3.7 正多边形-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

59 3.7　正多边形 ▶ “答案与解析”见P28 1. 若一个正多边形的每一个内角的度数都是 150°,则这个正多边形是 ( ) A. 正九边形 B. 正十边形 C. 正十一边形 D. 正十二边形 2. 如图,正六边形ABCDEF 内接于☉O,连结 BD,则∠ABD 的度数是 ( ) (第2题) A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 3. 如图,正六边形ABCDE 内接于☉O,☉O 的 半径为4,则圆心O 到BC 的距离OM 为 ( ) (第3题) A. 2 B. 23 C. 3 D. 1 4. 如图,A,B,C,D 为一个外角为40°的正多边 形的顶点.若点O 为正多边形的中心,则 ∠OAD= . (第4题) 5. 如图,在网格纸中,O,A 都是格点,以点O 为 圆心,OA 长为半径作圆,用无刻度的直尺完 成以下画图(不写画法): (1) 在图①中画☉O 的一个内接正六边形 ABCDEF. (2) 在图②中画☉O 的一个内接正八边形 ABCDEFGH. (第5题) 6. 如图,画出了☉O 的内接正四边形和内接正 五边形,且点A 在BC ︵ 上,则∠ABC 的度 数为 ( ) A. 6° B. 9° C. 12° D. 18° (第6题) (第7题) 7. 如图,正六边形ABCDEF 内接于 ☉O,分别以点A,D 为圆心,AE 的 长为半径作弧,在☉O 外交于点G, 连结OG.若☉O 的半径为1,则OG 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 8. 如图,A,B,C,D 为一个正多边形的顶点,O 为正多边形的中心.若∠ADB=18°,则这个 正多边形的边数为 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　圆的基本性质 60 9. 如图,若☉O 的半径为1,四边形ABCD 是 ☉O 的内接四边形,则☉O 的内接正八边形 AEBFCGDH 的面积为 . (第9题) 10. 新考法·探究题 如图,P,Q 分别是☉O 的 内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五 边形ABCDE,…,正n边形ABCDE…的边 AB,BC 上的点,且BP=CQ,连结OP, OQ. (1) 求图①中∠POQ 的度数. (2) 图②中∠POQ 的度数是 ,图 ③中∠POQ 的度数是 . (3) 试探究∠POQ 的度数与正n边形边数 n的关系(直接写出答案). (第10题) 11. ★如图①,正五边形ABCDE 内接 于☉O,阅读以下作图过程,并回答 下列问题.作法:如图②,作直径 AF,以点F 为圆心,FO 的长为半径作圆 弧,与☉O 交于点M,N,连结AM,MN, NA. (1) 求∠ABC 的度数. (2) △AMN 是正三角形吗? 请说明理由. (3) 连结DN,从点A 开始,以DN 的长为 半径,在☉O 上依次截取点,再依次连结这 些点,得到正n边形,求n的值. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 ∴ 易得∠ACB=60°. ∵ BC=12AC=OD , ∴ DH=OD. ∴ 在 △DOH 中, ∠DOH = ∠OHD=80°. ∴ ∠ODH=20°. ∵ BC∥DE, ∴ ∠ONH=∠ACB=60°. ∴ ∠DOC=∠ONH-∠ODH=40°. ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA. ∴ ∠OAD=12∠DOC=20°. ∴ ∠CBD=∠OAD=20°. ∵ BC∥DE, ∴ ∠BDE=∠CBD=20°. (第11题) 专题特训三　构造辅助圆 1. D 解析:∵ △AMN 沿MN 所在 直线翻折得到△A'MN,∴ MA'= MA.∴ 点A'在以点M 为圆心、MA 的长为半径的圆上.如图,过点M 作 MH⊥CD,交CD 的延长线于点H, 连结CM,与☉M 交于点P.易知PC 的长就是A'C长的最小值.∵ 四边形 ABCD 为 菱 形,∴ AD=DC =2, AB∥CD.∴ ∠HDM=∠A=60°. ∴ ∠HMD=30°.∵ M 是AD 的中 点,∴ MD = MA = 12AD =1. ∴ DH= 12MD = 1 2.∴ HM= MD2-DH2 = 32. 又 ∵ CH = CD + DH = 52 ,∴ CM = CH2+HM2= 7.∴ PC=CM- PM=7-1,即A'C 长的最小值是 7-1. (第1题) 2. 75° 解析:∵ AB=AC=AD, ∴ 点B,C,D 在以点A 为圆心、AB 的 长 为 半 径 的 ☉A 上 (如 图). ∵ ∠DAC= 25°, ∴ ∠DBC = 1 2∠DAC= 12.5°.∵ ∠DBC = 1 3∠BDC ,∴ ∠BDC=3∠DBC= 37.5°.∴ ∠BAC=2∠BDC=75°. (第2题) 构造辅助圆解决问题的 一般方法 当条件中出现两个或两个以 上的点到某一定点的距离相等时, 我们可以尝试以这个定点为圆心、 各点到定点的距离为半径构造一 个圆,往往能够在问题的条件与结 论之间架设新的桥梁,从而使解题 思路“柳暗花明”. 3. 62 解析:∵ ∠ABC=∠ADC= 45°,∴ A,C,D,B 四点在同一个圆 上.如图,作☉O 经过A,C,D,B 四 点,连结AO,OC,延长AO 交☉O 于 点D'.当AD 为☉O 的直径时,AD 的长有最大值,为AD'的长.∵ ∠ADC= 45°,∴ ∠AOC=90°.∵ OA=OC, ∴ △AOC是等腰直角三角形.∵ AC= 6,∴ 易 得 AO=3 2.∴ AD'= 2AO=62,即AD长的最大值为62. (第3题) 4. 29-2 解析:如图,设AD 的中 点为O,以AD 为直径画圆,连结OB, 设 OB 与 ☉O 的 交 点 为 点 F'. ∵ ∠ABC=∠BAD=90°,即∠ABC+ ∠BAD=180°,∴ AD∥BC.∴ ∠DAE= ∠AEB.∵ ∠ADF=∠BAE,∴ ∠DFA= ∠ABE=90°.∴ 点F 在以AD 为直 径的半圆上运动.∴ 当点F运动到OB 与☉O 的交点F'时,线段BF 有最小 值.∵ AD=4,∴ AO=OF'=12AD= 2.∴ BO= 52+22= 29.∴ 线段 BF 长的最小值为 29-2. (第4题) 5. (5-1) 解析:如图,连结AC, BD,交于点O.由题意,易知直线EF 经过点O,取OB 的中点M,以点 M 为圆心、OM 的长为半径画圆,连结 MG,易知点G 在☉M 上,∴ 当A, G,M 三点共线时,AG 的长取得最小 值.∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形, ∴ AC⊥BD,OA=OB.∵ AB= 22cm,∴ 易得OA=OB=2cm. ∴ OM=1cm.∴ 在Rt△OAM 中, AM = OA2+OM2 = 22+12 = 5(cm).在Rt△BOG 中,∵ M 是OB 的中 点,∴ GM= 12OB =1cm. ∴ AG 的长最小为(5-1)cm. (第5题) 3.7　正多边形 1. D 2. C 3. B 4. 30° 5. (1) 如图①所示. (2) 如图②所示. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 (第5题) 6. B 解析:如图,连结OB,OA,OC, 则∠BOA =360°5 =72° ,∠BOC= 360° 4 =90° ,∴ ∠AOC=90°-72°= 18°.∴ ∠ABC=12∠AOC=9°. (第6题) 7. B 解析:如图,连结 AG,DG, AD,AE,OE,过点O 作OH⊥AE 于 点H.∵ 六边形ABCDEF 是☉O 的 内接 正 六 边 形,∴ ∠AOE=2× 360° 6 =120°.∵ OH⊥AE,∴ AH= EH.∴ ∠OAE = ∠OEA = 12 × (180°-120°)=30°.∴ OH = 1 2OA= 1 2×1= 1 2. 在 Rt△AOH 中, AH = OA2-OH2 = 12- 12 2 = 32.∴ AE=2AH= 2× 32= 3.∴ AG=AE= 3.由题 意,可知AG=DG,OA=OD,∴ OG⊥ AD.∴ ∠AOG = 90°.∴ OG= AG2-OA2= (3)2-12=2. (第7题) 8. 10 解析:如图,连结AO,BO,则 ∠AOB=2∠ADB=36°.∴ 这个正多 边形的边数为360° 36°=10. (第8题) 9. 22 解析:如图,连结AC,OD, OH.易知四边形ABCD 是☉O 的内 接正四边形,∴ ∠ADC=90°.∴ AC是 ☉O 的直径,即 AC=2.∵ AD2+ CD2=AC2,∴ AD=CD=2.∵ OH⊥ AD,S正八边形AEBFCGDH=4S四边形AODH=4× 1 2×2×1=22. (第9题) 10. (1) 连结OB,OC,则∠BOC= 360° 3 =120°. 又∵ OB=OC, ∴ ∠OBC=∠OCB=30°. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠ABC=60°. ∴ ∠PBO=∠ABC-∠OBC=30°. ∴ ∠PBO=∠QCO. 又∵ OB=OC,BP=CQ, ∴ △OPB≌△OQC. ∴ ∠POB=∠QOC. ∴ ∠POQ = ∠POB + ∠BOQ = ∠QOC+∠BOQ=∠BOC=120°. (2) 90°;72°. (3) ∠POQ 的度数与正n边形边数n 的关系为∠POQ=360°n . 11. (1) 如图,连结OB,OC,OD,OE. ∵ 五边形ABCDE 为正五边形, ∴ AB︵=BC︵=CD︵=DE︵=AE︵. ∴ ∠AOB= ∠BOC = ∠COD = ∠DOE=∠EOA=360°5 =72°. ∵ AEC︵=3AE︵, ∴ ∠AOC(优弧所对的圆心角)=3× 72°=216°. ∴ ∠ABC=12∠AOC (优弧所对的 圆心角)=12×216°=108°. (2) △AMN 是正三角形. 理由:如图,连结ON,FN. 由题意,得FN=FO. ∵ ON=OF, ∴ ON=OF=FN. ∴ △OFN 是正三角形. ∴ ∠OFN=60°. ∴ ∠AMN=∠OFN=60°. 同理,可得∠ANM=60°, ∴ △AMN 是正三角形. (3) ∵ ∠AMN=60°, ∴ ∠AON=2∠AMN=120°. ∵ AD︵=2AE︵, ∴ ∠AOD=2×72°=144°. ∵ DN︵=AD︵-AN︵, ∴ ∠NOD=144°-120°=24°. ∴ n=360°24°=15. (第11题) 由正多边形的一条边判断 正多边形的边数的方法 由正多边形的一条边判断正 多边形的边数时,一般先计算出已 知正多边形的边所对的圆心角的 度数,然 后 根 据“正 多 边 形 的 边 数= 360°已知边所对圆心角的度数” 求 出正多边形的边数. 3.8　弧长及扇形的面积 1. B 2. C 3. 40cm 4. 25 5. ∵ 四边形ABCD 是菱形,且边长 为1.5cm, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92