体的表面积相比,剩下 几何 体 的 表 面 积 增 加 了,约 增 加 了20.3%. 第3课时 圆锥的表面展开图 1. C 2. 3.6 3. 5 13 解析:设圆锥的母线长为 lcm.∵ 圆锥的底面半径为5cm, ∴ 圆锥的底面周长为10πcm.根据扇 形的面积公式,得65π=12×10π ·l, 解得l=13.∴ sinθ=513. 4. (1) 由 题 意,得 3×2πr = 270×π×16 180 . ∴ r=4cm. ∴ 此圆锥的底面半径为4cm. (2) 此圆锥的全面积=π×42+12× 2π×4×16=80π(cm2). 5. C 解析:设AB=xcm.∵ 四边形 ABFE 是正方形,∴ ∠ABF=90°, AB=AE.∴ AF︵ 的长=90πx180 = 1 2πx (cm),ED=AD-AE=(12- x)cm.∵ 裁出的圆是矩形EFCD 中 半径最大的圆,∴ 它的直径为矩形的 宽DE.∴ 圆锥的底面周长为(12- x)πcm.∵ 圆锥侧面展开(扇形)的弧 长 等 于 圆 锥 底 面 圆 的 周 长, ∴ 1 2πx= (12-x)π,解得x=8. ∴ AB=8cm. 解决与圆锥侧面展开图(扇形) 相关题目常用的三个等量关系 (1) 侧面展开图(扇形)的弧长 等于圆锥底面圆的周长. (2) 侧面展开图(扇形)的面积 等于圆锥的侧面积. (3) 侧面展开图(扇形)的半径 等于圆锥的母线长. 6. 30 解析:连结OA,∵ OA= OB,OA=OC,∴ ∠OAB=∠ABO, ∠OAC = ∠ACO.∵ ∠ABO = ∠ACO = 22.5°,∴ ∠OAB = ∠OAC=22.5°.∴ ∠BAC =45°. ∴ ∠BOC=90°.∵ BC=8,OB= OC,∴ 易得OB=OC=42.设扇形 OBC围成的圆锥的底面半径为r,则 2πr=90π×42180 ,解得r=2.∴ 易知 该圆锥的高为 OB2-r2= 30. 7. (1) 连结OP,则易得OP⊥AB, ∠AOB=2∠AOP. ∴ AP= 22-12=3. ∴ tan∠AOP=APOP=3. ∴ ∠AOP=60°. ∴ ∠AOB=2∠AOP=120°. ∴ 优 弧 AB 的 长 为 (360-120)×π×2 180 = 8π 3. ∴ 该圆锥的底面半径为8π 3 ÷π÷ 2=43. (2) 小虫爬行的最短路线的长为23. 专题特训六　三视图的应用 1. D 2. C 3. D 4. B 5. C 解析:由俯视图,可知这个几何 体的底层有6个小正方体.由主视图, 可知第2,3两列最少各有一行有2个 小正方体,小正方体最多的排列情况 如图①所示.由左视图,可知中间一行 最少有一列有2个小正方体,小正方 体最多的排列情况如图②所示.综合 图①②,可知这个几何体中小正方体 的排列情况如图③所示.由图③可知, 组成这个几何体的小正方体的个数是 2×2+4×1=8. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 08