3.8 弧长及扇形面积-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

61 3.8　弧长及扇形的面积 ▶ “答案与解析”见P29 1. (2024·包头)如图,在扇形AOB中,∠AOB= 80°,半径OA=3,C 是AB ︵ 上一点,连结OC, D 是OC 上一点,且OD=DC,连结BD.若 BD⊥OC,则AC ︵ 的长为 ( ) (第1题) A. π 6 B. π 3 C. π 2 D. π 2. 如图,一件扇形艺术品完全打开后,AB,AC 的夹角为120°,AB 的长为45cm,BD 的长 为30cm,则扇面(图中涂色部分)的面积为 ( ) (第2题) A. 375πcm2 B. 450πcm2 C. 600πcm2 D. 750πcm2 3. 一条弧所对的圆心角为135°,弧长等于半径 为5cm的圆的周长的3倍,则这条弧的半径 为 . 4. 如图,某数学兴趣小组将边长为5的正方形 铁丝框ABCD 变形为以点A 为圆心、AB 长 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇 形DAB 的面积为 . (第4题) 5. 如图,菱形ABCD 的边长为1.5cm,B,C 两 点在扇形AEF 的EF ︵ 上.求BC ︵ 的长及扇形 ABC 的面积. (第5题) 6. 新考向·传统文化 传统服饰日益受到关注,如 图①所示为明清时期女子主要裙式之一的马 面裙,马面裙可以近似地看作扇环(如图②). 若AD ︵ 的长为π 3 米,裙长 AB 为0.8米, ∠AOD=60°,则BC ︵ 的长为(结果保留π) ( ) (第6题) A. 1.2π米 B. 0.8π米 C. 0.6π米 D. 0.4π米 7. ★ 如图,在△ABC 中,BC=AC, ∠ACB=90°,AB=2,D 为AB 的 中点,以点D 为圆心作圆心角为90° 的扇形EDF,点C 恰在EF ︵ 上,则图中涂色 部分的面积为 ( ) (第7题) A. π 2+ 1 2B. π-14 C. π 4+ 1 2 D. π 4- 1 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质 62 8. 扇形的弧长等于半径为1的圆的周长,面积 等于半径为2的圆的面积,则此扇形的圆心 角的度数为 . 9. 如图,半圆O 的直径AB=2,AC ︵ = 2BC ︵,E 是BC ︵ 上一动点,弦DE∥ AB,OF⊥AB 交DE 于点F,H 为 OA 上一点,且OH=EF,连结HF,则图中 涂色部分的周长的最大值为 . (第9题) 10. 如图,C,D 是以AB 为直径的半圆O 上的 两点,∠CAB=∠DBA,连结BC,CD. (1) 求证:CD∥AB. (2) 若AB=4,∠ACD=30°,求图中涂色部 分的面积. (第10题) 11. 将两张半径均为10的半圆形纸片完全重合 叠放在一起,上面的纸片绕着直径的一端点 B 按顺时针方向旋转30°后得到如图所示的 图形,A'B ︵ 与直径AB 相交于点C,连结 O'C.求: (1) BC ︵ 的长. (2) 图中下面的纸片未与上面的纸片重叠 部分的面积S阴影. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 (第5题) 6. B 解析:如图,连结OB,OA,OC, 则∠BOA =360°5 =72° ,∠BOC= 360° 4 =90° ,∴ ∠AOC=90°-72°= 18°.∴ ∠ABC=12∠AOC=9°. (第6题) 7. B 解析:如图,连结 AG,DG, AD,AE,OE,过点O 作OH⊥AE 于 点H.∵ 六边形ABCDEF 是☉O 的 内接 正 六 边 形,∴ ∠AOE=2× 360° 6 =120°.∵ OH⊥AE,∴ AH= EH.∴ ∠OAE = ∠OEA = 12 × (180°-120°)=30°.∴ OH = 1 2OA= 1 2×1= 1 2. 在 Rt△AOH 中, AH = OA2-OH2 = 12- 12 2 = 32.∴ AE=2AH= 2× 32= 3.∴ AG=AE= 3.由题 意,可知AG=DG,OA=OD,∴ OG⊥ AD.∴ ∠AOG = 90°.∴ OG= AG2-OA2= (3)2-12=2. (第7题) 8. 10 解析:如图,连结AO,BO,则 ∠AOB=2∠ADB=36°.∴ 这个正多 边形的边数为360° 36°=10. (第8题) 9. 22 解析:如图,连结AC,OD, OH.易知四边形ABCD 是☉O 的内 接正四边形,∴ ∠ADC=90°.∴ AC是 ☉O 的直径,即 AC=2.∵ AD2+ CD2=AC2,∴ AD=CD=2.∵ OH⊥ AD,S正八边形AEBFCGDH=4S四边形AODH=4× 1 2×2×1=22. (第9题) 10. (1) 连结OB,OC,则∠BOC= 360° 3 =120°. 又∵ OB=OC, ∴ ∠OBC=∠OCB=30°. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠ABC=60°. ∴ ∠PBO=∠ABC-∠OBC=30°. ∴ ∠PBO=∠QCO. 又∵ OB=OC,BP=CQ, ∴ △OPB≌△OQC. ∴ ∠POB=∠QOC. ∴ ∠POQ = ∠POB + ∠BOQ = ∠QOC+∠BOQ=∠BOC=120°. (2) 90°;72°. (3) ∠POQ 的度数与正n边形边数n 的关系为∠POQ=360°n . 11. (1) 如图,连结OB,OC,OD,OE. ∵ 五边形ABCDE 为正五边形, ∴ AB︵=BC︵=CD︵=DE︵=AE︵. ∴ ∠AOB= ∠BOC = ∠COD = ∠DOE=∠EOA=360°5 =72°. ∵ AEC︵=3AE︵, ∴ ∠AOC(优弧所对的圆心角)=3× 72°=216°. ∴ ∠ABC=12∠AOC (优弧所对的 圆心角)=12×216°=108°. (2) △AMN 是正三角形. 理由:如图,连结ON,FN. 由题意,得FN=FO. ∵ ON=OF, ∴ ON=OF=FN. ∴ △OFN 是正三角形. ∴ ∠OFN=60°. ∴ ∠AMN=∠OFN=60°. 同理,可得∠ANM=60°, ∴ △AMN 是正三角形. (3) ∵ ∠AMN=60°, ∴ ∠AON=2∠AMN=120°. ∵ AD︵=2AE︵, ∴ ∠AOD=2×72°=144°. ∵ DN︵=AD︵-AN︵, ∴ ∠NOD=144°-120°=24°. ∴ n=360°24°=15. (第11题) 由正多边形的一条边判断 正多边形的边数的方法 由正多边形的一条边判断正 多边形的边数时,一般先计算出已 知正多边形的边所对的圆心角的 度数,然 后 根 据“正 多 边 形 的 边 数= 360°已知边所对圆心角的度数” 求 出正多边形的边数. 3.8　弧长及扇形的面积 1. B 2. C 3. 40cm 4. 25 5. ∵ 四边形ABCD 是菱形,且边长 为1.5cm, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 ∴ AB=BC=1.5cm. 又∵ B,C 两 点 在 扇 形 AEF 的 EF︵ 上, ∴ AB=BC=AC=1.5cm. ∴ △ABC是等边三角形. ∴ ∠BAC=60°. ∴ BC︵ 的长=60π×1.5180 = π 2 (cm). ∴ S扇形ABC= 1 2lr= 1 2× π 2×1.5= 3 8π (cm2). 6. C 解析:∵ AD︵ 的长为π3米, ∠AOD=60°,∴ 60×π·OA 180 = π 3. ∴ OA=1米.又∵ AB的长为0.8米, ∴ OB 的长为1.8米.∴ BC︵ 的长为 60×π×1.8 180 =0.6π (米). 7. D 解析:如图,连结CD,设DF 交BC 于点 H,DE 交AC 于点G. ∵ AC=BC,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,∴ ∠A=∠B=45°,CD= 1 2AB= 1 = BD ,CD ⊥ AB. ∴ ∠ADC=∠CDB=90°.∵ ∠A= 45°, ∴ ∠DCG= 45° = ∠B. ∵ ∠CDG=90°-∠CDH,∠BDH= 90°-∠CDH,∴ ∠CDG=∠BDH. 在 △CDG 和 △BDH 中, ∠CDG=∠BDH, CD=BD, ∠DCG=∠B, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDG≌ △BDH. ∴ S△CDG = S△BDH. ∴ S四边形DGCH=S△CDB= 1 2×1×1= 1 2.∴ S涂色部分=S扇形EDF-S四边形DGCH= S扇形EDF- S△CDB = 90π×12 360 - 1 2= π 4- 1 2. (第7题) 求不规则几何图形面积的方法 一般不能直接利用公式求解, 常用的方法有:① 等积变形 法; ② 和差法;③ 割补法;④ 迁移变 换法;⑤ 化零为整法等.解题的思 想都是将不规则图形的面积转化为 规则图形(可直接求面积的图形,如 三角形、特殊四边形、圆、扇形等)的 面积或规则图形面积的和与差. 8. 90° 解析:设扇形的弧长为l,半 径为r,圆心角为n°.∵ 扇形的弧长 等于半径为1的圆的周长,∴ l=2π. ∵ 扇形的面积等于半径为2的圆的 面 积,∴ S扇形 = 12lr=π×2 2. ∴ 1 2×2πr=π×2 2.∴ r=4.∴ l= 2π=nπ×4180 ,解得n=90.∴ 此扇形的 圆心角的度数为90°. 9. π 3+2 解析:如图,连结 OE. ∵ DE∥AB,OH=EF,∴ 四边形 HOEF 是平行四边形.∴ HF=OE. ∵ OF⊥AB,DE∥AB,∴ OF⊥DE. ∴ DF =EF.又 ∵ OH =EF, ∴ DF=OH.∴ DF+AH =AO. ∴ DF+AH +HF=AO+OE= AB.∵ AB=2,∴ DF+AH+HF= 2.∵ E 是BC︵ 上一动点,∴ 当点E 与点C重合时,AD︵ 的长最大,此时涂 色部分的周长最大.∵ AC︵=2BC︵, ∴ ∠BOC =60°.∴ AD︵ 的 长 为 60π×1 180 = π 3.∴ 涂色部分的周长的 最大值为π 3+2. (第9题) 10. (1) ∵ ∠CAB=∠DBA,∠ACD= ∠DBA, ∴ ∠CAB=∠ACD. ∴ CD∥AB. (2) 如图,连结OD,过点D 作DE⊥ AB 于点E,则∠DEO=90°. ∵ AB=4, ∴ OD=OB=12AB=2. ∵ ∠ACD=30°, ∴ ∠AOD=2∠ACD=60°. ∵ ∠DEO=90°, ∴ ∠EDO=30°. ∴ OE=12OD=1. ∴ DE= OD2-OE2= 22-12=3. ∵ ∠AOD=60°, ∴ ∠BOD=180°-∠AOD=120°. ∴ S涂色部分 =S扇形BOD -S△BOD = 120×π×22 360 - 1 2×2×3= 4 3π-3. (第10题) 11. (1) 如图,过点O'作O'D⊥BC于 点D.由题意,易得∠CBA'=30°, O'B=O'A'=10,BD=CD. ∵ O'C=O'B, ∴ ∠O'CB=∠CBA'=30°. ∴ ∠BO'C=120°. ∴ BC︵ 的长为120π×10180 = 20 3π. (2) 由(1),易得O'D=5,BD=53. ∴ BC=2BD=103. ∴ S阴影 = 12 × π × 10 2 - 120×π×102 360 - 1 2×103×5 = 50 3π+253. (第11题) 专题特训四　圆中的 多解问题 1. C 解析:连结AO.∵ ☉O 的直径 CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm, ∴ AM=12AB= 1 2×8=4 (cm), OD=OC=5(cm).当点C 在如图①所 示的位置时,∵ OA=5cm,AM=4cm, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03